Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI

Ringkasan Materi A. Limit Fungsi Aljabar Pengertian limit fungsi aljabar merupakan pengertian dasar hitung differensial dan hitung integral. Lebih jelasnya pada contoh berikut ini. Fungsi f didefinisikan sebagai f ( x) =

2 x 2 − 3x − 2 x−2

Jika variabel x diganti dengan 2 maka f (2) =

0 , tetapi adakah bilangan yang akan didekati oleh f (x) jika nilai x 0

mendekati 2? ................. oleh karena itu kita akan mempelajari masalah limit. 1. Pengertian limit f ( x ) = L , jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi x ≠ a) maka berlaku f (x) dekat dengan L. a. Lim x→ a f ( x ) = L , berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kiri a. a. Limit kiri fungsi, ditulis Lim x→ a − f ( x) = L , berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kanan a. b. Limit kanan fungsi, ditulis Lim x →a + f ( x) = Lim f ( x) = L, maka Lim f ( x) = L c. Jika Lim x →a x→a x→a −

+

2. Pengertian limit secara matematis Lim f ( x) = L ada artinya ∀ε > 0 ∃δ ∋ 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε x→a (lebih lanjut akan dijelaskan di bangku kuliah) 3. Menentukan limit fungsi aljabar 3.1 Limit fungsi f : x → f ( x) untuk x → a Dengan cara substitusi langsung. Cara ini dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai x = a, ke dalam f (x), apabila didapat: f ( x) = h a. f (a) = h, berarti Lim x→ a b. f (a) =

h , berarti Lim f ( x) = ∞ x →a 0

c. f (a) =

0 , berarti Lim f ( x) = 0 x→ a h

d.

f ( a) =

0 , maka: 0

(1) Bentuk f (x) difaktorkan sehingga f ( a) ≠

0 kemudian disubstitusikan lagi. 0

(2) Bentuk f (x) dikalikan dengan sekawan pembilang dan atau penyebut sehingga f ( a) ≠ disubstitusikan lagi.

0 kemudian 0

Contoh

Selesaikan bentuk-bentuk limit di bawah ini! Lim 2 x + 3

1)

2) Lim

x →3

x→ 2

3x − 2 2x − 4

Penyelesaian

Penyelesaian

Lim 2 x + 3 = 2.3 + 3 = 9

Lim

x →3

3) Lim x →1

x→ 2

x2 − 2 x−2

4) Lim x→ 2

Penyelesaian

Lim x →1

5) Lim

3 x − 2 3.2 − 2 4 = =∞ = 2 x − 4 2.2 − 4 0 x2 − 4 22 − 4 0 = = (tak terdefinisi) 2 2 x − 5 x + 6 2 − 5.2 + 6 0

Untuk menyelesaikannya sebagai berikut: Lim

x2 − 2 1−1 0 = =0 = x − 2 1+ 2 3

x→ 2

x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) = Lim (difaktorkan) 2 x − 5 x + 6 x →2 ( x − 2)( x − 3) ( x + 2) (2 + 2) = Lim = = −4 x → 2 ( x − 3) (2 − 3)

x + 2 − 3x − 2 x + 2 − 2x

x→ 2

Penyelesaian Lim x→ 2

Lim x→ 2

= Lim x →2

= Lim x →2

= Lim x →2

= Lim x →2

x + 2 − 3x − 2 x + 2 − 2x x + 2 − 3x − 2 x + 2 − 2x

4− 4

= .

