Li Thuyet So

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT F7G

GIAÙO TRÌNH

LYÙ THUYEÁT SOÁ

VUÕ VAÊN THOÂNG

MUÏC LUÏC 1 SOÁ NGUYEÂN 1.1 1.2 1.3 1.4

Vaønh soá nguyeân . . . . . . Caùc tính chaát cô baûn cuûa Z Pheùp chia trong Z . . . . . Bieåu dieãn soá nguyeân . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2 ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT. SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. 2.1 Öôùc chung lôùn nhaát . . . . . . . . . 2.2 Thuaät toaùn Euclid . . . . . . . . . . 2.3 Ñònh lyù cô baûn cuûa soá hoïc . . . . 2.4 Phöông trình Diophantus tuyeán tính

3 ÑOÀNG DÖ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Khaùi nieäm ñoàng dö . . . . . . . . Caùc ñoàng dö tuyeán tính . . . . . Ñònh lyù phaàn dö Trung hoa . . . Heä caùc ñoàng dö tuyeán tính . . . . Ñònh lyù Wilson vaø ñònh lyù Euler

4 CAÙC HAØM SOÁ HOÏC 4.1 4.2 4.3 4.4

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

Nhaän xeùt chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haøm Euler ϕ(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haøm toång caùc öôùc σ(n) vaø soá caùc öôùc τ (n). . . . . . . . . . . Haøm Mo¨bius µ(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3

3 4 6 7

13

13 15 17 19

25

25 28 30 31 34

43

43 46 48 51

2

MUÏC LUÏC

5 CAÊN NGUYEÂN THUÛY 5.1 5.2 5.3 5.4

Baäc cuûa soá nguyeân vaø caên nguyeân thuyû Caên nguyeân thuyû cuûa soá nguyeân toá . . . Caùc soá coù caên nguyeân thuyû . . . . . . . Chæ soá soá hoïc . . . . . . . . . . . . . . .

6 THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG 6.1 6.2 6.3 6.4

Thaëêng dö bình phöông . . . . . Luaät thuaän nghòch bình phöông Kyù hieäu Jacobi . . . . . . . . . Soá giaû nguyeân toá Euler . . . .

. . . .

. . . .

7 SOÁ b- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC 7.1 7.2 7.3 7.4

Soá b-phaân . . . . . . . . . . . . . . Phaân soá lieân tuïc höõu haïn . . . . . Phaân soá lieân tuïc voâ haïn . . . . . . Vaøi öùng duïng cuûa phaân soá lieân tuïc

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

.... .... .... ....

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

8 MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN 8.1 8.2 8.3 8.4

Caùc boä ba Pythagoras . . . . . Toång cuûa hai soá chính phöông . Toång cuûa boán soá chính phöông Phöông trình Pell . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

57

57 61 64 69

75

75 80 84 87

97

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

97 102 108 118

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

125 126 128 131

125

1 SOÁ NGUYEÂN 1.1 Vaønh soá nguyeân Vaønh soá nguyeân Z laø môû roäng nhoû nhaát cuûa taäp soá töï nhieân N cuøng vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân sao cho phöông trình a + x = b luoân luoân coù nghieäm. Nghieäm duy nhaát x cuûa phöông trình a + x = b ñöôïc kyù hieäu laø b − a.

Ñònh lyù 1.1. Coù vaønh Z vôùi caùc pheùp toaùn coäng (kyù hieäu: + ), nhaân ( · ) vaø aùnh xaï f : N −→ Z sao cho:

1. f vöøa laø ñôn caáu nöûa nhoùm coäng vöøa laø ñôn caáu nöûa nhoùm nhaân. 2. Caùc phaàn töû cuûa Z ñeàu coù daïng f (a) − f (b) vôùi a, b ∈ N. Chöùng minh. Quan heä hai ngoâi  treân tích Descartes N × N xaùc ñònh bôûi:

neáuu a + d = b + c laø quan heä töông ñöông. Ta kyù hieäu taäp thöông N × N/ laø Z vaø goïi noù laø vaønh (?!) soá nguyeân. Nhö vaäy, moãi soá nguyeân laø moät lôùp töông ñöông vaø neáu noù chöùa ñaïi dieän (m, n) ta seõ taïm kyù hieäu noù laø (m, n). Pheùp coäng vaø nhaân treân Z ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

(a, b)(c, d)

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (a, b) · (c, d) = (ac + bd, ad + bc).

Xem nhö baøi taäp, yeâu caàu ñoïc giaû töï kieåm tra tính ñuùng ñaén cuûa ñònh nghóa caùc pheùp toaùn neâu treân vaø chöùng toû raèng (Z, +, ·) laø moät vaønh giao hoaùn vôùi phaàn töû trung hoaø cuûa pheùp coäng vaø cuûa pheùp nhaân töông öùng laø 3

4

1. SOÁ NGUYEÂN 0 = (0, 0) , 1 = (1, 0).

AÙnh xaï f : N −→ Z xaùc ñònh bôûi:

f (n) = (n, 0).

1. Deã daøng thaáy raèng f laø ñôn aùnh vaø: f (a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f (a) + f (b) f (a · b) = (ab, 0) = (a, 0) · (b, 0) = f (a) · f (b)

2. Giaû söû x = (a, b) ∈ Z. Khi ñoù: x = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) − (b, 0) = f (a) − f (b).


Nhaän xeùt: 1) Ta ñoàng nhaát moãi soá töï nhieân n vôùi aûnh f (n) ∈ Z; do ñoù N ⊂ Z. 2) Neáu a, b ∈ N, a > b thì soá nguyeân x = (a, b) = (a − b, 0) = f (a − b); do coù söï ñoàng nhaát neân x chính laø soá töï nhieân n = a − b vaø ta goïi noù laø soá nguyeân döông, ta vieát x = n. Neáu a, b ∈ N, a < b thì soá nguyeân x = (a, b) = −(b − a, 0) = −f (b − a); nhö vaäy x chính laø soá ñoái cuûa soá töï nhieân n = b − a vaø ta goïi noù laø soá nguyeân aâm, ta vieát: x = −n. Soá nguyeân x = (n, n) chính laø soá 0.

1.2 Caùc tính chaát cô baûn cuûa Z Vaønh R ñöôïc goïi laø moät mieàn nguyeân neáuu vôùi moïi x, y ∈ R : x = 0, y = 0 keùo theo xy = 0.

Ñònh lyù 1.2.

laø mieàn nguyeân, ñeám ñöôïc, chöùa N nhö laø nöûa nhoùm con coäng vaø nöûa nhoùm con nhaân. Moïi vaønh cöïc tieåu chöùa N nhö laø nöûa nhoùm con coäng vaø nöûa nhoùm con nhaân ñeàu ñaúng caáu vaønh vôùi Z. Z

5

1.2. CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN CUÛA Z

Chöùng minh. Ta ñaõ bieát vaønh soá nguyeân Z goàm caùc soá töï nhieân n vaø caùc soá

ñoái −n; töø ñaây deã daøng suy ra raèng Z laø mieàn nguyeân, ñeám ñöôïc, cöïc tieåu chöùa N nhö laø nöûa nhoùm con coäng vaø nöûa nhoùm con nhaân. Giaû söû X laø moät vaønh cöïc tieåu coù aùnh xaï g : N −→ X vöøa laø ñôn caáu nöûa nhoùm coäng vöøa laø ñôn caáu nöûa nhoùm nhaân. Vaäy thì X chæ goàm caùc phaàn töû g(n) vaø −g(n), n ∈ N. Deã daøng thaáy raèng aùnh xaï ϕ : Z −→ X, +n −→ +g(n) laø moät ñaúng caáu vaønh.
Vaønh giao hoaùn R cuøng vôùi moät quan heä thöù töï toaøn phaàn ≤ ñöôïc goïi laø vaønh ñöôïc saép thöù töï neáuu vôùi moïi x, y ∈ R ñeàu thoûa : 1. ∀z ∈ R (x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z) 2. 0 ≤ x, 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ xy Treân Z ta ñöa ra quan heä 2-ngoâi ≤ nhö sau: x ≤ y neáuu y − x ∈ N. Deã thaáy ñaây laø quan heä thöù töï treân Z vaø laø môû roäng cuûa quan heä thöù töï treân N.

Ñònh lyù 1.3.

Z, ≤

laø moät vaønh ñöôïc saép thöù töï Archimed.

Chöùng minh. Xem nhö baøi taäp cho ñoïc giaû




Trò tuyeät ñoái cuûa soá nguyeân x, kyù hieäu laø |x|, ñöôïc ñònh nghóa:
x |x| = −x

neáu neáu

x≥0 x≤0

Caùc tính chaát veà trò tuyeät ñoái xem nhö ñaõ roõ.

Ñònh lyù 1.4. Giaû söû M laø taäp khoâng roãng caùc soá nguyeân. Khi ñoù: 1. Neáu M bò chaën treân thì M chöùa soá lôùn nhaát. 2. Neáu M bò chaën döôùi thì M chöùa soá nhoû nhaát. Chöùng minh. Chuùng toâi chæ chöùng minh cho tröôøng hôïp taäp M laø bò chaën

treân. Ñaët A = M ∩ N. Neáu A = ∅ phaàn töû lôùn nhaát b cuûa A seõ laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa M. Ngöôïc laïi, thì soá −b seõ laø phaàn lôùn nhaát cuûa M vôùi b = min {−x : x ∈ M }.

Ñoïc giaû töï chöùng minh cho tröôøng hôïp taäp M bò chaën döôùi.




6

1. SOÁ NGUYEÂN

1.3 Pheùp chia trong Z Chuùng ta noùi raèng soá nguyeân a chia heát cho soá nguyeân b = 0, hay a laø boäi cuûa b, kyù hieäu a :. b, neáuu coù soá nguyeân c ñeå a = bc. Trong tröôøng hôïp naøy ta cuõng noùi laø b chia chia heát a, hay b laø öôùc (thöøa soá) cuøa a, kyù hieäu b | a. Ngöôïc laïi, ta noùi raèng a khoâng chia heát cho b, hay b khoâng chia heát a, kyù hieäu b
a.

Ví duï 1.3.1.

6 | 12 ; −5 | 20 ; 7 | − 49 ; −8 | − 16 ; 15 | 0 ; 8
12 ; − 3
8 ; 4
−9 ; −12
−18. 

Deã daøng chöùng minh ñöôïc ñònh lyù sau:

Ñònh lyù 1.5. Giaû söû a, b laø caùc soá nguyeân. Khi ñoù: 1. Neáu b | a vaø a > 0, b > 0 thì 1 ≤ b ≤ a. 2. Neáu b | a vaø c | b, thì c | a. 3. Neáu b | a vaø c = 0 thì bc | ac. 4. Neáu c | a vaø c | b, thì c | (ma + nb) vôùi caùc soá nguyeân m, n baát kyø.

Ñònh lyù 1.6. Giaû söû a, b laø caùc soá nguyeân, b = 0. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc soá nguyeân q, r thoûa: a = bq + r vaø 0 ≤ r < |b|.

Chöùng minh. Taäp caùc soá nguyeân M = {bx : x ∈ Z ; bx ≤ a } laø khoâng roãng

vaø bò chaën treân, theo ñònh lyù 1.4, M coù soá lôùn nhaát laø bq. Ta coù bq ≤ a vaø a < bq + |b|; suy ra 0 ≤ r = a − bq < |b|. Giaû söû ta coù caùc bieåu dieãn: a = bq1 + r1 = bq2 + r2 ; 0 ≤ r1, r2 < |b|. Theá thì: |b| · |q1 − q2| = |r1 − r2 | < |b|; suy ra q1 = q2 vaø do ñoù r1 = r2 .
Khi a = bq + r, 0 ≤ r < |b| ta noùi q laø thöông vaø r phaàn dö cuûa pheùp chia a cho b. Hieån nhieân b | a khi vaø chæ khi r = 0.

Ví duï 1.3.2. Pheùp chia 133 cho 21 coù thöông laø 6 vaø phaàn dö laø 7. Pheùp chia −50 cho 8 coù thöông laø −7 vaø phaàn dö laø 6. Pheùp chia 50 cho −8 coù thöông laø −6 vaø phaàn dö laø 2. Pheùp chia −133 cho −21 coù thöông laø 7 vaø phaàn dö laø 14.

1.4. BIEÅU DIEÃN SOÁ NGUYEÂN

7 

Soá nguyeân 1 coù ñuùng moät öôùc döông. Moãi soá nguyeân lôùn hôn 1 ñeàu coù ít nhaát hai öôùc döông vì noù chia heát cho 1 vaø chính noù. Soá nguyeân lôùn hôn 1 maø noù coù ñuùng hai öôùc döông, ñöôïc goïi laø soá nguyeân toá. Soá nguyeân lôùn hôn 1 vaø khoâng laø soá nguyeân toá, ñöôïc goïi laø hôïp soá.

1.4 Bieåu dieãn soá nguyeân Chuùng ta ñaõ quen vôùi vieäc bieåu dieãn caùc soá nguyeân trong heä ñeám thaäp phaân (heä ñeám cô soá möôøi). Baây giôø chuùng ta seõ chæ ra raèng moãi soá nguyeân b > 1 ñeàu coù theå ñöôïc söû duïng laøm cô soá cho vieäc bieåu dieãn caùc soá nguyeân. Vaø vì moãi soá nguyeân aâm laø soá ñoái cuûa soá nguyeân döông neân ñònh lyù sau ñaây laø caên baûn.

Ñònh lyù 1.7. Giaû söû b > 1 laø moät soá nguyeân. Theá thì, moïi soá nguyeân döông n ñeàu vieát ñöôïc moät caùch duy nhaát döôùi daïng

n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0

trong ñoù k laø soá nguyeân khoâng aâm, caùc aj laø soá nguyeân vôùi 0 ≤ aj ≤ b − 1 vaø heä soá ñaàu tieân ak = 0. Chöùng minh. Töø ñònh lyù 1.6 ta coù: n = bq0 + a0 ,

0 ≤ a0 ≤ b − 1.

Neáu q0 = 0, tieáp tuïc chia q0 cho b ta ñöôïc: q0 = bq1 + a1 ,

0 ≤ a1 ≤ b − 1.

Tieáp tuïc quaù trình naøy ñeán luùc ñaït ñöôïc: q1 = bq2 + a2 ,

0 ≤ a2 ≤ b − 1,

q2 = bq3 + a3 ,

0 ≤ a3 ≤ b − 1,

.. .

8

1. SOÁ NGUYEÂN qk−2 = bqk−1 + ak−1 ,

0 ≤ ak−1 ≤ b − 1,

0 ≤ ak ≤ b − 1.

qk−1 = b.0 + ak ,

Deã daøng suy ra: n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0

vôùi ø 0 ≤ aj ≤ b − 1, ak = qk−1 = 0. Ta seõ chöùng minh tính duy nhaát cuûa bieåu dieãn baèng qui naïp theo soá nguyeân döông n. Tröôøng hôïp n = 1 ta chæ coù bieåu dieãn duy nhaát vôùi k = 0, vaø a0 = 1. Giaû söû ta coù n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 = cm bm + cm−1 bm−1 + · · · + c1 b + c0 .

(∗)

Do ñònh lyù 1.6: phaàn dö cuûa pheùp chia n cho b laø duy nhaát, neân a0 = c0. Do a0 = c0 neân töø (*) ta suy ra: n1 = ak bk−1 + ak−1 bk−2 + · · · + a1 = cm bm−1 + cm−1 bm−2 + · · · + c1 .

Deã chöùng toû ñöôïc raèng n1 < n, vaäy theo giaû thieát qui naïp ta coù: m = k vaø a1 = c1 , · · · , ak = ck .




Heä quaû 1.7.1. Moïi soá nguyeân döông ñeàu laø toång caùc luõy thöøa khaùc nhau cuûa 2. Chöùng minh. Theo ñònh lyù 1.7 vôùi b = 2, ta coù n = ak 2k + ak−1 2k−1 + · · · + a1 2 + a0 ,

vôùi k laø soá töï nhieân, caùc aj baèng 0 hoaëc 1,

ak = 0.




Nhaän xeùt: 1) Soá nguyeân döông n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 trong ñònh lyù 1.7 thöôøng ñöôïc vieát laø (ak ak−1 · · · a1 a0 )b . 2) Vieäc ñoåi soá nguyeân döông (ak ak−1 · · · a1 a0 )q trong heä ñeám cô soá q sang cô soá b ñöôïc thöïc hieän hoaøn toaøn töông töï nhö thuaät toaùn tìm bieåu dieãn cuûa soá nguyeân döông trong ñònh lyù 1.7 chæ löu yù laø khi chia cho b (trong heä q−phaân) thì b ñaõ ñöôïc vieát trong heä q−phaân, sau ñoù caùc soá dö phaûi ñöôïc ñoåi sang heä b−phaân ñeå bieåu dieãn soá trong heä b−phaân.

1.4. BIEÅU DIEÃN SOÁ NGUYEÂN

9

Ví duï 1.4.1. Chuùng ta caàn ñoåi soá thaäp phaân 610 sang heä nhò phaân. Vì trong

heä thaäp phaân nhò vaãn ñöôïc vieát laø 2 neân ta thöïc hieän lieân tieáp caùc pheùp chia cho 2 trong heä thaäp phaân: 106 = 2 · 53 + 0, 53 = 2 · 26 + 1, 26 = 2 · 13 + 0, 13 = 2 · 6 + 1, 6 = 2 · 3 + 0, 3 = 2 · 1 + 1, 1 = 2 · 0 + 1.

Thuaät chia döøng vì thöông ñaõ baèng 0. Caùc soá dö vieát trong heä nhò phaân töông öùng laø: c0 = 0, c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = 1; vaäy soá ñaõ cho coù bieåu dieãn trong heä nhò phaân laø 1101010. 

Ví duï 1.4.2. Chuùng ta caàn ñoåi soá thaäp phaân 2003 sang heä thaäp luïc phaân. Vì

soá thaäp luïc trong heä thaäp phaân ñöôïc vieát laø 16 neân ta thöïc hieän lieân tieáp caùc pheùp chia cho 16 trong heä thaäp phaân: 2003 = 16 · 125 + 3, 125 = 16 · 7 + 13, 7 = 16 · 0 + 7.

Thuaät chia döøng vì thöông ñaõ baèng 0. Caùc soá dö vieát trong heä thaäp luïc phaân töông öùng laø: c0 = 3, c1 = D, c2 = 7; vaäy soá ñaõ cho coù bieåu dieãn trong heä thaäp luïc phaân laø 7D3. 

BAØI TAÄP CHÖÔNG I

10

1. SOÁ NGUYEÂN

1. Chöùng minh tính ñuùng ñaén cuûa ñònh nghóa pheùp coäng, pheùp nhaân treân Z vaø (Z, +, ·) laø moät vaønh giao hoaùn. 2. Chöùng minh raèng Z laø mieàn nguyeân, ñeám ñöôïc, cöïc tieåu chöùa N nhö laø nöûa nhoùm con coäng vaø nöûa nhoùm con nhaân. 3. Chöùng minh raèng Z, ≤ laø moät vaønh ñöôïc saép thöù töï Archimed. 4. Chöùng minh ñònh lyù1.5 5. Xaùc ñònh thöông vaø phaàn dö trong pheùp chia cho 7 vaø cho −7 cuûa caùc soá: a) 9

b) 99

c) 999

d) 9999

e) 99999

6. Xaùc ñònh thöông vaø phaàn dö trong pheùp chia cho caùc soá: a) − 8

b) − 88

c) − 888

d) − 8888

17

vaø cho −17 cuûa

e) − 88888

7. Chöùng minh raèng neáu a, b, c, d laø caùc soá nguyeân vôùi a vaø c khaùc 0 sao cho a | b vaø c | d thì ac | bd. 8. Giaû söû a, b, c laø caùc soá nguyeân vaø c = 0. Chöùng minh raèng a | b khi vaø chæ khi ac | bc. 9. Chöùng minh raèng neáu a, b laø caùc soá nguyeân vaø a | b thì an | bn vôùi moïi soá soá töï nhieân n. 10. Haõy ñoåi caùc soá thaäp phaân 1955, −1973 sang heä sang heä thaäp luïc phaân, heä töù phaân, heä nhò phaân, heä baùt phaân. 11. Haõy ñoåi soá thaäp luïc phaân ABCDEF sang heää heä nhò phaân, heä töù phaân vaø heä baùt phaân. 12. Haõy phaùt bieåu vieäc chuyeån ñoåi soá töø heä ñeám cô soá r sang heä ñeám cô soá rn vaø ngöôïc laïi ? khi r, n > 1 laø caùc soá nguyeân döông. 13. Chöùng minh raèng neáu b < −1 laø moät soá nguyeân thì moïi soá nguyeân n = 0 ñeàu vieát ñöôïc moät caùch duy nhaát döôùi daïng n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0

trong ñoù k laø soá nguyeân khoâng aâm, caùc aj laø soá nguyeân vôùi 0 ≤ aj ≤ vaø heä soá ñaàu tieân ak = 0. Haõy bieåu dieãn caùc soá thaäp phaân −7, −17, 61 trong heä cô soá −2. |b| − 1

11

1.4. BIEÅU DIEÃN SOÁ NGUYEÂN

14. Chöùng minh raèng moïi soá nguyeân nhaát döôùi daïng

n = 0

ñeàu vieát ñöôïc moät caùch duy

n = ak 3k + ak−1 3k−1 + · · · + a1 3 + a0

trong ñoù k laø soá nguyeân khoâng aâm, caùc aj baèng −1, 0, hoaëc 1 vaø heä soá ak = 0.(Khai trieån thaêng baèng caùnh eùn) Haõy khai trieån thaêng baèng caùnh eùn caùc soá thaäp phaân: 13, 40, 121. 15. Chöùng minh raèng coù voâ soá soá nguyeân toá. 16. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ñeàu toàn taïi n soá töï nhieân lieân tieáp laø hôïp soá. 17. Chöùng minh raèng neáu a, n laø caùc soá nguyeân döông sao cho a n − 1 laø soá nguyeân toá thì a = 2 vaø n laø soá nguyeân toá. 18. Chöùn√g minh raèng neáu n laø hôïp soá thì noù coù öôùc nguyeân toá khoâng vöôït quaù n. 19. Chöùng minh√raèng neáu öôùc nguyeân toá nhoû nhaát p cuûa soá nguyeân döông n vöôït quaù n thì n/p laø soá nguyeân toá hoaëc baèng 1. 3

12

1. SOÁ NGUYEÂN

2 ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT. SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. 2.1 Öôùc chung lôùn nhaát Neáu a, b laø caùc soá nguyeân khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng, thì taäp caùc öôùc chung cuûa a vaø b laø höõu haïn vaø chöùa caùc soá +1 vaø −1. Chuùng ta seõ quan taâm ñeán soá nguyeân lôùn nhaát naèm trong caùc öôùc chung naøy. Öôùc chung lôùn nhaát cuûa hai soá nguyeân khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng a vaø b laø soá nguyeân lôùn nhaát chia heát ñoàng thôøi caû a vaø b. Öôùc chung lôùn nhaát cuûa hai soá nguyeân a vaø b ñöôïc kyù hieäu laø (a, b). Khaùi nieäm öôùc chung lôùn nhaát cuûa cuûa caùc soá nguyeân khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng a1 , a2 , · · · , an ñöôïc hieåu hoaøn toaøn töông töï nhö khaùi nieäm öôùc chung lôùn nhaát cuûa cuûa caùc soá nguyeân. Ñoù chính laø soá nguyeân lôùn nhaát chia heát ñoàng thôøi taát caû caùc aj , 1 ≤ j ≤ n. Öôùc chung lôùn nhaát cuûa cuûa caùc soá nguyeân a1 , a2 , · · · , an ñöôïc kyù hieäu laø (a1 , a2 , · · · , an ).

Ví duï 2.1.1. Öôùc chung cuûa 24 vaø 84 laø ±1,

ñoù (24, 84) = 12. Töông töï, ta coù 1, (17, −289) = 17, (−6, −15) = 3.

±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Do (100, 5) = 5, (0, 44) = 44, (−17, 25) =

(24, −84, 100) = 4, (15, 0, 20, −17) = 1, (10, 20, 30, 40, 55) = 5.

13

14 2. ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT.SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. 

Chuùng ta cuõng quan taâm ñeán caùc caëp soá nguyeân maø chuùng khoâng coù öôùc chung lôùn hôn 1. Caùc caëp soá nguyeân nhö vaäy ñöôïc goïi laø nguyeân toá cuøng nhau. Hieån nhieân laø (a, b) = (b, a) vaø (a, b) = (|a|, |b|).

Ñònh lyù 2.1. Neáu a, b, c laø caùc soá nguyeân vaø (a, b) = d thì: 1. (a/d, b/d) = 1

2. (a + cb, b) = (a, b) Chöùng minh. Giaû söû e laø caùc soá nguyeân döông sao cho e | (a/d) vaø e | (b/d).

Theá thì coù soá nguyeân k, l ñeå a/d = ke vaø b/d = le, cuõng vaäy a = dek, b = del. Vaäy de laø öôùc chung cuûa a vaø b; töø ñoù de ≤ d; suy ra e = 1. Neáu u laø moät öôùc chung cuûa a vaø b, thì do ñònh lyù 1.5 ta coù u | (a + cb); vaäy u laø öôùc chung cuûa a + cb vaø b. Ngöôïc laïi, neáu u laø moät öôùc chung cuûa a + cb vaø b, thì cuõng do ñònh lyù 1.5 ta coù u | (a + cb) − cb = a; vaäy u laø öôùc chung cuûa a vaø b.
Neáu a, b laø caùc soá nguyeân, ta noùi soá nguyeân daïng ma + nb laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a vaø b, trong ñoù m, n laø caùc soá nguyeân. Moät taäp M = ∅ caùc soá nguyeân ñöôïc goïi laø moät module neáuu noù coù tính chaát: neáu m, n ∈ M thì m − n ∈ M. Töø ñònh nghóa cuûa module suy ra raèng, neáu m, n ∈ M, thì 0 = m − m ∈ M, −n = 0 − n ∈ M, m + n = m − (−n) ∈ M.

Noùi moät caùch khaùc, neáu a, b ∈ M thì caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa a vaø b cuõng thuoäc M. Module M = {0} ñöôïc goïi laø module taàm thöôøng.

Ñònh lyù 2.2. Moãi module khoâng taàm thöôøng

M chính laø taäp taát caû caùc boäi cuûa moät soá nguyeân döông naøo ñoù. Chöùng minh. Vì M khoâng taàm thöôøng neân noù chöùa soá döông. Giaû söû d laø soá

döông nhoû nhaát cuûa M. Theá thì M chöùa taát caû caùc boäi cuûa d. Baây giôø giaû söû m ∈ M . Töø ñònh lyù 1.6, ta coù m = dk + c, 0 ≤ c < d. Do m, dk ∈ M neân c = m − dk ∈ M. Vì d laø soá döông nhoû nhaát cuûa M neân c = 0, hay m laø boäi cuûa d.


2.2. THUAÄT TOAÙN EUCLID

15

Ñònh lyù 2.3. Giaû söû a, b laø caùc soá nguyeân khoâng ñoàng thôøi baèng 0 vaø d = (a, b).

Khi ñoù module M = {ax + by : x, y ∈ Z } chính laø taäp taát caû caùc boäi cuûa d. Chöùng minh. Deã daøng thaáy raèng M laø moät module khoâng taàm thöôøng.

Töø ñònh lyù 2.2 ta coù M chính laø taäp taát caû caùc boäi cuûa moät soá nguyeân döông e naøo ñoù. Do e chia heát moïi phaàn töû cuûa M neân e | a vaø e | b. Suy ra e ≤ d. Maët khaùc, do d | (ax + by) vôùi moïi x, y ∈ Z neân d chia heát moïi phaàn töû cuûa M, ñaëc bieät, d | e. Vaäy d ≤ e.


Heä quaû 2.3.1. Giaû söû d = (a, b) laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa hai soá nguyeân a

vaø b. Khi ñoù:

1. d laø soá nguyeân döông nhoû nhaát laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a vaø b. 2. Moãi öôùc chung cuûa a vaø b ñeàu laø öôùc cuûa d. Chöùng minh.

1. Heä quaû tröïc tieáp töø ñònh lyù treân.

2. Theo 1, coù x0 , y0 ∈ Z ñeå ax0 + by0 = d. Giaû söû c laø öôùc cuûa a vaø cuûa b, hieån nhieân: c | ax0 + by0 = d.


Ñònh lyù 2.4. Neáùu a1 , a2 , · · · , an , an+1 laø caùc soá nguyeân khaùc khoâng, n ≥ 2, thì (a1 , a2 · · · , an , an+1 ) = (a1 , a2 , · · · , an−1 , (an , an+1 )). Chöùng minh. Moãi öôùc chung c cuûa caùc soá a1 , a2 , · · · , an , an+1 hieån nhieân

laø öôùc chung cuûa an vaø an+1 , do ñoù c laø öôùc cuûa (an , an+1 ). Vaäy c laø öôùc chung cuûa caùc soá a1 , a2 , · · · , an−1 , (an , an+1 ). Ngöôïc laïi, hieån nhieân moãi öôùc chung c cuûa a1 , a2 , · · · , an−1 , (an , an+1 ) ñeàu laø öôùc cuûa caùc soá a1 , a2 , · · · , an−1 , an , an+1 .


2.2 Thuaät toaùn Euclid Ñònh lyù 2.5. Giaû söû r0 = a vaø r1 = b laø caùc soá nguyeân vôùi a ≥ b > 0. Neáu

thuaät toaùn chia ñöôïc thöïc hieän lieân tieáp rj = rj+1 qj+1 + rj+2, 0 < rj+2 < rj+1 vôùi j = 0, 1, 2, ..., n − 2 vaø rn+1 = 0, thì (a, b) = rn , laø soá dö khaùc 0 cuoái cuøng.

16 2. ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT.SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. Chöùng minh. Töø ñònh lyù 2.1 ta coù nhaän xeùt laø: neáu c = dq + r thì (c, d) = (c − qd, d) = (r, d) = (d, r).

Theo thuaät toaùn Euclid: r0 r1

= =

.. .

r1 q 1 + r2 r2 q 2 + r3

0 < r2 < r1 0 < r3 < r2

rj−2 = rj−1 qj−1 + rj

0 < rj < rj−1

rn−2 = rn−1 qn−1 + rn rn−1 = rn qn + 0

0 < rn < rn−1 .

.. .

Töø nhaän xeùt treân, ta coù:

(a, b) = (r0 , r1 ) = (r1 , r2 ) = · · · = (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 , rn ) = (rn , rn+1 ) = (rn , 0) = rn .


Ví duï 2.2.1. Duøng thuaät toaùn Euclid ñeå tìm (610, −1955). Vì (610, −1955) = (610, 1955) neân ta tìm (610, 1955). Ta coù: 1955 = 610 · 3 + 125 610 = 125 · 4 + 110 125 = 110 · 1 + 15 110 = 15 · 7 + 5 15 = 5 · 3 + 0.

Vaäy (610, 1955) = 5, suy ra (610, −1955) = 5.

Ví duï 2.2.2. Duøng thuaät toaùn Euclid ñeå tìm (1955, 2003). Ta coù:



2003 = 1955 · 1 + 48 1955 = 48 · 40 + 35 48 = 35 · 1 + 13 35 = 13 · 2 + 9 13 = 9 · 1 + 4 9=4·2+1 4 = 1 · 4 + 0.

Vaäy (1955, 2003) = 1, hay 1955 vaø 2003 laø caùc soá nguyeân toá cuøng nhau. 

2.3.

17

ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN CUÛA SOÁ HOÏC

2.3 Ñònh lyù cô baûn cuûa soá hoïc Ñònh lyù 2.6. Ñònh lyù cô baûn cuûa soá hoïc. Moïi soá nguyeân lôùn hôn 1 ñeàu vieát

ñöôïc moät caùch duy nhaát thaønh tích cuûa caùc thöøa soá nguyeân toá theo thöù töï khoâng giaûm.

Tröôùc khi chöùng minh ñònh lyù cô baûn, chuùng ta chöâng minh hai boå ñeà sau ñaây.

Boå ñeàù 2.6.1. Neáu a, b, c laø caùc soá nguyeân döông sao cho (a, b) = 1 vaø a | bc thì a | c.

Chöùng minh. Vì (a, b) = 1 neân theo ñònh lyù 2.3, coù caùc soá nguyeân x, y sao

cho ax + by = 1. Nhaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy vôùi c ta ñöôïc acx + bcy = c. Theo giaû thieát a | bc ta suy ra a | acx + bcy = c.


Boå ñeàù 2.6.2. Neáu p laø öôùc nguyeân toá cuûa tích a1 a2 · · · ak , ôû ñaây a1 , a2 , · · · , ak

laø caùc soá nguyeân, thì coù i, 1 ≤ i ≤ k ñeå p | ai .

Chöùng minh. Chuùng ta chöùng minh baèng qui naïp theo k. Tröôøng hôïp k = 1

laø taàm thöôøng. Giaû söû p laø öôùc nguyeân toá cuûa tích a1 a2 · · · ak ak+1 . Neáu p
ak+1 ta suy ra (p, ak+1 ) = 1; vaäy theo boå ñeà 2.6.1 ta coù p | a1 a2 · · · ak .
Chöùng minh. Tröôùc heát ta chöùng minh baèng qui naïp theo n raèng moïi soá nguyeân lôùn hôn 1 ñeàu vieát ñöôïc thaønh tích cuûa caùc thöøa soá nguyeân toá. Tröôøng hôïp n = 2 laø taàm thöôøng. Soá nguyeân n+1 > 2 neáu laø soá nguyeân toá thì khoâng coù gì phaûi chöùng minh. Ngöôïc laïi, ta coù n + 1 = ab, vôùi 1 < a, b < n + 1; theo giaû thieát qui naïp thì a, b ñeàu laø tích cuûa caùc soá nguyeân toá. Baây giôø ta chöùng minh tính duy nhaát cuûa bieåu dieãn. Giaû söû laø n = p1 p2 · · · pr = q 1 q 2 · · · q s

vôùi p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr , q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qs laø caùc soá nguyeân toá. Töø boå ñeà 2.6.2 ta deã daøng suy ra raèng r = s vaø p 1 = q1 , · · · , pr = qs.

Chuù yù: 1. Moïi soá nguyeân n > 1 ñeàu coù bieåu dieãn duy nhaát n = pα1 1 ... pαk k ,

vôùi 1 ≤ k,

0 < α1 , · · · , αk .




