Limite E Continuidade

Limite e Continuidade Eng.º Delfino Teteia

Noção Intuitiva Sucessões numéricas

Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, ....

Os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um limite

x → +∞

1 2 3 4 5 , , , , ,..... 2 3 4 5 6

Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x→ 1

1, 0, -1, -2, -3, ...

Os termos tornam-se cada vez menores sem atingir um limite

x → -∞

3 5 6 1, ,3, ,5, ,7,... 2 4 7

Os termos oscilam sem tender a um limite

Limites Intuitivos <

←→ (c )

←→ (b )

(d )

(a )

←

<

(b )

← (c )

→

← (b )

≠ =

→

→ (a) (d ) ←

→ (d )

(c )

>

(a )

(a) lim− f ( x) = 0

(a) lim− f ( x) = −∞

(a) lim− f ( x) = 0

(b) lim+ f ( x) = 1

(b) lim+ f ( x) = +∞

(b) lim+ f ( x) = entre[−1,1]

(c) lim f ( x) = −∞

(c) lim f ( x) = 0

(c) lim f ( x) = −∞

(d ) lim f ( x) = 0

(d ) lim f ( x) = entre[−1,1]

x →0

x →0

x → −∞

(d ) lim f ( x) = +∞ x → +∞

x →0

x →0

x → −∞

x → +∞

x →0

x →0

x → −∞

x → +∞

→ (b )

(a ) lim+ f ( x) = 0 x →1

(b) lim f ( x) = +∞ x → +∞

← (a )

Definição de Limites • Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), excepto talvez em a. c a d • Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos

Figuras 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figures 1.13: Um

lim

f ( x) = L

x→a

se para todo ε > 0, existe um número correspondente δ > 0 , tal que |x-a|< δ ⇒ |f(x)-L|< ε, para todos os valores de x.

Figura 1.11: Relação entre δ e ε na definição de limite.

Propriedades dos Limites • Se L, M, a, c são números reais e n inteiro

lim f ( x) = L x→a

e

lim g ( x) = M , x→a

• Regra da soma(subtracção): lim f ( x) ± g ( x) = lim f ( x) ± lim g ( x) = L ± M x→a x→a x→a • Regra do Produto:

lim f ( x).g ( x) = lim f ( x). lim g ( x) = L.M x→a

x→a

x→a

• Regra da multiplicação por escalar:

lim c. f ( x) = c . lim f ( x) = c.L x→a

x →a

• Regra do quociente:

f ( x) L f ( x) lim x →a lim = = x→a g ( x) lim g ( x) M x →a

• Regra da potencia:

lim f ( x) = (lim f ( x)) = L n

x→a

n

n

x→a

• Regra da raíz

lim n f ( x) = n lim f ( x) = n L x→a

x→a

f ( x) = L < 0, n é impar. se lim x→a

• Regra do logarítmo:

lim log c ( f ( x)) = log c (lim f ( x)) x→a

x →a

= log c L se lim f ( x) > 0 x →a

• Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno)

lim sen f ( x) = sen(lim f ( x)) = sen L x→a

x→a

• Regra da exponencial:

lim c x→a

f ( x)

=c

lim f ( x )

x→a

=c

L

Limites de Funções Polinomiais Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se

P ( x ) = an x + an −1 x n

n −1

+... + a0

então

lim n n −1 P( x) = P(c) = a n c + a n −1c + ... + a0 . x→ c

Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial

lim 3x

5

+ 4x − x − x + 2 = 4

2

x→ −2

3 × (− 2) + 4 × (− 2) − (− 2) − (− 2) + 2 = 5

4

2

3 × (− 32) + 4 × 16 − 4 + 2 + 2 = − 96 + 64 − 4 + 2 + 2 = − 32

Limites de Funções Racionais Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: Se

P(x)

e

Q(x)

são polinômios e

Q (c ) ≠ 0

então

lim P ( x ) P (c ) = x →c Q ( x ) Q (c )

,

Exemplo – Limite de Uma Função Racional

x + 4 x − 3 (− 1) + 4(− 1) − 3 0 = = =0 lim 2 2 x +5 (− 1) + 5 6 x→ −1 3

2

3

2

Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum

x + x−2 lim 2 x −x x →1 2

Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fracção mais simples, com os mesmos valores da original para x ≠ 1:

x + x − 2 ( x − 1)( x + 2) x + 2 = = 2 x −x x( x − 1) x 2

Se x

≠1

Usando a fracção simplificada, obtemos o limite desses valores quando x →1 por substituição:

x + x−2 x + 2 1+ 2 = lim = =3 lim 2 x −x x 1 x →1 x →1 2

2+h−2 = h( 2 + h + 2 ) h = h( 2 + h + 2 ) 1 = 2+h + 2

Fator comum de h. Cancelar h para h ≠ 0.

Então,

lim h →0

2 +h − 2 = lim h h →0

1 1 = = 2+0 + 2 2 2

1 2 +h + 2