Ley Del Seno Y Del Coseno.docx

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.

Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º. Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º.

Cómo calcular los distintos valores de un triángulo oblicuángulo: Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos triángulos.

Teorema del seno: El siguiente triángulo es oblicuángulo:

Trazamos la altura desde C hasta c:

Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir:

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B Tomamos ahora el ángulo A:

y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A

Observamos: h = a x sen B h = b x sen A

podemos decir que : a x sen B = b x sen A

Esta última igualdad podemos escribirla:

Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos:

El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b (90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D. El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a).

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos:

( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A.

Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C =c x sen A

Esta última igualdad podemos escribirla:

El recuadro último representa el teorema del seno. Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante. Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes en la figura siguiente. Halla los tres datos que faltan por conocer:

Respuesta: C = 30º; a = 5,8 m; a = 10,28 m. Solución El ángulo C = 180º – (121º+29º) = 30º Haces uso del teorema del seno. Calculamos el valor de b:

Calculamos el valor de a:

Ejercicio #55 En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con tres datos conocidos, halla los otros tres:

Respuesta: A = 68º; C = 52º; c= 6,68 m.; Solución Haciendo uso del teorema del seno podemos escribir:

Tomas las tablas y en la columna del seno cuyo encabezamiento lo tenemos al pie de página, en la columna de grados de la derecha verás que corresponde a 68º. Esto quiere decir que también conocemos el ángulo C:

Del triángulo conocemos:

Comprobarás que necesitamos saber el valor del lado c, para completar las medidas de los seis datos. Volvemos a utilizar el teorema del seno:

Resultado final con todos los datos:

Ejercicio #56 En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:

Respuesta: B = 110º; b = 8,9 m.; c = 5 m. Aplicación del teorema del seno en el caso de un triángulo inscrito en una circunferencia

Primeramente conviene que recuerdes lo que es arco capaz. En la figura que tienes a continuación verás los ángulos A, B, C, D y E que por ser inscritos(que los vértices se hallan en la circunferencia) valen lo mismo. Además, los lados que forman cada uno de los ángulos mencionados abarcan la misma longitud de arco de circunferencia AB (trazo más grueso –color rojo-):

El arco AB del segmento AB, para el ángulo de 55º es el lugar o lugares geométricos de los puntos del plano desde los que podemos ver el segmento anterior AB bajo el ángulo de 55º. De la figura anterior tenemos en cuenta solamente lo siguiente:

Dado que los dos ángulos A y B valen lo mismo por ser inscritos y además abarcan el mismo arco podemos decir también que el sen A y el sen

B son iguales. Además, sen B = podemos escribir:

haciendo uso del teorema del seno

Podemos afirmar que en todo triángulo inscrito en una circunferencia la razón o la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto equivale al diámetro de dicha circunferencia. Hacemos lo mismo tomando al ángulo C como referencia: Teorema del coseno: Se trata de otro sencillo teorema también para la resolución de triángulos. Partimos del triángulo siguiente:

Trazamos la altura desde el vértice C sobre el lado c y fijamos las proyecciones m y n de los lados a y b sobre el lado c:

Puedes comprobar que los dos triángulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectángulos (H = 90º). Timando el triángulo amarillo podemos escribir, según el teorema de Pitágoras:

Según lo que has estudiado podemos decir que:

TEMA: PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y/O OBLICUÁNGULOS 14-04-11 Pregunta de maria ana (PROBLEMA CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS) como resuelvo una estatua de 3m de alto esta colocadaobre base marmol.desde cierto punto en plano se ven los pies y la parte mas alta de estatua angulos 60 y 75 grados, a que distancia de la base del pedestal se encuentra punto de observacion gracias urgente Cursando:: 4 año Edad:: 15 Nacionalidad:: venezolana ¿Qué opinas de la web?: buenisima Hola maria ana. En el siguiente dibujo se ve representada la situación:

Allí se pueden ver dos triángulos rectángulos uno dentro de otro. A un costado los puse separados porque quizás así se entienda mejor cuáles son los elementos de cada triángulo (lados y ángulos). Si llamamos "p" a la altura del pedestal de mármol, podemos decir que la parte más alta de la estatua está a "p + 3" metros del suelo. Y lo que se quiere averiguar es la distancia desde el punto de observación a la base del pedestal, distancia a la que llamo "X" en el dibujo. En el triángulo más grande tenemos: - Un ángulo de 75° - Un lado que mide "p + 3" (la altura desde el piso hasta la parte más alta de la estatua). Es el "cateto opuesto" al ángulo de 75° (es el lado que está enfrente)

- Otro lado mide "X", es la distancia que queremos averiguar, y es el cateto adyacente al ángulo de 75°. En el triángulo menor: - Un ángulo de 60° - Un lado que mide "p" (la altura del pedestal) - Otro lado mide "X", es la distancia que queremos averiguar, y es el cateto adyacente al ángulo de 60° Y aunque desconozcamos los lados, conociendo un ángulo podemos plantear las relaciones trigonométricas con las expresiones "p + 3" y "p". Porque así van a quedar 2 ecuaciones con 2 incógnitas, y con eso se forma un sistema donde se puede hallar el valor de las dos incógnigas (la "p" y la "X"). En el triángulo grande: Tangente(75°) = (p + 3)/X opuesto/cateto adyacente)

(Tangente = cateto

3,732 = (p + 3)/X En el triángulo chico: Tangente(60°) = p/X 1,732 = p/X Entonces tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, con las que podemos armar el sistema: 3,732 = (p + 3)/X 1,732 = p/X Eso lo puedes resolver con el método de quieras (Sustitución, Igualación, etc.). Yo prefiero usar el método de Igualación, despejando la X en las 2 ecuaciones: 3,732 = (p + 3)/X 3,732.X = p + 3 X = (p + 3)/3,732 1,732 = p/X 1,732.X = p

X = p/1,732 Y ahora igualo los resultados: (p + 3)/3,732 = p/1,732 Como eso es una proporción, aplico la Propiedad fundamental de las proporciones ("el producto de los medios es igual al producto de los extremos"): (p + 3).1,732 = 3,732.p 1,732.p + 5,196 = 3,732.p 5,196 = 3,732p - 1,732p 5,196 = 2p 5,196:2 = p 2,598 = p Y como ya conocemos el valor de "p", podemos hallar el de "X" reemplazando en alguna de las dos ecuaciones (mejor en las que tienen la "X" despejada). Por ejemplo: X = p/1,732 X = 2,598/1,732 X = 1,5 Y "X" era justamente el segmento entre el punto de observación y la base del pedestal, cuya medida pedía el problema. Así que la distancia que pedían es: Respuesta: la distancia es de 1,5 m

15-12-10 Pregunta de lu: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS)

(PROBLEMA CON

hola necesito urgente ayuda!!! este ejercicio no lo puedo resolver. dos palmeras de igual altura distan 90m.Desde un punto situado sobre la recta horizontal que une sus bases,sxe miden dos angulos que son de 38º y 28º.Calculen la altura de las palmeras. Ayuda. Gracias Hola lu. Es un problema de triángulos rectángulos.

Te muestro un dibujo que representa la situación:

Allí desconocemos la altura de las palmeras, que es igual para las dos, y que llamo "h". Y también desconocemos los segmentos "x" e "y", que quedaron determinados al marcar un punto sobre la recta horizontal que une las bases de las palmeras. Viendo el dibujo, y si conocemos sobre trigonometría y triángulos rectángulos, nos podemos dar cuenta de que: x + y = 90 h/x = tg 38° (porque "h" es cateto opuesto, y "x" es cateto adyacente al ángulo de 38° en el triángulo rectángulo de la izquierda) h/y = tg 28° (porque "h" es cateto opuesto, e "y" es cateto adyacente al ángulo de 28° en el triángulo rectángulo de la derecha) Con esas 3 cosas, podemos calcular el valor de h. De la siguiente manera por ejemplo: h/x = tg 38° h/x = 0,781 h = 0,781.x h/y = tg 28° h/y = 0,531 h = 0,531.y Como h = h obviamente, igualo los resultados:

0,781.x = 0,531.y Ésa es una ecuación con dos incógnitas: x e y. Pero también tenía otra ecuación con esas dos incógnitas: x + y = 90 Entonces, junto esas dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones: x + y = 90 0,781.x = 0,531.y Y lo resuelvo por algún método que conozca. Por ejemplo: Sustitución. x + y = 90 y = 90 - x 0,781.x = 0,531.y 0,781.x = 0,531.(90 - x) 0,781.x = 47,79 - 0,531.x 0,781x + 0,531x = 47,79 1,312x = 47,79 x = 47,79 / 1,312 x = 36,42 Y con sólo conocer la "x" (o la "y") ya me alcanza. Pues ahí arriba ya tengo expresiones con las cuales se puede calcular "h" conociendo la "x" (o la "y"): h = 0,781.x h = 0,781.36,42 h = 28,44 La altura de la palmera es aproximadamente 28,44 m.

06-11-10 Pregunta de Manuel: (TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y RECTÁNGULOS) Hola Marce disculpe que una vez mas la moleste pero me gustaria saber si me puede ayuar con estos dos ejercicios por favor se lo agaraadecere muchisimo... 1. Calcular la medida de los ángulos de un triángulo Oblicuángulo cuyos lados miden: Longitud a = 236.81m; longitud b = 320.54m; longitud c = 406.93m.

2. Un hombre observa que el ángulo de elevación a la parte

alta de una torre es de 30º. Camina hacia la torre 300 pies y encuentra que el ángulo es ahora de 60º ¿qué altura tiene la torre? Bendiciones... Hola Manuel. 1) Te dan como datos los 3 lados, entonces para calcular los ángulos tienes que usar el Teorema del coseno, porque para usar el Teorema del seno no alcanzan los datos. El Teorema del coseno dice que: a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos(A) b2 = a2 + c2 - 2.a.c.cos(B) c2 = a2 + b2 - 2.a.b.cos(C) Siendo a, b y c los lados del triángulo oblicuángulo, y A, B y C sus ángulos.

Para calcular uno de los ángulos, reemplazo los 3 lados por los datos que me dieron. Por ejemplo en la primera fórmula: a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos(A) 236,812 = 320,542 + 406,932 - 2.320,54.406,93.cos(A) Ves que al reemplazar, la única letra que quedó es A, que era un ángulo. Entonces, es una ecuación con una sola incógnita: el ángulo A. Despejamos la A y así encontramos la medida del ángulo: 56078,9761 = 102745,8916 + 165592,0249 260874,6844.cos(A) 56078,9761 - 102745,8916 - 165592,0249 = 260874,6844.cos(A) -212258,9404 = -260874,6844.cos(A) (-212258,9404) : (-260874,6844) = cos(A)

0,813643305... = cos(A) arcos (0,813643305...) = A "arcos" es arcocoseno, la inversa de la función trigonométrica coseno. Y sirve para hallar el ángulo. En nuestro ejemplo, para hallar el ángulo cuyo coseno es 1.398149867.... Es decir, conociendo el resultado del coseno de un ángulo, se puede hallar el ángulo utilizando la función arcocoseno. En la calculadora está como cos -1, en la misma tecla que el cos, pero arriba, por eso hay que usar SHIFT + cos (la tecla "Shift" y luego la tecla "cos"): 35,546565... = A (pero está en decimal: hay que pasarlo a grados, minutos y segundos) 35° 32´ 48´´ = A Ahí tienes uno de los ángulos. Y para los otros dos tienes puedes hacer lo mismo con las otras dos fórmulas.