18 2. ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT.SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. 2. Neáu daõy taát caû soá nguyeân toá ñöôïc saép theo thöù töï taêng daàn: p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < p4 = 7 < p5 = 11 < · · ·

thì moïi soá nguyeân döông ñeàu vieát ñöôïc moät caùch duy nhaát duôùi daïng n=

+∞ 

pαk k ,

k=0

trong ñoù αk ≥ 0 vaø baèng 0 vôùi haàu heát, tröø moät soá höõu haïn caùc giaù trò cuûa k. Boäi chung nhoû nhaát cuûa hai soá nguyeân a = 0 vaø b = 0, kyù hieäu laø [a, b], ñöôïc hieåu laø soá nguyeân döông nhoû nhaát chia heát cho caû a vaø b. Deã daøng thaáy raèng [a, b] = [b, a] vaø [a, b] = [|a|, |b|]. Boäi chung nhoû nhaát cuûa caùc soá nguyeân khaùc khoâng a1 , a2 , ..., ak , kyù hieäu [a1 , a2 , ..., ak ], laø soá nguyeân döông nhoû nhaát chia heát cho taát caû caùc soá aj , 1 ≤ j ≤ k.

Ñònh lyù 2.7. Neáu caùc soá nguyeân döông a, b coù söï phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá

a=

+∞ 

pαk k

vaø b =

k=0

+∞ 

pβkk

k=0

thì (a, b) =

+∞ 

min{αk ,βk } pk

, [a, b] =

k=0

+∞ 

max{αk ,βk }

pk

vaø (a, b) · [a, b] = ab.

k=0

Chöùng minh. Deã daøng thaáy raèng c=

+∞ 

pγkk

laø öôùc cuûa

k=0

d=

+∞ 

pθkk

khi vaø chæ khi vôùi moïi k :

k=0

Töø ñaây deã daøng suy ra (a, b) =

+∞  k=0

min{αk ,βk } pk

, [a, b] =

+∞  k=0

max{αk ,βk }

pk

.

γk ≤ θk .

19

2.4. PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS TUYEÁN TÍNH

Ta coù (a, b) · [a, b] =

+∞ 

min{αk ,βk }+max{αk ,βk } pk

k=0

=

+∞ 

pαk k +βk = ab.

k=0




Ví duï 2.3.1. Öôùc chung lôùn nhaát cuûa 2100 = 22 · 3 · 52 · 7,

22 · 5 = 20.

Boäi chung nhoû nhaát cuûa 2100 vaø 40 baèng

40 = 23 · 5 baèng 23 · 3 · 52 · 7 = 4200. 

2.4 Phöông trình Diophantus tuyeán tính Caùc phöông trình maø chuùng ta chæ xeùt chuùng trong taäp soá nguyeân thöôøng ñöôïc goïi laø phöông trình Diophantus. Phöông trình Diophantus tuyeán tính laø phöông trình coù daïng a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = c

trong ñoù a1 , a2 ,

· · · , an = c

laø caùc soá nguyeân.

Ñònh lyù 2.8. Giaû söû a, b laø caùc soá nguyeân khaùc khoâng vaø d = (a, b). Khi ñoù: 1. Neáu d
c thì phöông trình ax + by = c khoâng coù nghieäm nguyeân. 2. neáu d | c thì phöông trình ax + by = c coù nghieäm nguyeân. Hôn theá nöõa, phöông trình coù caùc nghieäm nguyeân laø x = x0 + (b/d)m, y = y0 − (a/d)m , m ∈ Z

vôùi x = x0 , y = y0 laø moät nghieäm rieâng.

1. Giaû söû x, y laø caùc soá nguyeân sao cho ax + by d | a vaø d | b neân d | ax + by = c, voâ lyù vôùi giaû thieát d
c.

Chöùng minh.

2. Theo heä quaû 2.3.1 thì coù caùc soá nguyeân s, t ñeå as + bt = d.

= c.

Do

20 2. ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT.SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. Vì d | c neân coù soá nguyeân e sao cho c = de. Suy ra c = de = (as + bt)e = a(se) + b(te).

Vaäy phöông trình ax + by = c coù nghieäm. Deã daøng thaáy raèng x = x0 + (b/d)m, y = y0 − (a/d)m , m ∈ Z

thoaû phöông trình ax + by = c. Giaû söû ax + by = c vaø ax0 + by0 = c. Khi ñoù ta coù a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0,

suy ra

a(x − x0 ) = b(y0 − y),

hay

(a/d)(x − x0 ) = (b/d)(y0 − y).

Theo ñònh lyù 2.1 thì (a/d, b/d) = 1. Söû duïng boå ñeà 2.6.1 ta suy ra (a/d) | (y0 − y).Vaäy coù soá nguyeân m ñeå y0 − y = (a/d)m, hay y = y0 − (a/d)m. Thay vaøo heä thöùc a(x − x0 ) = b(y0 − y), ta ñöôïc x = x0 + (b/d)m.


Ví duï 2.4.1. Phöông trình

(15, −6) = 3
20.

15x − 6y = 20

khoâng coù nghieäm nguyeân vì

Phöông trình 15x − 6y = −9 coù nghieäm nguyeân vì (15, −6) = 3
−9; hôn nöõa, vì x0 = −1, y0 = −1 laø moät nghieäm rieâng neân phöông trình 15x − 6y = −9 coù nghieäm laø x = −1 − 2m, y = −1 − 5m, m ∈ Z. 

Ñònh lyù 2.9. Giaû söû a1 ,

d = (a1 , a2 , · · · , an ).

a2 , · · · , an

Khi ñoù:

laø caùc soá nguyeân khaùc khoâng, n ≥ 2 vaø

1. Neáu d
c thì phöông trình a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = c khoâng coù nghieäm nguyeân.

21

2.4. PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS TUYEÁN TÍNH

2. neáu d | c thì phöông trình a1 x1 +a2 x2 +· · ·+an xn = c coù nghieäm nguyeân; hôn theá nöõa, phöông trình coù voâ soá nghieäm nguyeân phaân bieät. Chöùng minh.

1. Giaû söû coù caùc soá nguyeân x1 , x2 , · · · , xn sao cho a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = c.

Do d | aj vôùi moïi j, 1 ≤ j ≤ n, ta suy ra d | a1 x1 +a2 x2 +· · ·+an xn = c; ñieàu naøy voâ lyù vôiù giaû thieát d
c 2. Ta seõ chöùng minh baèng qui naïp. Vôùi n = 2 thì ñaây chính laø ñònh lyù 2.8. Xeùt phöông trình a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + an+1 xn+1 = c.

Theo ñònh lyù 2.4, ta coù d = (a1 , a2 , · · · , an−1 , an , an+1 ) = (a1 , a2 , · · · , an−1 , (an , an+1 )).

Do

d|c

neân theo giaû thieát qui naïp: phöông trình a1 x1 + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + (an , an+1 )y = c

coù nghieäm. Maët khaùc, töø ñònh lyù 2.8 ta thaáy: vôùi moãi soá nguyeân an xn + an+1 xn+1 = (an , an+1 )y ñeàu coù voâ soá nghieäm.

y,

phöông trình


BAØI TAÄP CHÖÔNG II 1. Giaû söû a laø soá nguyeân döông. Haõy tìm (a, a + 1),

(a, a + 2), (a, a + 3).

22 2. ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT.SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ. 2. Chöùng toû raèng neáu (a, b) = 1 thì (a + b, a − b) baèng 1 hoaëc 2. 3. Chöùng toû raèng caùc soá 6k − 1, 6k + 1, 6k + 2, nguyeân toá cuøng nhau, vôùi moïi soá nguyeân k.

6k + 3, 6k + 5 laø

ñoâi moät

4. Chöùng toû raèng neáu (a, b) = 1 vaø c | a + b thì (c, a) = (c, b) = 1. 5. Chöùng toû raèng neáu (a, b) = (a, c) = 1 thì (a, bc) = 1. Toång quaùt hôn, neáu (a1 , b) = (a2 , b) = · · · = (an , b) = 1 thì (a1 a2 · · · an , b) = 1. 6. Chöùng toû raèng neáu a1 , a2 , ..., an laø caùc soá nguyeân khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng vaø c laø soá nguyeân khaùc khoâng, thì (ca1 , ca2 , · · · , can ) = |c| · (a1 , a2 , · · · , an ).

7. Chöùng minh raèng neáu a, b, c, d laø caùc soá nguyeân b > 0, d > 0, (a, b) = (c, d) = 1 vaø a/b + c/d laø soá nguyeân thì b = d. 8. Giaû söû a, b laø caùc soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng  a neáu a = b    2(a/2, b/2) neáu a, b cuøng chaün (a, b) = (a/2, b) neáu a chaün vaø b leû    (a − b, b) neáu a, b cuøng leû vaø a > b. AÙp duïng ñeå tìm (2106, 8318). 9. Giaû söû

a, m, n laø caùc soá nguyeân (a − 1, an − 1) = a(m,n) − 1. m

döông vaø

a > 1.

Chöùng minh raèng

10. Chöùng toû raèng neáu m, n laø caùc soá nguyeân döông thì (fm , fn ) = f(m,n) , trong ñoù fk laø soá Fibonacci thöù k. 11. Phaân tích caùc soá 111111,

4849845

ra thöøa soá nguyeân toá.

Giaû söû p laø soá nguyeân toá vaø n laø soá nguyeân döông. Neáu pα | n, nhöng pα+1
n, ta noùi pα chia heát ñuùng n, kyù hieäu pα  n. 12. Chöùng minh raèng neáu pa  m vaø pb  n thì pa+b  mn. 13. Chöùng minh raèng neáu pa  m vaø pb  n, vôùi a = b thì pmin{a,b}  m + n. 14. Giaû söû a, b, c laø caùc soá nguyeân. Chöùng toû raèng [a, b] | c khi vaø chæ khi a | c vaø b | c.

23

2.4. PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS TUYEÁN TÍNH

15. Chöùng minh raèng neáu p laø soá nguyeân toá, a, n laø soá nguyeân vaø p | an , n > 0, thì p | a. 16. a) Chöùng minh raèng neáu a, b laø caùc soá nguyeân döông vôùi (a, b) = 1 thì (an , bn ) = 1 vôùi moïi soá töï nhieân n. b) Chöùng minh raèng neáu an | bn vôùi soá nguyeân döông n thì a | b. 17. a) Giaû söû a | c, b | c. Chöùng minh raèng [a, b] | c. b) Giaû söû aj | c, 1 ≤ j ≤ k. Chöùng minh raèng [a1 , a2 , ..., ak ] | c. 18. Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø caùc soá nguyeân döông thì [a, b, a] = [a, [b, c]], ([a, b], c) = [(a, c), (b, c)], [(a, b), c] = ([a, c], [b, c]).

19. Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø caùc soá nguyeân döông thì [a, b, c] =

abc(a, b, c) . (a, b)(a, c)(b, c)

20. Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø caùc soá nguyeân döông thì (a, b, c)[ab, ac, bc] = abc, [a, b, c](ab, ac, bc) = abc.

21. Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø caùc soá nguyeân döông thì ([a, b], [a, c], [b, c]) = [(a, b), (a, c), (b, c)].

22. Chöùng minh raèng coù voâ soá soá nguyeân toá daïng 4k − 1, 23. Giaûi phöông trình Diophantus: a) 12x + 15y = 50 c) 30x + 47y = −11

k ∈ Z.

b) 3x + 4y = 7 d) 102x + 1001y = 1

24. Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: a) 2x + 3y + 4z = 5; b) 7x + 21y + 35z = 8; c) 101x + 102y + 103z = 1 25. Giaûi heä phöông trình Diophantus: a)


x + y + z = 100 x + 8y + 50z = 156

b)


x + y + z = 100 x + 6y + 21z = 121

26. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình Diophantus

1 1 1 + = . x y 14

24 2. ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT.SÖÏ PHAÂN TÍCH RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ.

3 ÑOÀNG DÖ 3.1 Khaùi nieäm ñoàng dö Giaû söû m laø soá nguyeân döông vaø a, b laø caùc soá nguyeân. Chuùng ta seõ noùi a ñoàng dö vôùi b modulo m neáuu m | (a − b). Neáu a ñoàng dö vôùi b modulo m, ta vieát a ≡ b (mod m). Ngöôïc laïi, ta noùi a khoâng ñoàng dö vôùi b modulo m, kyù hieäu a ≡ b (mod m).

Ví duï 3.1.1.

22 ≡ 4 (mod 9) vì 9 | (22 − 4) = 18; −24 ≡ 3 (mod 9) vì 9 | (−24 − 3) = −27; 13 ≡ 5 (mod 9) vì 9
(13 − 5) = 8; 24 ≡ −5 (mod 9) vì 9
24 − (−5) = 29. 

Deã daøng thaáy raèng,

cho a = b + km.

a ≡ b (mod m)

khi vaø chæ khi coù soá nguyeân

k

sao

Ñònh lyù 3.1. Ñoàng dö modulo m laø quan heä töông döông treân Z, töùc laø coù caùc

tính chaát:

1. Phaûn xaï: a ≡ a (mod m); 2. Ñoái xöùng: a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m); 3. Baéc caàu: a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m). Chöùng minh. Ñaây laø baøi taäp deã, daønh cho ñoïc giaû.

25




26

3. ÑOÀNG DÖ

Quan heä ñoàng dö modulo m chia Z thaønh caùc lôùp töông ñöông. Taäp caùc lôùp töông ñöông modulo m, thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø Z/mZ, goàm caùc lôùp töông ñöông ñoâi moät khoâng giao nhau. Hieån nhieân laø caùc soá nguyeân 0, 1, ..., m − 1 thuoäc veà caùc lôùp ñoàng dö khaùc nhau modulo m. Vì raèng moãi soá nguyeân n ñeàu vieát ñöôïc n = mq+r, 0 ≤ r ≤ m − 1, neân soá n naøy ñoàng dö vôùi moät trong caùc soá 0, 1, ..., m − 1. Vaäy coù ñuùng m lôùp töông ñöông modulo m.

Ví duï 3.1.2.

Z/4Z

goàm boán lôùp töông ñöông ñoâi moät khoâng giao nhau:

· · · ≡ −8 ≡ −4 ≡ 0 ≡ 4 ≡ 8 ≡ · · · (mod 4) · · · ≡ −7 ≡ −3 ≡ 1 ≡ 5 ≡ 9 ≡ · · · (mod 4) · · · ≡ −6 ≡ −2 ≡ 2 ≡ 6 ≡ 10 ≡ · · · (mod 4) · · · ≡ −5 ≡ −1 ≡ 3 ≡ 7 ≡ 11 ≡ · · · (mod 4). 

Ñònh lyù 3.2. Giaû söû a, b, c, m laø caùc soá nguyeân,

Khi ñoù: 1.

a + c ≡ b + c (mod m)

2.

a − c ≡ b − c (mod m)

3.

ac ≡ bc (mod m)

m>0

vaø a ≡ b (mod m).

Chöùng minh. Deã, ñoïc giaû töï chöùng minh, xem nhö baøi taäp.




Chuù yù laø: Töø heä thöùc ac ≡ bc (mod m), noùi chung khoâng theå suy ra a ≡ b (mod m); chaúng haïn 6·2 ≡ 1·2 (mod 10), nhöng 6 ≡ 1 (mod 10). Tuy nhieân ta cuõng coù ñònh lyù sau.

Ñònh lyù 3.3. Neáu ac ≡ bc

(mod m), d = (c, m) thì a ≡ b (mod m/d). Ñaëc bieät, neáu ac ≡ bc (mod m), (c, m) = 1 thì a ≡ b (mod m).

Chöùng minh. Töø ac ≡ bc (mod m), ta suy ra m | (ac − bc) = c(a − b). Vaäy

coù soá nguyeân

k ñeå c(a − b) = km. Suy ra (c/d)(a − b) = k(m/d), hay (m/d) | (c/d)(a − b). Vì (m/d, c/d) = 1 neân (m/d) | (a − b), hay a ≡ b (mod m/d).


27

3.1. KHAÙI NIEÄM ÑOÀNG DÖ

Ñònh lyù 3.4. Neáu a ≡ b

(mod m)

1.

a + c ≡ b + d (mod m)

2.

a − c ≡ b − d (mod m)

3.

ac ≡ bd (mod m)

vaø c ≡ d (mod m) thì:

Chöùng minh. Töø ñònh lyù 3.2 ta coù

1.

a + c ≡ b + c (mod m) ≡ b + d (mod m)

2.

a − c ≡ b − c (mod m) ≡ b − d (mod m)

3.

ac ≡ bc (mod m) ≡ bd (mod m)


Töø ñònh lyù treân, ta coù theå ñònh nghóa pheùp coäng vaø pheùp nhaân treân nhö sau.

Z/mZ

Giaû söû A vaø B laø caùc lôùp ñoàng dö modulo m, töông öùng chöùa caùc phaàn töû a vaø b. Khi ñoù A + B vaø A · B ñöôïc hieåu laø caùc lôùp ñoàng dö modulo m, töông öùng chöùa caùc phaàn töû a + b vaø ab. Deã daøng thaáy raèng (Z/mZ, +, ·) laø moät vaønh giao hoaùn. Phaàn töû 0 cuûa nhoùm naøy chính laø lôùp goàm caùc boäi cuûa m. Phaàn töû ñoái cuûa lôùp chöùa a chính laø lôùp chöùa −a.

Ñònh lyù 3.5. Neáu m1, m2 , ..., mk laø caùc soá nguyeân döông vaø a ≡ b a ≡ b (mod m2 ), ..., a ≡ b (mod mk )

(mod m1 ),

thì a ≡ b (mod [m1 , m2 , ..., mk ]).

Chöùng minh. Ta coù mj | (a − b), 1 ≤ j ≤ k. Töø baøi taäp 17, ta coù [m1 , m2 , ..., mk ] | (a − b),

hay a ≡ b

(mod [m1 , m2 , ..., mk ]).


28

3. ÑOÀNG DÖ

3.2 Caùc ñoàng dö tuyeán tính Trong muïc naøy chuùng ta chæ xeùt caùc ñoàng dö tuyeán tính moät bieán. Ñoù laø caùc ñoàng dö daïng ax ≡ b (mod m)

trong ñoù x ñöôïc hieåu laø soá nguyeân. Tröôùc heát ta coù nhaän xeùt raèng, neáu x = x0 laø nghieäm cuûa ñoàng dö ax ≡ b (mod m) vaø x1 ≡ x0 (mod m) thì ax1 ≡ ax0 ≡ b (mod m), hay x − 1 cuõng laø moät nghieäm. Nhö vaäy, neáu moät phaàn töû cuûa lôùp ñoàng dö modulo m laø nghieäm thì taát caû caùc phaàn töû cuûa lôùp naøy cuõng laø nghieäm. Töø ñaây, vaán ñeà ñöôïc ñaët ra laø: coù bao nhieâu lôùp ñoàng dö modulo m laø nghieäm.

Ñònh lyù 3.6. Giaû söû a, b, m laø caùc soá nguyeân, m > 0 vaø d = (a, m). Khi ñoù: 1. Neáu d
b thì ax ≡ b (mod m) khoâng coù nghieäm 2. Neáu d | b thì ax ≡ b (mod m) coù ñuùng d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo m. Ñaëc bieät, neáu (a, m) = 1 thì ax ≡ b (mod m) coù duy nhaát nghieäm modulo m. Chöùng minh. Ñoàng dö ax ≡ b (mod m) laø töông ñöông vôùi phöông trình

Diophantus tuyeán tính hai bieán ax − my = b. Soá nguyeân x laø nghieäm cuûa phöông trình ax ≡ b (mod m), khi vaø chæ khi, coù soá soá nguyeân y vôùi ax − my = b. Töø ñònh lyù 2.8 ta coù: 1. Neáu d
b thì ax ≡ b

(mod m)

khoâng coù nghieäm.

2. Neáu d | b thì ax − my = b coù caùc nghieäm laø x = x0 + (m/d)t, y = y0 + (a/d)t

trong ñoù x0,

y0

laø moät nghieäm rieâng.

Vaäy x = x0 +(m/d)t laø taát caû caùc nghieäm cuûa ñoàng dö ax ≡ b

(mod m).

Baây giôø chuùng ta xaùc ñònh soá caùc nghieäm x khoâng ñoàng dö nhau modulo Ta thaáy:

m.

x1 = x0 + (m/d)t1 ≡ x2 = x0 + (m/d)t2

(mod m)

29

3.2. CAÙC ÑOÀNG DÖ TUYEÁN TÍNH

khi vaø chæ khi

(m/d)t1 ≡ (m/d)t2

(mod m)

Vì (m/d, m) = m/d vaø dònh lyù 3.3 neân heä thöùc treân töông ñöông vôùi t1 ≡ t2

(mod d).

Do coù ñuùng d lôùp ñoàng dö modulo d neân ax ≡ b (mod m) coù ñuùng d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo m. Coù theå laáy d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo m laøx = x0 + (m/d)tj , 0 ≤ j ≤ d − 1.


Ta ñaõ bieát, ñoàng dö ax ≡ 1 (mod m) coù nghieäm khi vaø chæ khi (a, m) | 1. Trong tröôøng hôïp naøy nghieäm laø duy nhaát modulo m vaø noù ñöôïc goïi laø nghòch cuûa a modulo m.

Ví duï 3.2.1. Nghòch ñaûo cuûa 3 modulo 10 baèng 7, vaø ngöôïc laïi, nghòch ñaûo

cuûa 7 modulo 10 baèng 3, vì 3 · 7 = 7 · 3 ≡ 1 (mod 10). Nghòch ñaûo cuûa 1 vaø cuûa 9 modulo 10 baèng chính noù vì 1 · 1 ≡ 1 (mod 10) vaø 9 · 9 ≡ 1 (mod 10). Caùc soá 0, 2, 4, 5, 6, 8 khoâng coù nghòch ñaûo modulo 10. 

Giaû söû a laø nghòch ñaûo cuûa a modulo m. Khi ñoù deã daøng thaáy raèng ñoàng dö ax ≡ b (mod m) coù nghieäm duy nhaát modulo m, ñoù laø x ≡ ab (mod m).

Ví duï 3.2.2. Chuùng ta caàn xaùc ñònh taát caû caùc nghieäm cuûa ñoàng dö 7x ≡ 4 (mod 12). Vì (7, 12) = 1 neân phöông trình coù duy nhaát nghieäm modulo 12. Chuùng ta chæ caàn xaùc ñònh moät nghieäm cuûa phöông trình Diophantus 7x + 12y = 4. AÙp duïng thuaät toaùn Euclid, ta coù: 12 = 7 · 1 + 5, 7 = 5 · 1 + 2, 5 = 2 · 2 + 1, 2 = 1 · 1.

Suy ra 1=5−2·2

30

3. ÑOÀNG DÖ = 5 − (7 − 5 · 1) · 2 =5·3−2·7 = (12 − 7 · 1) · 3 − 2 · 7 = 12 · 3 − 5 · 7.

Hay:

1 = 12 · 3 − 7 · 5.

Suy ra nghòch ñaûo cuûa 7 modulo 12 baèng −5.

Vaäy

x ≡ −5 · 4 = −20 ≡ 4 (mod 12) (mod 12).

laø nghieäm duy nhaát cuûa

7x ≡ 4 

3.3 Ñònh lyù phaàn dö Trung hoa Ñònh lyù 3.7. Ñònh lyù phaàn dö Trung hoa. Giaû söû m1, m2 , ..., mk laø caùc soá

nguyeân döông ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau. Khi ñoù heä caùc ñoàng dö   x ≡ a1    x ≡ a2 ..  .    x≡a k

(mod m1 ) (mod m2 ) (mod mk )

coù duy nhaát nghieäm modulo M = m1 m2 ...mk . Chöùng minh. Ñaët Mj = M/mj , 1 ≤ j ≤ k. Khi ñoù, do (Mj , mj ) = 1 neân coù

soá nguyeân yj thoaû ñoàng dö Mj yj ≡ 1

(mod mj ).

Ñaët

x = a1 M1 y1 + a2 M2 y2 + · · · + ak Mk yk .

Do mj | Mi , vôùi moïi i = j, neân:

x ≡ aj Mj yj ≡ aj (mod mj ), 1 ≤ j ≤ k.

Baây giôø giaû söû x1 , x2 laø caùc nghieäm cuûa heä. Theá thì vôùi moïi j, 0 ≤ j ≤ k, ta ñeàu coù x1 ≡ x2 (mod mj ). Suy ra, vôùi moïi j, 0 ≤ j ≤ k, mj | (x1 −x2). Vì caùc soá m1 , m2 , ..., mk ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau neân M = m1 , m2 , ..., mk | (x1 − x2 ); hay x1 ≡ x2 (mod M ).


31

3.4. HEÄ CAÙC ÑOÀNG DÖ TUYEÁN TÍNH

Ví duï 3.3.1. Giaûi heä

  x≡1 x≡2  x≡3

(mod 3) (mod 5) (mod 7)

Do caùc soá 3, 5, 7 laø ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau, neân ta 35, M2 = 3 · 7 = 21, M3 = 3 · 5 = 15. Giaûi caùc ñoàng dö 35y1 ≡ 1 21y2 ≡ 1 15y3 ≡ 1

ñaët M1 = 5 · 7 =

(mod 3) (mod 5) (mod 7)

y1 = 2, y2 = 1, y3 = 1. Vaäy heä ban ñaàu coù coù duy nhaát x = 1 · 35 · 2 + 2 · 21 · 1 + 3 · 15 · 1 ≡ 52 (mod M = 3 · 5 · 7 = 105).

ta ñöôïc

nghieäm 

3.4 Heä caùc ñoàng dö tuyeán tính Trong muïc naøy chuùng ta chæ xeùt heä caùc ñoàng dö tuyeán tính daïng   a11 x1 + a12 x2 + · · ·    a21 x1 + a22 x2 + · · · ..  .    a x + a x + ··· n1 1 n2 2

+ a1n xn ≡ b1 + a2n xn ≡ b2

(mod m) (mod m)

+ ann xn ≡ bn

(mod m)

Heä treân coù theå vieát moät caùch ngaén goïn laø AX ≡ B hieäu ma traän: 

a11 a12 · · ·  a21 a22 · · ·  A= ..  . an1 an2 · · ·

(mod m),

neáu duøng kyù

     a1n x1 b1  x2   b2  a2n        , X =  ..  , B =  ..  .   .   .  xn bn ann

Tröôùc heát, chuùng ta ñöa ra quan heä ñoàng dö modulo m treân caùc ma traän soá nguyeân. Ma traän A = (aij )n×n ñöôïc goïi laø ñoàng dö vôùi ma traän B = (bij )n×n modulo m, kyù hieäu A ≡ B (mod m), neáuu vôùi moïi i, j : 1 ≤ i, j ≤ n, ta ñeàu coù aij ≡ bij (mod m). Ñoïc giaû töï chöùng minh raèng ñaây laø quan heä töông ñöông.

32

3. ÑOÀNG DÖ

Ñònh lyù 3.8. Giaû söû A = (aij ),

traän nguyeân, caáp

B = (bij ), C = (cij ), D = (dij ) laø caùc n × n, A ≡ B (mod m) vaø C ≡ D (mod m). Khi ñoù:

1.

A + C ≡ B + D (mod m)

2.

A − C ≡ B − D (mod m)

3.

AC ≡ BD (mod m)

ma

Chöùng minh. Töông töï nhö trong chöùng minh ñònh lyù 3.4, ta chæ caàn chöùng

minh A + C ≡ B + C

(mod m)

vaø AC ≡ BC

1. Töø ñònh lyù 3.2, ta coù aij + cij ≡ bij + cij

(mod m).

(mod m).

Vaäy

A + C ≡ B + C (mod m).

2. Theo ñònh lyù 3.2 thì aik ckj coù n

≡ bik ckj (mod m).

aik ckj ≡

k=1

suy ra AC ≡ BC

n

bik ckj

AÙp duïng ñònh lyù 3.4, ta

(mod m);

k=1

(mod m).


Giaû söû ma traän A laø ma traän nguyeân caáp n × n. Ma traän nguyeân B ñöôïc goïi laø nghòch ñaûo cuûa A modulo m, kyù hieäu A, neáuu AB ≡ BA ≡ I = (δij )n×n (mod m). Ñoïc giaû coù theå töï chöùng minh raèng: neáu B ≡ A (mod m) thì B laø nghòch ñaûo cuûa A; ngöôïc laïi, neáu B1 , B2 ñeàu laø caùc nghòch ñaûo cuûa A thì B1 ≡ B2 (mod m). Ñoái vôùi ma traän A caáp n×n, chuùng ta kyù hieäu adjA laø ma traän caáp n×n, vôùi phaàn töû cij laø tích cuûa (−1)i+j vôùi ñònh thöùc cuûa ma traän nhaän ñöôïc töø A baèng caùch boû ñi phaàn töû doøng j coät i.

Ñònh lyù 3.9. Giaû söû A laø ma traän nguyeân caáp n × n,

nghòch ñaûo modulo m cuûa ∆ = det A. Theá thì cuûa A modulo m.

(det A, m) = 1, vaø ∆ laø A = ∆(adjA), laø nghòch ñaûo

Chöùng minh. Ta coù A · adjA = adjA · A = (det A)I = ∆I.

33

3.4. HEÄ CAÙC ÑOÀNG DÖ TUYEÁN TÍNH

Suy ra

AA = AA = ∆(adjA)A = ∆∆I ≡ I

Ví duï 3.4.1. Giaû söû coù ma traän: 7 = det A

 A =

modulo 13, neân ta coù 

A=2

5 −2

−4 3





=

10 −4

−8 6

3 4 2 5



 ≡

(mod m).


 .

Vì

10 5 9 6

2

laø nghòch ñaûo cuûa

 (mod 13). 

Ñònh lyù 3.10. Giaû söû A laø ma traän nguyeân caáp n × n,

ñoù heä phöông trình ñoàng dö

(det A, m) = 1. Khi AX ≡ B (mod m) coù duy nhaát nghieäm X ≡ AB

(mod m).

Chöùng minh. X ≡ AB (mod m) (AA)B ≡ B (mod m).

laø nghieäm cuûa heä vì

AX ≡ A(AB) =

Ngöôïc laïi, neáu X laø moät nghieäm cuûa heä AX ≡ B (mod m) thì baèng caùch nhaân traùi caùc veá vôùi A, ta ñöôïc A(AX) ≡ AB (mod m); vaäy X ≡ (AA)X = A(AX) ≡ AB (mod m).


Ví duï 3.4.2. Xeùt heä ba ñoàng dö

  2x1 + 5x2 + 6x3 ≡ 3 2x1 + x3 ≡ 4  x1 + 2x2 + 3x3 ≡ 1

(mod 7) (mod 7) (mod 7)

Ta coù det A = −5,

Nghòch ñaûo cuûa det A modulo 7 baèng 4.

Nghòch ñaûo

−2  laø A = 4 −5 4

(det A, 7) = 1.   2 5 6 cuûa A =  2 0 1  1 2 3

Vaäy heä coù nghieäm laø   −2 x1  x2  ≡ 4  −5 x3 4 

−3 0 1



−3 0 1

 5 10  −10

       5 3 −52 4 10  ·  4  =  −20  ≡  1  −10 1 24 3

(mod 7).

(mod 7). 

34

3. ÑOÀNG DÖ

3.5 Ñònh lyù Wilson vaø ñònh lyù Euler Ñònh lyù 3.11. Ñònh lyù Wilson. Neáu

p

laø soá nguyeân toá thì (p − 1)! ≡ −1

(mod p).

Chöùng minh. Ñònh lyù laø ñuùng trong tröôøng hôïp p = 2, 3. Ta xeùt tröôøng hôïp p > 3.

Ñoái vôùi moãi soá nguyeân a, 2 ≤ a ≤ p − 2, do (a, p) = 1 neân töø ñònh lyù 3.6 suy ra a coù nghòch ñaûo duy nhaát a modulo m : 1 ≤ a ≤ p − 1. Maët khaùc, a = a; vì neáu khoâng thì a2 ≡ 1 (mod p), suy ra (a − 1)(a + 1) | p, vaø ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra vôùi 2 ≤ a ≤ p − 2. Vaäy thì, baèng caùch nhoùm töøng caëp a vaøa ta döôïc 2 · 3 · (p − 3)(p − 2) ≡ 1 (mod p).

Nhaân caùc veá vôùi (p − 1) ta coù (p − 1)! ≡ 1 · (p − 1) ≡ −1

(mod p).


Ñònh lyù Wilson neâu leân ñaëc tröng cuûa soá nguyeân toá vì ñaûo laïi cuûa noù vaãn ñuùng.

Ñònh lyù 3.12. Neáu soá nguyeân n > 1 maø (n − 1)! ≡ −1

nguyeân toá.

(mod n)

thì n laø soá

Chöùng minh. Giaû söû n laø hôïp soá; ta coù n = ab vôùi 1 < a, b < n. Ta coù

a | (n − 1)! vì 1 < a < n. Maët khaùc, vì a | n vaø n | (n − 1)! + 1, ta suy ra a | (n − 1)! + 1 − (n − 1)! = 1, vaø ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra vôùi a > 1.


Giaû söû m laø soá nguyeân döông vaø a = bm + r, 0 ≤ r ≤ m − 1, ta seõ noùi raèng r laø thaëng dö khoâng aâm nhoû nhaát cuûa a modulo m, kyù hieäu: a mod m = r. Ví duï, 17 mod 5 = 2; −8 mod 7 = 6. Taäp caùc soá nguyeân ñöôïc goïi laø heä thaëng dö ñaày ñuû modulo m neáuu moïi soá nguyeân ñeàu ñoàng dö modulo m vôùi ñuùng moät soá nguyeân cuûa heä. Deã daøng thaáy raèng: moät heä caùc soá nguyeân laø thaëng dö ñaày ñuû modulo m khi vaø chæ khi heä naøy coù ñuùng m soá ñoâi moät khoâng ñoàng dö vôùi nhau modulo m.

35

3.5. ÑÒNH LYÙ WILSON VAØ ÑÒNH LYÙ EULER

Ví duï 3.5.1. Neáu m laø soá nguyeân döông thì: 1. Heä 0, 1, ..., m − 1 laø moät heä thaëng dö ñaày ñuû modulo m; chuùng ta seõ goïi heä naøy laø heä thaëng dö khoâng aâm nhoû nhaát modulo m. 2. Neáu m laø soá leû thì heä −

m−1 m−3 m−1 , − , ..., −1, 0, 1, ..., 2 2 2

cuõng laø heä thaëng dö ñaày ñuû modulo dö tuyeät ñoái nhoû nhaát modulo m.

heä naøy ñöôïc goïi laø heä thaëng

m;



Ñònh lyù 3.13. Neáu caùc soá r1 , r2 , ..., rm laø moät heä thaëng dö ñaày ñuû modulo m vaø a nguyeân toá cuøng nhau vôùi m thì heä

ar1 + b, ar2 + b, · · · , arm + b

cuõng laø moät heä thaëng dö ñaày ñuû modulo m. Chöùng minh. Chuùng ta chæ caân chöùng minh raèng, neáu 1 ≤ i < j ≤ m thì

ari ≡ arj (mod m).

