Lich Su Dai So

§¹i sè lµ g×?  Phæ

th«ng: gi¶i ph­¬ng tr×nh  §¹i häc: nghiªn cøu c¸c cÊu tróc víi c¸c phÐp to¸n hai ng«i (nhãm, vµnh, tr­êng, kh«ng gian tuyÕn tÝnh) Ph¶n ¸nh qu¸ tr×nh h×nh thµnh m«n §¹i sè trong lÞch sö (gÇn 4000 n¨m)

Nguån gèc ch÷ “§¹i sè” Cã xuÊt xø tõ cuèn s¸ch cña nhµ to¸n häc ¶ rËp Al Khwarizmi (800 – 847): Hisab al-jabr wal-muqabala (Khoa häc vÒ sù c©n b»ng vµ l­îc gi¶n)  Néi dung: c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh  Al-jabr => Algebra => §¹i sè  Al Khwarizmi => Algorithm => ThuËt 

DÊu tÝch ®Çu tiªn  Ai

CËp: 1800 – 1600 tr­íc c/n c¸c cuén giÊy Papyrus chøa c¸c bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt

 Babilon

(Irak): 1800 tr­íc c/n c¸c b¶ng ®Êt xÐt chøa c¸c bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai, ph­¬ng tr×nh hai biÕn bËc hai

Papyrus Rhind

T¸c ®éng cña viÖc biÓu diÔn c¸c sè Ai cËp  hÖ thËp ph©n  dïng c¸c ch÷ ®Ó biÓu diÔn c¸c sè lín => tÝnh to¸n khã kh¨n Babilon  hÖ s¸u m­¬i (vÝ dô: giê ®ång hå)  dïng vÞ trÝ ký hiÖu ®Ó biÓu diÔn sè lín => dÔ tÝnh to¸n h¬n => ®¹i sè

§Æc ®iÓm §¹i sè thêi cæ ®¹i C¸c bµi to¸n cã ng÷ c¶nh ®êi th­êng  C¸c con sè ®­îc chän läc ®Ó cã nghiÖm nguyªn  Kh«ng cã sè kh«ng vµ sè ©m  NÆng vÒ sè häc  Kh«ng dïng ký hiÖu  Kh«ng cã suy luËn vµ chøng minh (lµ to¸n nh­ng ch­a ph¶i lµ to¸n häc) 

Hy l¹p (600 – 100 n¨m tr­íc c/n)  Trung

t©m th­¬ng m¹i (hµng h¶i)  Giao l­u cña nhiÒu v¨n ho¸ vµ tÝn ng­ ìng kh¸c nhau  Nhu cÇu t×m hiÓu thÕ giíi tù nhiªn  Sù h×nh thµnh nghÒ “th«ng th¸i”: Appolonius, Archimedes, Aristoteles, Demokrit, Euklid, Hippokrates, Plato, Pythagoras, Zeno

Sù ra ®êi cña to¸n häc  C©u

hái träng t©m “t¹i sao” (tr­íc kia “thÕ nµo)  Quan t©m ®Õn c¸c vÊn ®Ò to¸n häc thuÇn tuý  To¸n häc cã suy luËn vµ chøng minh  NÆng vÒ h×nh häc (3 vÊn ®Ò næi tiÕng nhÊt: chia ba mét gãc, nh©n ®«i h×nh lËp ph­¬ng, cÇu ph­¬ng ®­êng trßn)

Bé s¸ch “C¬ së” cña Euklid  13

tËp: tæng kÕt kiÕn thøc to¸n häc Hy L¹p  X©y dùng h×nh häc trªn c¬ së mét hÖ tiªn ®Ò  Cuèn s¸ch ®­îc in nhiÒu thø hai trªn thÕ giíi  S¸ch gi¸o khoa cho nhiÒu thÕ kû sau (vua Cµn Long ®· häc cuèn s¸ch nµy) vµ ¶nh h­ëng ®Õn tËn ngµy nay (c¸c chøng minh h×nh häc)