4− 4

=

0 = ∞ (tak terdefinisi) 0

x + 2 + 3x − 2 x + 2 + 3x − 2

.

x + 2 + 2x x + 2 + 2x

[( x + 2) − (3 x − 2)][ x + 2 + 2 x ] [( x + 2) − ( 2 x)][ x + 2 + 3x − 2 ] (−2 x + 4)[ x + 2 + 2 x ] (− x + 2)[ x + 2 + 3x − 2 ] (−2 x + 4)[ x + 2 + 2 x ] (− x + 2)[ x + 2 + 3x − 2 ] 2[ 2 + 2 + 2.2 ] [ 2 + 2 + 3.2 − 2 ]

=

2(2 + 2) =2 (2 + 2)

3.2 Limit fungsi f : x → f ( x) untuk x → ∞ Bentuk yang dipelajari disini adalah bentuk: a. Lim x →∞ a. Untuk menyelesaikan Lim x →∞

Contoh

x →∞

dan

b. Lim [ f ( x) − g ( x)] x →∞

f ( x) dilakukan dengan cara membagi pangkat tertinggi dari pembilang dan g ( x)

penyebut.

Hitunglah nilai Lim

f ( x) g ( x)

7x 5 − 4x + 2 3 x 5 − 2 x 2 − 3x + 1

Penyelesaian 4 2 + 5 4 7−0+0 7 x x Lim = = x →∞ 2 3 1 3−0−0−0 3 3− − 3 − 5 x x x 7−

[ f ( x) − g ( x )] dilakukan dengan caramengalikan sekawannya yaitu: b. Untuk menyelesaikan Lim x→ a f ( x) + g ( x) f 2 ( x) + g 2 ( x ) , sehingga bentuk limitnya berubah menjadi: Lim [ f ( x) − g ( x)]. Lim kemudian x →∞ x →∞ f ( x) + g ( x) f ( x) + g ( x) dilakukan dengan cara yang pertama lagi. Contoh

x 2 + 2x + 3 − x 2 − 2x −1 Hitunglah nilai Lim x →∞ Penyelesaian = Lim x 2 + 2 x + 3 − x 2 − 2 x − 1. x →∞

= Lim x →∞

= Lim

x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1 x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1

( x 2 + 2 x + 3) + ( x 2 − 2 x − 1) x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1 4x + 4

x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1 4 4+ x = Lim x →∞ 2 3 2 1 1+ + 2 + 1− − 2 x x x x 4+0 4 = = =2 1+ 0 + 0 + 1− 0 − 0 2 x →∞

3.3 Untuk n bilangan real berlaku rumus berikut: 1 a. Lim (1 + ) n = e n →∞ n 1 n

b. Lim (a + n) = e n →0

1 c. Lim (1 − ) − n = e n →∞ n d . Lim (1 − n) n →0

−

1 n

=e

Contoh

6 3x 2. Hitunglah Lim (1 + ) x →∞ x

1

2. Hitunglah Lim (1 + 2 x) x x →0

Penyelesaian

Penyelesaian

x 6 6 .18 Lim (1 + ) 3 x = Lim (1 + ) 6 = e18 x →∞ x →∞ x x

ax m + bx m −1 + ... + c =L 3.4 Lim x →∞ px n + qx n −1 + ... + r Berarti

1. Jika m < n, L = 0 2. Jika m = n, L =

a p

1 x

Lim (1 + 2 x ) = Lim (1 + 2 x ) x →0

x →0

1 .2 2x

= e2

3. Jika m > n, L = ∞ Latihan 1 A. Pilihlah jawaban yang tepat 2x 2 − x − 1 1. Lim 2 = ........ x →1 3 x − x − 2 1 2 3 d. 5

a. 0 b.

e. ∞

c.

2 5

2. Nilai dari Lim x →3

( x − 2) 2 − 1 = ............... (UAN 1999). x−3

a. 0

c. 2

b. 1

d. 4

e. 6

( x 2 + 2 x − x 2 + x ) adalah...... 3. Nilai dari Lim x →∞ 3 2 1 b. − 2 a. −

c.