Do

Thaät vaäy, neáu ari ≡ arj (mod m) thì arj − ari | m, hay a(rj − ri ) | m. (a, m) = 1 ta suy ra (rj − ri ) | m vaø ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra vì

0 < rj − ri < m.




Ñònh lyù 3.14. Ñònh lyù nhoû Fermat. Neáu p−1

a

≡ 1 (mod p).

p

laø soá nguyeân toá vaø p
a thì

Chöùng minh. Khoâng coù soá naøo trong caùc soá a, 2a, · · · , (p − 1)a laø chia heát

cho p; vì neáu p | ja thì do (a, p) = 1 neân p | j voâ lyù vôùi 1 ≤ j ≤ p − 1. Maët khaùc, deã daøng thaáy raèng (p − 1) soá a, 2a, · · · , (p − 1)a laø ñoâi moät khoâng ñoàng dö vôùi nhau modulo p; do ñoù chuùng ñoàng dö modulo p vôùi heä 1, 2, · · · , p − 1.

Vaäy: Suy ra:

a · 2a · · · (p − 1)a ≡ 1 · 2 · · · (p − 1) (mod p). ap−1 (p − 1)! ≡ (p − 1)! (mod p).

Vì ((p − 1)!, p) = 1, neân theo ñònh lyù 3.3 ta coù:

ap−1 ≡ 1 (mod p).




36

3. ÑOÀNG DÖ

Nhaän xeùt: 1. Ñònh lyù nhoû Fermat noùi raèng neáu n laø soá nguyeân toá vaø b laø soá nguyeân baát kyø thì bn ≡ b (mod n). Ñieàu naøy cuõng coù nghóa laø neáu coù soá nguyeân b ñeå bn ≡ b (mod n) thì n laø hôïp soá hoaëc n = 1. 2. Neáu b laø moät soá nguyeân döông, n laø hôïp soá vaø b n ≡ b noùi n laø soá giaû nguyeân toá cô sôû b.

(mod n)

thì ta

3. Hôïp soá n ñöôïc goïi laø soá Carmichael neáu bn ≡ b (mod n) vôùi moïi soá nguyeân döông b maø (b, n) = 1. Ñoái vôùi moãi soá nguyeân döông n, chuùng ta kyù hieäu ϕ(n) laø soá caùc soá nguyeân döông khoâng vöôït quaù n vaø nguyeân toá cuøng nhau vôùi n. Haøm soá ϕ(n) ñöôïc goïi laø phi-haøm Euler. Taäp goàm ϕ(m) caùc soá nguyeân ñöôïc goïi laø heä thaëng dö thu goïn modulo m neáu moïi soá nguyeân nguyeân toá cuøng nhau vôùi m ñeàu ñoàng dö vôùi ñuùng moät soá nguyeân cuûa heä. Deã daøng thaáy raèng: moät heä caùc soá nguyeân laø heä thaëng dö ûthu goïn modulo m khi vaø chæ khi heä naøy coù ñuùng ϕ(m) soá, nguyeân toá cuøng nhau vôùi m vaø ñoâi moät khoâng ñoàng dö vôùi nhau modulo m. Ví duï 3.5.2. Caùc soá 1, 3, 5, 7 laø heä thaëng dö ûthu goïn modulo 8. Caùc soá −3, −1, 1, 3 cuõng laø heä thaëng dö ûthu goïn modulo 8. Heä goàm (p − 1) : soá 1, 2, · · · , p − 1 laø heä thaëng dö thu goïn modulo nguyeân toá p. 

Ñònh lyù 3.15. Neáu caùc soá r1 , r2 , ..., rϕ(m) laø moät heä thaëng dö thu goïn modulo m

vaø a nguyeân toá cuøng nhau vôùi m thì heä

ar1 , ar2 , · · · , arϕ(m)

cuõng laø moät heä thaëng dö thu goïn modulo m. Chöùng minh. Heä ar1 , ar2 , · · · , arϕ(m) goàm ϕ(m) soá nguyeân.

Töø (a, m) = (rj , m) = 1 deã daøng suy ra (arj , m) = 1; vaäy moãi soá cuûa heä nguyeân toá cuøng nhau vôùi m.

37

3.5. ÑÒNH LYÙ WILSON VAØ ÑÒNH LYÙ EULER

Neáu coù 1 ≤ i < j ≤ ϕ(m) ñeå ari ≡ arj (mod m) thì m | a(ri − rj ). Do (m, a) = 1 ta suy ra m | (ri − rj ), hay ri ≡ rj (mod m), ñieàu naøy voâ lyù vôùi giaû thieát ri ≡ rj (mod m).
Ñònh lyù sau ñaây laø moät môû roäng cuûa ñònh lyù Fermat

Ñònh lyù 3.16. Ñònh lyù Euler. Neáu m laø soá nguyeân döông vaø (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Chöùng minh. Laáy heä thaëng dö thu goïn ar1 , ar2 , · · · , arϕ(m) . Do (a, m) = 1,

neân töø ñònh lyù treân ta coù ar1 , ar2 , · · · , arϕ(m) cuõng laø heä thaëng dö thu goïn. Vaäy caùc soá cuûa heä naøy ñoàng dö modulo m vôùi caùc soá cuûa heä kia. Vaäy ar1 ar2 · · · arϕ(m) ≡ r1 r2 · · · rϕ(m)

Hay

aϕ(m) r1 r2 · · · rϕ(m) ≡ r1 r2 · · · rϕ(m)

(mod m)

(mod m)

Vì (r1r2 · · · rϕ(m) , m) = 1 ta suy ra aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Ñònh lyù Euler coù raát nhieàu öùng duïng. Chaúng haïn, ta coù theå deã daøng xaùc ñònh nghòch ñaûo a cuûa soá nguyeân a modulo m. Ta ñaõ bieát raèng soá nguyeân a coù nghòch ñaûo modulo m khi vaø chæ khi (a, m) = 1. Do Ñònh lyù Euler: a · aϕ(m)−1 = aϕ(m) ≡ 1 (mod m), ta coù a = aϕ(m)−1 .

Ví duï 3.5.3. Tìm nghòch ñaûo modulo 10 cuûa 3. Giaûi phöông trình 3x ≡ 8 (mod 10).

Ta coù 3 = 3ϕ(10)−1 = 34−1 = 27 ≡ 7

(mod 10).

3x ≡ 8 (mod 10) ⇔ 3·3x ≡ 3·8 (mod 10) ⇔ x ≡ 7·8 (mod 10) ⇔ x ≡ 6 (mod 10) 

BAØI TAÄP CHÖÔNG III

38

3. ÑOÀNG DÖ

1. Giaû söû

a, b, c laø caùc soá nguyeân, c > 0. (mod c) thì (a, c) = (b, c).

2. Giaû söû a, b, k, m laø caùc soá nguyeân, minh raèng neáu ak ≡ bk (mod m) vaø

Chöùng minh raèng neáu

a ≡ b

k, m > 0, (a, m) = 1. Chöùng ak+1 ≡ bk+1 (mod m) thì a ≡ b

(mod m)

3. Chöùng minh raèng neáu p nguyeân toá vaø k nguyeân döông thì nghieäm duy nhaát cuûa ñoàng dö x2 ≡ x (mod pk ) laø x ≡ 0 hoaëc x ≡ 1 (mod pk ). 4. Giaû söû m1, m2 , ..., mk laø caùc soá nguyeân döông ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau, M = m1m2 · · · mk vaø Mj = M/mj . Chöùng minh raèng M1 a1 + M2 a2 + · · · + Mk ak

chaïy treân heä thaëng dö ñaày ñuû modulo M khi a1 , a2 , ..., ak töông öùng chaïy treân heä thaëng dö ñaày ñuû modulo m1, m2 , · · · , mk . 5. Chöùng minh raèng vôùi moãi soá nguyeân döông m ñeàu coù voâ soá soá Fibonacci fn laø boäi cuûa m. 6. Giaûi caùc ñoàng dö sau a) 19x ≡ 30 (mod 40) c) 980x ≡ 1500 (mod 1600) e) 6x ≡ 3 (mod 9) g) 15x ≡ 9 (mod 25)

b) 103x ≡ 444 (mod 999) d) 3x ≡ 2 (mod 7) f) 17x ≡ 14 (mod 21) h) 128x ≡ 833 (mod 1001)

7. Giaûi caùc ñoàng dö hai bieán sau a) 2x + 3y ≡ 1 c) 6x + 3y ≡ 0

(mod 7) (mod 9)

b) 2x + 4y ≡ 6 (mod 8) d) 10x + 5y ≡ 9 (mod 15)

8. Giaû söû p laø nguyeân toá leû vaø k nguyeân döông. Chöùng minh raèng ñoàng dö x2 ≡ 1 (mod pk ) coù ñuùng hai nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo pk , ñoù laø x ≡ ±1 (mod pk ). 9. Chöùng minh raèng ñoàng dö x 2 ≡ 1 (mod 2k ) coù ñuùng boán nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo 2k , ñoù laø x ≡ ±1 (mod pk ) hoaëc x ≡ ±(1 + 2k−1 (mod pk ) khi k > 2. Chöùng toû raèng khi k = 1 thì chæ coù moät nghieäm vaø khi k = 2 thì coù ñuùng hai nghieäm khoâng ñoàng dö nhau.

39

3.5. ÑÒNH LYÙ WILSON VAØ ÑÒNH LYÙ EULER

10. Giaû söû p laø nguyeân toá leû vaø a nguyeân döông khoâng chia heát cho p. Chöùng minh raèng ñoàng dö x2 ≡ a (mod p) khoâng coù nghieäm hoaëc coù ñuùng hai nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p. 11. Giaûi caùc heä ñoàng dö sau

a)



x ≡ 4 (mod 11) x ≡ 3 (mod 17)

b)

  x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 2 (mod 3)  x ≡ 3 (mod 5)

12. Chöùng minh raèng heä ñoàng dö 

x ≡ a1 x ≡ a2

(mod m1 ) (mod m2 )

coù nghieäm khi vaø chæ khi (m1, m2 ) | (a1 − a2 ); trong tröông hôïp coù nghieäm thì nghieäm laø duy nhaát modulo [m1 , m2 ]. Haõy phaùt trieån cho baøi toaùn toång quaùt   x ≡ a1    x ≡ a2     x≡a k

(mod m1 ) (mod m2 )

.. .

(mod mk )

13. Giaûi caùc heä ñoàng dö sau a) c)


x 3x
2x x

+ + + +

3y 4y 3y 5y

≡1 ≡2 ≡5 ≡6

(mod 5) (mod 5) (mod 7) (mod 7)

b) d)


4x 2x
4x x

+ y ≡2 + 3y ≡ 1 + y ≡5 + 2y ≡ 4

(mod (mod (mod (mod

5) 5) 7) 7)

40

3. ÑOÀNG DÖ

14. Giaûi caùc heä ñoàng dö sau a)

  2x + 3y + z ≡ 3 x + 2y + 3z ≡ 1  2x + z ≡ 1

(mod 5) (mod 5) (mod 5)

b)

  3x + y + 3z ≡ 1 x + 2y + 4z ≡ 2  4x + 3y + 2z ≡ 3

(mod 7) (mod 7) (mod 7)

c)

  2x + y + z ≡ 3 x + 2y + z ≡ 1  x + y + 2z ≡ 2

(mod 11) (mod 11) (mod 11)

15. Baèng caùch söû duïng ñònh lyù Wilson haõy chöùng toû raèng neáu p laø soá nguyeân toá vaø p ≡ 1 (mod 4) thì ñoàng dö x2 ≡ −1 (mod p) coù hai nghieäm khoâng ñoàng dö nhau laø x ≡ ±((p − 1)/2)! (mod p). 16. Chöùng minh raèng neáu (ap + (p − 1)! a).

p

laø soá nguyeân toá vaø

a

laø soá nguyeân thì

p |

17. Chöùng minh raèng neáu p nguyeân toá vaø 0 < k < p thì (p − k)!(k − 1)! ≡ (−1)k (mod p).

18. Haõy söû duïng ñònh lyù Fermat ñeå tìm thaëng dö döông nhoû nhaát cuûa 21000000 modulo 17. 19. Haõy söû duïng ñònh lyù Fermat ñeå tìm chöõ soá cuoái cuøng cuûa 3100 trong heä ñeám cô soá 7. 20. Haõy söû duïng ñònh lyù Fermat ñeå giaûi caùc phöông trình a) 7x ≡ 12

b) 4x ≡ 11

(mod 17) ,

21. Chöùng minh raèng neáu q p−1 ≡ 1 (mod pq).

p, q

(mod 19).

laø caùc soá nguyeân toá khaùc nhau thì

22. Chöùng minh raèng neáu p laø soá nguyeân toá, ap ≡ bp (mod p) thì ap ≡ bp (mod p2 ).

a, b

pq−1 +

laø caùc soá nguyeân vaø

41

3.5. ÑÒNH LYÙ WILSON VAØ ÑÒNH LYÙ EULER

23. Haõy söû duïng ñònh lyù Euler ñeå tìm chöõ soá cuoái cuøng cuûa: a) 71000. b) 51000000 trong heä thaäp luïc phaân. 24. Haõy tìm moät heä thaëng dö thu goïn modulo 2m. 25. Chöùng minh raèng neáu m > 2 vaø c1 , c2 , · · · , cϕ(m) laø heä thaëng dö thu goïn modulo m thì c1 + c2 + · · · + cϕ(m) ≡ 0 (mod m). 26. Chöùng toû raèng ϕ(m1 )

x ≡ a1 M1

ϕ(m2 )

+ a2 M2

ϕ(mk )

+ · · · + ak Mk

(mod M )

laø nghieäm duy nhaát cuûa heä ñoàng dö   x ≡ a1    x ≡ a2     x≡a k

(mod m1 ) (mod m2 )

.. .

(mod mk )

trong ñoù caùc mj ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau, M = m1 m2 · · · mk , Mj = M/mj , 1 ≤ j ≤ k.

42

3. ÑOÀNG DÖ

4 CAÙC HAØM SOÁ HOÏC 4.1 Nhaän xeùt chung Haøm soá hoïc laø haøm nhaän giaù trò thöïc hoaëc phöùc vaø xaùc ñònh treân taäp soá nguyeân döông. Haøm soá hoïc f khoâng ñoàng nhaát baèng 0, ñöôïc goïi laø coù tính nhaân neáuu f (mn) = f (m)f (n), vôùi (m, n) = 1. Haøm soá hoïc f khoâng ñoàng nhaát baèng 0, ñöôïc goïi laø coù tính nhaân ñaày ñuû neáuu f (mn) = f (m)f (n), vôùi moïi soá nguyeân döông m, n. Hieån nhieân, haøm coù tính nhaân ñaày ñuû laø haøm coù tính nhaân. Haøm f coù tính nhaân thì f (1) = 1.

Ví duï 4.1.1. Haøm ñoàng nhaát baèng moät, f (n) = 1 vôùi moïi n, coù tính nhaân ñaày ñuû, vì f (mn) = 1 = f (m)f (n). Haøm ñoàng nhaát, f (n) = n vôùi moïi n, cuõng coù tính nhaân ñaày ñuû, vì f (mn) = mn = f (m)f (n). 

Coù nhieàu haøm soá hoïc laø khoâng chính qui. Bôûi theá ngöôøi ta thöôøng khoâng xeùt haøm soá hoïc f maø xeùt haøm toång cuûa noù, ñoù laø F (N ) =

N

f (n).

n=1

Sau ñaây laø moät soá tính chaát cuûa haøm soá hoïc coù tính nhaân. 43

44

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

Ñònh lyù 4.1. Giaû söû f laø haøm coù tính nhaân vaø n = pα1 pα2 1

2

luõy thöøa nguyeân toá cuûa soá nguyeân döông n thì

· · · pαk k

laø khai trieån

f (n) = f (pα1 1 )f (pα2 2 ) · · · f (pαk k ).

Chöùng minh. Vì i = j thì pi vaø pj laø caùc soá nguyeân toá khaùc nhau, ta suy ra α

k−1 (pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 , pαk k ) = 1,

töø ñoù α

α

k−1 αk k−1 pk ) = f (pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 )f (pαk k ). f (pα1 1 pα2 2 · · · pk−1




Ñònh lyù 4.2. Neáu f coù tính nhaân thì haøm g(n) =

f (d)

d|n

cuõng coù tính nhaân. Chöùng minh. Haøm g khoâng ñoàng nhaát baèng khoâng, vì g(1) =

f (1) = 1.

d|1

Giaû söû m = pα1 pα2 · · · pαr vaø n = q1β q2β · · · qsβ laø khai trieån luõy thöøa nguyeân toá töông öùng cuûa caùc soá nguyeân döông m vaø n. Neáu (m, n) = 1 thì pi vaø qj laø caùc soá nguyeân toá khaùc nhau. Töø ñaây ta suy ra, moãi öôùc d cuûa 1

2

1

r

2

s

mn = pα1 1 pα2 2 · · · pαr r q1β1 q2β2 · · · qsβs

ñöôïc vieát moät caùch duy nhaát thaønh tích cuûa caùc öôùc nguyeân toá cuøng nhau d1 cuûa m vaø d2 cuûa n. Vaäy g(mn) =

f (d) =

f (d1 d2 ).

d1 | m d2 | n

d|mn

Vì f coù tính nhaân vaø (d1 , d2 ) = 1 neân f (d1 d2 ) = f (d1 )f (d2 ), suy ra g(mn) =

d1 | m d2 | n

f (d1 )f (d2 ) =

d1 | m

f (d1 )

f (d2 ) = g(m)g(n).

d2 | n


45

4.1. NHAÄN XEÙT CHUNG

Ñònh lyù 4.3. Neáu haøm soá hoïc f coù tính nhaân vaø f (pm ) → 0

khi pm → ∞

trong ñoù p laø soá nguyeân toá vaø m laø soá nguyeân döông, thì f (n) → 0

khi n → ∞.

Chöùng minh. Vì f (pm ) → 0 khi pm → ∞ neân ta coù nhaän xeùt raèng f thoûa

caùc ñieàu kieän sau: 1. Coù haèng soá döông A sao cho vôùi moïi m vaø p ta ñeàu coù |f (pm )| < A.

2. Coù haèng soá döông B sao cho |f (pm )| < 1

neáu pm > B.

3. Vôùi moïi ε > 0 ñeàu coù soá N (ε), chæ phuï thuoäc vaøo ε, sao cho |f (pm )| < ε

Giaû söû

neáu pm > N (ε).

n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

laø khai trieån luõy thöøa nguyeân toá cuûa soá nguyeân döông n > 1. Theá thì f (n) = f (pα1 1 )f (pα2 2 ) · · · f (pαk k ).

Vì chæ coù höõu haïn caùc soá daïng pα maø pα ≤ N (ε), neân ta suy ra raèng chæ coù höõu haïn caùc soá nguyeân maø taát caû caùc luõy thöøa nguyeân toá cuûa noù ñeàu khoâng vöôït quaù N (ε). Ñaët P (ε) laø caän treân cho caùc soá nguyeân nhö vaäy. Neáu n > P (ε), thì trong khai trieån thaønh luõy thöøa nguyeân toá cuûa n phaûi coù ít nhaát moät thöøa soá pα maø pα > N (ε). Goïi C laø soá caùc luõy thöøa nguyeân toá pα maø pα ≤ B. Theá thì töø nhaän xeùt treân ta suy ra i

i

|f (n)| < AC ε.


46

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

4.2 Haøm Euler ϕ(n). Phi-haøm Euler, kyù hieäu ϕ, ñöôïc xaùc ñònh bôûi: ϕ(n) laø soá caùc soá nguyeân döông khoâng vöôït quaù n vaø nguyeân toá cuøng nhau vôùi n.

Ñònh lyù 4.4. Phi-haøm Euler coù tính nhaân. Boå ñeàù 4.4.1. Giaû söû m, n laø caùc soá nguyeân döông nguyeân toá cuøng nhau; {ai : 1 ≤ i ≤ m } vaø {bj : 1 ≤ j ≤ n } töông öùng laø caùc heä thaëng dö ñaày modulo m vaø n. Khi ñoù ta coù {ai n + bj m : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n } laø thaëng dö ñaày ñuû modulo mn.

ñuû heä

Chöùng minh. Taäp {ai n + bj m : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n } coù caû thaûy mn soá

nguyeân. Ta chæ coøn phaûi chöùng minh raèng caùc soá naøy ñoâi moät khoâng ñoàng dö nhau modulo mn. Giaû söû ai n + bj m ≡ ai n + bj m (mod mn). Theá thì ai n + bj m ≡ ai n+bj m (mod m). Suy ra m | (ai −ai )n. Do(m, n) = 1 neân m | (ai −ai ), hay ai ≡ ai (mod m). Vì {ai : 1 ≤ i ≤ m } laø heä thaëng dö ñaày ñuû neân
i1 = i2 . Töông töï, ta coù j1 = j2 . 1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

Chöùng minh. Baây giôø chuùng ta chöùng minh ñònh lyù.

Vì (m, n) = 1 neân ϕ(mn) laø soá caùc phaàn töû cuûa heä {ai n + bj m : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n }, thoaû (ai n + bj m, mn) = 1. Nhöng (ai n + bj m, mn) = 1 töông ñöông vôùi 

(ai n + bj m, m) = 1 ⇔ (ai n + bj m, n) = 1



(ai n, m) = 1 ⇔ (bj m, n) = 1



(ai , m) = 1 (bj , n) = 1

Vì coù ϕ(m) caùc ai thoaû (ai , m) = 1 vaø ϕ(n) caùc bj thoaû (bj , n) = 1 neân coù caû thaûy ϕ(m)ϕ(n) caùc ai n + bj m thoaû (ai n + bj m, mn) = 1.


Ñònh lyù 4.5. Neáu p nguyeân toá vaø α nguyeân döông thì ϕ(pα) = pα (1 − 1/p). Chöùng minh. Caùc soá nguyeân döông khoâng vöôït quaù p α vaø khoâng nguyeân toá

cuøng nhau vôùi pα chính laø caùc soá nguyeân döông khoâng vöôït quaù pα vaø chia heát cho p. Ñoù chính laø caùc soá kp maø 1 ≤ k ≤ pα−1. Coù caû thaûy pα−1 soá nhö vaäy, do ñoù ϕ(pα) = pα − pα−1 = pα (1 − 1/p).
Töø caùc ñòng lyù 4.1, 4.4,4.5 ta coù ngay ñònh lyù sau ñaây ñeå tính ϕ(n).

47

4.2. HAØM EULER ϕ(N ).

Ñònh lyù 4.6. Neáu n = pα1 pα2 1

nguyeân döông n thì

2

· · · pαk k

ϕ(n) = n(1 −

Ví duï 4.2.1. vaø

laø khai trieån luõy thöøa nguyeân toá cuûa soá

1 1 1 )(1 − ) · · · (1 − ). p1 p2 pk

1 1 ϕ(100) = ϕ(22 52 ) = 100(1 − )(1 − ) = 40 2 5 1 1 1 ϕ(720) = ϕ(24 32 5) = 720(1 − )(1 − )(1 − ) = 192. 2 3 5 

Töø ñònh lyù treân ta thaáy, neáu m ≥ 1, thì

n = pm

vôùi

p > 1/ε

laø soá nguyeân toá vaø

1 n > ϕ(n) = n(1 − ) > n(1 − ε). p

Töø ñaây ta nhaän ñöôïc ñònh lyù sau

Ñònh lyù 4.7.

lim

n→∞

ϕ(n) = 1. n

Tuy nhieân ta cuõng ñaùnh giaù ñöôïc caáp ñoä cuûa haøm ϕ.

Ñònh lyù 4.8. Vôùi baát kyø δ > 0 ta ñeàu coù lim

n→∞

ϕ(n) = ∞. n1−δ

Chöùng minh. Vì haøm f (n) =

n1−δ ϕ(n)

coù tính nhaân vaø do ñònh lyù 4.3 neân ta chæ caàn chöùng toû raèng f (pm ) → 0 khi pm → ∞. Thaät vaäy, ta coù 0 < f (pm ) =

pm−mδ p−mδ pm(1−δ) = = ≤ 2(pm )−δ → 0 ϕ(pm ) pm (1 − 1/p) 1 − 1/p

khi pm → ∞.


48

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

Ñònh lyù 4.9. Neáu n laø soá nguyeân döông thì

ϕ(d) = n.

d|n

Chöùng minh. Chuùng ta phaân caùc soá nguyeân m töø 1 ñeán n thaønh caùc lôùp Cd . Soá nguyeân m, 1 ≤ m ≤ n, thuoäc lôùp Cd neáuu (m, n) = d. Theá thì m ∈ Cd khi vaø chæ khi (m/d, n/d) = 1. Nhö vaäy, moãi lôùp Cd coù ñuùng ϕ(n/d) soá. Vaäy n=

ϕ(n/d) =

d|n

ϕ(d).

d|n




4.3 Haøm toång caùc öôùc σ(n) vaø soá caùc öôùc τ (n). Haøm toång caùc öôùc, kyù hieäu bôûi σ, ñöôïc xaùc ñònh bôûi: σ(n) laø toång taát caû caùc öôùc döông cuûa soá nguyeân döông n. Haøm soá caùc öôùc, kyù hieäu bôûi τ, ñöôïc xaùc ñònh bôûi: τ (n) laø soá caùc öôùc döông cuûa soá nguyeân döông n.

Ví duï 4.3.1.

σ(2) = 3, σ(3) = 4, σ(4) = 7, σ(5) = 6, σ(6) = 12, σ(7) = 8; τ (2) = 2, τ (3) = 2, τ (4) = 3, τ (5) = 2, τ (6) = 4, τ (7) = 2, τ (8) = 4. 

Ñònh lyù 4.10. Caùc haøm σ vaø τ laø coù tính nhaân. Chöùng minh. Caùc haøm f1 (n) = n vaø haøm f2 (n) = 1 laø coù tính nhaân. Theo

ñòng lyù 4.2, ta suy ra caùc haøm σ(n) =

d=

d|n

f1 (d) ; τ (n) =

d|n

d|n

1=

f2 (d)

d|n

laø coù tính nhaân.




Ñònh lyù 4.11. Neáu n = pα1 pα2 1

2

nguyeân döông n thì

σ(n) =

· · · pαk k

k  pαi +1 − 1 i

i=1

pi − 1

laø khai trieån luõy thöøa nguyeân toá cuûa soá ; τ (n) =

k  i=1

(αi + 1).

49

4.3. HAØM TOÅNG CAÙC ÖÔÙC σ(N ) VAØ SOÁ CAÙC ÖÔÙC τ (N ). Chöùng minh.

1. Vì pα chæ coù (α + 1) öôùc döông laø pi , σ(pα ) = 1 + p + · · · + pα =

Vaäy σ(n) =

k 

σ(pαi i )

=

i=1

2. Vì pα chæ coù (α + 1) öôùc döông laø pi , Vaäy τ (n) =

k 

τ (pαi i )

neân

pα+1 − 1 . p−1

k  pαi +1 − 1 i=1

0 ≤ i ≤ α,

pi − 1

0 ≤ i ≤ α,

.

neân τ (pα ) = (α + 1).

k  = (αi + 1).

i=1

i=1




Ví duï 4.3.2. σ(1955) = σ(5 · 17 · 23) =

52 − 1 172 − 1 232 − 1 · · = 2592 5 − 1 17 − 1 23 − 1

τ (1955) = τ (5 · 17 · 23) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 

Töø ñònh lyù 4.11 ta thaáy τ (n) coù theå lôùn tuyø yù. Tuy nhieân ta coù

Ñònh lyù 4.12. Vôùi baát kyø δ > 0 ta ñeàu coù lim

n→∞

τ (n) = 0. nδ

Chöùng minh. Vì haøm f (n) =

τ (n) nδ

coù tính nhaân vaø do ñònh lyù 4.3 neân ta chæ caàn chöùng toû raèng f (pm ) → 0 khi pm → ∞. Thaät vaäy, ta coù 0 < f (pm ) =

m+1 2m 2 log pm 2 log pm · · ≤ = ≤ → 0 khi pm → ∞. pmδ pmδ log p pmδ log 2 pmδ


50

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

Nhieàu vaán ñeà coù lieân quan ñeán haøm σ, chaúng haïn vaán ñeà veà soá hoaøn haûo. Ngöôøi coå Hylaïp goïi soá hoaøn haûo laø caùc soá maø σ(n) = 2n.

Ví duï 4.3.3. Caùc soá 6 vaø 12 laø caùc soá hoaøn haûo, vì σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 17 + 28 = 56. 

Ñònh lyù 4.13. Soá nguyeân döông chaün m

2 (2

m+1

laø soá hoaøn haûo khi vaø chæ khi n = − 1), trong ñoù m laø soá nguyeân döông vaø 2m+1 − 1 laø soá nguyeân toá.

Chöùng minh.

soá leû. Do



⇒ .

n

Giaû söû n = 2m N laø soá hoaøn haûo chaün, m ≥ 1 vaø N laø

σ(n) = σ(2m N ) = σ(2m )σ(N ) = (2m+1 − 1)σ(N ),

vaø n = 2m N laø soá hoaøn haûo neân (2m+1 − 1)σ(N ) = 2m+1 N.

Vì (2m+1 − 1, 2m+1) = 1, ta suy ra 2m+1 − 1 | N. Ñaët N = (2m+1 − 1)N , thì N  < N, σ(N ) = 2m+1 N  . Nhöng N + N  = 2m+1 N  = σ(N ), vaø vì N, N  ñeàu laø öôùc cuûaN neân N khoâng coøn öôùc naøo khaùc; vaäy N laø soá nguyeân toá vaø N  = 1. Do ñoù N = (2m+1 − 1) laø soá nguyeân toá. ⇐ . Giaû söû n = 2m (2m+1 − 1), p = 2m+1 − 1 laø soá nguyeân toá. Theá thì 

trong ñoù

m

laø soá nguyeân döông vaø

σ(n) = σ(2m )σ(p) = (2m+1 − 1)(p + 1) = (2m+1 − 1)2m+1 = 2n.

Vaäy n laø soá hoaøn haûo.




Nhö vaäy, vieäc tìm caùc soá hoaøn haûo chaün gaén lieàn vôùi vieäc tìm caùc soá nguyeân toá daïng 2m −1. Caùc soá nguyeân toá nhö vaäy ñöôïc goïi laø soá nguyeân toá Mersenne.

51

4.4. HAØM MO¨ BIUS µ(N ).

4.4 Haøm Mo¨bius µ(n). Haøm Mo¨bius, kyù hieäu µ, ñöôïc xaùc ñònh bôûi: i) µ(1) = 1; ii) µ(n) = (−1)k , neáu n laø tích cuûa k soá nguyeân toá khaùc nhau; iii) µ(n) = 0, neáu n coù öôùc chính phöông khaùc 1. Töø ñònh nghóa ta coù ngay ñònh lyù sau ñaây

Ñònh lyù 4.14. Haøm Mo¨bius µ coù tính nhaân. Ñònh lyù 4.15. 

µ(d) =

d|n

neáu n = 1, neáu n > 1.

1, 0,

Chöùng minh. Giaû söû n = pα1 1 pα2 2 · · · pαmm laø khai trieån luõy thöøa nguyeân toá cuûa

soá nguyeân döông n > 1. Öôùc d cuûa n maø µ(d) = 0 coù daïng

1, p1 , ..., pm , pi pj (i < j), pi pj pk (i < j < k), ..., p1 p2 ...pm .

Theá thì

µ(d) = µ(1) +

µ(pi ) +

i

d|n

Vaäy

µ(d) = 1 −

d|n

µ(pi pj ) + · · · + µ(p1 p2 ...pm )

i<j

 m   m   m  + − · · · = (1 − 1)m = 0. 1 2 1


Nhaän xeùt raèng, haøm Mo¨bius coù theå ñöôïc ñònh nghóa nhôø ñònh lyù 4.15. Caùc aùp duïng quan troïng cuûa haøm naøy thöôøng döïa treân caùc qui taéc bieán ñoåi coù teân Mo¨bius.

Ñònh lyù 4.16. Bieán ñoåi ngöôïc Mo¨bius thöù nhaát. Giaø söû f laø haøm soá hoïc.

Khi ñoù ta coù:

g(n) =

f (d)

d|n

khi vaø chæ khi f (n) =

d|n

n µ(d)g( ). d

52

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

Chöùng minh.  ⇒ .

Ta coù

d|n



n µ(d)g( ) = µ(d) f (d ) = µ(d)f (d ) = f (d ) µ(d). d n
n

d |d

d|n

dd |n

d |n

d| d


Theo ñònh lyù 4.15 thì

µ(d) = 0

neáu

d| dn


n >1 d

vaø

µ(d) = 1,

d| n n

neân ta suy ra

d|n 



n µ(d)g( ) = f (d ) µ(d) = f (d ) µ(d) = f (n). d n n
d
=n d |n

d| d


d| n

⇐ .

Vì f (n) =

d|n

n µ( )g(d), d

ta suy ra

f (d) =

d|n

d|n



n n n f( ) = µ(  )g(d ) = µ(  )g(d ). d dd dd
n
d|n d | d

dd |n

Theo ñònh lyù 4.15 thì

µ(d) = 0

neáu

d| dn


n >1 d

vaø

µ(d) = 1,

d| n n

neân ta suy ra

d|n

f (d) =

dd
|n

µ(



n

n    ) = )g(d ) = g(d ) µ( g(d ) µ(d) = g(n). dd dd n n

d =n d |n

d| d


d| n




53

4.4. HAØM MO¨ BIUS µ(N ).

Ví duï 4.4.1. Xeùt moät trong caùc aùp duïng cuûa ñònh lyù treân. Ta ñaõ bieát haøm g(n) =

ϕ(d) = n.

d|n

Theo dònh lyù 4.16, ta coù ϕ(n) =

d|n

µ(d) n n . µ(d)g( ) = µ(d) = n d d d d|n

d|n



Ñoái vôùi soá thöïc x, ta kyù hieäu

ñeå chæ

[x]

,

vaø toång ñöôïc hieåu laø baèng 0

n=1

n≤x

neáu noù khoâng chöùa soá haïng naøo.

Ñònh lyù 4.17. Bieán ñoåi ngöôïc Mo¨bius thöù hai. Giaû söû f laø haøm bieán soá thöïc xaùc ñònh vôùi x ≥ 1, vaø

g(x) =

Khi ñoù, vôùi x ≥ 1 f (x) =

x f ( ). n n≤x

x µ(n)g( ) n n≤x

vaø ngöôïc laïi. Chöùng minh.  ⇒ . Töø ñònh nghóa cuûa haøm g, khi x ≥ 1, ta coù

x x x )= ) µ(n)g( ) = µ(n) f( µ(n)f ( n mn mn x n≤x n≤x 1≤mn≤x

m≤ n

Nhoùm toång sau cuøng theo mn = r,

1 ≤ r ≤ x, ta ñöôïc

x x )= µ(n)f ( f( ) µ(n) = f (x). mn r 1≤mn≤x 1≤r≤x n|r



⇐ .