Euklid

Cuèn s¸ch §¹i sè ®Çu tiªn  Diophantus

(~ 250 tr­íc c/n): “Sè

häc”  9 tËp: cßn l­u l¹i 6 tËp gåm 189 bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau  ChØ xÐt nghiÖm d­¬ng h÷u tû  Kh«ng dïng h×nh häc ®Ó gi¶i  Dïng ký hiÖu ®Ó biÓu diÔn ph­¬ng tr×nh, Èn sè, phÐp trõ, sè mò (gieo

La M· (200 tr­íc c/n – 1100 sau c/n) Thêi kú ®en tèi cña khoa häc vµ ®Æc biÖt lµ to¸n häc  ChÕ ®é n« lÖ vµ phong kiÕn quan liªu  ChØ cã mét tÝn ng­ìng, gi¸o ®iÒu  Kinh tÕ n«ng nghiÖp, kh«ng khuyÕn khÝch ph¸t triÓn khoa häc 

§iÓm s¸ng TiÓu ¸ (700 – 1200)  Vua

Al Mamun (~ 800) thµnh lËp “Ng«i nhµ cña c¸c nhµ th«ng th¸i” tËp trung c¸c nhµ khoa häc c¸c d©n téc (cã th­ viÖn vµ ®µi thiªn v¨n)  Ph¸t huy vµ gi÷ g×n c¸c thµnh tùu cña to¸n häc Hy L¹p (ta biÕt vÒ to¸n häc Hy L¹p th«ng qua c¸c b¶n dÞch ¶ rËp cña thêi kú ®ã)  ChÞu ¶nh h­ëng cña to¸n häc Ên §é vµ Trung Quèc (hÖ thËp ph©n vµ

Cuèn s¸ch cña Al Khwarizmi  Nghiªn

cøu hÖ thèng viÖc gi¶i ph­ ¬ng tr×nh  Dïng h×nh häc ®Ó gi¶i (¶nh h­ëng cña to¸n häc Hy L¹p)  Kh«ng chÊp nhËn sè ©m vµ sè kh«ng => ph©n lo¹i ph­¬ng tr×nh phøc t¹p  Kh«ng dïng ký hiÖu mµ dïng sè cô thÓ  §­îc dÞch sang tiÕng Latin, nguån

Al Khwarizmi

Thêi kú Phôc H­ng (1200 – 1600)  Th­¬ng

m¹i ph¸t triÓn ®Æc biÖt ë

Italia  H×nh thµnh c¸c ®Õ chÕ ë ch©u ¢u  Sù giao l­u thóc ®Èy to¸n häc ph¸t triÓn (kÕ to¸n, thiªn v¨n, v.v)  Sö dông hÖ thËp ph©n vµ c¸ch biÓu diÔn sè theo vÞ trÝ  C¸c tr­êng ®¹i häc ra ®êi

Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba  Ng­êi

cã c«ng ®Çu tiªn: delle Ferro (1465-1526), gi¸o s­ tr­êng §¹i häc Bologna (®¹i häc ®Çu tiªn trªn thÕ giíi) gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng ax3 + bx = c (hÖ sè d­¬ng)  Tr­êng hîp tæng qu¸t: Tartaglia (15001557)  C«ng bè: Cardano (1501-1576) trong cuèn s¸ch “Ars Magna”

Tartaglia

Cardano

Cuéc c¸ch m¹ng “Ars Magna”

 Chøa

®ùng nh÷ng ý t­ëng míi sau h¬n hai ngh×n n¨m (tõ thêi Babylon)  LÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn sè ©m vµ sè ¶o (Cardano coi nh÷ng sè nµy kh«ng tån t¹i trªn thùc tÕ, nh­ng cã thÓ tÝnh to¸n ®­îc)  H¹n chÕ: dïng ng«n ng÷ h×nh häc, kh«ng dïng Èn sè 