a. 2 1 b. 2

a. − 2 1 b. − 2 2 6. Nilai Lim x →∞

1− x − 3

= ................. (UAN 2000) e. − 2

x + 1 − 3x − 1 = ............ x −1 c. 0 1 d. 2 2

1 3

e. 2

1+ x2 − 4 + x2 = ............. (UAN 1999) x c. −

a. 0

1 2

e. −

3 2

d. − 1

7. Nilai Lim x →1

1 2 4 1 b. 2 2 x →∞

3 2

d.− 1

x →1

8. Lim

x−4 c. 0

5. Nilai Lim

a.

e.

d. 1

4. Nilai Lim x→ 4

b. −

1 2

3x − 1 − x + 1 2x − 1 − x c. 2 d. 2 2

3x 2 − 2 x − 8 = ........ 9 x 2 − 16

= ................ e. 4 2

1 3 d .3

a. 0

e. ∞

c.

b. − 3

1 3n 9. Lim (1 + ) = ............. x →∞ n e. ∞

a. 1

c. e

b. 3 e

d. e3

 n + 1 10. Lim   n ←∞  n 

n +1

= ...........

a. e b. e

e. ∞

c. 2e 2

d . 2e

2

B. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan tepat. 1. Hitung Lim x →∞

(

x 2 − 4x − x 2 + 2x

2. Hitung Lim

2x 2 − 4x + 3 3x 4 − 2 x 2 − 3x + 8

3. Hitung Lim

2x 2 − x − 6 x+4

4. Hitung Lim

x2 −1 x 2 − 2x + 1

5. Hitung Lim

x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 3− x

x →∞

x →∞

x →1

x →3

)

6. Selesaikanlah bentuk-bentuklimit berukit a. Lim x →∞

2x + 4 − 2x − 1

b. Lim 3x − 1 − x + 2 x →∞

c. Lim

x 2 + 4x − 1 − x 2 + 2x − 3

d . Lim

x 2 − 4x − 2x 2 − x + 2

x →∞

x →∞

7. Hitunglah nilai dari limit di bawah ini.

 2 a. Lim  x +   x  4 b. Lim 1−   x

3x

x →∞

d . Lim x→∞

5x

x →∞

c. Lim x →0

(1+ 2x)

3 x

 4 1+   x

5x

e. Lim

(1+3x)

4 x

3x

f . Lim

 7 1−   x

x →0

x →∞

B. Teorema limit dan limit fungsi trigonometri Dalam menentukan limit suatu fungsi,diperlukan suatu metode yang dapat memudahkan. Pada subbab ini disajikan beberapa teorema yang sangat berguna untuk menyelesaikan masalah menentukan limit suatu fungsi. 1. Beberapa teorema limit untuk k konstanta, a bilangan real, f dan g fungsi yang memiliki limit di a, maka:

a. Lim k = k x →a

b. Lim f ( x ) = f ( a), ∀a ∈R x→a

c. Lim k . f ( x) = k . Lim f ( x), utk k = konstanta x→a

x→a

d . Lim [ f ( x) ± g ( x)] = Lim f ( x) ± Lim g ( x ) x→a

x→a

x→a

e. Lim [ f ( x) . g ( x )] = Lim f ( x) . Lim g ( x ) x →a

x →a

x→a

Lim f ( x) f ( x) = x→a , utk Lim g ( x ) ≠ 0 x →a g ( x) Lim g ( x)

f . Lim x→a

x →a

g. Lim { f ( x)} = {Lim f ( x)} n n

x→a

h. Lim

x →a

n

x →a

f ( x ) = n Lim f ( x) , Lim f ( x) > 0 x→a

x →a

2. Beberapa rumus limit fungsi trigonometri

sin x x = Lim x →0 x →0 sin x x sin ax ax b. Lim = Lim x →0 x →0 sin ax ax tan x x c. Lim = Lim x →0 x →0 tan x x tan ax ax d . Lim = Lim x →0 x →0 tan ax ax sin ax tan ax e. Lim = Lim x →0 sin bx x →0 tan bx sin ax tan ax f . Lim = Lim x →0 tan bx x →0 sin bx a. Lim