Töø f (x) =

x µ(n)g( ), n n≤x

54

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

ta suy ra

f(

m≤x



x x x )= )= ). µ(n)g( µ(n)g( m mn mn x m≤x 1≤mn≤x n≤ m

Cuõng nhö tröôùc, ta coù

µ(n)g(

1≤mn≤x

x x g( ) µ(n) = g(x). )= mn r 1≤r≤x n|r




BAØI TAÄP CHÖÔNG IV 1. Tích Dirichclet cuûa hai haøm soá hoïc f, (f ∗ g)(n) =

g

ñöôïc ñònh nghóa bôûi

f (d)g(n/d).

d|n

Chöùng minh raèng: f ∗ g = g ∗ f ; (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h). 2. Haøm soá hoïc ι ñöôïc ñònh nghóa bôûi  1 neáu n = 1 ι(n) = 0 neáu n > 1 (Nhôù

laïi: ι(n) =

µ(d).)

d|n

a) Chöùng minh raèng haøm ι laø coù tính nhaân. b) Chöùng minh raèng ι ∗ f = f ∗ ι = f vôùi moïi haøm soá hoïc f. 3. Haøm soá hoïc g ñöôïc goïi laø nghòch ñaûo cuûa haøm soá hoïc f neáuu f ∗ g = g ∗ f = ι.

a) Chöùng minh raèng haøm soá hoïc f coù nghòch ñaûo khi vaø chæ khi f (1) = 0. b) Chöùng minh raèng neáu haøm soá hoïc f coù nghòch ñaûo thì nghòch ñaûo cuûa noù laø duy nhaát.

55

4.4. HAØM MO¨ BIUS µ(N ).

4. Chöùng minh raèng neáu f, g laø caùc haøm coù tính nhaân thì tích Dirichlet f ∗ g cuõng coù tính nhaân. 5. Chöùng minh raèng

 ϕ(2n) =

neáu n leû neáu n chaün

ϕ(n) 2ϕ(n)

6. Chöùng minh raèng neáu n coù k öôùc nguyeân toá leû khaùc nhau thì 2k | ϕ(n). 7. Chöùng minh raèng neáu m, k laø nguyeân döông thì ϕ(m k ) = mk−1ϕ(m). 8. Chöùng minh raèng neáu a, b laø caùc soá nguyeân döông thì ϕ(ab) = (a, b)ϕ(a)ϕ(b)/ϕ((a, b)).

9. Duøng bieán ñoåi ngöôïc Mo¨bius vaø coâng thöùc n = minh raèng: a) ϕ(pk ) = pk − pk−1 b) Haøm ϕ coù tính nhaân. 10. Haõy tính soá öôùc vaø toång caùc öôùc cuûa caùc soá:

 d|n

ϕ(n/d), haõy chöùng

2100 , 53 74 115 , 30!

11. Haõy xaùc ñònh caùc soá nguyeân döông coù ñuùng: a) Ba öôùc döông, b) Boán öôùc döông. Haøm σk (n) laø toång caùc luõy thöøa k cuûa caùc öôùc döông cuûa soá nguyeân döông n,

dk .

σk (n) =

d|n

12. Ñöa ra coâng thöùc tính σk (pα), vôùi p nguyeân toá vaø α nguyeân döông. 13. Chöùng minh raèng haøm σk coù tính nhaân. 14. Ñöa ra coâng thöùc tính σk (n), khi n coù khai trieån thaønh luõy thöøa nguyeân toá n = pα1 pα2 · · · pαk . 1

2

k

15. Tìm taát caû caùc soá nguyeân döông n thoûa ϕ(n) + σ(n) = 2n.

56

4. CAÙC HAØM SOÁ HOÏC

16. Chöùng minh raèng coù ñuùng τ (n2 ) caëp coù thöù töï hai soá nguyeân döông vôùi boäi chung nhoû nhaát baèng n. 17. Giaû söû n ≥ 2 laø soá nguyeân. Daõy caùc soá nguyeân n1 , n2 , n3 , ... ñöôïc xaùc ñònh bôûi n1 = τ (n), nk+1 = τ (nk ), k = 1, 2, 3, .... Chöùng minh raèng coù soá nguyeân döông r sao cho 2 = nr+k vôùi moïi soá töï nhieân k. 18. Ñaët T (N ) =

N

τ (n).

n=1

a) Chöùng minh raèng

N 

N . T (N ) = n n=1

b) Chöùng minh raèng √

[ N] 

N √ 2 T (N ) = −[ N ] + 2 . n n=1

AÙp duïng tính

100 n=1

τ (n).

c) Chöùng minh raèng T (N ) = N ln N + (2γ − 1)N + O( (γ laø haèng soá Euler)

√

N ).

19. Tính ñònh thöùc cuûa n × n−matraän A vôùi caùc phaàn töû aij = (i, j). 20. Giaû söû θ laø haøm coù tính nhaân vaø µ laø haøm Mo¨bius. Chöùng minh raèng neáu n coù khai trieån thaønh luõy thöøa nguyeân toá n = pα1 pα2 · · · pαk thì 1

d|n

2

µ(d)θ(d) = (1 − θ(p1 ))(1 − θ(p2 )) · · · (1 − θ(pk )).

k

5 CAÊN NGUYEÂN THUÛY 5.1 Baäc cuûa soá nguyeân vaø caên nguyeân thuyû Trong phaàn naøy chuùng ta seõ nghieân cöùu caùc thaëêng dö döông nhoû nhaát modulo n cuûa luõy thöøa cuûa soá nguyeân a. Chuùng ta seõ baét ñaàu baèng söï nghieân cöùu baäc cuûa soá nguyeân a modulo n. Theo ñònh lyù Euler neáu m laø soá nguyeân döông vaø a laø soá nguyeân sao cho (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Ñieàu naøy noùi leân ñoàng dö ax ≡ 1 (mod m) coù nghieäm nguyeân döông. Soá nguyeân döông nhoû nhaát x thoûa ax ≡ 1 (mod m) ñöôïc chuùng ta goïi laø baäc cuûa a modulo m vaø kyù hieäu laø ordm a. Deã daøng thaáy raèng, vôùi n > 1 thì soá nguyeân a coù baäc modulo n khi vaø chæ khi (a, n) = 1. Ví duï 5.1.1. Ta caàn xaùc ñònh baäc cuûa 2 modulo 7. Ta thaáy 21 ≡ 2

(mod 7), 22 ≡ 4

(mod 7), 23 ≡ 1

(mod 7).

Vaäy ord7 2 = 3. Töông töï, ñeå tìm baäc cuûa 3 modulo 7, ta coù: 31 ≡ 3 (mod 7), 32 ≡ 2 34 ≡ 4 (mod 7), 35 ≡ 5

(mod 7), 33 ≡ 6 (mod 7), 36 ≡ 1

Vaäy ord7 3 = 6. 57

(mod 7) (mod 7)

58

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY 

Ñònh lyù 5.1. Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø (a, n) = 1. Theá thì: soá nguyeân

döông x laø nghieäm cuûa ñoàng dö ax ≡ 1 (mod n) khi vaø chæ khi ordn a | x. Chöùng minh.

Khi ñoù 

⇐ .



⇒ .

Neáu ordn a | x, thì x = k · ordn a vôùi k nguyeân döông.

ax = ak·ordn a = (aordn a )k ≡ 1

Theo thuaät toaùn chia, x = q · ordn a + r,

(mod n). 0 ≤ r < ordn a.

ax = aq·ordn a+r = (aordn a )q ar ≡ ar

Vaäy neáu

ax ≡ 1 (mod n)

thì

ar ≡ 1 (mod n).

Ta coù

(mod n).

Do

0 ≤ r < ordn a

r = 0.

neân


Ví duï 5.1.2. Chuùng ta caàn xaùc ñònh xem

108 vaø 2003 coù laø nghieäm cuûa ñoàng dö 2x ≡ 1 (mod 7) hay khoâng. Ta ñaõ bieát ord7 2 = 3. Nhö vaäy, x = 108 laø nghieäm cuûa 2x ≡ 1 (mod 7) vì ord7 2 = 3 | 108; coøn x = 2003 khoâng laø nghieäm cuûa 2x ≡ 1 (mod 7) vì ord7 2 = 3
2003. 

Heä quaû 5.1.1. Neáu n laø soá nguyeân döông vaø (a, n) = 1, thì ordn a | ϕ(n). Chöùng minh. Baøi taäp daønh cho ñoïc giaû.




Ví duï 5.1.3. Chuùng ta caàn xaùc ñònh baäc cuûa 5 modulo 17. Vì ϕ(17) = 16 vaø

(5, 17) = 1 neân ord17 5 | 16 = ϕ(17). 1, 2, 4, 8, 16 vaø 51 ≡ 5

(mod 17), 52 ≡ 8

Do

(mod 17), 54 ≡ 13

16

chæ coù caùc öôùc döông laø

(mod 17), 58 ≡ 16

(mod 17)

neân ord17 5 = 16. 

Ñònh lyù 5.2. Giaû söû n laø soá i, j > 0: ai ≡ aj (mod n) khi

nguyeân döông vaø (a, n) = 1. Theá thì vôùi moïi vaø chæ khi i ≡ j (mod ordn a).

5.1. BAÄC CUÛA SOÁ NGUYEÂN VAØ CAÊN NGUYEÂN THUYÛ

59

Chöùng minh.  ⇒ . Giaû söû ai ≡ aj (mod n) vaø i ≥ j. Do ai = aj ai−j neân aj ai−j ≡ aj

(mod n).

Vì (aj , n) = 1 neân töø ñoàng dö treân ta suy ra ai−j ≡ 1 (mod n).

Theo ñònh lyù 5.1 ta coù ordn a | i − j, hay i ≡ j (mod ordn a).  ⇐ . Giaû söû i ≥ j. Töø giaû thieát i ≡ j (mod ordn a), suy ra coù soá nguyeân k ≥ 0 ñeå i = j + k · ordn a. Theá thì ai = aj+k·ordn a = aj (aordn a )k ≡ aj

(mod n).


Ví duï 5.1.4. Giaû söû

ta coù:

5

11

3 ≡ 3 ord14 3 | (20 − 6).

a = 3, n = 14. Ta coù ord14 3 = 6. Töø ñònh lyù treân (mod 14) vì ord14 3 | (11 − 5); vaø 36 ≡  320 (mod 14) vì 

Ñònh lyù 5.3. Neáu ordm a = t vaø u laø soá nguyeân döông thì ordm (au ) =

t . (t, u)

Chöùng minh. Giaû söû s = ordm (au ), ν = (t, u), t = t1 ν, u = u1 ν. Theá thì (t1 , u1 ) = 1.

Ta coù

(au )t1 = (au1 ν )t/ν = (at )u1 ≡ 1 (mod m).

Töø ñònh lyù 5.1 ta coù s | t1 . Maët khaùc, do

aus = (au )s ≡ 1

(mod m)

neân theo ñònh lyù 5.1 ta coù t | us. Do ñoù t1 ν | u1 νs, cuõng vaäy t1 | u1 s. Nhöng (t1 , u1 ) = 1 neân t1 | s.
Töø s | t1 vaø t1 | s ta suy ra s = t1 = t/ν = t/(t, u).

60

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

Ví duï 5.1.5.

ord14 3 = 6, ord14 9 = ord14 32 = 6/(6, 2) = 3,

ord14 27 = ord14 33 = 6/(6, 3) = 2, ord14 81 = ord14 34 = 6/(6, 4) = 3, ord14 243 = ord14 35 = 6/(6, 5) = 6, ord14 729 = ord14 36 = 6/(6, 6) = 1. 

Giaû söû n laø soá nguyeân döông. Chuùng ta seõ quan taâm ñeán caùc soá nguyeân a coù baäc modulo n ñuùng baèng ϕ(n). Sau naøy chuùng ta seõ thaáy raèng neáu coù soá nguyeân a nhö vaäy, thì taäp taát caû caùc luõy thöøa döông cuûa a chính laø heä thaëng dö thu goïn modulo n. Giaû söû n laø soá nguyeân döông. Soá nguyeân r ñöôïc goïi laø caên nguyeân thuyû modulo n neáuu ordn r = ϕ(n). Chuù yù raèng khoâng phaûi soá nguyeân döông n naøo cuõng coù caên nguyeân thuyû. Ví duï 5.1.6. 3 laø caên nguyeân thuyû modulo 7 vì ord7 3 = 6 = ϕ(7); 3 laø caên nguyeân thuyû modulo 14 vì ord143 = 6 = ϕ(14). 2 khoâng laø caên nguyeân thuyû modulo 7 vì ord7 2 = 3 = ϕ(7). Soá 8 khoâng coù caên nguyeân thuyû, vì ϕ(8) = 4 vaø ord8 1 = 1, ord8 3 = ord8 5 = ord8 7 = 2. 

Ñònh lyù 5.4. Neáu (r, n) = 1 vaø r laø caên nguyeân thuyû modulo n thì r1 , r2 , · · · , rϕ(n)

laø heä thaëêng dö thu goïn modulo n. Chöùng minh. Chuùng ta chæ caàn chöùng toû raèng (rk , n) = 1 vôùi 1 ≤ k ≤ ϕ(n)

vaø ri ≡ rj (mod n) vôùi 1 ≤ i = j ≤ ϕ(n). Töø (r, n) = 1 deã daøng suy ra (r k , n) = 1 vôùi moïi soá nguyeân döông k. Giaû söû 1 ≤ i, j ≤ ϕ(n) vaø ri ≡ rj (mod n). Theo ñònh lyù 5.2 ta coù i ≡ j (mod ordn a = ϕ(n)), nhöng 1 ≤ i, j ≤ ϕ(n) neân i = j.
Ví duï 5.1.7. Do 3 laø caên nguyeân thuyû modulo 7 vaø ϕ(7) = 6 neân caùc soá: 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 = 729

laäp thaønh heä thaëng dö thu goïn modulo 7.

5.2. CAÊN NGUYEÂN THUYÛ CUÛA SOÁ NGUYEÂN TOÁ

61 

Ñònh lyù 5.5. Giaû söû m > 1 vaø r laø caên nguyeân thuyû modulo m; u laø soá nguyeân döông. Theá thì: ru laø caên nguyeân thuyû modulo m khi vaø chæ khi (u, ϕ(m)) = 1. Chöùng minh. Theo ñònh lyù 5.3 thì ordm (ru ) =

ordm r (u,ordm r)

=

ϕ(m) . (u,ϕ(m))

Nhö vaäy, ordm (ru ) = ϕ(m) khi vaø chæ khi (u, ϕ(m)) = 1.




Ñònh lyù 5.6. Neáu soá nguyeân döông m coù caên nguyeân thuyû thì noù coù caû thaûy caên nguyeân thuyû khoâng ñoàng dö nhau modulo m. Chöùng minh. Giaû söû r laø moät caên nguyeân thuyû cuûa m.

ϕ(ϕ(m))

Theo ñònh lyù 5.4 thì r1 , r2 , · · · , rϕ(m) laø heä thaëng dö thu goïn modulo m. Do ñònh lyù 5.5, ru laø caên nguyeân thuyû modulo m khi vaø chæ khi (u, ϕ(m)) = 1. Vaäy coù ñuùng ϕ(ϕ(m)) caùc soá u nhö vaäy, hay m coù ñuùng ϕ(ϕ(m)) caên nguyeân thuyû khoâng ñoàng dö nhau modulo m.
Ví duï 5.1.8. Giaû söû m = 11. Do (2, 11) = 1 neân ord11 2 | ϕ(11) = 10. Ta thaáy 21 ≡ 2 (mod 11), 22 ≡ 4 (mod 11), 25 ≡ 10 (mod 11); suy ra ord11 2 = ϕ(11). Vaäy 11 coù 2 laø caên nguyeân thuyû, do ñoù 11 coù caû thaûy ϕ(ϕ(11)) = ϕ(10) = 4 caên nguyeân thuyû khoâng ñoàng dö nhau modulo 11. Ñoù laø: 21 = 2, 23 = 8, 27 = 128, vaø 29 = 512; hay cuõng vaäy: 2, 8, 7, vaø 6. 

5.2 Caên nguyeân thuyû cuûa soá nguyeân toá Trong muïc naøy chuùng ta seõ chæ ra raèng moïi soá nguyeân toá ñeàu coù caên nguyeân thuyû. Ñeå ñaït ñöôïc ñieàu naøy, tröôùc heát chuùng ta caàn khaûo saùt vaøi tính chaát cuûa ñoàng dö ña thöùc. Giaû söû f (x) laø ña thöùc vôùi heä soá nguyeân. Chuùng ta seõ noùi soá nguyeân c laø nghieäm cuûa f (x) modulo m neáuu f (c) ≡ 0 (mod m). Deã daøng thaáy raèng, neáu c laø nghieäm cuûa f (x) modulo m thì moïi soá nguyeân ñoàng dö vôùi c modulo m cuõng laø nghieäm.

62

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

Ví duï 5.2.1. Ña thöùc f (x) = x2 + x + 1 coù ñuùng hai nghieäm khoâng ñoàng dö

nhau modulo 7, cuï theå laø x ≡ 2 (mod 7) vaø x ≡ 4 (mod 7). Ña thöùc g(x) = x2 + 2 laø khoâng coù nghieäm modulo 5. Ñònh lyù Fermat cuõng chæ ra raèng, neáu p laø soá nguyeân toá thì ña thöùc h(x) = xp−1 − 1 coù ñuùng p − 1 nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p, cuï theå laø x ≡ 1, 2, 3, · · · , p − 1 (mod p). 

Ñònh lyù 5.7. Ñònh lyù Lagrange. Giaû söû p laø soá nguyeân toá; f (x) = an xn +

an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 laø ña thöùc vôùi heä soá nguyeân, coù baäc n ≥ 1, (an , p) = 1. Theá thì f (x) ≡ 0 (mod p) coù khoâng quaù n nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p.

Chöùng minh. Chuùng ta chöùng minh ñònh lyù baèng phöông phaùp qui naïp.

Khi n = 1, ta coù f (x) = a1 x + a0 vôùi p
a1 . Nghieäm cuûa f (x) modulo p chính laø nghieäm cuûa ñoàng dö tuyeán tính a1 x ≡ a0 (mod p). Ta ñaõ bieát neáu (a1 , p) = 1 thì a1 x ≡ a0 (mod p) coù duy nhaát nghieäm modulo p. Giaû söû ñònh lyù ñaõ ñuùng cho caùc ña thöùc baäc n − 1. Neáu ña thöùc f (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 coù quaù n nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p. Theá thì coù caùc soá nguyeân c0 , c1 , · · · , cn khoâng ñoàng dö nhau modulo p sao cho f (ck ) ≡ 0 (mod p) vôùi moïi 0 ≤ k ≤ n. Khi ñoù ta coù f (x) − f (c0 ) = =

an (xn − cn0 ) +an−1 (xn−1 − cn−1 ) + · · · + a1 (x − c0 ) 0 an (x − c0 ) (xn−1 + xn−2 c0 + · · · + xcn−2 + cn−1 )+ 0 0 n−3 n−2 n−2 n−3 + x c0 + · · · + xc0 + c0 ) + +an−1 (x − c0 ) (x

.. .

=

+a1 (x − c0 ) (x − c0 )g(x)

.

trong ñoù g(x) laø ña thöùc baäc n − 1 vôùi heä soá baäc cao nhaát cuõng chính laø an . Töø heä thöùc treân ta coù (ck − c0 )g(ck ) = f (ck ) − f (c0 ) ≡ 0

(mod p).

k, 1 ≤ k ≤ n, ck ≡ c0 (mod p); hay (ck − c0 , p) = 1. Vaäy g(ck ) ≡ 0 (mod p), vôùi moïi k, 1 ≤ k ≤ n; ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi giaû

Nhöng vôùi moïi

5.2. CAÊN NGUYEÂN THUYÛ CUÛA SOÁ NGUYEÂN TOÁ

thieát qui naïp:

g(x)

63

coù khoâng quaù n − 1 nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo


p.

Ñònh lyù 5.8. Giaû söû p laø soá nguyeân toá vaø d laø öôùc cuûa p−1. Theá thì xd −1 ≡ 0 (mod p)

coù ñuùng d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p.

Chöùng minh. Ñaët p − 1 = de. Ta coù xp−1 − 1 = (xd )e − 1 = (xd − 1)(xd(e−1) + xd(e−2) + · · · + xd + 1) = (xd − 1)g(x).

Vì

p nguyeân toá neân xp−1 − 1 = (xd − 1)g(x) ≡ 0 (mod p) (xd − 1) ≡ 0 (mod p) hoaëc g(x) ≡ 0 (mod p).

khi vaø chæ khi

Do xp−1 − 1 ≡ 0 (mod p) coù ñuùng p − 1 nghieäm vaø g(x) vôùi baäc p − 1 − d seõ coù khoâng quaù p − 1 − d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p; ta suy ra xd − 1 ≡ 0 (mod p) coù khoâng ít hôn d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p. Do ñònh lyù 5.7 ta suy ra xd − 1 ≡ 0 (mod p) coù ñuùng d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p.


Ñònh lyù 5.9. Giaû söû p laø soá nguyeân toá vaø d laø öôùc cuûa p − 1. Theá thì coù ñuùng ϕ(d)

soá nguyeân khoâng ñoàng dö nhau modulo p vaø coù baäc baèng d modulo p.

Chöùng minh. Kyù hieäu F (d) laø soá caùc soá nguyeân döông nhoû hôn p vaø coù baäc

modulo p. Vì taát caû caùc soá nguyeân döông nhoû hôn p ñeàu coù baäc vaø baäc laø öôùc cuûa p − 1 neân

d

p−1=

F (d).

d|p−1

Maët khaùc, theo ñònh lyù **refdl39 ta coù p−1=

ϕ(d).

d|p−1

Vaäy

F (d) =

d|p−1

ϕ(d).

d|p−1

Ñeå keát thuùc vieäc chöùng minh ñònh lyù, ta chæ caàn chöùng minh raèng F (d) ≤ ϕ(d) vôùi d | p − 1. Neáu F (d) = 0 thì F (d) ≤ ϕ(d) laø hieån nhieân. Ngöôïc laïi, neáu ordp a = d thì a, a2 , · · · , ad

64

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

laø caùc soá ñoâi moät khoâng ñoàng dö nhau modulo p. Moãi moät trong caùc soá naøy ñeàu laø nghieäm cuûa (xd − 1) ≡ 0 (mod p), vì (ak )d = (ad )k ≡ 1 (mod p). Töø ñònh lyù 5.8 ta suy ra raèng, moãi nghieäm cuûa (xd − 1) ≡ 0 (mod p) ñeàu ñoàng dö modulo p vôùi moät luõy thöøa ak cuûa a, 1 ≤ k ≤ d. Ñònh lyù 5.5 laïi noùi raèng, ak coù baäc baèng d = ordp a khi vaø chæ khi (k, d) = 1. Nhö vaäy coù ñuùng ϕ(d) soá khoâng ñoàng dö nhau modulo p vaø coù baäc baèng d. Vaäy F (d) ≤ ϕ(d).


Heä quaû 5.9.1. Moïi soá nguyeân toá ñeàu coù caên nguyeân thuyû. Chöùng minh. Giaû söû p laø soá nguyeân toá. Theo ñònh lyù treân, vôùi d = p − 1,

ta coù caû thaûy

p − 1 = ϕ(p).

ϕ(p − 1)

soá khoâng ñoàng dö nhau modulo

p

vaø coù baäc baèng


5.3 Caùc soá coù caên nguyeân thuyû Trong muïc naøy chuùng ta seõ chæ ra taát caû caùc soá coù caên nguyeân thuyû. Tröôùc heát chuùng ta chæ ra raèng caùc luõy thöøa cuûa moãi soá nguyeân toá leû ñeàu coù caên nguyeân thuyû.

Ñònh lyù 5.10. Neáu r laø caên nguyeân thuyû cuûa soá nguyeân toá leû p thì r hoaëc r + p

laø caên nguyeân thuyû modulo p2 .

Chöùng minh. Vì r laø caên nguyeân thuyû modulo p neân ordp r = ϕ(p) = p − 1.

Ñaët n = ordp r, ta coù 2

Suy ra Theo ñònh lyù 5.1 thì Ta cuõng coù

rn ≡ 1 (mod p2 ). rn ≡ 1

(mod p).

p − 1 = ordp | n. n = ordp2 r | ϕ(p2 ) = p(p − 1).

Vì

p − 1 | n vaø n | p(p − 1) ta suy ra n = p − 1 hoaëc n = p(p − 1). Neáu n = p(p − 1) thì r laø caên nguyeân thuyû modulo p2 vì ordp2 r = n = ϕ(p2 ). Ngöôïc laïi, neáu n = p − 1 ta coù rp−1 = rn ≡ 1

(mod p2 ).

65

5.3. CAÙC SOÁ COÙ CAÊN NGUYEÂN THUYÛ

Ñaët s = r + p. Do s ≡ r (mod p) neân s cuõng laø caên nguyeân thuyû modulo p. Töông töï nhö treân, ta coù ordp s = p − 1 hoaëc ordp s = p(p − 1). Cuõng töông töï nhö treân, ñeå chöùng minh s laø caên nguyeân thuyû modulo p2 chuùng ta chæ caàn chöùng toû raèng ordp s = p − 1. Ta coù 2

2

2

sp−1 = (r + p)p−1 = rp−1 + (p − 1)rp−2 p +

vaø rp−1 ≡ 1

(mod p2 )

 p−1  rp−3 p2 + · · · + pp−1 2

neân

sp−1 ≡ rp−1 + (p − 1)prp−2 ≡ 1 − prp−2

Vì (r, p) = 1 neân prp−2 ≡ 0

(mod p2 ),

(mod p2 ).

suy ra

sp−1 ≡ 1 (mod p2 ),
hay ordp s = p − 1. Ví duï 5.3.1. Ta ñaõ bieát r = 3 laø caên nguyeân thuyû modulo p = 7. Söû duïng ñònh lyù ?? ta coù ord49 3 = p − 1 = 6 hoaëc ord49 3 = p(p − 1) = 42. Do 2

r6 = 36 = 729 ≡ 1

(mod 49)

ta suy ra r = 3 laø caên nguyeân thuyû modulo 49. 

Ñònh lyù 5.11. Neáu p laø soá nguyeân toá leû thì pk coù caên nguyeân thuyû vôùi moïi soá

nguyeân döông k. Hôn nöõa, neáu r laø caên nguyeân thuyû modulo p2 thì r laø caên nguyeân thuyû modulo pk vôùi moïi soá nguyeân döông k. Chöùng minh. Heä quaû 5.9.1 noùi raèng p coù caên nguyeân thuyû, vaø do ñoù theo

ñònh lyù 5.10 ta suy ra p2 cuõng coù caên nguyeân thuyû. Giaû söû r laø caên nguyeân thuyû modulo p2. Tröôùc heát, baèng qui naïp chuùng ta chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân k ≥ 2 ñeàu coù k−2 (p−1)

rp

≡ 1

(mod pk ).

Khi k = 2, ta coù rp (p−1) = rp−1 ≡ 1 (mod p2 ), vì ordp r = ϕ(p2 ) = p(p−1). Giaû söû raèng vôùi soá nguyeân k ≥ 2 ta ñaõ coù k−2

2

k−2 (p−1)

rp

≡ 1

(mod pk ).

66

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

Vì (r, pk−1) = 1 neân theo ñònh lyù Euler, ta coù k−2 (p−1)

rp

vaø ñieàu naøy keùo theo trong ñoù p
d vì treân, ta ñöôïc k−1 (p−1)

rp

k−1 )

= rϕ(p

k−2 (p−1)

rp

k−2 (p−1)

rp

≡1

(mod pk−1 ),

= 1 + dpk−1

Luõy thöøa

≡ 1 (mod pk ).

= (1 + dpk−1 )p = 1 + p(dpk−1 ) +

Suy ra

k−1 (p−1)

rp

Nhöng p
d neân

≡ 1 + dpk

k−1 (p−1)

rp

≡ 1

hai veá cuûa ñoàng dö

p

 p  (dpk−1 )2 + · · · + (dpk−1 )p . 2

(mod pk+1 ).

(mod pk+1 ).

Baây giôø chuùng ta seõ chöùng minh raèng r laø caên nguyeân thuyû cuûa pk vôùi k ≥ 2. Ñaët n = ordp r. Ta coù k

n | ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1).

Maët khaùc, vì rn ≡ 1

(mod pk )

neân rn ≡ 1

(mod p);

suy ra

p − 1 = ϕ(p) | n.

Do n | pk−1 (p − 1) vaø (p − 1) | n neân n = pt (p − 1) vôùi t naøo ñoù, 0 ≤ t ≤ k − 1. Tröôøng hôïp n = pt (p − 1) vôùi 0 ≤ t ≤ k − 2 khoâng theå xaûy ra, vì neáu 0 ≤ t ≤ k − 2 thì k−2 (p−1)

rp

= (rp (p−1) )k−2−t = (rn )k−2−t ≡ 1 t

(mod pk ),

vaø ñieàu naøy voâ lyù vôùi ñieàu ñaõ ñöôïc chöùng minh laø rp Vaäy n = pk−1 (p − 1), vaø ñieàu naøy noùi leân raèng ordp vaäy: r laø caên nguyeân thuyû cuûa pk .

k−2 (p−1)

k

Ñònh lyù 5.12. Neáu a laø soá leû vaø k > 2 thì aϕ(2

k )/2

≡1

(mod 2k ).

≡ 1 (mod pk ).

r = ϕ(pk ),

hay cuõng


67

5.3. CAÙC SOÁ COÙ CAÊN NGUYEÂN THUYÛ Chöùng minh. Chuùng ta chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp theo k.

Khi k = 3, ñaët a = 2b + 1. Vì 2 | b(b + 1) neân aϕ(2

3 )/2

= (2b + 1)2 = 4b(b + 1) + 1 ≡ 1

(mod 23 ).

Giaû söû ñaõ coù aϕ(2 )/2 ≡ 1 (mod 2k ), ta caàn chöùng minh raèng aϕ(2 )/2 ≡ 1 (mod 2k+1 ). Vì ϕ(2n ) = 2n (1 − 1/2) = 2n−1 neân töø giaû thieát qui naïp ta coù k

k+1

a2

suy ra

k−2

a2

≡1 k−2

(mod 2k ),

= 1 + d2k .

Bình phöông caû hai veá, ta ñöôïc a2

k−1

= 1 + d2k+1 + d2 22k ≡ 1

(mod 2k+1 ),

ñieàu naøy keùo theo aϕ(2

k+1 )/2

= a2

k−1

≡1

(mod 2k ).


Nhaän xeùt: 1. Ñònh lyù treân noùi leân raèng taát caû caùc luõy thöøa döông cuûa 2, tröø hai soá 2 vaø 4, ñeàu khoâng coù caên nguyeân thuyû. 2. Caùc soá 2 vaø 4 ñeàu coù coù caên nguyeân thuyû.

Ñònh lyù 5.13. Neáu soá nguyeân döông n khoâng laø luõy thöøa nguyeân toá hoaëc hai laàn luõy thöøa nguyeân toá thì n khoâng coù caên nguyeân thuyû.

Chöùng minh. Giaû söû n coù caên nguyeân thuyû r, vaø coù khai trieån thaønh luõy thöøa

nguyeân toá

n = pt11 pt22 · · · ptmm .

Goïi p laø thöøa soá nguyeân toá cuûa n, do (r, pt ) = 1 neân rϕ(p ) ≡ 1 t

Ñaët

(mod pt ).

U = [ϕ(pt11 ), ϕ(pt22 ), · · · , ϕ(ptmm )].

68

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

Vì ϕ(pti ) | U neân theo ñònh lyù Trung hoa veà phaàn dö ta coù i

rU ≡ 1 (mod n).

Ñieàu naøy keùo theo Nhöng

ordn r = ϕ(n) ≤ U. ϕ(n) = ϕ(pt11 )ϕ(pt22 ) · · · ϕ(ptmm ),

ta suy ra ϕ(pt11 )ϕ(pt22 ) · · · ϕ(ptmm ) ≤ [ϕ(pt11 ), ϕ(pt22 ), · · · , ϕ(ptmm )].

Vaäy

ϕ(pt11 )ϕ(pt22 ) · · · ϕ(ptmm ) = [ϕ(pt11 ), ϕ(pt22 ), · · · , ϕ(ptmm )].

Ñaúng thöùc cuoái cuøng xaûy ra chæ khi caùc soá nguyeân ϕ(pt1 ), ϕ(pt2 ), · · · , ϕ(ptm ) laø ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau. Vôùi chuù yù raèng ϕ(pt ) = pt−1 (p − 1) ta thaáy ϕ(pt) laø soá chaün neáu p leû hoaëc p = 2 vaø t ≥ 2. Nhö vaäy, caùc soá nguyeân ϕ(pt1 ), ϕ(pt2 ), · · · , ϕ(ptm ) laø khoâng ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau, ngoaïi tröø tröôøng hôïp m = 1 hoaëc m = 2 vaø n = 2pt maø p laø soá nguyeân toá leû.
1

1

2

2

m

m

Ñònh lyù 5.14. Neáu p laø soá nguyeân toá leû vaø t laø soá nguyeân döông thì 2pt coù

caên nguyeân thuyû. Cuï theå hôn: neáu r laø caên nguyeân thuyû modulo pt vaø r leû thì noù cuõng laø caên nguyeân thuyû modulo 2pt ; ngöôïc laïi neáu r laø caên nguyeân thuyû modulo pt vaø r chaün thì r + pt laø caên nguyeân thuyû modulo 2pt . Chöùng minh. Goïi r laø caên nguyeân thuyû modulo pt , ta coù rϕ(p ) ≡ 1 t

(mod pt )

vaø khoâng coù soá muõ nguyeân döông naøo nhoû hôn ϕ(p t ) coù tính chaát naøy. Ta coù ϕ(2pt) = ϕ(2)ϕ(pt) = ϕ(pt ). Vaäy rϕ(2p ) ≡ 1

(mod pt ).

rϕ(2p ) ≡ 1

(mod 2).

t

Neáu r leû thì

t

69

5.4. CHÆ SOÁ SOÁ HOÏC

Vì (2, pt ) = 1, ta suy ra rϕ(2p ) ≡ 1 t

(mod 2pt ).

Deã thaáy khoâng coù soá muõ nguyeân döông naøo nhoû hôn ϕ(2p t ) = ϕ(pt ) coù tính chaát treân, do ñoù ord2p r = ϕ(2pt ). Neáu r chaün thì r + pt laø soá leû. Do ñoù t

(r + pt )ϕ(2p ) ≡ 1 (mod 2). t

Maët khaùc, vì r + pt ≡ r

(mod pt )

neân

(r + pt )ϕ(2p ) ≡ 1

(mod pt ).