2) Un hombre observa que el ángulo de elevación a la parte alta de una torre es de 30º. Camina hacia la torre 300 pies y encuentra que el ángulo es ahora de 60º ¿qué altura tiene la torre? El dibujo que representa esa situación es así:

Llamo x a la altura de la torre, que es lo que hay que calcular. Este problema te combina triángulos oblicuángulos con triángulos rectángulos. Porque no tienes los datos suficientes para resolver alguno de los 2 triángulos rectángulo que se ven en el dibujo, ya que 300 no es lado de ninguno de los dos triángulos rectángulos. Así que hay que empezar resolviendo el triángulo oblicuángulo que tiene a 30° como ángulo y a 300 como lado. Te lo separo del dibujo para que se vea mejor:

Le puse "y" a ese lado que voy a calcular, porque la letra "x" ya se la asigné a otra incógnita. Voy a calcular ese lado, porque también es lado del otro triángulo, que es rectángulo y tiene como ángulo 60° y la torre "x" como lado. Si logro calcular "y", voy a tener el dato que me falta para encontrar la "x". Pero para resolver ese triángulo oblicuángulo falta un dato (siempre son tres). Sin embargo se pueden calcular los otros dos ángulos con los datos del problema. Voy a calcular el de arriba, porque me conviene para lo que tengo que hacer después (usar el Teorema del seno).

Llego a la conclusión de que el ángulo de arriba del triángulo oblicuángulo mide 30° por lo siguiente. En el triángulo rectángulo más grande (todo el dibujo), el ángulo de arriba mide: 180° - 90° - 30° = 60° Ya que tenemos un ángulo de 30° y otro de 90° (es rectángulo, tiene un ángulo recto).

Luego, en el triángulo rectángulo más chico, el ángulo de arriba mide 30°, porque: 180° - 90° - 60° = 30° Ya que tenemos un ángulo de 60° y el otro de 90°. Como el ángulo de arriba de 60° está dividido en dos partes, y una mide 30°, la otra parte mide: 60° - 30° = 30° Listo, volvamos al triángulo oblicuángulo para encontrar "y":

Según el Teorema del seno, se cumple la siguiente proporción: 300 / sen(30°) = y / sen(30°) Ya que el Teorema del seno dice: a/sen(A) = b/sen(b) = c/sen(c) En cada fracción va arriba un lado, y abajo va el seno del ángulo que está "enfrente" del lado. En el dibujo fijate que 300 está enfrente del ángulo de 30° que está arriba, y el lado "y" está enfrente del ángulo de 30° que está abajo. En este caso particular, que los dos ángulos son iguales, podríamos calcular directamente "y". Como es un triángulo isósceles, y va a valer 300, igual que el otro lado. Pero por si no te dabas cuenta de eso, o si los ángulos no eran iguales, te muestro cómo se hace con el Teorema del seno: 300 / sen(30°) = y / sen(30°) 300 / 0,5 = y / 0,5

Y esa ecuación la resuelves como sepas hacerlo. Se pueden cancelar los 0,5, pero sino puedes aplicar la propiedad de las proporciones: 300.0,5 = 0,5.y 150:0,5 = y 300 = y Y ahora, conociendo el lado y, tenemos los datos necesarios para resolver el triángulo rectángulo más chico (para resolver un triángulo rectángulo hacen falta dos datos):

En ese triángulo rectángulo, "x" es el cateto opuesto (está enfrente del ángulo dato), y la hipotenusa mide 300 (es el lado que está enfrente del ángulo recto). Así que se puede encontrar el valor usando esta función trigonométrica: seno A = cateto opuesto / hipotenusa seno 60° = x / 300 0,866... = x / 300 0,866.300 = x 259,8 = x La altura de la torre es de 259,8 m.

Triángulos oblicuángulos Un triángulo es oblicuángulo si no es recto ninguno de sus ángulos, En la resolución de triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno. Hay cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder: 1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

4º. Conociendo los tres lados

Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.