= 1 ⇒ Lim x →0

sin ax xa a = Lim = x →0 sin bx bx b

=1 = 1 ⇒ Lim x →0

tan ax ax a = Lim = x →0 tan bx bx b

=1 a b a = b

=

Contoh

1. Diketahui f ( x ) = x 2 − 2; g ( x ) = 3 x + 2 Hitunglah:

[ f ( x ) − g ( x)] a. Lim x→ 2

[ f ( x ) . g ( x )] b. Lim x→1

Penyelesaian

Penyelesaian Lim [ f ( x ) . g ( x )]

Lim [ f ( x ) − g ( x)]

x →1

x→ 2

= Lim f ( x ) − Lim g ( x) = Lim ( x 2 − 2) − Lim (3 x + 2) x →2

x →2

= (2 − 2) − (3.2 + 2) = −6 2

x →2

x →2

= Lim f ( x ) . Lim g ( x) x →1

x →1

= Lim ( x − 2) . Lim (3x + 2) 2

x →1

x →1

= (1 − 2) . (3 + 2) = −5

2. Hitung Lim x →0

x tan x 1 − cos x

3. Hitung Lim x →0

Penyelesaian

sin 2 x tan 3x

Penyelesaian

x tan x x →0 1 − cos x x tan x x tan x = Lim = Lim x →0 x → 0 1 1 1 − (1 − 2 sin 2 x) 2 sin 2 x 2 2 1 x 1 tan x 2 1 = Lim . . . x →0 2 1 1 x sin x ( ) 2 2 2 Lim

Lim x →0

=

sin 2 x tan 3x

2 3

2

 1  x   1 1 tan x  = 2.1.12 = 2 = . . Lim . Lim  2 x → 0 x → 0 1 1 2 x  sin x    4  2 

Latihan 1 A. Pilihlah jawaban yang tepat 1. Dengan menggunakan teorema limt, nilai Lim x → −1

1 4

a. −

1 5 1 d. 4 c.

b. 0 2. Lim x →3

x 2 + 2x adalah………. x3 + 5

e. 5

x− 3 = .......... x−3

1 3 6 1 b. 3 3 a.

c.

1 3 2

e. 2 3

d. 3

3. Diketahui fungsi f yang disefinisikan sebagai berikut: x + 2  2 , utk x < 0  f ( x) f ( x )  0 , utk x = 0 nilai dari Lim =........... x →1 x 2 − x  , utk x > 0  3

2 3 3 d. 2

a. 0 b.

c.

1 3

4. Lim x→ 2 a. 0 1 b. 2

x−2 2x − x + 2

e. 3

adalah...

c. 2 d. 4

e. ∞

5. Lim x →0

1 − cos x = ............. x2

1 3 b. 0

1 2 d. ∞

a.

6.

c.

e.

2 3

Lim (1 − tan x ) (1 − tan 12 x ) = ......... x→

π 2

c. π d. ∞

a. 1 b. − 1

e. 0

B. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan tepat. 1. Nilai Lim x→a

2. Nilai Lim

tan x − tan a sin x − sin a

( 4 x − 10) sin ( x − 5) x 2 − 25

x →5

3.

Nilai Lim

( x + 2) tan ( x − 3) 2 x 2 − 5x − 3

x →3

1 3 4. Diketahui f ( x ) = x + 2an g ( x ) = x + 3 2 Tentukan nilai

f ( x) g ( x)

1 2 x+2 , untuk − 2 < x ≤ −1  x   2 5. Fungsi H ( x) =  2 − x , untuk − 1 < x < 1  2x   0 , untuk x yang lainnya  Tentukan nilai dari a. Lim

x → −1

H ( x) −3

b. Lim H ( x ) + Lim 1 x→ 2

x→2

H ( x) 4

c. Lim 2 H ( x ) x →−

6. Nilai

3 2

Lim

x→ 2 3

2 x 2 − cos π 1 3