(r + pt )ϕ(2p ) ≡ 1

(mod 2pt ).

t

Suy ra

t

Cuõng thaáy raèng khoâng coù soá muõ nguyeân döông naøo nhoû hôn ϕ(2p t) = ϕ(pt ) coù tính chaát treân, do ñoù ord2p (r + pt ) = ϕ(2pt ).
Töø caùc ñònh lyù 5.11, 5.12, 5.13 vaø 5.14, ta coù ñònh lyù sau t

Ñònh lyù 5.15. Soá nguyeân döông n > 1 coù caên nguyeân thuyû khi vaø chæ khi n = 2, 4, pt , 2pt

trong ñoù p laø soá nguyeân toá leû vaø t laø soá nguyeân döông.

5.4 Chæ soá soá hoïc Giaû söû soá nguyeân döông coá ñònh m coù caên nguyeân thuyû r. Vìù caùc soá nguyeân r1 , r2 , · · · , rϕ(m)

laøm thaønh heä thaëng dö thu goïn modulo m, neân moãi soá nguyeân a nguyeân toá cuøng nhau vôùi m ñeàu toàn taïi duy nhaát moät soá nguyeân x, 1 ≤ x ≤ ϕ(m), maø rx ≡ a

(mod m).

Soá nguyeân x nhö vaäy ñöôïc goïi laø chæ soá cuûa hieäu x = indr a.

a

vôùi cô sôû r modulo

m,

kyù

70

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

Nhö vaäy aind a ≡ a (mod m). Töø ñònh nghóa ta cuõng thaáy ngay raèng, ñoái vôùi moïi soá a, b nguyeân toá cuøng nhau vôùi m, heä thöùc a ≡ b (mod m) laø töông ñöông vôùi indr a = indr b. Coù moät soá tính chaát cuûa chæ soá töông töï nhö cuûa logarithm, chæ coù ñieàu thay daáu baèng bôûi daáu ñoàng dö modulo ϕ(m). r

Ñònh lyù 5.16. Giaû söû soá nguyeân döông m coù caên nguyeân thuyû r, vaø a, b laø caùc soá nguyeân toá cuøng nhau vôùi m. Theá thì: 1. indr 1 ≡ 0 (mod ϕ(m)). 2. indr (ab) ≡ indr a + indr b (mod ϕ(m)). 3. indr ak ≡ k · indr a (mod ϕ(m)) vôùi k nguyeân döông.

1.

Chöùng minh.

r ϕ(m) ≡ 1 (mod m),

keùo theo

indr 1 = ϕ(m) ≡ 0

(mod ϕ(m)).

2. 3.

r indr (ab) ≡ ab ≡ rindr a · rindr b ≡ rindr a+indr b (mod m). Theo

ta coù

ñònh lyù 5.2

indr (ab) ≡ indr a + indr b (mod ϕ(m)). k

r indr a ≡ ak ≡ (rindr a )k ≡ rk·indr a (mod m),

keùo theo

indr ak ≡ k · indr a (mod ϕ(m)).


Ví duï 5.4.1. Chuùng ta caàn giaûi ñoàng dö 7x ≡ 6

(mod 17). Deã daøng xaùc ñònh modulo 17. Nhö vaäy, baèng caùch

ñöôïc ϕ(17) = 16 vaø 3 laø caên nguyeân thuyû laáy chæ soá vôùi cô sôû 3 modulo 17 caû hai veá, ta coù

ind3 7x ≡ ind3 6 = 15 (mod 16).

Vì neân

ind3 7x ≡ x · ind3 7 ≡ 11x (mod 16), 11x ≡ 15 (mod 16).

Do 3 laø nghòch ñaûo cuûa 11 modulo 16, neân x ≡ 3 · 15 = 45 ≡ 13

(mod 16).

71

5.4. CHÆ SOÁ SOÁ HOÏC



Giaû söû m, k laø caùc soá nguyeân döông vaø (a, m) = 1; ta seõ noùi a laø thaëng dö luõy thöøa k cuûa m neáuu ñoàng dö xk ≡ a (mod m) coù nghieäm. Khi m coù caên nguyeân thuyû, ñònh lyù sau ñaây seõ cho moät tieâu chuaån ñeå xem soá nguyeân a nguyeân toá cuøng nhau vôùi m coù laø thaëng dö luõy thöøa k cuûa m hay khoâng.

Ñònh lyù 5.17. Giaû söû (a, m) = 1.

m coù caên nguyeân thuyû, k laø caùc soá nguyeân döông vaø Theá thì: ñoàng dö xk ≡ a (mod m) coù nghieäm khi vaø chæ khi aϕ(m)/d ≡ 1

(mod m)

trong ñoù d = (k, ϕ(m)). Hôn nöõa, neáu ñoàng dö xk ≡ a (mod m) coù nghieäm thì coù ñuùng d nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo m. Chöùng minh. Giaû söû r laø caên nguyeân thuyû cuûa m. Ñoàng dö xk ≡ a (mod m)

töông ñöông vôùi

k · indr x ≡ indr a (mod ϕ(m)).

Ñaët d = (k, ϕ(m)), y = indr x, hay cuõng vaäy x ≡ ry (mod m). Ta ñaõ bieát ñoàng dö ky ≡ indr a (mod ϕ(m)) khoâng coù nghieäm d
indr a, hay cuõng vaäy, khoâng coù x thoûa

y

khi

xk ≡ a (mod m).

Trong tröôøng hôïp d | indr a, ñoàng dö ky ≡ indr a (mod ϕ(m)) coù ñuùng d caùc nghieäm y khoâng ñoàng dö nhau modulo ϕ(m), do ñoù coù ñuùng d nghieäm x cuûa xk ≡ a (mod m)

khoâng ñoàøng dö nhau modulo m. Maët khaùc, ta coù

d | indr a

töông ñöông vôùi (ϕ(m)/d)indr a ≡ 0

(mod ϕ(m)),

72

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

hay

indr aϕ(m)/d ≡ indr 1

(mod ϕ(m)).

Ñoàng dö cuoái cuøng laïi töông ñöông vôùi aϕ(m)/d ≡ 1

(mod m).


Trong ñònh lyù treân, neáu m = p laø soá nguyeân toá vaø (a, p) = 1 thì a laø thaëng dö luõy thöøa k cuûa p khi vaø chæ khi a(p−1)/d ≡ 1

(mod p)

trong ñoù d = (k, p − 1). Ví duï 5.4.2. 1. Caàn xaùc ñònh xem 4 coù laø thaëng dö luõy thöøa naêm cuûa 11 hay khoâng, nghóa laø xeùt xem ñoàng dö x5 ≡ 4 (mod 11)

coù nghieäm hay khoâng. Ta coù

410/(5,10) = 42 = 16 ≡ 1

(mod 11),

vaäy 4 khoâng laø thaëng dö luõy thöøa naêm cuûa 11. 2. Ta coù 4 laø thaëng dö bình phöông cuûa 11 vì 410/(2,10) = 45 = 1024 ≡ 1

(mod 11),

vaäy 4 laø thaëng dö bình phöông cuûa 11. 

BAØI TAÄP CHÖÔNG V

73

5.4. CHÆ SOÁ SOÁ HOÏC

1. Haõy tìm baäc cuûa caùc soá sau: ord5 2; ord10 3; ord13 10; ord10 7; ord11 3; ord17 2; ord21 10; ord25 9.

2. Haõy tìm taát caû caùc caên nguyeân thuyû cuûa caùc soá sau: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.

3. Chöùng minh raèng: neáu a¯ laø nghòch ñaûo cuûa a modulo m thì ordm a = ordm a¯. 4. Chöùng minh raèng: neáu (a, m) = (b, m) = (ordm a, ordm b) = 1 thì ordm (ab) = ordm a·ordm b. 5. Chöùng minh raèng neáu (a, m) = 1 vaø ordm a = st thì ordm at = s. 6. Cho p laø soá nguyeân toá leû. Chöùng minh raèng r laø caên nguyeân thuyû modulo p khi vaø chæ khi r(p−1)/q ≡ 1

7. 8. 9. 10. 11.

(mod p)

ñoái vôùi moïi öôùc nguyeân toá q cuûa p. Chöùng minh raèng neáu r¯ laø nghòch ñaûo cuûa r modulo m vaø r laø caên nguyeân thuyû cuûa m thì r¯ cuõng laø caên nguyeân thuyû cuûa m. Giaû söû m = an − 1, vôùi a, n laø caùc soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng ordm a = n vaø n | ϕ(m). Cho p, q laø caùc soá nguyeân toá leû khaùc nhau. Chöùng minh raèng pq laø soá giaû nguyeân toá cô sôû 2 khi vaø chæ khi ordq 2 | (p − 1) , ordp 2 | (q − 1). Cho p, q laø caùc soá nguyeân toá leû khaùc nhau. Chöùng minh raèng pq laø soá giaû nguyeân toá cô sôû 2 khi vaø chæ khi Mp Mq = (2p − 1)(2q − 1) laø soá giaû nguyeân toá cô sôû 2. Xaùc ñònh soá nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo 11 cuûa caùc ña thöùc sau x2 + 2;

x2 + 10;

x4 + x2 + 1.

12. Xaùc ñònh soá nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo sau x2 + 1;

x2 + 3x + 2;

x4 + x2 + x + 1.

13

cuûa caùc ña thöùc

74

5. CAÊN NGUYEÂN THUÛY

13. Cho p laø soá nguyeân toá leû. Chöùng minh raèng ñoàng dö x 2 ≡ −1 coù nghieäm khi vaø chæ khi p ≡ 1 (mod 4).

(mod p)

14. Giaû söû q vaø p = 2q + 1 laø caùc soá nguyeân toá, 1 < a < p − 1. Chöùng minh raèng p − a2 laø caên caên nguyeân thuyû modulo p. 15. Caùc soá nguyeân naøo trong caùc soá töø 1 ñeán 100 coù caên nguyeân thuyû. 16. Xaùc ñònh taát caû caùc caên nguyeân thuyû modulo

22,

modulo

25,

modulo

38.

17. Chöùng minh raèng m coù caên nguyeân thuyû khi vaø chæ khi ñoàng dö x2 ≡ 1 (mod m) chæ coù caùc nghieäm laø x ≡ ±1 (mod m). 18. Giaû söû n coù caên nguyeân thuyû. Baèng caùch söû duïng caên nguyeân thuyû, haõy chöùng minh raèng tích cuûa taát caû caùc soá nguyeân döông nhoû hôn n vaø nguyeân toá cuøng nhau vôùi n laø ñoàng dö vôùi −1 modulo n. (Khi n laø soá nguyeân toá, ta nhaän ñöôïc ñònh lyù Wilson.) 19. Xaùc ñònh taát caû caùc nghieäm cuûa ñoàng dö: a) c)

3x5 ≡ 1 (mod 23); 3x ≡ 2 (mod 23);

b) d)

3x14 ≡ 2 (mod 23); 13x ≡ 5 (mod 23).

20. Tìm caùc soá nguyeân a ñeå ñoàng dö sau coù nghieäm: a) ax4 ≡ 2 (mod 13); b) 8x7 ≡ a (mod 29). 21. Söû duïng chæ soá vôùi cô sôû

2

modulo

13

ñeå tìm nghieäm cuûa

2x ≡ x

(mod 13).

22. Xaùc ñònh taát caû caùc nghieäm cuûa ñoàng dö:

xx ≡ x (mod 23).

23. Cho p laø soá nguyeân toáû leû vaø r laø caên nguyeân thuyû cuûa p. Chöùng minh raèng indr (p − 1) = (p − 1)/2. 24. Giaû söû

p laø soá nguyeân toáû leû. Chöùng minh raèng (mod p) coù nghieäm khi vaø chæ khi p ≡ 1 (mod 8).

ñoàng dö

25. Chöùng minh raèng coù voâ soá soá nguyeân toá daïng 8k + 1.

x 4 ≡ −1

6 THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG 6.1 Thaëêng dö bình phöông Giaû söû m laø soá nguyeân döông. Chuùng ta noùi raèng soá nguyeân a laø thaëng dö bình phöông cuûa m neáuu (a, m) = 1 vaø ñoàng dö x2 ≡ a (mod m) coù nghieäm. Neáu ñoàng dö x2 ≡ a (mod m) khoâng coù nghieäm thì ta noùi a laø khoâng thaëng dö bình phöông. Ví duï 6.1.1. Ñeå tìm caùc thaëng dö bình phöông cuûa 11 chuùng ta tính bình phöông cuûa taát caû caùc soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ta thaáy 12 ≡ 102 ≡ 1

(11), 22 ≡ 92 ≡ 4 (11), 32 ≡ 82 ≡ 9 (11), 42 ≡ 72 ≡ 5 (11), 52 ≡ 62 ≡ 3 (11). Nhö vaäy, caùc thaëêng dö bình phöông cuûa 11 laø: 1, 3, 4, 5, 9; caùc khoâng thaëng dö bình phöông cuûa 11 laø: 2, 6, 7, 8, 10.



Chuùng ta seõ chæ ra raèng neáu p laø soá nguyeân toá leû thì soá caùc thaëng dö bình phöông baèng soá caùc khoâng thaëng dö bình phöông cuûa p trong daõy 1, 2, · · · , p − 1.

Ñònh lyù 6.1. Neáu p laø soá nguyeân toá leû vaø p
a thì ñoàng dö x2 ≡ a

(mod p)

hoaëc khoâng coù nghieäm hoaëc coù ñuùng hai nghieäm khoâng ñoàng dö nhau modulo p.

Chöùng minh. Giaû söû ñoàng dö x2 ≡ a (mod p) coù nghieäm x = x0 . Ta thaáy

x = −x0 cuõng laø nghieäm, vì (−x0 )2 = x20 ≡ a (mod p). Nhöng x0 ≡ −x0 (mod p); vì neáu traùi laïi thì p | x0 − (−x0 ) = 2x0 , ñieàu naøy keùo theo p | x0 , vaø nhö vaäy p | a.

75

76

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Giaû söû

x = x1 laø moät nghieäm cuûa ñoàng dö x2 ≡ a (mod p). Theá thì x21 ≡ a ≡ x20 (mod p). Suy ra p | x21 − x20 = (x1 − x0 )(x1 + x0 ); ñieàu naøy keùo theo p | (x1 − x0 ) hoaëc p | (x1 + x0), hay cuõng vaäy x1 ≡ x0 (mod p) hoaëc x1 ≡ −x0 (mod p).


Ñònh lyù 6.2. Neáu p laø soá nguyeân toá leû thì soá caùc thaëng dö bình phöông baèng

soá caùc khoâng thaëng dö bình phöông cuûa p trong daõy 1, 2, · · · , p − 1.

Chöùng minh. Ñeå xaùc ñònh taát caû caùc caùc thaëng dö bình phöông cuûa p trong

daõy 1, 2, · · · , p − 1 chuùng ta tính caùc thaëng dö döông nhoû nhaát modulo p cuûa bình phöông cuûa taát caû caùc soá 1, 2, · · · , p − 1. Vì coù caû thaûy p − 1 caùc bình phöông vaø moãi ñoàng dö x2 ≡ a (mod p) hoaëc khoâng coù nghieäm hoaëc coù ñuùng hai nghieäm, ta suy ra coù ñuùng (p − 1)/2 caùc thaëng dö bình phöông, vaø do ñoù coù p − 1 − (p − 1)/2 = (p − 1)/2 caùc khoâng thaëng dö bình phöông cuûa p.
Giaû söû p laø øsoá nguyeân toá leû vaø p
a. Ta ñònh nghóa kyù hieäu Legendre a p


:=

1 −1

neáu a laø thaëng dö bình phöông cuûa p neáu a laø khoâng thaëng dö bình phöông cuûa p

Ví duï 6.1.2. Trong ví duï tröôùc ñaõ chæ ra

1 3 4 5 9 = = = = = 1, 11 11 11 11 11  2   6   7   8   10  = = = = = −1. 11 11 11 11 11 

Sau ñaây chuùng ta ñöa ra tieâu chuaån cuûa soá nguyeân laø thaëng dö bình phöông cuûa soá nguyeân toá.

Ñònh lyù 6.3. Tieâu chuaån Euler. Neáu p laø soá nguyeân toá leû vaø p
a thì a

≡ a(p−1)/2 (mod p). p a = 1. Khi ñoù, ñoàng p

dö nghieäm, giaû söû laø x = x0 . Theo ñònh lyù Fermat, ta coù

Chöùng minh. Tröôøng hôïp

a(p−1)/2 ≡ (x20 )(p−1)/2 = xp−1 ≡1 0

x2 ≡ a (mod p)

(mod p).

coù

77

6.1. THAËÊNG DÖ BÌNH PHÖÔNG a

= −1. Khi ñoù, ñoàng dö x2 ≡ a (mod p) khoâng coù nghieäm. Tröôøng hôïp p Vôùi moïi i, 1 ≤ i ≤ p − 1, ñeàu coù duy nhaát j, 1 ≤ j ≤ p − 1 ñeå ij ≡ a (mod p); nhöng do x2 ≡ a (mod p) voâ nghieäm neân i = j. Nhö vaäy ta coù theå nhoùm caùc soá 1, 2, · · · , p − 1 thaønh (p − 1)/2 caëp coù tích ñoàng dö vôùi a modulo p. Vaäy (p − 1)! ≡ a(p−1)/2

Theo ñònh lyù Wilson, (p − 1)! ≡ −1

(mod p).

(mod p),

a(p−1)/2 ≡ −1

neân ta suy ra

(mod p).


Heä quaû 6.3.1. Neáu p laø soá nguyeân toá leû thì  −1 



neáu p ≡ 1 (mod 4) neáu p ≡ −1 (mod 4) Ñònh lyù 6.4. Neáu p laø soá nguyeân toá leû vaø p
a, p
b thì p

=

1 −1

a) Neáu a ≡ b (mod p) thì b) c)

 ab  p  a2  p

=

a p

=

b . p

 a  b  . p p

= 1.

Chöùng minh. a) Neáu a ≡ b (mod p) thì x2 ≡ a (mod p) coù nghieäm khi vaø

chæ khi x2 ≡ b

(mod p)

coù nghieäm, hay a

b = . p p

b) Theo tieâu chuaån Euler, ta coù  ab 

c) Do

a p

p

≡ (ab)

= ±1,

neân

(p−1)/2

(p−1)/2 (p−1)/2

=a

 a2  p

b

=

 a  a  p

p

≡

 a  b  p

p

(mod p).

= 1.


78

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Ñònh lyù 6.5. Boå ñeà Gauss. Neáu p laø soá nguyeân toá leû vaø (a, p) = 1 vaø s laø soá

caùc thaëng dö döông nhoû nhaát lôùn hôn p/2 cuûa caùc soá a, 2a, · · · , ((p − 1)/2)a thì a p

= (−1)s .

Chöùng minh. Giaû söû u1 , u2 , · · · , us laø caùc thaëng dö döông nhoû nhaát lôùn hôn

p/2 vaø v1 , v2 , · · · , vt laø caùc thaëng dö döông nhoû nhaát nhoû hôn p/2 cuûa caùc soá a, 2a, · · · , ((p − 1)/2)a. Vì (ja, p) = 1 vôùi moïi j, 1 ≤ j ≤ (p − 1)/2 neân caùc thaëng dö döông nhoû nhaát thuoäc 1, 2, · · · , p − 1.

Chuùng ta seõ chæ ra raèng taäp {p − u1 , p − u2 , · · · , p − us , v1 , v2 , · · · , vt } chính laø taäp {1, 2, · · · , (p − 1)/2}. Vì (p − 1)/2 soá p − u1 , p − u2 , · · · , p − us , v1 , v2 , · · · , vt ñeàu nhoû hôn (p − 1)/2 neân ta chæ caàn chöùng toû raèng chuùng khoâng ñoàng dö nhau modulo p. Hieån nhieân p − ui ≡ p − uj (mod p) cuõng nhö vi ≡ vj (mod p) neáu i = j; vì neáu khoâng thì ta suy ra ma ≡ na (mod p), hay m ≡ n (mod p), vaø ñieàu naøy khoâng xaûy ra vôùi m = n maø 1 ≤ m, n ≤ (p − 1)/2. Töông töï, chuùng ta cuõng thaáy p − ui ≡ vj (mod p); vì neáu khoâng thì −m ≡ n (mod p), vaø ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra khi m = n vaø 1 ≤ m, n ≤ (p − 1)/2. Vaäy thì (p − u1 )(p − u2 ) · · · (p − us )v1 v2 · · · vt =

hay (−1)s u1 u2 · · · us v1 v2 · · · vt =

Do a(p−1)/2

Suy ra

p − 1 ! 2

p − 1 p − 1 ! = a · 2a · · · a ≡ u1 u2 · · · us v1 v2 · · · vt 2 2 (−1)s a(p−1)/2

Vì (p, ((p − 1)/2)!) = 1 neân a p

(mod p)

p − 1 p − 1 !≡ ! (mod p). 2 2

(−1)s a(p−1)/2 ≡ 1

Suy ra

p − 1 ! 2

(mod p).

≡ a(p−1)/2 ≡ (−1)s

(mod p).


79

6.1. THAËÊNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Ñònh lyù 6.6. Neáu p laø soá nguyeân toá leû thì 2 p

2 −1)/8

= (−1)(p

.

Do ñoù, 2 laø thaëng dö bình phöông cuûa moïi soá nguyeân toá p ≡ ±1 (mod 8) vaø khoâng laø thaëng dö bình phöông cuûa moïi soá nguyeân toá p ≡ ±3 (mod 8). Chöùng minh. Theo boå ñeà Gauss, goïi s laø soá caùc thaëng dö döông nhoû nhaát

lôùn hôn p/2 cuûa caùc soá 1 · 2,

2 · 2, · · · , ((p − 1)/2) · 2, 2 = (−1)s . p

thì

Vì taát caû caùc soá 1 · 2, 2 · 2, · · · , ((p − 1)/2) · 2 ñeàu nhoû hôn p neân soá caùc thaëng dö döông nhoû nhaát lôùn hôn p/2 chính baèng soá caùc soá lôùn hôn p/2 trong daõy 1 · 2, 2 · 2, · · · , ((p − 1)/2) · 2. Soá chaün 2j, vôùi 1 ≤ j ≤ (p − 1)/2, khoâng vöôït quaù p/2 khi j ≤ p/4. Vaäy s = (p − 1)/2 − [p/4]. Suy ra 2 p

= (−1)(p−1)/2−[p/4].

Ñeå keát thuùc chöùng minh ñònh lyù, chuùng ta chæ caàn chöùng toû raèng Xeùt tröôøng hôïp

p−1 − [p/4] ≡ (p2 − 1)/8 (mod 2). 2 p = 8k + 1, ta coù

p−1 − [p/4] = 4k − [2k + 1/4] = 2k ≡ 0 ≡ ((8k + 1)2 − 1)/8 (mod 2). 2 Tröôøng hôïp p = 8k + 3, ta coù p−1 −[p/4] = 4k +1−[2k +3/4] = 2k +1 ≡ 1 ≡ ((8k +3)2 −1)/8 (mod 2). 2 Tröôøng hôïp p = 8k + 5, ta coù p−1 −[p/4] = 4k +2−[2k +5/4] = 2k +1 ≡ 1 ≡ ((8k +5)2 −1)/8 (mod 2). 2 Cuoái cuøng, vôùi p = 8k + 7, ta coù p−1 −[p/4] = 4k +3−[2k +7/4] = 2k +2 ≡ 0 ≡ ((8k +7)2 −1)/8 (mod 2). 2


80

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Ví duï 6.1.3. Caàn xaùc ñònh xem 111 coù laø thaëng dö bình phöông modulo 43 hay khoâng. Vì 111 ≡ −18  111  43

=

 −18  43

=

(mod 43)

neân ta coù

 9  2   3 2  2  2 =− =− =− = 1. 43 43 43 43 43 43

 −1  18  43

Vaäy 111 laø thaëng dö bình phöông modulo 43. 

6.2 Luaät thuaän nghòch bình phöông Giaû söû p, q laø caùc soá nguyeân toá leû khaùc nhau vaø ta ñaõ bieát raèng p coù laø thaëng dö bình phöông modulo q hay khoâng. Nhôø vaäy, lieäu ta coù theå noùi ñöôïc gì veà vieäc q coù laø thaëng dö bình phöông modulo p? Luaät thuaän nghòch bình phöông seõ cho ta caâu traû lôøi veà vaán ñeà naøy. Ñeå chöùng minh luaät thuaän nghòch bình phöông, tröôùc heát chuùng ta chöùng minh ñònh lyù sau.

Ñònh lyù 6.7. Neáu p laø soá nguyeân toá leû vaø a laø soá leû khoâng chia heát cho p thì a p

= (−1)T (a,p) ,

vôùi

(p−1)/2

T (a, p) =

[ja/p].

j=1

Chöùng minh. Giaû söû u1 , u2 , · · · , us laø caùc thaëng dö döông nhoû nhaát lôùn hôn

p/2 vaø v1 , v2 , · · · , vt laø caùc thaëng dö döông nhoû nhaát nhoû soá a, 2a, · · · , ((p − 1)/2)a. Theo thuaät toaùn chia, ta coù ja = p[ja/p] + rj ,

trong ñoù rj laø moät uj hoaëc vj . Nhö vaäy,





(p−1)/2

j=1

(p−1)/2

ja =

j=1

p[ja/p] +

s

j=1

uj +

t

j=1

vj .

hôn p/2 cuûa caùc

81

6.2. LUAÄT THUAÄN NGHÒCH BÌNH PHÖÔNG

Nhö trong chöùng minh boå ñeà Gauss ñaõ chæ ra raèng taäp {p−u1 , p−u2 , us , v1 , v2 , · · · , vt } cuõng chính laø taäp {1, 2, · · · , (p − 1)/2}, neân (p−1)/2

j=

j=1

Suy ra

s

(p−1)/2

(p − uj ) +

j=1

j=1

j=

j=1

t

vj .

j=1

p[ja/p] − ps + 2

s

uj ,

j=1

(p−1)/2

(a − 1)

uj +

j=1

(p−1)/2

j=1

hay

vj = ps −

s

j=1

(p−1)/2

ja −

t

· · · , p−

j = pT (a, p) − ps + 2

j=1

s

uj .

j=1

Vì a, p leû neân ta suy ra T (a, p) ≡ s (mod 2).

Vaäy

a p

Ví duï 6.2.1. Ñeå xaùc ñònh 5

= (−1)s = (−1)T (a,p) .

7 , 11




ta tính

[j · 7/11] = [7/11] + [14/11] + [21/11] + [28/11] + [35/11] = 7.

j=1

Vaäy

7 = (−1)7 = −1. 11 

Ñònh lyù 6.8. Luaät thuaän nghòch bình phöông. Neáu p, q laø caùc soá nguyeân toá leû khaùc nhau thì

 p  q  q

p

= (−1)

p−1 q−1 · 2 2

.

82

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Chöùng minh. Chuùng ta xeùt caùc caëp soá nguyeân (x, y) vôùi 1 ≤ x ≤ (p − 1)/2

vaø 1 ≤ y ≤ (q − 1)/2. Coù caû thaûy p−1 · q−1 caëp nhö vaäy. Chuùng ta chia caùc 2 2 caëp naøy thaønh hai nhoùm. Tröôùc heát ta coù nhaän xeùt laø qx = py vôùi moïi caëp (x, y).

Nhoùm thöù nhaát goàm caùc caëp (x, y) maø qx > py, vaø nhoùm thöù hai goàm caùc caëp (x, y) maø qx < py. Ta thaáy nhoùm thöù nhaát goàm caùc caëp (x, y) maø 1 ≤ x ≤ (p − 1)/2 vaø 1 ≤ y ≤ qx/p. Ñoái vôùi moãi x coá ñònh, 1 ≤ x ≤ (p − 1)/2, coù ñuùng [qx/p] caùc soá y thoaû 1 ≤ y ≤ qx/p. Nhö vaäy nhoùm thöù nhaát coù soá caëp laø (p−1)/2

[qj/p].

j=1

Töông töï, ta thaáy nhoùm thöù hai coù soá caëp laø (q−1)/2

[pj/q].

j=1

Vaäy

(p−1)/2

(q−1)/2

[qj/p] +

j=1

[pj/q] =

j=1

p−1 q−1 · , 2 2

söû duïng kyù hieäu cuûa ñònh lyù 6.7 ta coù T (q, p) + T (p, q) =

Theo ñònh lyù 6.7 ta suy ra  p  q  q

p

p−1 q−1 · . 2 2

= (−1)T (p,q) · (−1)T (q,p) = (−1)T (p,q)+T (q,p) = (−1)

p−1 q−1 · 2 2

.


Nhaän xeùt: p

    

q 

p = q   q    p

neáu p ≡ 1

(mod 4)

neáu p ≡ q ≡ 3

hoaëc q ≡ 1

(mod 4).

(mod 4);

83

6.2. LUAÄT THUAÄN NGHÒCH BÌNH PHÖÔNG

Ví duï 6.2.2. Chuùng ta caàn tính laø caùc soá nguyeân toá neân ta coù

 713  . Do 713 = 23·31 vaø caùc soá 23, 31, 1009 1009

 713   23  31  = . 1009 1009 1009

Vì 1009 ≡ 1

(mod 4)

neân

 23   1009   31   1009  = , = . 1009 23 1009 31

Do 1009 ≡ 20

(mod 23)

vaø 1009 ≡ 17

 1009  23

Ta thaáy

=

23

,

 1009  31

=

neân  17  . 31

 20 

 22  5   2 2  5   5  = = = . 23 23 23 23 23 23

Nhöng

 5   23   3   5   2  = = = = = −1 23 5 5 3 3

neân

 23  = −1. 1009

Töông töï, ta coù  17  31

hay

 20 

(mod 31)

=

 31  17

=

 14  17

=

 2  7   7   17   3  = = = , 17 17 17 7 7

 31   3  7 4  2 2 = =− =− =− = −1. 1009 7 3 3 3

Cuoái cuøng ta ñöôïc  713   23  31  = = (−1) · (−1) = 1. 1009 1009 1009 

84

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

6.3 Kyù hieäu Jacobi Kyù hieäu Jacobi laø söï toång quaùt hoaù cuûa kyù hieäu Legendre, noù coøn ñöôïc duøng ñeå ñònh nghóa moät daïng cuûa soá giaû nguyeân toá. Giaû söû n laø soá nguyeân döông leû coù phaân tích thaønh luõy thöøa nguyeân toá n = pt1 pt2 · · · ptm vaø (a, n) = 1; khi ñoù kyù hieäu Jacobi ñöôïc ñònh nghóa 1

2

m

a n

:=

 a t1  a t2 p1

p2

 a tm ··· . pm

Khi n laø soá nguyeân toá thì kyù hieäu Jacobi chính laø kyù hieäu Legendre; tuy nhieân giaù trò cuûa kyù hieäu Jacobi khoâng noùi leân raèng khi naøo ñoàng dö x2 ≡ a (mod n) coù nghieäm. a

= 1. Thaät vaäy, neáu coù nghieäm thì n x ≡ a (mod n) coù nghieäm, thì vôùi öôùc nguyeân toá pi cuûa n, ñoàng dö a a = 1. Tuy nhieân, x2 ≡ a (mod pi ) cuõng coù nghieäm, hay = 1, suy ra pi n ñieàu ngöôï c laïi laø khoâ ng ñuùng. Chaúng haïn vôùi n = 15 vaø a = 2, ta  2  2  2  2  coù = := = (−1) · (−1) = 1, nhöng x2 ≡ 2 (mod 15) voâ 15 3·5 3 5 nghieäm vì x2 ≡ 2 (mod 3) cuõng nhö x2 ≡ 2 (mod 5) ñeàu voâ nghieäm.

Neáu ñoàng dö

2

x ≡ a (mod n)

2

Ñònh lyù 6.9. Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø (a, n) = (b, n) = 1 thì a) Neáu a ≡ b (mod n) thì

a

=

b . n

n  a  b  b) = . n n n  −1  = (−1)(n−1)/2, c) n 2 2 d) = (−1)(n −1)/8 . n Chöùng minh. 1. Neá u p laø öôùc nguyeân toá cuûa n, ta coù a ≡ b (mod p), theo a  b  = . Suy ra ñònh lyù 6.4 thì p p  a   a t1  a t2  a tm  b t1  b t2  b tm  b  = . ··· = ··· = n p1 p2 pm p1 p2 pm n  ab 

85

6.3. KYÙ HIEÄU JACOBI

2. Theo ñònh lyù 6.4, neáu p laø öôùc nguyeân toá cuûa n, thì Suy ra  ab 

3.

 ab t1  ab t2

p

 a  b  = . p p

 a t1  b t1  a tm  b tm ··· = n p1 p2 pm p1 p1 pm pm  a t1  a t2  a tm  b t1  b t2  b tm  a  b  = . ··· ··· = p1 p2 pm p1 p2 pm n n  −1  Theo ñònh lyù 6.4, neáu p laø öôùc nguyeân toá leû cuûa n, thì = (−1)(p−1)/2 . p =

···

 ab tm

 ab 

=

Suy ra

 −1  n

=

 −1 t1  −1 t2 p1

p2

···

 −1 tm pm

= (−1)t1 (p1 −1)/2+···+tm (pm −1)/2

Ta coøn phaûi chöùng toû raèng (n − 1)/2 ≡ t1 (p1 − 1)/2 + t2 (p2 − 1)/2 + · · · + tm (pm − 1)/2 (mod 2). Do (pi − 1) laø soá chaün neân (1 + (pi − 1))ti ≡ 1 + ti (pi − 1) (mod 4),

suy ra (1+t1 (p1 −1)) · · · (1+tm (pm −1)) ≡ 1+t1 (p1 −1)+· · ·+tm (pm −1) (mod 4).

Vì

n = (1 + (p1 − 1))t1 (1 + (p2 − 1))t2 · · · (1 + (pm − 1))tm

neân n ≡ 1 + t1 (p1 − 1) + t2 (p2 − 1) + · · · + tm (pm − 1) (mod 4),

hay (n − 1)/2 ≡ t1 (p1 − 1)/2 + t2 (p2 − 1)/2 + · · · + tm (pm − 1)/2 (mod 2).

4. Theo ñònh lyù 6.4, neáu p laø öôùc nguyeân toá leû cuûa n, thì Suy ra 2 n

=

2 p

2 −1)/8

= (−1)(p

 2 t1  2 t2  2 tm 2 2 ··· = (−1)t1 (p1 −1)/8+···+tm (pm −1)/8 p1 p2 pm

.