Chó ý: sè ¶o xuÊt hiÖn qua viÖc biÓu diÔn nghiÖm ph­¬ng tr×nh bËc ba

Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn  Ferrari

(1522-1565, häc trß cña Cardano): lêi gi¶i dùa trªn viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba  C«ng bè trong “Ars Magna”  B­íc

tiÕn lín: c¸c nhµ to¸n häc tr­íc ®ã kh«ng c«ng nhËn cã ®¹i l­îng bËc bèn (v­ît khu«n khæ kh«ng gian ba chiÒu)

Ph­¬ng ph¸p bÊt ®Þnh  Cuèn

“Sè häc” cña Diophantus dïng ký hiÖu Èn sè ®Çu tiªn nh­ng bÞ quªn l·ng (do ¶nh h­ëng cña ph­¬ng ph¸p h×nh häc), ®­îc t×m thÊy l¹i 1463  Bombelli (1530-1572): c«ng bè s¸ch “§¹i sè” viÕt l¹i Ars Magna, dïng Èn sè thay lêi (tiÖn lîi h¬n cho suy luËn vµ tæng qu¸t hãa)  Viete (1540-1603): dïng ký hiÖu (bÊt ®Þnh) cho c¸c hÖ sè

Viete

Sè phøc  Bombelli:

dïng sè phøc mét c¸ch hÖ

thèng  Gauss (1777-1855): - chøng minh mäi ®a thøc ®Òu cã nghiÖm phøc (§Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè) - chØ ra viÖc dùng h×nh b»ng th­íc kÎ vµ compa cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh

Gauss

C©n b»ng §¹i sè vµ H×nh häc  LÞch

sö cæ ®¹i vµ trung ®¹i: §¹i sè chÞu ¶nh h­ëng cña H×nh häc  Descartes (1596-1650): ph­¬ng ph¸p täa ®é cho phÐp gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc b»ng ®¹i sè  C¸ch

m¹ng: ®Èy §¹i sè lªn mét tÇm cao míi víi nh÷ng øng dông míi  §o¹n tuyÖt víi quan niÖm vÒ chiÒu h×nh häc cña c¸c sè khi gi¶i ph­¬ng tr×nh

Descartes

Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao  VÊn

®Ò gi¶i ph­¬ng tr×nh b»ng c¨n

thøc  Abel (1802-1829): kh«ng cã c«ng thøc tæng qu¸t gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc > 4 (dïng nhãm ®èi xøng)  Galois (1811-1832): tiªu chuÈn ®Ó mét ph­¬ng tr×nh gi¶i ®­îc b»ng c¨n thøc (®­a ra kh¸i niÖm nhãm)

Abel

Galois

Sù ra ®êi cña c¸c cÊu tróc §¹i sè  Më

®Çu: nhãm vµ phÐp to¸n hai ng«I (Galois)  Hamilton (1805-1865): tr­êng quaternion (kh«ng giao ho¸n)  Grassmann (1809-1877): kh«ng gian tuyÕn tÝnh (chiÒu bÊt kú)  Dedekind (1831-1916): tr­êng, vµnh

§¹i sè hiÖn ®¹i §Æc ®iÓm: “tho¸t khái” c¸c vÊn ®Ò cô thÓ cña sè häc vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh  Nh÷ng ng­êi tiªn phong: Noether (1882-1935), Artin (1898-1962)  HÖ thèng: cuèn s¸ch “§¹i sè hiÖn ®¹i” cña Waerden (1903-1996)  Nghiªn cøu c¸c cÊu tróc to¸n häc víi c¸c quan hÖ hai ng«i 

Noether

Artin

§¹i sè ngµy nay “§¹i sè hiÖn ®¹i” = §¹i sè c¬ së C©u hái “§¹i sè lµ g×?” sÏ do t­¬ng lai tr¶ lêi