Limit Pada Ketakhinggaan.docx

xn 

5

3

2

1

x  x2

Bagi

3x 5 x 1

Ex. lim x→∞

Limit pada

 lim

2

2 − 4x

2

dgn x

2−4

2

x→∞

x

Ketakhinggaan

lim 3  lim 5 x →∞ 

x →∞

1 lim

Untuk semua n > 0,

1

 lim

x

n

x →−∞

x

x 2  2x − 4 3.

2. lim

3

2

lim x→∞

7x  5x − 10x 1

x→∞

12x  31 2

2x 4  −

x 2

5x

4x

−

3

21 

3

x

x

3

x

x

 lim

x→∞

x→∞

12 x

2

3

7x

5x

3



x

4

10 x 

3

x

5

21

− x2

x

−

3

x



31 

1

x

3

x

x

4 x2−

x3

 lim

x

x→∞

5

10

7

− x

1

2

x



3

 lim

31

x→∞

12 

x

x

0

7

 ∞2 12

0

x

 lim

x

∞

x→∞



x2



 3  0  0 − 3 0−4

x

n

Dan diberikan 1 terdefinisi.

4 x 2 − 5 x  21

x

1



0

lim

x →∞

 lim

→∞

 2 x − lim 2

x

→∞

4

4

Contoh lain 3

2

2 2x

2x3−3x22

1. lim x → ∞x

3

x

2

−x

−

3

− 100 x  1

 lim x→∞

3x



3

x

3

3

x

2

x

x

100 x

−

1

lim

4.

x→∞

 x2 1 − x





−

 x  1 − x 2

x3

x3

x

3

3

x3  lim

2

x 2 1  x

1



2− x

 lim x→∞

x2

2

3

x

x 2  1 − x2

1 − 1 − 100  1

x

1  x

x

x→∞

 lim

x3

x→∞

x2  1  x 1

2 2

 1

 lim

x→∞



x2  1  x

1 ∞∞



1 ∞

0

1

Limit Tak Hingga Limit dan Fungsi Trigonometri 20

Untuk semua n > 0,

15

Gambar dari fungsi trig memberikan

10

1

5

∞

lim x →a

 x − an

-8

-6

-4

-2

-5

-10

-15

-20

1

40

∞

lim x→a− (x

30

n

− a)

20

10

jika n genap

-2

2

4

6

-10

-20

1

20

−∞

lim

15

10

n

x→ a − ( x − a)

5

-8

-6

-4

-2

2

-5

jika n ganjil

-10

-15

2

-20

Contoh Temukan limitnya

3

 x

 2x 1

3x

2

2

1.



lim

1



= lim

2

x→0

3∞∞

x2

∞ 2

2

x→0

2x 2 x 1 2.

lim 

=

x→−3

2x  6

2 x 1

−∞

lim  x→−32(

x  3)

Tangent and Secant 40

20

-6

-8

-4

-2

Tangent dan secant kontinu disemua titik kecuali 2

f (x )  sin x and

g ( x )  cos x

1 1

0.5 0.5 -10

-5

5

10 -10

-5

5

-0.5

-0.5

-1

-1

Jadi fungsinya kontinu pada sebarang titik

10

y

limsin x  sin c and lim cos x  cos c

2

0 Garis y = L disebut asimtot horisontal pada kurva y = f(x) jika salah satu dibawah ini benar

lim f (x )  L or lim f (x )  L. x →∞

Contoh a) lim x→

c)



sec x 

−∞

b)

 π 2

lim −3π x→



tan x  −∞

d)

lim



2

lim cot x  x→

• Garis x = c disebut asimtot vertikal pada kurva y = f(x) jika salah satu dibawah ini benar

 π 2

x→

 − 3π 2 

−

tan x 

lim cos x 

π

 −3π 2 sin x

x→

Asimptot

0 1

lim f (x )  or

lim f (x) .

x→c−

x →c

2

3

x→

∞



−π

f) lim tan x  1

x→π −

g)

∞

x→

lim cot x  −∞

e)

lim − sec x

x→−∞

4

0



Limit dan Fungsi Exponential yax,a1 10

10

yax,0a1

8 8

6 6

Contoh

4 4

Tentukan Asimtot fungsi berikut

2 2

-6-4-2

x2 1 246

-6-4-2

246

1. f (x) 

-2

-2

(i) lim f (x)  Gambar diatas menunjukkan bahwa fungsi exponential kontinu disemua.

(iii) lim f (x)  1.

2

x −1

x→1

−

x→∞

−∞

Shg garis y = 1 adl asimtot horisontal

Shg garis x = 1 adl asimtot 10

vertical 7.5

lim a x  ac x →c

5

(ii) lim f (x)  ∞. x→−1−

2.5

-4

-2

2

-2.5

Shg garis x = -1 adl asimtot vertical

-5

-7.5

-10

4

3

2.

f (x) 

x −1 x2 −1

(iii) lim f (x)  0.

x −1 (i) lim f (x)  lim x →1

x→∞

2

x

x→1

−1 Shg garis y = 0 adl

x −1 = lim

1  lim

x →1

1 

. asimtot horisontal

x→1

(x − 1)(x  1)

x

1

2

Shg garis x = 1 bukan 10

7.5

merupakan asimtot vertical

5

2.5

(ii) lim f (x) . x→−1

-4

-2

2

-2.5

-5

Shg garis x = -1 adl asimtot

-7.5

-10

vertical

4

4