86

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Ta coøn phaûi chöùng toû raèng (n2 − 1)/8 ≡ t1 (p21 − 1)/8 + t2 (p22 − 1)/8 + · · · + tm (p2m − 1)/8 (mod 2). Do (p2i − 1) laø chia heát cho 8 neân (1 + (p2i − 1))ti ≡ 1 + ti (p2i − 1) (mod 64),

suy ra (1+t1 (p21 −1)) · · · (1+tm (p2m −1)) ≡ 1+t1 (p21 −1)+· · ·+tm (p2m −1) (mod 64).

Vì

n2 = (1 + (p21 − 1))t1 (1 + (p22 − 1))t2 · · · (1 + (p2m − 1))tm

neân

n2 ≡ 1 + t1 (p21 − 1) + t2 (p22 − 1) + · · · + tm (p2m − 1) (mod 64),

suy ra (n2 − 1)/8 ≡ t1 (p21 − 1)/8 + t2 (p22 − 1)/8 + · · · + tm (p2m − 1)/8 (mod 8).


Ñònh lyù 6.10. Luaät thuaän nghòch cho kyù hieäu Jacobi. Neáu m, n laø caùc soá döông leû nguyeân toá cuøng nhau thì

 m  n  n

m

= (−1)

m−1 n−1 · 2 2

.

Chöùng minh. Giaû söû m, n coù phaân tích thaønh luyõ thöøa nguyeân toá laø m = pα1 1 pα2 2 · · · pαr r , n = q1β1 q2β2 · · · qsβs .

Khi ñoù ta coù

m n

vaø

n m

Theá thì

=

s   m βi

=

r   n αj j=1

 m  n  n

qi

i=1

m

pj

=

=

r  s   pj βi αj

qi

i=1 j=1

=

r  s   qi αj βi j=1 i=1

pj

s  r   pj  qi αj βi i=1 j=1

qi

pj

.

87

6.4. SOÁ GIAÛ NGUYEÂN TOÁ EULER

Do luaät thuaän nghòch bình phöông pj −1 q −1  p  q  i j i = (−1) 2 2 , q i pj

neân  m  n  n

m

=

r s  

αj

(−1)


si=1
rj=1 αj pj −1 βi qi −1

pj −1 qi −1 2 βi 2

2

= (−1)

2

.

i=1 j=1

Chuù yù raèng r s

i=1

pj − 1 q i − 1 pj − 1 q i − 1 βi = , αj αj βi 2 2 2 i=1 2 j=1 j=1 r

s

neân laäp luaän nhö trong phaàn c) cuûa ñònh lyù 6.9 ta ñöôïc: r

αj

j=1

Vaäy

m−1 pj − 1 ≡ 2 2 s r

i=1 j=1

Suy ra

αj

(mod 2)

vaø

s

i=1

βi

n−1 qi − 1 ≡ 2 2

(mod 2).

pj − 1 q i − 1 m−1 n−1 βi ≡ · . 2 2 2 2

 m  n  n

m

= (−1)

m−1 · n−1 2 2

.


6.4 Soá giaû nguyeân toá Euler Nhôù laïi raèng, hôïp soá

n

ñöôïc goïi laø soá giaû nguyeân toá cô sôû b neáuu

(mod n).

Hôïp soá leû n ñöôïc goïi laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b neáuu b(n−1)/2 ≡

b n

(mod n).

bn ≡ b

88

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

Ví duï 6.4.1. Cho

n = 1105 vaø b = 2. Ta coù 2552 ≡ 1 (mod 1105).  2  = 1. Do ñoù 1105 ≡ 1 (mod 8), neân 1105  2  552 2 ≡ (mod 1105). 1105

Vì

Maø 1105 laø hôïp soá neân noù laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû 2.. 

Ñònh lyù 6.11. Neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b thì n cuõng laø soá giaû nguyeân toá cô sôû b.

Chöùng minh. Neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b thì b(n−1)/2 ≡

b n

(mod n).

Bình phöông ñoàng dö treân, ta ñöôïc bn−1 ≡

 b 2 n

=1

(mod n),

do

b n

= ±1.


Chuù yù laø, khoâng phaûi moïi soá giaû nguyeân toá ñeàu laø soá giaû nguyeân toá Euler. Chaúng haïn, soá 341 khoâng laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû 2 maëc duø noù laø soá giaû nguyeân toá cô sôû 2. Hôïp soá n ñöôïc goïi laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b neáu noù traûi qua ñöôïc kieåm tra Miller cô sôû b; töùc laø: neáu n − 1 = 2st, trong ñoù s ≥ 0 vaø t leû thì bt ≡ 1 (mod n) hoaëc b2 t ≡ −1 (mod n), vôùi r naøo ñoù 0 ≤ r ≤ s − 1. r

Ví duï 6.4.2. Cho n = 2047 = 23 · 89. Ta coù n − 1 = 2 · 1023. Vì 21023 = (211 )93 = 204893 ≡ 1 (mod 2047), 2.

neân 2047 laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû



Ñònh lyù 6.12. Neáu n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b thì n cuõng laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b.

89

6.4. SOÁ GIAÛ NGUYEÂN TOÁ EULER

Chöùng minh. Neáu n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b thì n − 1 = 2s t,

trong ñoù s ≥ 0 vaø t leû thì bt ≡ 1 (mod n) hoaëc b2 t ≡ −1 (mod n), vôùi r naøo ñoù 0 ≤ r ≤ s − 1. Giaû söû n coù khai trieån thaønh luyõ thöøa nguyeân toá, r

n = pα1 1 pα2 2 · · · pαmm .

Xeùt tröôøng hôïp bt ≡ 1 (mod n). Giaû söû p laø moät öôùc nguyeân toá cuûa n. Vì bt ≡ 1 (mod p), ta suy ra ordp b | t. Vì ordp b leû vaø ordp b | ϕ(p) neân ordp b | (p − 1)/2. Vaäy b(p−1)/2 ≡ 1

(mod p).

Töø tieâu chuaån Euler, ta suy ra b p

= 1.

Theo kyù hieäu Jacobi, ta coù m   b αj = = 1. n pj j=1

b

Suy ra b

(n−1)/2

≡

b n

≡1

(mod n),

hay n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b. Baây giôø ta xeùt tröôøng hôïp b2 t ≡ −1 (mod n), vôùi r naøo ñoù 0 ≤ r ≤ s − 1. Giaû söû p laø moät öôùc nguyeân toá cuûa n. Ta coù r

b2 t ≡ −1 r

(mod p).

Bình phöông hai veá, ta ñöôïc b2

r+1 t

≡1

(mod p),

ñieàu naøy keùo theo ordp b | 2r+1t, nhöng ordp b
2r t, do ñoù ordp b = 2r+1 c,

trong ñoù c laø soá leû. Vì ordp b | (p − 1) vaø 2r+1 | ordp b, neân 2r+1 | p − 1. Vaäy thì p − 1 = 2r+1d vôùi d laø soá döông. Vì b(ordp b)/2 ≡ −1

(mod p),

90

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

neân ta coù

b p

≡ b(p−1)/2 = (bordp b/2 )(p−1)/ordp b ≡ (−1)(p−1)/(2

r+1 c)

(mod p).

Nhöng c leû neân b p

= (−1)(p−1)/(2

r+1 )

trong ñoù p = 2r+1d + 1.

= (−1)d ,

Vaäy n=

m 

(2r+1 dj + 1)αj ≡

j=1

m 

(1 + 2r+1αj dj ) ≡ 1 + 2r+1

j=1

2

t = (n − 1)/2 ≡ 2

(mod 22r+2 ).

r

m

(mod 2r+1 ),

αj dj

j=1

keùo theo 2

vaø

αj dj

j=1

Töø ñoù s−1

m

s−1−r

t≡

m

αj dj

(mod 2)

j=1

b(n−1)/2 = (b2 t )2 r

s−1−r

Maët khaùc, ta coù b n

=

≡ (−1)2

s−1−r


mj=1 αj dj

= (−1)

(mod n) .

m  m m
mj=1 αj dj   b αj  = ((−1)dj )αj = (−1)αj dj = (−1) . p j j=1 j=1 j=1

Vaäy b(n−1)/2 ≡

b n

≡1

(mod n),

hay n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b.
Cuõng löu yù raèng khoâng phaûi moïi soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b ñeàu laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b. Chaúng haïn, soá 1105 laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû 2 vì   2(1105−1)/2 = 2552 ≡ 1 =

trong khi

2

2(1105−1)/2 = 2276 ≡ 781 ≡ ±1

Tuy nhieân ta cuõng coù ñònh lyù sau

2 , 1105

(mod 1105).

91

6.4. SOÁ GIAÛ NGUYEÂN TOÁ EULER

Ñònh lyù 6.13. Neáu n ≡ 3

vaø n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b thì n cuõng laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b. (mod 4)

Chöùng minh. Vì n ≡ 3 (mod 4) neân n − 1 = 2 · t, trong ñoù t = (n − 1)/2 laø soá leû. Do n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b neân t

b =b

(n−1)/2

≡

b n

(mod n).

b

Vì = ±1, neân bt ≡ 1 (mod n) hoaëc bt ≡ −1 n ta coù n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b.

theo ñònh nghóa

(mod n);

Ñònh lyù 6.14. Neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b vaø

b

cuõng laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b.

Chöùng minh. Giaû söû n − 1 = 2s t, trong ñoù s > 0 vaø t leû. Vì

laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû b neân b2

s−1 t

= b(n−1)/2 ≡

b n

= −1

n


= −1,

b n

= −1

thì n

vaø n

(mod n).

Theo ñònh nghóa thì n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôû b.




BAØI TAÄP CHÖÔNG VI 1. Giaû söû a, b laø caùc soá nguyeân khoâng chia heát cho p. Chöùng minh raèng hoaëc laø moät, hoaëc laø caû ba soá a, b, ab ñeàu laø thaëng dö bình phöông modulo p. 2. Chöùng minh raèng neáu p laø soá nguyeân toá leû thì  −2   1 neáu p ≡ 1 hoaëc 3 (mod 8) = −1 neáu p ≡ −1 hoaëc − 3 (mod 8) p

92

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

3. Chöùng minh raèng neáu q laø soá nguyeân toá khoâng chia heát n vaø n coù phaân tích thaønh luyõ thöøa nguyeân toá n = p2t1 +1 p22t +1 · · · pk2t +1 p2tk+1 p2tk+2 · · · p2tm thì  n   p  p  p  1

q

=

1

q

2

2

q

···

k

k

q

k+1

k+2

.

4. Chöùng minh raèng neáu p laø soá nguyeân toá vaø p ≡ 3 (mod 4) thì [(p − 1)/2]! ≡ (−1)t (mod p), trong ñoù t laø soá caùc soá nguyeân döông nhoû hôn p/2 khoâng laø thaëng dö bình phöông modulo p. 5. Chöùng minh raèng neáu b laø soá nguyeân döông khoâng chia heát cho soá nguyeân toá p thì b p

+

 2b  p

+

 3b  p

··· +

 (p − 1)b  p

= 0.

6. Giaû söû p laø soá nguyeân toá vaø a laø thaëng dö bình phöông cuûa p. Chöùng minh raèng neáu p ≡ 1 (mod 4) thì −a cuõng laø thaëng dö bình phöông cuûa p, trong khi p ≡ 3 (mod 4) thì −a khoâng laø thaëng dö bình phöông cuûa p. 7. Xeùt ñoàng dö baäc hai ax2 + bx + c ≡ 0 toá, a, b, c laø caùc soá nguyeân vôùip
a.

(mod p), trong ñoù p laø soá nguyeân

a) Chöùng toû raèng ñoàng dö treân coù nghieäm khi p = 2. b) Khi p leû, ñaët d = b2 − 4ac. Chöùng toû raèng ñoàng dö ñaõ cho töông ñöông vôùi ñoàng dö y 2 ≡ d (mod p), trong ñoù y = 2x + b. Töø ñoù haõy suy ra raèng, neáu d ≡ 0 (mod p) thì ñoàng dö ñaõ cho coù ñuùng moät nghieäm modulo p, neáu d laø thaëng dö bình phöông cuûa p thì coù hai nghieäm khoâng ñoàng dö nhau, neáu d khoâng laø thaëng dö bình phöông cuûa p thì ñoàng dö ñaõ cho voâ nghieäm. 8. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa ñoàng dö baäc hai sau: a)

x2 + x + 1 ≡ 0 (mod 7)

b)

x2 + 5x + 1 ≡ 0 (mod 7)

c)

x2 + 3x + 1 ≡ 0 (mod 7)

m

93

6.4. SOÁ GIAÛ NGUYEÂN TOÁ EULER

9. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa ñoàng dö sau: a)

x2 ≡ 1 (mod 15)

b)

x2 ≡ 58 (mod 77)

c)

x2 ≡ 207 (mod 1001)

10. Xaùc ñònh soá nghieäm cuûa ñoàng dö sau: a)

x2 ≡ 31 (mod 75)

b)

x2 ≡ 16 (mod 105)

c)

x2 ≡ 46 (mod 231)

11. Chöùng toû raèng coù voâ soá caùc soá nguyeân toá trong moãi caáp soá coäng sau: a)

8k + 3

b)

8k + 5

c)

8k + 7.

12. Giaû söû p laø soá nguyeân toá leû vôùi r laø caên nguyeân thuyû vaø a laø soá nguyeân khoâng chia heát cho p. Chöùng minh raèng a laø thaëng dö bình phöông cuûa p khi vaø chæ khi indr a laø soá chaün. 13. Chöùng minh raèng moãi caên nguyeân thuyû cuûa soá nguyeân toá leû khoâng laø thaëng dö bình phöông cuûa p.

p

ñeàu

14. Giaû söû p laø soá nguyeân toá leû. Chöùng minh raèng coù (p − 1)/2 − ϕ(p − 1) soá khoâng thaëng dö bình phöông ñoàng thôøi khoâng laø caên nguyeân thuyû cuûa p. 15. Haõy tính caùc kyù hieäu Legndre sau: a) b) c)

3 , 53 7 , 79  15  , 101

d) e) f)

 31  , 641  111  , 991  105  . 1009

94

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

16. Söû duïng luaät thuaän nghòch bình phöông, haõy chöùng toû raèng neáu p laø soá nguyeân toá leû thì 3 p



=

1 −1

neáu p ≡ neáu p ≡

±1 ±5

(mod 12) (mod 12)

17. Haõy chöùng toû raèng neáu p laø soá nguyeân toá leû thì  −3  p



1 −1

=

neáu p ≡ neáu p ≡

1 (mod 6) −1 (mod 6)

18. Xaùc ñònh bôûi ñoàng dö cho caùc soá nguyeân toá coù: a)

5

laø thaëng dö bình phöông

a)

5

laø thaëng dö bình phöông.

19. Chöùng minh raèng coù voâ soá soá nguyeân toá daïng 5k + 4. 20. Haõy tính caùc kyù hieäu Jacobi sau: a) b) c)

5 , 21  27  , 101  111  , 1001

d) e) f)

 1009  , 2307  2663  , 3299  10001  . 20003

21. Xaùc ñònh caùc soá nguyeân döông n sao cho: a) 22. Giaû söû

a, b laø caùc (−1) 2 q vôùi q leû. s t

 15  n

= 1,

b)

 30  n

= 1.

soá nguyeân toá cuøng nhau, b laø soá döông leû vaø Chöùng minh raèng a b

= (−1)

2 b−1 .s+ b 8−1 .t 2

q  . b

23. Chöùng minh raèng 561 laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû 2.

a=

95

6.4. SOÁ GIAÛ NGUYEÂN TOÁ EULER

24. Chöùng minh raèng 15841 laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû nguyeân toá maïnh cô sôû 2 vaø laø soá Carmichael.

2,

laø soá giaû

25. Chöùng minh raèng neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler caùc cô sôû a vaø b thì n cuõng laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû ab. 26. Chöùng minh raèng neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôûø b thì n cuõng laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôû n − b. 27. Chöùng minh raèng neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôûø 2 vaø n ≡ 5 (mod 8) thì n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôûø 2. 28. Chöùng minh raèng neáu n laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôûø 3 vaø n ≡ 5 (mod 12) thì n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôûø 3. 29. Haõy xaùc ñònh moät ñoàng dö cho soá giaû nguyeân toá Euler n cô sôûø 5 ñaûm baûo cho n laø soá giaû nguyeân toá maïnh cô sôûø 5. 30. Coù bao nhieâu soá nguyeân b, 1 ≤ b < 561 ñeå 561 laø soá giaû nguyeân toá Euler cô sôûø b? Cuõng hoûi nhö vaäy nhöng thay soá 561 bôûi 1729.

96

6. THAËNG DÖ BÌNH PHÖÔNG

7 SOÁ b- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC 7.1 Soá b-phaân Trong chöông naøy chuùng ta seõ baøn ñeán söï bieåu dieãn soá höõu tæ cuõng nhö soá voâ tæ döôùi daïng soá b-phaân vaø phaân soá lieân tuïc. Tröôùc heát ta xeùt bieåu dieãn cô soá b cuûa soá thöïc, vôùi b laø soá nguyeân lôùn hôn 1. Giaû söû α laø soá thöïc döông, a = [α] laø phaàn nguyeân vaø γ = α−[α] laø phaàn phaân cuûa soá α; ta coù α = a+γ, vôùi 0 ≤ γ < 1. Chuùng ta ñaõ bieát raèng, soá nguyeân a coù bieåu dieãn trong cô soá b vaø bieåu dieãn laø duy nhaát. Baây giôø chuùng ta seõ chæ ra raèng, phaàn phaân γ cuõng coù bieåu dieãn trong cô soá b vaø bieåu dieãn laø duy nhaát.

Ñònh lyù 7.1. Giaû söû γ laø soá thöïc, 0 ≤ γ < 1 vaø b laø soá nguyeân döông, b > 1.

Theá thì γ ñöôïc vieát moät caùch duy nhaát döôùi daïng γ=

∞

cj /bj ,

j=1

trong ñoù caùc heä soá cj laø nguyeân vôùi 0 ≤ cj ≤ b − 1, vaø vôùi haïn cheá laø ñoái vôùi moïi soá nguyeân döông N ñeàu coù soá nguyeân n ≥ N maø cn = b − 1. Chöùng minh. Ñaët γ0 = γ vaø ñaët

vaø γ1 = bγ0 − c1 = bγ0 − [bγ0 ], 0 ≤ γ1 < 1 vaø

c1 = [bγ0 ]

thì 0 ≤ c1 ≤ b − 1,

γ=

c1 γ1 + . b b

97

98

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

Chuùng ta xaùc ñònh baèng qui naïp daõy ck , ck = [bγk−1 ]

thì 0 ≤ ck ≤ b − 1,

0 ≤ γk < 1 γ=

γk , k = 2, 3, ...

bôûi

vaø γk = bγk−1 − ck ,

vaø

cn γn c1 c2 + 2 + ··· + n + n. b b b b

Do 0 ≤ γn < 1 vaø b > 1 neân n→∞ lim γn /bn = 0. Vaäy γ=

∞

cj /bj .

j=1

Baây giôø chuùng ta seõ chuùng toû raèng bieåu dieãn laø duy nhaát. Giaû söû traùi laïi, γ=

∞

j

cj /b =

j=1

∞

dj /bj

j=1

vaø k laø soá nguyeân döông nhoû nhaát maø ck > dk . Theá thì 0 = (ck − dk )/b + k

∞

(cj − dj )/bj ,

j=k+1

cuõng vaäy (ck − dk )/b = k

∞

(dj − cj )/bj .

j=k+1

Vì (ck − dk )/bk ≥ 1/bk trong khi ∞

∞

1/bk (dj − cj )/b < (b − 1)/b = (b − 1) = 1/bk , 1 − 1/b j=k+1 j=k+1

vaø ta gaëp maâu thuaãn. 

j

j




j Chuoãi ∞ j=1 cj /b ñöôïc goïi laø bieåu dieãn trong cô soá b cuûa soá γ vaø döôïc kyù hieäu laø (.c1 c2 c3 ...)b .

99

7.1. SOÁ B-PHAÂN

Ví duï 7.1.1. Giaû söû (.c1 c2c3 ...)8 laø bieåu dieãn trong cô soá 8 cuûa soá γ = 1/6.

Ta coù

1 c1 = [8 · ] = 1, 6 1 c2 = [8 · ] = 2, 3 2 c3 = [8 · ] = 5, 3 1 c4 = [8 · ] = 2, 3 2 c5 = [8 · ] = 5, 3

γ1 = 8 · γ2 = 8 · γ3 = 8 · γ4 = 8 · γ5 = 8 ·

1 6 1 3 2 3 1 3 2 3

−1= −2= −5= −2= −5=

1 3 2 3 1 3 2 3 1 3

...

Nhö vaäy 1/6 = (.1252525...)8 . 

Chuùng ta seõ baøn ñeán bieåu dieãn cô sôû b cuûa caùc soá höõu tæ. Bieåu dieãn (.c1c2 c3 ...)b trong cô sôû b, ñöôïc goïi laø höõu haïn neáuu coù soá nguyeân döông n sao cho cn = cn+1 = cn+2 = · · · = 0; khi ñoù ta vieát laø (.c1 c2 c3 ...cn−1 )b .

Ñònh lyù 7.2. Soá thöïc α,

0 ≤ α < 1 coù bieåu dieãn höõu haïn khi vaø chæ khi α laø soá höõu tæ coù daïng α = r/s, 0 ≤ r < s, (r, s) = 1 vaø moïi öôùc nguyeân toá cuûa s ñeàu laø öôùc nguyeân toá cuûa b.

Chöùng minh.



(.c1 c2 c3 ...cn )b .

⇒ .

Theá thì

α=

Giaû söû

α, 0 ≤ α < 1

coù bieåu dieãn höõu haïn

cn c1 bn−1 + c2 bn−2 + · · · + cn c1 c2 . + 2 + ··· + n = b b b bn

Töø ñaây ta suy ra α laø soá höõu tæ. Nhö vaäy, neáu α = r/s =

c1 bn−1 + c2 bn−2 + · · · + cn , 0 ≤ r < s, (r, s) = 1 bn

thì moïi öôùc nguyeân toá cuûa s ñeàu laø öôùc nguyeân toá cuûa b.

α =

100

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

⇐ . Giaû söû laø α = r/s, 0 ≤ r < s, (r, s) = 1 vaø moïi öôùc nguyeân toá cuûa s ñeàu laø öôùc nguyeân toá cuûa b. Theá thì coù soá nguyeân döông N sao cho s | bN . Nhö vaäy bN α = bN r/s = ar, 

trong ñoù a laø soá nguyeân döông. Vì moãi soá nguyeân döông ñeàu coù bieåu dieãn trong cô soá b neân ta giaû söû ar coù bieåu dieãn laø (am am−1 ...a1 a0 )b . Suy ra α = ar/bN =

am bm + am−1 bm−1 + · · · + a1 b + a0 = (0.00...am am−1 ...a1 a0 )b , bN

vaø nhö vaäy α coù bieåu dieãn höõu haïn trong cô soá b.




Chuù yù raèng, soá coù bieåu dieãn höõu haïn trong cô soá b, (.c 1 c2 c3...cn )b coù theå vieát döôùi daïng (.c1 c2 ...cn−1 an an+1 an+2 ...)b , vôùi an = cn − 1, an+1 = an+2 = · · · = b − 1. Chaúng haïn, soá (.12)10 = (.119999...)10. Haïn cheá ñöôïc ñöa ra trong ñònh lyù 7.1 coát ñeå cho bieåu dieãn laø duy nhaát. Bieåu dieãn voâ haïn (.c1 c2 c3 ...)b trong cô soá b, ñöôïc goïi laø tuaàn hoaøn neáuu coù caùc soá nguyeân döông N vaø k øsao cho cn+k = cn vôùi moïi n ≥ N. Ñoái vôùi soá tuaàn hoaøn nhö theá, ta vieát (.c1 c2 c3...cN −1 cN ...cN +k−1 )b . Khi N vaø k laø nhoû nhaát thoaû maõn cn+k = cn vôùi moïi n ≥ N, ta noùi (.c1 c2c3 ...cN −1 )b laø tieàn chu kyø vaø (cN ...cN +k−1 )b laø chu kyø. Chaúng haïn, trong heä thaäp phaân, soá ¯ 10 coù phaàn tröôùc chu kyø laø 1 vaø chu kyø laø 6. Ñònh lyù sau ñaây noùi 1/6 = (.166) leân raèng caùc soá höõu tæ chính laø caùc soá thöïc coù bieåu dieãn höõu haïn hoaëc tuaàn hoaøn trong cô soá b.

Ñònh lyù 7.3. Giaû söû b laø soá nguyeân lôùn hôn 1. Theá thì bieåu dieãn tuaàn hoaøn

trong cô soá b laø soá höõu tæ. Ngöôïc laïi, soá höõu tæ coù bieåu dieãn trong cô soá b laø höõu haïn hoaëc tuaàn hoaøn. Hôn nöõa, neáu 0 < α = r/s < 1 vôùir, s laø caùc soá nguyeân döông nguyeân toá cuøng nhau vaø s = T U sao cho (U, b) = 1 vaø caùc öôùc nguyeân toá cuûa T ñeàu laø öôùc cuûa b thì bieåu dieãn cuûa α trong cô soá b coù ñoä daøi chu kyø baèng ordU b vaø ñoä daøi tieàn chu kyø baèng N, trong ñoù N laø soá nguyeân döông nhoû nhaát maø T | bN . Chöùng minh.  ⇒ . Giaû söû α = (.c1 c2 c3 ...cN cN +1 ...cN +k )b . Theá thì cN  1  cN +1 cN +k  c1 c2 + 2 + ··· + N + + · · · + b b b bjk bN +1 bN +k j=0 ∞

α=

101

7.1. SOÁ B-PHAÂN

cN  bk  cN +1 cN +k  c1 c2 + 2 + ··· + N + k , + · · · + b b b b − 1 bN +1 bN +k vaø ñaây laø soá höõu tæ.  ⇐ . Giaû söû 0 < α = r/s < 1 vôùi r, s laø caùc soá nguyeân döông nguyeân toá cuøng nhau vaø s = T U sao cho (U, b) = 1 vaø caùc öôùc nguyeân toá cuûa T ñeàu laø öôùc cuûa b. Khi ñoù coù soá nguyeân döông nhoû nhaát N ñeå T | bN . Ñaët bN = aT, vôùi a laø soá nguyeân döông. Tröôøng hôïp U = 1 thì α coù bieåu dieãn trong cô soá b laø höõu haïn, nhôø ñònh lyù 7.2. Xeùt tröôøng hôïp U > 1. Ta coù ar C r = =A+ , bN α = bN TU U U N vôùi A, C laø caùc soá nguyeân, 0 ≤ A < b , 0 < C < U vaø (C, U ) = 1. Giaû söû A = (an an−1 ...a1 a0 )b . Tröôøng hôïp U = 1 thì α coù bieåu dieãn trong cô soá b laø höõu haïn, nhôø ñònh lyù 7.2. Ñaët ν = ordU b, ta coù bν = tU + 1 (mod U ) vôùi t =

laø soá nguyeân naøo ñoù. Vaäy bν

(tU + 1)C C C = = tC + . U U U

Nhöng ta coù bieåu dieãn C/U = (.c1 c2c3 ...)b , vôùi cm = [bγm−1 ], γm = bγm−1 − [bγm−1 ],

neân bν

vôùi γ0 = C/U,

c  c2 C cν γν   1 = bν + 2 + · · · + ν + ν = c1 bν−1 + c2 bν−2 + · · · + cν + γν . U b b b b

Suy ra γν = C/U = γ0 . Do ñoù ta coù C = (.c1 c2 ...cν )b . U

Suy ra

bN α = (an an−1 ...a1 a0 .c1 c2 ...cν )b ,

hay

α = (.00...an an−1 ...a1 a0 c1 c2 ...cν )b ,

(chuyeån daáu chaám trong bN α sang traùi N vò trí ). Baây giôø ta coøn phaûi chöùng toû raèng tieàn chu kyø coù ñoä daøi baèng N vaø ñoä daøi chu kyø baèng ν. Giaû söû α = (.c1 c2 ...cM cM +1...cM +k )b . Theá thì α=

c1 c2 cM  bk  cM +1 cM +k  + 2 + ··· + M + k + · · · + b b b b − 1 bM +1 bM +k

102 =

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

(c1 bM −1 + c2 bM −2 + · · · + cM )(bk − 1) + (cM +1 bk−1 + · · · + cM +k M k b (b − 1). )

Vì α = r/s vaø (r, s) = 1 neân s | bM (bk − 1). Suy ra T | bM vaø U | (bk − 1). Vaäy M ≥ N vaø ν | k.
Chuùng ta coù theå aùp duïng ñònh lyù treân ñeå tìm ñoä daøi cuûa tieàn chu kyø vaø ñoä daøi chu kyø trong bieåu dieãn thaäp phaân. Neáu 0 < α = r/s < 1 vaø (r, s) = 1, s = 2s 5s t, (t, 10) = 1 thì tieàn chu kyø coù ñoä daøi laø N = max{s1 , s2 } vaø chu kyø coù ñoä daøi laø ordt 10. 1

2

Ví duï 7.1.2. Vôùi soá α = 5/28 ta coù 28 = 22 · 7 neân trong heä thaäp phaân, soá

coù bieåu dieãn tuaàn hoaøn vôùi tieàn chu kyø coù ñoä daøi baèng 2 vaø chu kyø coù ñoä daøi baèng ord7 10 = 6, 5/28 = (.17857142). 5/28



Cuõng do ñònh lyù treân, neáu α coù bieåu bieãn b phaân voâ haïn khoâng tuaàn hoaøn thì α laø soá voâ tæ.

Ví duï 7.1.3. Soá α = .101001000100001000001... laø voâ haïn khoâng tuaàn hoaøn neân α laø soá voâ tæ.



7.2 Phaân soá lieân tuïc höõu haïn Baèng caùch söû duïng thuaät toaùn Euclid, chuùng ta coù theå bieåu dieãn caùc soá höõu tæ nhö laø caùc phaân soá lieân tuïc höõu haïn.

Ví duï 7.2.1. Xeùt soá höõu tyû 62/23. Vì 62 23 16 7 2

neân

= = = = =

23 · 2 16 · 1 7·2 2·3 1·2

+ 16 + 7 + 2 + 1 ,

62 16 1 =2+ =2+ 23 23 23/16

103

7.2. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC HÖÕU HAÏN 23 7 1 =1+ =1+ 16 16 16/7 2 1 16 =2+ =2+ 7 7 7/2 1 7 =3+ . 2 2

Suy ra

62 1 =2+ 23 23/16 1 =2+ 1 1+ 16/7 1 =2+ 1 1+ 1 2+ 7/2 1 =2+ . 1 1+ 1 2+ 1 3+ 2

Vaäy soá 62/23 ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng phaân soá lieân tuïc höõu haïn: 62 =2+ 23

1 1

1+

1

2+

3+

1 2 

Phaân soá lieân tuïc höõu haïn, kyù hieäu [a0 ; a1 , ..., an−1 , an ], laø bieåu thöùc daïng 1

a0 + a1 +

... +

1 1 an−1 +

1 an

104

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

trong ñoù a0 , a1 , ..., an−1 , an laø caùc soá thöïc vôùi a1 , ..., an laø caùc soá döông. Phaân soá lieân tuïc ñöôïc goïi laø ñôn giaûn neáuu a0 , a1 , ..., an−1 , an laø caùc soá nguyeân.

Ñònh lyù 7.4. Phaân soá lieân tuïc höõu haïn ñôn giaûn bieåu dieãn soá höõu tæ. Chöùng minh. Ta seõ chöùng minh baèng qui naïp theo k raèng phaân soá lieân tuïc höõu haïn ñôn giaûn [a0 ; a1 , ..., ak ] bieåu dieãn soá höõu tæ. Khi k = 0, hieån nhieân raèng a0 laø soá höõu tæ. Xeùt phaân soá lieân tuïc höõu haïn ñôn giaûn [a0 ; a1 , ..., ak , ak+1 ]. Ta coù [a0 ; a1 , ..., ak , ak+1 ] = a0 +

1 . [a1 ; ..., ak , ak+1 ]

Theo giaû thieát qui naïp thì [a1 ; ..., ak , ak+1 ] laø soá höõu tæ, töø ñoù ta suy ra [a0 ; a1 , ..., ak , ak+1 ] = a0 +

1 [a1 ; ..., ak , ak+1 ]

laø soá höõu tæ.
Baây giôø chuùng ta seõ chæ ra raèng moïi soá höõu tæ ñeàu bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng phaân soá lieân tuïc höõu haïn ñôn giaûn.

Ñònh lyù 7.5. Moïi soá höõu tæ ñeàu bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng phaân soá lieân tuïc höõu haïn ñôn giaûn.

Chöùng minh. Giaû söû x = a/b, vôùi a, b laø caùc soá nguyeân vaø b > 0. Ñaët r0 = a

vaø r1 = b. Thuaät r0 = r1 q 0 + r2 r1 = r2 q 1 + r3 ...

toaùn Euclid cho ta vôùi 0 < r2 < r1 , vôùi 0 < r3 < r2 ,

rn−2 = rn−1 qn−2 + rn rn−1 = rn qn−1 trong ñoù caùc q1 , q2, ..., qn−1

vôùi

0 < rn < rn−1 ,

laø caùc soá nguyeân döông. Theá thì

r0 a r2 1 = = q0 + = q0 + b r1 r1 r1 /r2 r1 r3 1 = q1 + = q1 + r2 r2 r2 /r3

105

7.2. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC HÖÕU HAÏN

... rn−2 rn 1 = qn−2 + = qn−2 + rn−1 rn−1 rn−1 /rn rn−1 = qn−1 . rn

Suy ra a/b ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng phaân soá lieân tuïc höõu haïn: a/b = [q0 ; q1 , q2 , ..., qn−1 ].


Caàn chuù yù raèng, phaân soá lieân tuïc cuûa soá höõu tæ laø khoâng duy nhaát. Töø ñaúng thöùc an = (an − 1) +

ta coù

1 1

[a0 ; a1 , ..., an−1 , an ] = [a0 ; a1 , ..., an−1 , an − 1, 1]

khi an > 1. tuïc

Vôùi k laø soá nguyeân khoâng aâm khoâng vöôït quaù n thì ta noùi phaân soá lieân [a0 ; a1 , a2 , ..., ak ] laø giaûn phaân thöù k, kyù hieäu Ck , cuûa phaân soá lieân tuïc

[a0 ; a1 , a2 , ..., an ].

Ñònh lyù 7.6. Giaû söû a0 , a1 , a2 , ..., an laø caùc soá thöïc vôùi a1 , a2 , ..., an laø caùc soá döông vaø daõy caùc soá p0 , p1 , p2 , ..., pn , q0 , q1 , q2 , ..., qn ñöôïc xaùc ñònh bôûi p0 = a0

q0 = 1

p1 = a0 a1 + 1

q1 = a1

vaø pk = ak pk−1 + pk−2

qk = ak qk−1 + qk−2

vôùi moïi k = 2, 3, ..., n. Theá thì giaûn phaân thöù k , Ck = [a0 ; a1 , ..., ak ] thoaû Ck = pk /qk .

106

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

Chöùng minh. Chuùng ta chöùng minh baèng qui naïp.

Khi k = 0 ta coù

C0 = a0 = a0 /1 = p0 /q0 .

Khi k = 1 ta cuõng coù C1 = [a0 ; a1 ] = a0 +

1 a0 a1 + 1 p1 = = . a1 a1 q1

Khi k = 2 ta cuõng coù 1

C2 = [a0 ; a1 , a2 ] = a0 +

a1 +

1 a2

= a0 +

a2 (a0 a1 + 1) + a0 p2 a2 = = . a1 a2 + 1 a2 a1 + 1 q2

Baây giôø ta giaû söû khaúng ñònh ñuùng cho soá töï nhieân k, vôùi 2 ≤ k < n. Vì Ck = [a0 ; a1 , ..., ak ] =

vaø pk−1 ,

pk−2 , qk−1 , qk−2

pk ak pk−1 + pk−2 = qk ak qk−1 + qk−2

khoâng phuï thuoäc vaøo ak neân ta coù

Ck+1 = [a0 ; a1 , ..., ak , ak+1 ] = [a0 ; a1 , ..., ak−1 , ak + =

1 ak+1

]

(ak + 1/ak+1 )pk−1 + pk−2 (ak + 1/ak+1 )qk−1 + qk−2

ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 pk + pk−1 pk+1 = = . ak+1 qk + qk−1 qk+1

=




Ví duï 7.2.2. Vôùi phaân soá lieân tuïc [3; 6, 1, 7] = 173/55, ta coù p0 = 3

q0 = 1

p1 = 6 · 3 + 1 = 19

q1 = 6

p2 = 1 · 19 + 3 = 22

q2 = 1 · 6 + 1 = 7

p3 = 7 · 22 + 19 = 173

q3 = 7 · 7 + 6 = 55 .

107

7.2. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC HÖÕU HAÏN

Theá thì C0 = p0 /q0 = 3/1 = 3 C1 = p1 /q1 = 19/6 C2 = p2 /q2 = 22/7 C3 = p3 /q3 = 173/55. 

Ñònh lyù 7.7. Giaû söû Ck = pk , qk ,

laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc [a0 ; a1 , ..., an ] vaø pk , qk ñöôïc xaùc ñònh trong ñònh lyù 7.6 thì 1≤k≤n

pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 .

Chöùng minh. Vôùi k = 1 ta coù p1 q0 − p0 q1 = (a1 a0 + 1) · 1 − a0 a1 = 1.

Giaû söû khaúng ñònh ñaõ ñuùng cho k vôùi 1 ≤ k < n. Theá thì pk+1 qk − pk qk+1 = (ak+1 pk + pk−1 )qk − pk (ak+1 qk + qk−1 ) = −(pk qk−1 − pk−1 qk ) = (−1)k+1 .


Heä quaû 7.7.1. Giaû söû Ck = pk , qk ,

1 ≤ k ≤ n laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn [a0 ; a1 , ..., an ]; pk , qk ñöôïc xaùc ñònh trong ñònh lyù 7.6 thì pk vaø qk laø nguyeân toá cuøng nhau.

Chöùng minh. Deã, daønh cho ñoïc giaû.

Heä quaû 7.7.2. Giaû söû Ck = pk , qk ,




laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc [a0 ; a1 , ..., an ]; pk , qk ñöôïc xaùc ñònh trong ñònh lyù 7.6 thì 1≤k≤n

Ck − Ck−1 =

(−1)k−1 qk qk−1

Ck − Ck−2 =

(−1)k ak qk qk−2

vôùi 1 ≤ k ≤ n. Cuõng vaäy

vôùi 2 ≤ k ≤ n.

108

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

Chöùng minh. Theo ñònh lyù 7.6 ta coù Ck − Ck−1 =

pk pk−1 pk qk−1 − pk−1 qk (−1)k−1 − = = qk qk−1 qk qk−1 qk qk−1

Ta cuõng coù Ck − Ck−2 = (Ck − Ck−1 ) + (Ck−1 − Ck−2 ) = =

(−1)k−1 (−1)k−2 + = qk qk−1 qk−1 qk−2

(−1)k  1 1  (−1)k qk − qk−2 (−1)k ak qk−1 (−1)k ak = − · = · = qk−1 qk−2 qk qk−1 qk qk−2 qk−1 qk qk−2 qk qk−2


Ñònh lyù 7.8. Giaû söû Ck , [a0 ; a1 , ..., an ].

Theá thì

0 ≤ k ≤ n,

laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc

C 1 > C3 > C5 > · · · , C 0 < C2 < C4 < · · · ,

vaø moãi giaûn phaân thöù leû C2j+1 ñeàu lôùn hôn giaûn phaân thöù chaün C2i. Chöùng minh. Vì heä quaû 7.7.2 neân vôùi k = 2, 4, 6, ... ta coù Ck − Ck−2 =

(−1)k ak , qk qk−1

suy ra Ck < Ck−2 neáu k leû vaø Ck < Ck−2 neáu k chaün. Cuõng theo heä quaû 7.7.2 ta coù C2m+1 − C2m =

(−1)2m > 0, q2m q2m−1

cuõng vaäy C2m+1 > C2m . Do ñoù, neáu 2j + 1 > 2i thì C2j+1 > C2j ≥ C2i . Coøn neáu 2j + 1 < 2i ta cuõng coù C2j+1 > C2i vì C2j+1 > C2i+1 vaø C2i+1 > C2i.


7.3 Phaân soá lieân tuïc voâ haïn Ñònh lyù 7.9. Giaû söû raèng chuùng ta coù daõy voâ haïn caùc soá nguyeân a0 , a1 , a2 , ....

vôùi a1 , a2 , .... laø caùc soá döông vaø Ck = [a0 ; a1 , a2 , ..., ak ]. Theá thì daõy soá C1 , C2 , C3 , ... laø hoäi tuï.

109

7.3. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC VOÂ HAÏN

Chöùng minh. Töø ñònh lyù 7.8 ta coù daõy soá C1 , C3 , C5 , ... laø ñôn ñieäu giaûm vaø

bò chaën döôùi; cuõng vaäy, daõy soá C0 , C2 , C4 , ... laø ñôn ñieäu taêng vaø bò chaën treân. Theá thì caùc daõy soá C1, C3 , C5 , ... vaø C0 , C2 , C4 , ... laø hoäi tuï. Ñaët lim C2n+1 = α1

n→∞

vaø

lim C2n = α2 .

n→∞

Theo heä quaû 7.7.2 ta coù C2n+1 − C2n =

(−1)2n 1 = . q2n+1 q2n q2n+1 q2n

Nhöng vôùi ñònh nghóa cuûa qk trong ñònh lyù 7.6 vôùi caùc soá nguyeân döông, thì deã daøng suy ra raèng q k ≥ k. Töø ñoù ta coù 0 < C2n+1 − C2n =

Vaäy

1 q2n+1 q2n

≤

a1 , a2 , a3 , ...

laø

1 . (2n + 1)2n

lim (C2n+1 − C2n ) = 0,

n→∞

hay lim C2n+1 = lim C2n .

n→∞

n→∞




Giôùi haïn cuûa daõy soá Ck trong ñònh lyù treân ñöôïc xem nhö laø phaân soá lieân tuïc voâ haïn [a0 ; a1 , a2 , a3 , ... ].

Ñònh lyù 7.10. Giaû söû raèng a1 , a2 , ....

a0 , a1 , a2 , .... laø daõy voâ haïn caùc soá nguyeân vôùi laø caùc soá döông. Theá thì [a0 ; a1 , a2 , a3 , ... ] laø soá voâ tæ.

Chöùng minh. Giaû söû α = [a0 ; a1 , a2 , a3 , ... ] vaø Ck = pk /qk = [a0 ; a1 , ..., ak ]. Khi n laø soá nguyeân döông, töø ñònh lyù 7.9 thì C2n < α < C2n+1, hay cuõng vaäy 0 < α − C2n < C2n+1 − C2n =

ñieàu naøy keùo theo 0 < αq2n − p2n <

1 q2n+1 q2n

1 q2n+1

.

,

110

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

Giaû söû α = a/b laø soá höõu tæ, b > 0. Theá thì b

0 < aq2n − bp2n <

q2n+1

,

ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra vì aq2n − bp2n laø soá nguyeân vaø khi q2n+1 > b.




Ñònh lyù 7.11. Giaû söû α0 = α laø soá voâ tæ vaø daõy soá a0 , a1 , a2 , ... ñöôïc xaùc ñònh

bôûi

ak = [αk ] , αk+1 = 1/(αk − ak )

trong ñoù k = 0, 1, 2, .... Theá thì α laø trò cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn [a0 ; a1 , a2 , ... ]. Chöùng minh. Vì ak = [α] laø soá nguyeân vaø αk laø soá voâ tæ neân ta coù 1 < αk+1 = 1/(αk − ak )

laø soá voâ tæ. Nhö vaäy ta coù daõy voâ haïn caùc soá nguyeân a1 , a2 , a3 , ... laø döông. Töø αk+1 = 1/(αk − ak ), ta suy ra αk = ak +

Do ñoù α = α0 = a0 + = a0 +

1 αk+1

a0 , a1 , a2 , ...

vôùi

.

1 = [a0 ; α1 ] α1

1

= [a0 ; α1 , α2 ]

1 a1 + α2

.. .

1

= a0 + a1 +

= [a0 ; a1 , ..., ak , αk+1 ].

1

... +

1 ak +

Nhö vaäy α = [a0 ; a1 , ..., ak , αk+1 ] =

1 αk+1

αk+1 pk + pk−1 . αk+1 qk + qk−1

111

7.3. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC VOÂ HAÏN

Ñaët

laø giaûn phaân thöù

Ck = [a0 ; a1 , ..., ak ] [a0 ; a1 , a2 , ... ], ta coù α − Ck =

k

cuûa phaân soá lieân tuïc voâ haïn

αk+1 pk + pk−1 pk −(pk qk−1 − pk−1 qk ) (−1)k − = = . αk+1 qk + qk−1 qk (αk+1 qk + qk−1 )qk (αk+1 qk + qk−1 )qk

Vì αk+1 qk + qk−1 > ak+1 qk + qk−1 = qk+1 ,

neân | α − Ck |=|

Vaäy

(−1)k 1 1 |< ≤ . (αk+1 qk + qk−1 )qk qk qk+1 k(k + 1) α = [a0 ; a1 , a2 , ... ].


Ví duï 7.3.1. Vôùi soá α =

√

6,

ta coù

√ a0 = [ 6] = 2, √ a1 = [

6+2 ] = 2, 2

√ a2 = [ 6 + 2] = 4,

Vì α3 = α1 , neân a3 = a1 ,

1 = α1 = √ 6−2 α2 =

√

(

√

1 6+2 ) 2

−2

1 = α3 = √ ( 6 + 2) − 4

6+2 , 2

=

√

√

6 + 2,

6+2 = α1 . 2

a4 = a2 , .... Do ñoù √ 6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, ... ]. 

Ñònh lyù 7.12. Neáu hai phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn [b0 ; b1 , b2 , ... ]

bieåu dieãn cuøng moät soá voâ tæ thì ak = bk vôùi

[a0 ; a1 , a2 , ... ] vaø moïi k = 0, 1, 2, ....

Chöùng minh. Giaû söû raèng α = [a0 ; a1 , a2 , ...]. Theá thì C0 = a0 , C1 = a0 +1/a1 ,

vaø theo ñònh lyù 7.9 thì

a0 < α < a0 + 1/a1 ,

112

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

nhö vaäy a0 = [α]. Do ñoù α = lim [a0 ; a1 , a2 , ..., ak ] k→∞

= lim (a0 + k→∞

= a0 +

1 [a1 ; a2 , ..., ak ]

1 lim [a1 ; a2 , ..., ak ]

k→∞

= a0 +

1 . [a1 ; a2 , ... ]

Nhö vaäy: neáu α = [a0 ; a1 , a2 , ... ] = [b0 ; b1 , b2 , ... ] thì a0 = b0 vaø [a1 ; a2 , ... ] = [b1 ; b2 , ... ].

Baây giôø ta giaû söû raèng ak = bk vaø [ak+1 ; ak+2 , ... ] = [bk+1 ; bk+2 , ... ]. Laäp luaän töông töï nhö treân ta seõ coù ak+1 = bk+1 vaø ak+1 +

1 1 = bk+1 + , [ak+2 ; ak+3 , ... ] [bk+2 ; bk+3 , ... ]

ñieàu naøy laïi keùo theo [ak+2 ; ak+3 , ... ] = [bk+2 ; bk+3 , ... ].


Giaûn phaân cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn laø xaáp xæ toát nhaát cuûa soá voâ tæ α. Heä quaû cuûa ñònh lyù sau ñaây seõ chính xaùc hoaù khaùi nieäm naøy.

Ñònh lyù 7.13. Giaû söû α laø soá voâ tæ vaø pk /qk laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn cuûa α. Neáu r, s laø caùc soá nguyeân vôùi s > 0 sao cho |sα − r| < |qk α − pk |

thì s ≥ qk+1 . Chöùng minh. Giaû söû |sα − r| < |qk α − pk | nhöng 1 ≤ s < qk+1 . Xeùt heä hai

phöông trình


p x+p y =r k k+1 qk x + qk+1 y = s.

7.3. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC VOÂ HAÏN

113

Nhaân phöông trình thöù nhaát vôùi qk vaø phöông trình thöù hai vôùi (−pk ) roài coäng laïi, ta coù (pk+1 qk − pk qk+1 )y = rqk − spk .

Vì pk+1qk − pk qk+1 = (−1)k neân y = (−1)k (rqk − spk ).

Töông töï, ta coù

x = (−1)k (spk+1 − rqk+1 ).

Neáu x = 0 thì spk+1 = rqk+1 , do (pk+1 = qk+1) = 1, ta suy ra qk+1 | s, voâ lyù vôùi ñieàu ta giaû söû 1 ≤ s < qk+1; vaäy |x| ≥ 1. Neáu y = 0, töø caùc phöông trình ta coù r = pk x vaø s = qk x, nhö vaäy |sα − r| = |x| |qk α − pk | ≥ |qk α − pk |,

vaø cuõng voâ lyù vôùi giaû thieát |sα − r| < |qk α − pk |; vaäy y = 0. Chuùng ta seõ chæ ra raèng x vaø y laø traùi daáu. Tröôøng hôïp y < 0, do qk x = s − qk+1 y neân x > 0. Tröôøng hôïp y > 0, do q k+1 y = qk+1 > s vaø qk x = s − qk+1 y neânx < 0. Do α naèm giöõa pk /qk vaø pk+1 /qk+1 neân qk α − pk vaø qk+1α − pk+1 laø traùi daáu. Töø heä phöông trình ta suy ra |sα − r| = |x(qk α − pk ) + y(qk+1 α − pk+1 )|.

Nhöng x(qk α − pk ) vaø y(qk+1α − pk+1 ) laø cuøng daáu, neân |sα − r| = |x(qk α − pk )| + |y(qk+1 α − pk+1 )| ≥ |x| |qk α − pk | ≥ |qk α − pk |.


Heä quaû 7.13.1. Giaû söû α laø soá voâ tæ vaø pk /qk laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá

lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn cuûa α. Neáu r, s laø caùc soá nguyeân vôùi s > 0 sao cho |α − r/s| < |α − pk /qk |

thì s > qk .

114

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

Chöùng minh. Giaû söû s ≤ qk vaø |α − r/s| < |α − pk /qk |. Do 0 < s ≤ qk neân s|α − r/s| < qk |α − pk /qk |,

hay |sα − r| < |qk α − pk |, vaø ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi ñònh lyù 7.13.




Ví duï 7.3.2. Phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa soá π laø π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ... ].

Theá thì caùc xaáp xæ höõu tæ toát nhaát cuûa soá π laø p0 p1 22 p2 333 p3 355 p4 103993 , , , .... = 3, = , = = = q0 q1 7 q2 106 q3 113 q4 33102 

Ñònh lyù 7.14. Neáu α laø voâ tæ vaø r, s laø caùc soá nguyeân vôùi s > 0 sao cho |α − r/s| < 1/(2s2 )|

thì r/s laø giaûn phaân cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn α. Chöùng minh. Giaû söû r/s khoâng laø giaûn phaân cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn

bieåu dieãn α. Goïi k laø soá maø qk ≤ s < qk+1, theo ñònh lyù 7.13 thì |qk α − pk | ≤ |sα − r| = s|α − r/s| < 1/(2s).

Suy ra

|α − pk /qk | < 1/(2sqk ).

Nhöng do |spk − rqk | ≥ 1, neân pk   |spk − rqk |  pk r   1 ≤ =  −  ≤ α −  + α − sqk sqk qk s qk

Vaäy

1 1 < 2, 2sqk 2s

r  1 1 + 2. < s 2sqk 2s

keùo theo qk > s, vaø ñieàu naøy voâ lyù vôùi giaû söû qk ≤ s < qk+1.
Phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn [a0 ; a1 , a2 , ... ] ñöôïc goïi laø tuaàn hoaøn neáuu coù caùc soá nguyeân döông N, k sao cho an = an + k vôùi moïi n ≥ N.

115

7.3. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC VOÂ HAÏN

Ñònh lyù 7.15. Ñònh lyù Lagrange. Phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn cuûa soá α

laø tuaàn hoaøn khi vaø chæ khi α laø soá ñaïi soá baäc hai, nghóa laø α laø nghieïâm cuûa ña thöùc baäc hai vôùi heä soá nguyeân vaø khoâng laø nghieïâm cuûa ña thöùc baäc thaáp hôn 2,vôùi heä soá nguyeân.

Ñònh lyù treân ñöôïc chöùng minh bôûi caùc boå ñeà sau ñaây.

Boå ñeàù 7.15.1. Neáu phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn cuûa soá α laø tuaàn hoaøn

thì α laø soá ñaïi soá baäc hai. Chöùng minh. Giaû söû

α = [a0 ; a1 , a2 , ..., aN −1 aN aN +1 ...aN +k−1 ].

Ta kyù hieäu β = [aN ; aN +1 ...aN +k−1 ].

Theá thì β = [aN ; aN +1 ...aN +k−1 , β].

Suy ra β=

βpk−1 + pk−2 , βqk−1 + qk−2

trong ñoù p−1k/qk−1, pk /qk laø caùc giaûn phaân cuûa phaân soá lieân tuïc [aN −1 ; aN , ..., aN +k−1 ]. Suy ra qk−1 β 2 + (qk−2 − pk−1 )β − pk−2 = 0.

Do β coù bieåu dieãn phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn neân β laø soá voâ tæ vaø do ñoù khoâng laø nghieäm cuûa ña thöùc heä soá nguyeân coù baäc nhoû hôn 2.


Boå ñeàù 7.15.2. Neáu 0

vaø d > 0 sao cho

α

laø soá ñaïi soá baäc hai thì coù caùc soá nguyeân P0 , Q0 =

α = (P0 +

√

d)/Q0

vaø Q0 | (d − P02 ).

Vôùi k = 0, 1, 2, ... ta ñònh nghóa √ 2 αk = (Pk + d)/Qk , ak = [αk ], Pk+1 = ak Qk − Pk , Qk+1 = (d − Pk+1 )/Qk .

Theá thì α = [a0 ; a1 , a2 , ... ].

116

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

Chöùng minh. Do α laø soá ñaïi soá baäc hai neân coù caùc soá nguyeân a, b, c vôùi c > 0

khoâng laø soá chính phöông ñeå

√ √ a|c| + bc2 a+ b = . α= c c|c|

Laáy P0 = a |c| , d = bc2 , Q0 = c |c|. Hieån nhieân laø P0 , Q0 = 0 laø caùc soá nguyeân vaø Q0 = c |c| | (d − P02 ) = bc2 − a2 c2 = c2 (b − a2 ). Tröôùc heát, baèng qui naïp chuùng ta seõ chöùng toû raèng Pk , Qk laø caùc soá nguyeân vôùi Qk = 0 vaø Qk | (d − Pk2 ). Töø giaû thieát qui naïp ta suy ra Pk+1 = ak Qk − Pk laø soá nguyeân. Ta cuõng coù 2 Qk+1 = (d−Pk+1 )/Qk = (d−(ak Qk −Pk )2 )/Qk = (d−Pk2 )/Qk +(2ak Pk −a2k Qk ).

Vì giaû thieát qui naïp Qk | (d − Pk2 ), ta suy ra Qk laø soá nguyeân. Do d khoâng 2 )/Qk = 0. Ta laïi coù laø soá chính phöông neân Qk+1 = (d − Pk+1 2 )/Qk+1 Qk = (d − Pk+1 2 laø soá nguyeân neân Qk+1 | (d − Pk+1 ). Ñeå keát thuùc vieäc chöùng minh ñònh lyù ta chæ caàn chöùng toû raèng

αk+1 = 1/(αk − ak )

Ta coù

hay cuõng vaäy

(αk − ak ) = 1/αk+1 .

√ √ √ d − (ak Qk − Pk ) d − Pk+1 Pk + d αk − ak = − ak = = Qk Qk Qk =

2 d − Pk+1 Qk+1 √ = √ = 1/αk+1 . Qk ( d + Pk+1 ) ( d + Pk+1 )




Boå ñeàù 7.15.3. Neáu α laø soá ñaïi soá baäc hai thì phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa α

laø tuaàn hoaøn.

Chöùng minh. Vì α = [a0 ; a1 , ..., ak−1 , αk ] neân α=

pk−1 αk + pk−2 . qk−1 αk + qk−2

117

7.3. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC VOÂ HAÏN

Vôùi soá x = (a +

√

b)/c

ta kyù hieäu x = (a − α=

√

b)/c.

Theá thì

pk−1 αk + pk−2 . qk−1 αk + qk−2

Töø phöông trình treân ta suy ra αk =

−qk−2 α − pk−2 /qk−2 · . qk−1 α − pk−1 /qk−1

Vì lim pn /qn = α

n→∞

neân

α − pk−2 /qk−2 lim = 1. k→∞ α − pk−1 /qk−1

Do ñoù coù soá nguyeân khi k ≥ 1 neân

M

sao cho αk

<0

vôùi moïi k ≥ M. Nhöng vì αk

>0

√ √ √ + d − d d P P 2 k k − = > 0, αk − αk = Qk Qk Qk

hay Qk > 0 khi k ≥ M. Vaäy vôùi k ≥ M thì 2 ≤ d. 0 < Qk ≤ Qk Qk+1 = d − Pk+1

Töø ñaây ta cuõng coù 2 < d, Pk+1

hay

−

√

d < Pk+1 <

√

d

vôùi moïi k ≥ M. Vaäy coù caùc soá i < j thoaû Pi = Pj vaø Qi = Qj . Töø ñònh nghóa cuûa caùc αk ta suy ra αi = αj ; cuõng vaäy ai = aj , ai+1 = aj+1 , ai+2 = aj+2 , ... . Theá thì α = [a0 ; a1 , ..., ai−1 , ai , ai+1 , ..., aj−1 ].


118

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

7.4 Vaøi öùng duïng cuûa phaân soá lieân tuïc Tröôùc heát, nhôø phaân soá lieân tuïc ta coù theå tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình Diophantus tuyeáân tính ax + by = c.

Nhôù laïi laø, phöông trình treân coù nghieäm khi vaø chæ khi d = (a, b) | c. Trong tröôøng hôïp naøy, baèng caùch chia caû hai veá cho d, neân ta coù theå giaû söû raèng (a, b) = 1.

Giaû söû

(a, b) = 1 (pn /qn ) = 1 neân

vaø

a/b = [a0 ; a1 , ..., an ].

Vì

a/b = pn /qn ,

vaø

(a, b) =

a = pn , b = q n ,

trong ñoù pk /qk kyù hieäu cho giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc [a0 ; a1 , ..., an ]. Nhöng pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1 ,

neân aqn−1 − bpn−1 = (−1)n−1 ,

keùo theo a(−1)n−1 cqn−1 + b(−1)n cpn−1 = c.

Heä thöùc treân chöùng toû x0 = (−1)n−1cqn−1, y0 = (−1)ncpn−1 laø moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình ax + by = c (Nhôù laø coù giaû thieát (a, b) = 1). Vaäy trong tröông hôïp (a, b) = 1 phöông trình ax + by = c coù nghieäm toång quaùt laø x = x0 + bt, y = y0 − at, vôùi t ∈ Z.

Ví duï 7.4.1. Giaûi phöông trình 62x + 23y = 2. Vìù 62 23 16 7 2

= = = = =

23 · 2 16 · 1 7·2 2·3 1·2

+ 16 + 7 + 2 + 1,

119

7.4. VAØI ÖÙNG DUÏNG CUÛA PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

neân ta coù bieåu dieãn daïng phaân soá lieân tuïc: p0 p1 p2 p3

= a0 = a1 a0 + 1 = a2 p1 + p0 = a3 p2 + p1

= 2, = 3, = 8, = 27,

q0 q1 q2 q3

62/23 = [2; 1, 2, 3, 2].

Ta coù

= 1 = a1 =1 = a2 q1 + q0 = 3 = a3 q2 + q1 = 10

Vì (62, 23) = 1 neân phöông trình 62x + 23y = 2 coù nghieäm rieâng x0 = (−1)3 2q3 = −20, y0 = (−1)4 2p3 = 54.

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình 62x + 23y = 2 laø x = −20 + 23t, y = 54 − 62t,

vôùi t ∈ Z. 

Cuoái cuøng chuùng toâi ñöa ra söï aùp duïng phaân soá lieân tuïc ñeå phaân tích soá n ra thöøa soá. Neáu n laø hôïp soá thì phöông trình x2 − y2 = n coù nghieäm nguyeân x, y thoaû x − y = 1. Phaân tích n thaønh thöøa soá cuõng coù nghóa laø tìm caùc soá nguyeân x, y thoaû x2 ≡ y 2

(mod n), 0 < y < x < n,

vaø x + y = n,

vì khi ñoù (n, x − y) vaø (n, x + y) seõ laø caùc öôùc cuûa n khaùc vôùi 1 vaø n.

Ví duï 7.4.2. Vì 292 − 172 = 552 ≡ 0

(mod 69) neân (29 − 17, 69) = (12, 69) vaø (29 + 17, 69) = (46, 69) laø caùc öôùc khaùc 1 vaø 69 cuûa 69. Söû duïng thuaät toaùn Euclid ta coù 3 vaø 23 laø caùc öôùc khoâng taàm thöôøng cuûa 69.  √

Phaân soá lieân tuïc cuûa n ñöôïc söû duïng ñeå tìm nghieäm cuûa ñoàng dö x2 ≡ y2 (mod n) khi n khoâng laø soá chính phöông.

Ñònh lyù√ 7.16. Giaû söû n khoâng laø soá chính phöông. Ñaët P0 = 0,

Q0 = 1, αk = 2 (Pk + n)/Qk , ak = [αk ], Pk+1 = ak Qk − Pk , Qk+1 =√(n − Pk+1 )/Qk vôùi k = 0, 1, 2, ... . Khi ñoù neáu pk /qk laø giaûn phaân thöù k cuûa n thì p2k − nqk2 = (−1)k−1 Qk+1 .

120

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC √

Chöùng minh. Ta ñaõ bieát n = [a0 ; a1 , ..., ak , αk+1 ] vaø √

Suy ra hay

√

n=

αk+1 pk + pk−1 . αk+1 qk + qk−1

√ (Pk+1 + n)pk + Qk+1 pk−1 √ n= , (Pk+1 + n)qk + Qk+1 qk−1

√ √ nqk + (Pk+1 qk + Qk+1 qk−1 ) n = (Pk+1 pk + Qk+1 pk−1 ) + pk n.

Do n khoâng laø soá chính phöông neân heä thöùc treân cho ta nqk = Pk+1 pk + Qk+1 pk−1 vaø Pk+1 qk + Qk+1 qk−1 = pk . Nhaân ñaúng thöùc ñaàu vôùi (−qk ) vaø ñaúng thöùc ñaàu vôùi pk roài coäng laïi, ta ñöôïc p2k − nqk2 = (pk qk−1 − pk−1 qk )Qk+1 = (−1)k−1 Qk+1 .


Töø ñònh lyù treân ta thaáy p2k ≡ (−1)k−1Qk+1 (mod n). Vì vaäy neáu k leû vaø Qk+1 = s2 laø soá chính phöông thì pk , s laø nghieäm cuûa ñoàng dö x2 ≡ y 2 (mod n).

Ví duï 7.4.3. Giaû söû n = 1037. Ta coù √ P0 = 0, √ α0 = (P0 + 1037)/Q0 = (0 + 1037)/1, P√ 1 = a0 Q0 − P0 = 32,√ α1 = (P1 + 1037)/Q1 = (32 + 1037)/13, P√2 = a1 Q1 − P1 = 20,√ α2 = (P2 + 1037)/Q2 = (20 + 1037)/49,

Q0 = 1, a0 = [α0 ] = 32 Q1 = (1037 − P12 )/Q0 = 13, a1 = [α1 ] = 4 Q2 = (1037 − P22 )/Q1 = 49, a2 = [α2 ] = 1.

Vì Q2 = 49 = 72 laø soá chính phöông, 2 − 1 = 1 laø soá leû neân p21 ≡ Q2

Maët khaùc, vì p0 = a0 = 32,

(mod 1037).

q0 = 1, p1 = a1 a0 + 1 = 129,

1292 ≡ 72

ta suy ra

(mod 1037).

Vaäy 61 = (1037, 129 − 7) vaø 17 = (1037, 129 + 7) laø caùc öôùc cuûa 1037.

121

7.4. VAØI ÖÙNG DUÏNG CUÛA PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC



BAØI TAÄP CHÖÔNG VII 1. Tìm bieåu dieãn baùt phaân cho caùc soá sau: 1 , 4

1 , 3

1 , 5

1 , 6

1 , 12

1 . 22

2. Xaùc ñònh phaân soá coù bieåu dieãn sau: (.123)7 ,

(.123)6 ,

(.17)11 ,

(.ABC)16 .

3. Haõy xaùc ñònh ñoä daøi tieàn chu kyø vaø chu kyø trong bieåu dieãn thaäp phaân cuûa caùc phaân soá sau: 11 , 30

7 , 12

1 , 75

10 , 23

13 , 56

1 . 61

4. Haõy xaùc ñònh ñoä daøi tieàn chu kyø vaø chu kyø trong bieåu dieãn thaäp nhò phaân cuûa caùc phaân soá sau: 1 , 4

1 , 8

7 , 70

5 , 24

17 , 132

7 . 360

5. Cho b laø soá nguyeân döông. Chöùng toû raèng bieåu dieãn cô sôû b cuûa phaân soá 1/m coù ñoä daøi chu kyø baèng m − 1 khi vaø chæ khi m laø soá nguyeân toá vaø b laø caên nguyeân thuyû cuûa m. 6. Vôùi caùc soá nguyeân toá p naøo maø bieåu dieãn thaäp phaân cuûa phaân soá 1/p coù ñoä daøi chu kyø baèng: a)

1,

b)

2,

c)

3,

d)

4,

e)

5,

f)

6.

122

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

7. Haõy xaùc ñònh bieåu dieãn cô sôû b cuûa caùc phaân soá sau: 1 , b−1

a)

b)

1 . b+1

8. Chöùng toû raèng 1 1 1 1 1 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + · · · b b b b b b

laø soá voâ tæ neáu b laø soá nguyeân lôùn hôn 1. 9. Cho daõy voâ haïn caùc soá nguyeân lôùn hôn moät: b1, b2 , b3 , · · · . Haõy chöùng minh raèng moïi soá thöïc ñeàu bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng c0 +

trong ñoù

c 0 , c1 , c2 , c3 , · · · 1, 2, 3, · · · .

c1 c2 c3 + + + ··· b1 b1 b2 b1 b2 b3

laø caùc soá nguyeân maø

0 ≤ c k < bk

vôùi

k =

10. Haõy chöùng minh raèng moïi soá thöïc ñeàu bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng c0 +

trong ñoù c0 , c1 , c2 , c3 , · · · 1, 2, 3, · · · .

c1 c2 c3 + + + ··· 1! 2! 3!

laø caùc soá nguyeân maø

0 ≤ ck < k

vôùi

k =

11. Giaû söû p laø soá nguyeân toá vaø bieåu dieãn cô sôû b cuûa 1/p laø (.c1 c2 ...cp−1 )b , vôùi ñoä daøi chu kyø baèng p − 1. Haõy chöùng toû raèng neáu m laø soá nguyeân, 1 ≤ m < p thì m/p = (.ck+1 ...cp−1 c1 c2 ...ck−1 ck )b ,

trong ñoù k = indb m modulo p. 12. Chöùng minh raèng neáu p laø soá nguyeân toá vaø 1/p = (.c 1 c2 ...ck )b vôùi ñoä daøi chu kyø k = 2t laø soá chaün thì cj + cj+t = b − 1 vôùi moïi j = 1, 2, ..., t. 13. Haõy xaùc ñònh caùc phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn caùc soá sau: 16 , 5

22 , 7

19 , 29

5 , 999

−943 , 1001

873 . 4867

123

7.4. VAØI ÖÙNG DUÏNG CUÛA PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

14. Haõy xaùc ñònh caùc giaûn phaân cuûa caùc phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn trong baøi taäp 13. 15. Cho fk laø soá Fibonacci thöù k. Haõy xaùc ñònh phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn phaân soá fk+1 /fk , trong ñoù k laø soá nguyeân döông. 16. Giaû söû α > 1 coù bieåu dieãn phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn α = [a0 ; a1 , a2 , ..., ak ]. Chöùng minh raèng 1/α coù bieåu dieãn phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn 1/α = [0; a0 , a1 , a2 , ..., ak ].

17. Chöùng toû raèng neáu a0 = 0 thì pk /pk−1 = [ak ; ak−1 , ..., a1 , a0 ]

vaø qk /qk−1 = [ak ; ak−1 , ..., a2 , a1 ],

trong ñoù

k ≥ 1 [a0 ; a1 , a2 , ..., ak ].

vaø

pj /qj

laø giaûn phaân thöù

j

cuûa phaân soá lieân tuïc

18. Chöùng minh raèng qk ≥ fk vôùi k ≥ 1, Ck = pk /qk laø giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn [a0 ; a1 , a2 , ..., an ] vaø fk laø soá Fibonacci thöù k. 19. Chöùng minh raèng moãi soá höõu tæ coù ñuùng hai phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn. 20. Giaû söû [a0 ; a1 , ..., an−1 , an ] laø phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn phaân soá r/s vôùi (r, s) = 1 vaø r ≥ 1. Chöùng minh raèng phaân soá lieân tuïc laø ñoái xöùng, töùc laø a0 = an , a1 = an−1, ... khi vaø chæ khi s | (r2 + 1) neáu n leû vaø s | (r2 − 1) neáu n chaün. 21. Haõy xaùc ñònh caùc phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn caùc soá sau: √

2,

√

3,

√

5,

(1 +

√

5)/2.

22. Phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn bieåu dieãn soá e laø e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]

a) Haõy xaùc ñònh taùm giaûn phaân ñaàu tieân. b) Haõy xaùc ñònh xaáp xæ höõu tæ toát nhaát cuûa soá e vôùi maãu soá khoâng vöôït quaù 536.

124

7. SOÁ B- PHAÂN. PHAÂN SOÁ LIEÂN TUÏC

23. Giaû söû α laø soá voâ tæ coù bieåu dieãn phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn α = [a0 ; a1 , a2 , a3 , ...]. Chöùng minh raèng phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn cuûa −α laø [−a0 −1; 1, a1 −1, a2 , a3 , ...] neáu a1 > 1 vaø laø [−a0 −1; a2 +1, a3 , ...] neáu a1 = 1. 24. Giaû söû α > 1 laø soá voâ tæ. Chöùng minh raèng giaûn phaân thöù k cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn 1/α baèng nghòch ñaûo cuûa giaûn phaân thöù (k − 1) cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn α. 25. Phaân soá lieân tuïc voâ haïn [a0 ; a1 , a2 , ...] ñöôïc goïi laø tuaàn hoaøn thuaàn khieát neáuu coù soá nguyeân n sao cho an+k = ak vôùi moïi k = 0, 1, 2, ... . Chöùn√ g minh raèng phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn voâ haïn cuûa soá voâ tæ α = (a + √ b)/c > 1 laø tuaàn hoaøn thuaàn khieát khi vaø chæ khi −1 < α = (a −

b)/c < 0.

26. Haõy xaùc ñònh caùc phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn bieåu dieãn caùc soá sau: a)

1+

√

b)

2,

(2 +

√

5)/3,

c)

(5 −

√

d)

7)/4,

(13 −

√

2)/7.

27. Haõy xaùc ñònh caùc soá coù bieåu dieãn phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn laø: a)

[2; 1, 5],

b)

[2; 1, 5],

c)

[2; 1, 5],

d)

[1; 2, 3],

e)

[1; 2, 3],

f)

[1; 2, 3].

28. Haõy xaùc ñònh caùc soá coù bieåu dieãn phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn laø: a)

[3; 6],

b)

[4; 8],

c)

[5; 10],

29. Chöùng minh raèng neáu d laø soá nguyeân döông thì 30. Chöùng minh raèng neáu d ≥ 2 laø soá nguyeân thì [d − 1; 2, 2d − 2 ].

√

√

31. Chöùng minh raèng neáu d √ ≥ 3 laø soá nguyeân thì vaø d nguyeân döông thì d2 + 2 = [d; d, 2d ].

d) √

[6; 12].

d2 + 1 = [d; 2d ].

d2 − 1 = [d−1; 1, 2d − 2 ],

√

d2 − d =

d2 − 2 = [d−1; 1, d − 2, 1, 2d − 2 ]

32. Haõy söû duïng phaân soá lieân tuïc ñeå phaân tích caùc soá sau ñaây thaønh thöøa soá: a) 119, b) 1537, c) 13290059.

8 MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN 8.1 Caùc boä ba Pythagoras Moãi tam giaùc vuoâng coù ñoä daøi caùc caïnh laø caùc soá nguyeân thì caùc soá nguyeân naøy ñöôïc goïi laø moät boä ba Pythagoras, chuùng chính laø nghieäm nguyeân cuûa phöông trình x2 + y 2 = z 2 .

Giaû söû

x, y, z laø moät boä ba x/d, y1 = y/d, z1 = z/d cuõng

Pythagoras, vôùi (x, y, z) = d. Theá thì x1 = laø moät boä ba Pythagoras, vôùi (x1 , y1 , z1 ) = 1. Nhö vaäy, ta chæ caàn tìm taát caû caùc boä ba Pythagoras nguyeân thuyû, töùc laø caùc boä ba Pythagoras: x, y, z maø (x, y, z) = 1. Deã daøng thaáy raèng neáu x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû thì (x, y) = (x, z) = (y, z) = 1. Cuõng deã daøng thaáy raèng neáu x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû thì trong hai soá x, y phaûi coù moät soá chaün vaø moät soá leû.

Ñònh lyù 8.1. Caùc soá nguyeân döông x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû vaø y laø soá chaün khi vaø chæ khi coù caùc soá nguyeân döông m, n nguyeân toá cuøng nhau, m > n vôùi m chaün vaø n leû hoaëc m leû vaø n chaün, sao cho x = m2 − n2 , y = 2mn , z = m2 + n2 . ⇒ . Giaû söû x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû, y chaün Ñaët r = (z + x)/2 vaø s = (z − x)/2. Töø x2 + y2 = z 2 ta suy ra

Chöùng minh.

vaø x, z leû.



125

126

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

(y/2)2 = rs. Giaû söû d = (r, s), ta coù d | (r + s) = z vaø d | (r − s) = x, do giaû thieát x, z) = 1 neân d = 1. Vì (r, s) = 1 neân töø (y/2)2 = rs ta suy ra r = m2 , s = n2 , (m, n) = 1. Ta coù √ x = r − s = m2 − n2 , z = r + s = m2 + n2 , y = 2 rs = 2mn.

Hieån nhieân m > n vaø trong hai soá m, n coù ñuùng moät soá leû.  ⇐ . Giaû söû coù caùc soá nguyeân döông m, n nguyeân toá cuøng nhau, m > n vôùi m chaün vaø n leû hoaëc m leû vaø n chaün, sao cho x = m2 − n2 , y = 2mn , z = m2 + n2 .

Ta coù

x2 + y 2 = (m2 − n2 )2 + (2mn)2 = (m2 + n2 )2 = z 2 ,

coù nghóa x, y, z laø boä ba Pythagoras. Giaû söû d = (x, y, z) > 1. Khi ñoù coù soá nguyeân toá p laø öôùc cuûa d. Do d = 2 vaø d | (z − x) = 2n2 , d | (z + x) = 2m2 neân d | m2 vaø d | n2 , ñieàu naøy khoâng xaûy ra vì (m, n) = 1.
Ví duï 8.1.1. Sau ñaây laø moät soá boä ba Pythagoras nguyeân thuyû m 2 3 4 4 5 5 6 6

n 1 2 1 3 2 4 1 5

x = m2 − n2

3 5 15 7 21 9 35 11

y = 2mn z = m2 + n2

4 12 8 24 20 40 12 60

5 13 17 25 29 41 37 61



8.2 Toång cuûa hai soá chính phöông Trong phaàn naøy chuùng ta seõ traû lôøi cho caâu hoûi: caùc soá nguyeân naøo laø toång cuûa hai soá chính phöông?

127

8.2. TOÅNG CUÛA HAI SOÁ CHÍNH PHÖÔNG

Ñònh lyù 8.2. Neáu p laø soá nguyeân toá khoâng coù daïng 4k +3 thì coù caùc soá nguyeân x, y

sao cho x2 + y2 = p.

Chöùng minh. Khi p = 2, ta coù 2 = 12 + 12 .

Giaû söû p laø soá nguyeân toá coù daïng 4k +1. Do (−1) laø thaëng dö bình phöông modulo p neân coù soá nguyeân x, 0 < x < p ñeå x2 + 12 = p vôùi soá nguyeân  naøo ñoù. Goïi m laø soá nguyeân döông nhoû nhaát sao cho phöông trình x2 +y2 = mp coù nghieäm nguyeân x, y. Hieån nhieân laø m < p, vì p = x2 +12 ≤ (p−1)2 +1 < p2 . Chuùng ta seõ chöùng toû raèng m = 1. Giaû söû laø m > 1. Goïi a, b laø caùc soá nguyeân −m/2 < a ≤ m/2, −m/2 < b ≤ m/2 vôùi a ≡ x (mod m) vaø b ≡ y (mod m), ta coù a2 + b2 ≡ x2 + y 2 = mp ≡ 0 (mod m).

Theá thì coù soá nguyeân k sao cho a2 + b2 = km. Suy ra (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (km)(mp) = km2 p.

Töø ñaúng thöùc (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2

vaø a ≡ x

(mod m), b ≡ y (mod m),

ta coù

ax + by ≡ x2 + y 2 ≡ 0 (mod m) ay − bx ≡ xy − yx ≡ 0

(mod m).

Nhö vaäy (ax + by)/m vaø (ay − bx)/m laø caùc soá nguyeân vaø  ax + by 2 m

+

 ay − bx 2 m

=

km2 p = kp. m2

Chuùng ta coøn phaûi chöùng toû 0 < k < m. Ta coù 0 ≤ km = a2 + b2 ≤ 2(m2 /4) = m2 /2,

keùo theo 0 ≤ k ≤ m/2. Vaäy k < m. Neáu k = 0, thì a2 + b2 = km = 0, keùo theo a = b = 0. Theá thì x ≡ y ≡ 0 (mod m). Nhöng x2 + y2 = mp, neân m2 | mp, hay m | p, vaø ñieàu naøy khoâng xaûy ra vì 0 < m < p.


128

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

Ñònh lyù 8.3. Soá nguyeân döông n laø toång cuûa hai soá chính phöông khi vaø chæ

khi moãi thöøa soá nguyeân toá daïng 4k + 3 cuûa n xuaát hieän vôùi soá muõ chaün trong khai trieån n thaønh tích caùc luyõ thöøa nguyeân toá. Chöùng minh.  ⇒ . Giaû söû ngöôïc laïi laø coù thöøa soá nguyeân toá p ≡ 3 (mod 4)

cuûa

n coù soá muõ leû 2j + 1 vaø n = x2 + y 2 . y/d, m = n/d2 , thì (a, b) = 1 vaø

Ñaët

d = (x, y), a = x/d, b =

a2 + b2 = m.

laø luyõ thöøa lôùn nhaát cuûa p chia heát d. Theá thì m chia heát cho vôùi 2j − 2k + 1 laø soá nguyeân döông, vaäy p | m. Nhöng p
a vì neáu thì p | b = m − a2 , vaø ñieàu naøy voâ lyù vôùi (a, b) = 1. Goïi z laø soá nguyeân maø az ≡ b (mod p). Theá thì

Giaû söû

pk

2j−2k+1

p p|a

m = a2 + b2 ≡ a2 + (az)2 = a2 (1 + z 2 )

(mod p).

Vì p | m neân p | a2 (1 + z 2). Nhöng (a, p) = 1 neân p | 1 + z 2 , hay z 2 ≡ −1 (mod p) vaø ñieàu naøy khoâng xaûy ra khi p ≡ 3 (mod 4).  ⇐ . Giaû söû phaân tích cuûa n khoâng coù thöøa soá nguyeân toá daïng 4k + 3 vôùi soá muõ leû. Khi ñoù ta coù n = t2 u trong ñoù u khoâng coù thöøa soá nguyeân toá daïng 4k + 3. Vì moãi thöøa soá nguyeân toá khoâng coù daïng 4k + 3, theo ñònh lyù 8.2 ñeàu laø toång cuûa hai soá chính phöông vaø heä thöùc (r2 + s2 )(v2 + w2 ) = (rv + sw)2 + (rw − sv)2 ta suy ra u laø toång cuûa hai soá chính phöông. Giaû söû u = x2 + y 2 , ta coù n = (tx)2 + (ty)2 .


8.3 Toång cuûa boán soá chính phöông Baây giôø chuùng ta quan taâm ñeán caâu hoûi: soá nguyeân döông nhoû nhaát n laø bao nhieâu ñeå moïi soá nguyeân döông ñeàu laø toång cuûa n soá chính phöông? Ta thaáy raèng soá 7 khoâng laø toång cuûa ba soá chính phöông. Chuùng ta seõ chæ ra raèng moïi soá nguyeân döông ñeàu laø toång cuûa 4 soá chính phöông.

Ñònh lyù 8.4. Neáu m, n ñeàu laø toång cuûa boán soá chính phöông thì tích mn cuõng laø toång cuûa boán soá chính phöông.

129

8.3. TOÅNG CUÛA BOÁN SOÁ CHÍNH PHÖÔNG

Chöùng minh. Giaû söû m = x2 + y2 + z 2 + w2 vaø n = a2 + b2 + c2 + d2 . Ta coù mn = (x2 + y 2 + z 2 + w2 )(a2 + b2 + c2 + d2 = (ax + by + cz + dw)2 + +(bx − ay + dz − cw)2 + (cx − dy − az + bw)2 + (dx + cy − bz − aw)2 .


Ñònh lyù 8.5. Neáu p laø soá nguyeân toá thì coù caùc soá nguyeân 2

2

2

x, y, z, w

2

sao cho

x + y + z + w = p.

Chöùng minh. Tröôøng hôïp p = 2, hieån nhieân ta coù 12 + 12 + 02 + 02 = p.

Tröôùc heát chuùng ta chöùng toû raèng neáu p laø soá nguyeân toá leû thì coù caùc soá nguyeân x, y,  vôùi 0 ≤ x, y < p/2 sao cho x2 + y2 + 1 = p. Vì ñoàng dö x2 ≡ y 2 (mod p) keùo theo x ≡ ±y (mod p) neân caùc soá 02 , 12 , · · · , (

p−1 2 ) 2

laø ñoâi moät khoâng ñoàng dö modulo p. Cuõng vaäy, caùc soá −1 − 02 , −1 − 12 , · · · , −1 − (

p−1 2 ) 2

ñoâi moät khoâng ñoàng dö modulo p. Vì {02 , 12 , · · · , (

p−1 2 p−1 2 ) , −1 − 02 , −1 − 12 , · · · , −1 − ( )} 2 2

coù caû thaûy p + 1 soá neân coù 0 ≤ x, y < p/2 sao cho x2 + y2 + 1 = p. Goïi m laø soá nguyeân döông nhoû nhaát sao cho phöông trình x 2 + y2 + z 2 + w2 = mp coù nghieäm nguyeân x, y, z, w. Hieån nhieân laø m < p, vì p = x2 + y2 + 12 + 02 ≤ 2((p − 1)/2)2 + 1 < p2 . Chuùng ta seõ chöùng toû raèng m = 1; hay cuõng vaäy, neáu m > 1 thì seõ daãn ñeán ñieàu voâ lyù. Giaû söû m > 1. Neáu m chaün. Theá thì taát caû caùc soá x, y, z, w ñeàu laø soá chaün hoaëc ñeàu laø soá leû, hoaëc hai trong chuùng laø soá chaün vaø hai soá coøn laïi laø soá leû. Nhö vaäy, khoâng maát tính toång quaùt, ta coù theå giaû söû raèng x ≡ y (mod 2) vaø z ≡ w (mod 2). Khi ñoù caùc soá (x − y)/2, (x + y)/2, (z − w)/2, (z + w)/2 ñeàu laø soá nguyeân vaø  x − y 2  x + y 2  z − w 2  z + w 2 + + + = (m/2)p, 2 2 2 2

130

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

ñieàu naøy voâ lyù vôùi giaû thieát veà tính nhoû nhaát cuûa m. Baây giôø giaû söû m laø soá leû. Goïi a, b, c, d laø caùc soá nguyeân sao cho a ≡ x (mod m), b ≡ y

(mod m), c ≡ z

(mod m), d ≡ w

(mod m)

vaø −m/2 < a < m/2, −m/2 < b < m/2, −m/2 < c < m/2, −m/2 < d < m/2.

Ta coù

a2 + b2 + c2 + d2 ≡ x2 + y 2 + z 2 + w2

Do ñoù

(mod m).

a2 + b2 + c2 + d2 = km,

vôùi k laø soá nguyeân naøo ñoù. Nhöng 0 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 < 4(m/2)2 = m2

neân 0 ≤ k < m. Neáu k = 0 ta coù a = b = c = d = 0 cuõng nhö x ≡ y ≡ z ≡ w ≡ 0 (mod m). Ñieàu naøy keùo theo m2 | mp, hay m | p; vaø ñieàu naøy khoâng xaûy ra vì 1 < m < p. Theá thì k > 0. Ta coù (x2 + y 2 + z 2 + w2 )(a2 + b2 + c2 + d2 ) = mp · km = m2 kp.

Theo ñònh lyù 8.4 ta coù m2 kp = (ax + by + cz + dw)2 + (bx − ay + dz − cw)2 + +(cx − dy − az + bw)2 + (dx + cy − bz − aw)2 .

Töø a ≡ x (mod m), b ≡ y

ta coù

(mod m), c ≡ z

(mod m), d ≡ w

ax + by + cz + dw ≡ x2 + y 2 + z 2 + w2 ≡ 0

(mod m)

(mod m)

bx − ay + dz − cw ≡ yx − xy − xz + yw ≡ 0

(mod m)

cx − dy − az + bw ≡ zx − wy − xz + yw ≡ 0

(mod m)

dx + cy − bz − aw ≡ wx + zy − yz − xw ≡ 0

(mod m).

131

8.4. PHÖÔNG TRÌNH PELL

Suy ra X = (ax + by + cz + dw)/m Y = (bx − ay + dz − cw)/m Z = (cx − dy − az + bw)/m W = (dx + cy − bz − aw)/m

laø caùc soá nguyeân. Ta coù X 2 + Y 2 + Z 2 + W 2 = m2 kp/m2 = kp,

vaø ñieàu naøy voâ lyù vôùi giaû thieát veà tính nhoû nhaát cuûa m.




Ñònh lyù 8.6. Moïi soá nguyeân döông ñeàu laø toång cuûa boán soá chính phöông. Chöùng minh. Khi n = 1 laø hieån nhieân. Khi n > 1 thì n laø tích cuûa caùc soá

nguyeân toá. Theo caùc ñònh lyù 8.4 vaø 8.5 ta suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.




8.4 Phöông trình Pell Phaàn naøy chuùng ta seõ nghieân cöùu caùc phöông trình Diophantus daïng x2 − dy 2 = n,

trong ñoù d vaø n laø caùc soá nguyeân coá ñònh. Khi d < 0 vaø n < 0 thì phöông trình voâ nghieäm. Khi d < 0 vaø n > 0 thì phöông trình neáu coù thì chæ coù höõu haïn nghieäm. Cuõng chuù yù raèng khi d = D 2 laø soá chính phöông thì phöông trình ñöôïc ñöa veà heä
x + Dy = a x − Dy = b

trong ñoù a, b laø caùc soá nguyeân vôùi ab = n, do ñoù neáu phöông trình coù nghieäm thì noù cuõng chæ coù höõu haïn nghieäm vì chæ coù höõu haïn caùc soá nguyeân a, b. Nhö vaäy, chuùng ta chæ quan taâm ñeán phöông trình x2 − dy2 = n, trong ñoù d vaø n laø caùc soá nguyeân vôùi d khoâng laø soá√chính phöông. Ñònh lyù sau ñaây chæ ra raèng phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa d ñöôïc söû duïng ñeå nghieân cöùu phöông trình naøy.

132

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

Ñònh lyù 8.7. Giaû√söû d vaø

laø caùc soá nguyeân vôùi d > 0 khoâng laø soá chính phöông vaø |n| < d. Khi ñoù neáu caùc soá döông x,√y thoaû x2 − dy2 = n thì x/y laø giaûn phaân cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa d. Chöùng minh. Tröôùc tieân ta xeùt tröôøng hôïp n > 0. Vì x2 − dy2 = n neân

Töø phöông trình treân ta Vì 0 < n <

√

d

n

√ √ (x + y d)(x − y d) = n. √ suy ra x > y d, hay x √ − d > 0. y

neân

√ √ x √ x2 − dy 2 d n 1 x−y d √ < √ < √ = 2. − d= = y y 2y y(x + y d) y(2y d) y(2y d) √ ñònh lyù 7.14 ta suy ra x/y laø giaûn phaân cuûa phaân Do 0 < x/y − d vaø √ lieân tuïc ñôn giaûn cuûa d.

soá

Khi n < 0. Chia hai veá cuûa phöông trình x2 − dy2 = n cho (−d) ta ñöôïc y 2 − (1/d)x2 = −n/d.

Do (−n/d) > 0, neân lyù luaä n ta suy ra y/x laø giaûn phaân cuûa phaân  n nhö treâ√ soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa 1/d = 1/ d. Nhöng do giaûn phaân thöù k cuûa 1/α chính laø nghòch ñaûo cuûa giaûn phaân thöù (k − 1) cuûa α, neá √u α > 1 neân ta suy ra x/y laø giaûn phaân cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa d.
Nhôù laïi ñònh lyù√7.16 : Giaû söû d khoâng laø soá chính phöông. Ñaët P0 = 0, Q0 =

2 1, αk = (Pk + d)/Qk , ak = [αk ], Pk+1 = ak Qk − Pk , Qk+1 √ = (n − Pk+1 )/Qk 2 vôùi k = 0, 1, 2, ... . Khi ñoù neáu pk /qk laø giaûn phaân thöù k cuûa d thì pk − nqk2 = (−1)k−1 Qk+1 . Ñònh lyù naøy seõ giuùp chuùng ta xaùc ñònh taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình Pell: x2 − dy2 = 1, cuõng nhö cuûa phöông trình: x2 − dy2 = −1.

Ñònh lyù 8.8. Giaû söû d > 0 khoâng laø soá chính phöông, pk /qk laø √ giaûn phaân thöù k vaø n laø ñoä daøi chu kyø cuûa phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa d. Khi ñoù, neáu n chaün thì caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x2 − dy 2 = 1 laø x = pjn−1 , y = qjn−1 , j = 1, 2, 3, ... vaø phöông trình Diophantus x2 −dy 2 = −1 voâ nghieäm. Neáu n leû thì caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x2 − dy 2 = 1 laø x = p2jn−1 , y = q2jn−1 , j = 1, 2, 3, ... vaø caùc nghieäm cuûa phöông trình Diophantus x2 − dy2 = −1 laø x = p(2j−1)n−1, y = q(2j−1)n−1, j = 1, 2, 3, ... .

133

8.4. PHÖÔNG TRÌNH PELL

Chöùng minh. Theo ñònh lyù 8.7, neáu x0 , y0 laø nghieäm cuûa phöông trình x2 −

thì x√0 = pk , y0 = qk , vôùi pk /qk laø√giaûn phaân cuû √a phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa d. Vì phaân soá lieân tuïc cuûa d coù daïng d = [a0 ; a1 , ..., an ] neân Qjn = Q0 = 1 vôùi j = 1, 2, 3, ... , trong ñoù Pj , Qj , αj , aj ñöôïc xaùc ñònh trong ñònh lyù 7.16. Ta coù dy 2 = ±1

p2k − nqk2 = (−1)k−1 Qk+1 ;

suy ra, trong tröôøng hôïp n chaün thì 2 = (−1)jn Qjn = 1. p2jn−1 − dqjn−1

Cuõng vaäy, neáu n leû thì 2 = (−1)2jn Q2jn = 1 p22jn−1 − dq2jn−1

vaø

2 = (−1)(2j−1)n Q(2j−1)n = −1. p2(2j−1)n−1 − dq(2j−1)n−1

Ñeå chöùng toû caùc Diophantus x2 − dy2 = 1 vaø x2 − dy2 = −1 khoâng coøn caùc nghieäm khaùc, ta chæ caàn chöùng toû raèng Qk+1 = 1 seõ keùo theo n | k vaø Qj = −1 vôùi j = 1, 2, 3, ... . √

Vì Qk+1 = 1 thì αk+1 = Pk+1 + d vaø αk+1 = [ak+1 ; ak+2 , ... ] coù bieã √u dieãn  phaân soá lieân tuïc√tuaàn hoaøn thuaàn chuûng. Töø ñoù −1 < α = Pk+1 − d < 0. Suy ra Pk+1 = [ d], cuõng vaäy αk = α0 vaø n | k. √ Giaû söû Qj = −1 vôùi j ≥ 1 naøo ñoù. Theá thì αj = −Pj − d. Vì αj coù √ bieãu  dieãn phaân soá lieân tuï c tuaàn hoaøn thuaà√n chuûng neân −1 < αj = −Pj + d < 0 √ vaø αj > 1. Suy ra d < Pj < −1 − d, vaø ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra.


Ví duï 8.4.1. Vì phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa

√

13 laø [3; 1, 1, 1, 1, 6 ] neân caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x − 13y2 = 1 laø x = p10j−1, y = q√10j−1 , vôùi p10j−1 /q10j−1 laø giaûn phaân thöù (10j − 1) cuûa phaân soá lieân tuïc cuûa 13, j = 1, 2, 3, ... . Nghieäm döông nhoû nhaát cuûa phöông trình x2 − 13y 2 = 1 laø x1 = p9 = 649, y1 = q9 = 180. Caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x2 − 13y2 = −1 laø x = p10j−6, y = q10j−6, vôùi j = 1, 2, 3, ... . Nghieäm döông nhoû nhaát cuûa phöông trình x2 − 13y2 = −1 laø p4 = 18, q4 = 5. 2



134

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

√ 14 laø [3; 1, 2, 1, 6 ] neân caùc 2 nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x − 14y2 = 1 laø x = p4j−1, y = q√4j−1 , vôùi p4j−1 /q4j−1 laø giaûn phaân thöù (4j − 1) cuûa phaân soá lieân tuïc cuûa 14, j = 1, 2, 3, ... . Nghieäm döông nhoû nhaát cuûa phöông trình x2 − 13y 2 = 1 laø x1 = p3 = 15, y1 = q3 = 4. Phöông trình Diophantus x2 − 14y2 = −1 voâ

Ví duï 8.4.2. Vì phaân soá lieân tuïc ñôn giaûn cuûa

nghieäm.



Ñònh lyù 8.9. Neáu x1 , y1 laø nghieäm döông nhoû nhaát cuûa phöông trình Diophan-

tus x2 − dy2 = 1 vaø soá nguyeân döông d khoâng laø soá chính phöông thì taát caû caùc nghieäm döông xk , yk ñöôïc cho bôûi √ √ xk + yk d = (x1 + y1 d)k ,

vôùi k = 1, 2, 3, ... .

Chöùng minh. Chuùng ta seõ chöùng toû raèng xk , yk laø nghieäm cuûa phöông trình

vaø moãi nghieäm döông cuûa phöông trình ñeàu coù daïng naøy. √ √ √ √ Vì xk + yk d = (x1 + y1 d)k neân xk − yk d = (x1 − y1 d)k . Suy ra

√ √ √ √ x2k −dyk2 = (xk +yk d)(xk −yk d) = (x1 +y1 d)k (x1 −y1 d)k = (x21 −dy12 )k = 1.

Baây giôø ta giaû söû X, Y laø nghieäm döông cuûa phöông trình nhöng khoâng baèng moät xk , yk naøo caû. Theá thì coù soá nguyeân döông n sao cho √ √ √ (x1 + y1 d)n < X + Y d < (x1 + y1 d)n+1 .

Suy ra √ √ √ √ √ 1 < (x1 + y1 d)−n (X + Y d) = (x1 − y1 d)n (X + Y d) < (x1 + y1 d).

Ñaët Ta coù

√ √ √ r + s d = (x1 − y1 d)n (X + Y d). √ √ r2 − ds2 = (r − s d)(r + s d) √ √ √ √ = (x1 + y1 d)n (X − Y d)(x1 − y1 d)n (X + Y d) = (x21 − dy12 )n (X 2 − dY 2 ) = 1.

135

8.4. PHÖÔNG TRÌNH PELL

Vì r, s laø nghieäm cuû√a phöông trình √Diophantus x2 − dy2 = 1 vaø 1 < r + s ta suy ra 0 < (r + s d)−1 = (r − s d) < 1. Do ñoù r=

√ √  1 (r + s d) + (r − s d) > 0 2

s=

√ √  1 (r + s d) − (r − s d) > 0. 2

vaø

Nhö vaäy thì r, s laø nghieäm döông cuûa phöông trình maø r + s vaø ñieàu naøy voâ lyù giaû thieát veà x1, y1 .

√ d

√ √ d < x1 + y1 d


Ví duï 8.4.3. Chuùng ta ñaõ bieát

nhaát cuûa phöông trình döông xk , yk maø

x1 = 649, y1 = 180 laø nghieäm döông nhoû x − 13y = 1, vaäy phöông trình coù taát caû caùc nghieäm 2

2

√ √ xk + yk 13 = (x1 + y1 13)k .

Chaúng haïn √ √ √ x2 + y2 13 = (x1 + y1 13)2 = 842401 + 233640 13

neân x2 = 842401, y2 = 233640 laø nghieäm x2 − 13y 2 = 1, khaùc x1 = 649, y1 = 180.

döông nhoû nhaát cuûa phöông trình 

BAØI TAÄP CHÖÔNG VIII 1. Chöùng minh raèng neáu x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû thì hoaëc x hoaëc y laø boäi cuûa 3. 2. Chöùng minh raèng neáu x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû thì coù ñuùng moät trong ba soá x, y, z laø boäi cuûa 5.

136

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

3. Chöùng minh raèng neáu x, y, z laø boä ba Pythagoras nguyeân thuyû thì coù moät trong ba soá x, y, z laø boäi cuûa 4. 4. Chöùng minh raèng moãi soá nguyeân döông lôùn hôn phaàn cuûa ít nhaát moät boä ba Pythagoras. 5. Ñaët x1 = 3,

y1 = 4, z1 = 5

2

ñeàu laø moät thaønh

vaø vôùi n = 2, 3, 4, ... ñaët

xn+1 = 3xn + 2zn + 1 yn+1 = 3xn + 2zn + 2 zn+1 = 4xn + 3zn + 2.

Haõy chöùng toû raèng xn, yn , zn laø boä ba Pythagoras vôùi moïi n. 6. Chöùng toû raèng neáu x, y, z laø boä ba Pythagoras vôùi y = x + 1 thì x, y, z laø boä ba Pythagoras trong baøi taäp 5. 7. Tìm taát caû caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x2 +2y2 = z 2 . 8. Tìm taát caû caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x2 +3y2 = z 2 . 9. Tìm taát caû caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus: w 2 + x2 + y 2 = z 2 .

10. Tìm taát caû caùc boä ba Pythagoras chöùa soá 12. 11. Tìm taát caû caùc boä ba Pythagoras x, y, z vôùi z = y + 1. 12. Tìm taát caû caùc boä ba Pythagoras x, y, z vôùi z = y + 2. 13. Chöùng minh raèng soá caùc boä ba Pythagoras x2 + y2 = z 2 vôùi x coá ñònh, baèng (τ (x2) − 1)/2 neáu x leû, vaø baèng (τ (x2/4) − 1)/2 neáu x chaün. 14. Tìm taát caû caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus x2 +py2 = z 2 , trong ñoù p laø soá nguyeân toá. 15. Tìm taát caû caùc nghieäm döông cuûa phöông trình Diophantus: 1/x2 + 1/y 2 = 1/z 2 .

16. Haõy vieát caùc soá sau thaønh toång cuûa hai soá chính phöông: 13,

29,

50,

377,

650,

1450,

18850.

137

8.4. PHÖÔNG TRÌNH PELL

17. Xaùc ñònh xem soá naøo trong caùc soá sau vieát ñöôïc thaønh toång cuûa hai bình phöông: 19,

25,

29,

45,

65,

80,

99,

999,

1000.

18. Chöùng minh raèng soá nguyeân duông laø hieäu cuûa hai soá chính phöông khi vaø chæ khi noù khoâng coù daïng 4k + 2. 19. Chöùng minh raèng soá nguyeân duông khoâng laø toång cuûa ba soá chính phöông khi noù coù daïng 8k + 7. 20. Chöùng minh raèng soá nguyeân duông khoâng laø toång cuûa ba soá chính phöông khi noù coù daïng 4m (8k + 7), vôùi m ≥ 0. 21. Haõy vieát caùc soá sau thaønh toång cuûa boán soá chính phöông: 7,

15,

34,

105,

510,

238,

3570.

22. Chöùng minh raèng moïi soá nguyeân n ≥ 170 ñeàu laø toång caùc bình phöông cuûa naêm soá nguyeân döông. 23. Chöùng minh raèng soá 2 m khoâng laø toång caùc bình phöông cuûa boán soá nguyeân döông, vôùi moïi soá leû m. 24. Chöùng minh raèng neáu p nguyeân toá vaø a khoâng chia heát cho√p thì coù caùc soá nguyeân x, y sao cho ax ≡ y (mod p) vaø 0 < |x|, |y| < p. 25. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa caùc phöông trình Diophantus sau: a) x2 + 3y2 = 4 b) x2 + 5y2 = 7 c) 2x2 + 7y2 = 30 26. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa caùc phöông trình Diophantus sau: a) x2 − y2 = 8 b) x2 − 4y2 = 40 c) 4x2 − 9y2 = 100 27. Phöông trình Diophantus naøo cuûa n cho sau ñaây: a)

1,

b)

− 1,

x2 − 31y 2 = n

c)

2,

d)

coù nghieäm vôùi nhöõng giaù trò − 3,

e)

4,

f)

− 45.

138

8. MOÄT VAØI PHÖÔNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYEÁN

28. Tìm nghieäm döông nhoû nhaát cuûa caùc phöông trình Diophantus sau: a) x2 − 29y2 = −1, b) x2 − 29y2 = 1 29. Tìm ba nghieäm döông nhoû nhaát cuûa phöông trình Diophantus x2 −37y2 = 1.

30. Phöông trình Diophantus naøo cuûa d cho sau ñaây: a)

2,

b)

3,

c)

6,

x2 − dy 2 = −1

d)

13,

e)

coù nghieäm vôùi nhöõng giaù trò

17,

f)

31,

g)

41,

h)

50.

31. Chöùng minh raèng neáu d laø soá nguyeân döông chia heát cho soá nguyeân toá daïng 4k + 3 thì phöông trình Diophantus x2 − dy2 = −1 khoâng coù nghieäm. 32. Cho d, n laø caùc soá nguyeân döông. a) Chöùng toû raèng neáu r, s laø nghieäm cuûa phöông trình Diophantus x2 − dy 2 = 1 vaø X, Y laø nghieäm cuûa phöông trình Diophantus x2 − dy 2 = n thì Xr ± dY s, Xs ± Y r cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình Diophantus x2 − dy 2 = n.

b) Chöùng toû raèng phöông trình Diophantus x2 −dy2 = n hoaëc voâ nghieäm, hoaëc coù voâ soá nghieäm. 33. Chöùng minh raèng caùc phöông trình Diophantus sau ñaây khoâng coù nghieäm khoâng taàm thöôøng:a) x4 − 2y4 = 1, b) x4 − 2y2 = −1.