Les Nombres

Les Nombres I-

Les ensembles de nombres 1) Les entiers naturels : L’ensemble ℕ

a) L’ensemble des entiers naturels Ce sont les nombres qui représentent une quantité, une collection d’objets (moutons, cailloux, …) Exemple : 0 ; 1 ; 37 ; 2168 ; … Ces nombres s’écrivent avec les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. b) Des entiers particuliers : les nombres premiers Ce sont des entiers naturels qui ne peuvent être divisés par aucun autre nombre que 1 ou euxmêmes. Exemples :  37 est un nombre premier (il n’est pas dans les tables de multiplication)  2 745 n’est pas un nombre premier (il est divisible par 5)  2 et 3 sont des nombres premiers Remarque : Tous les codes secrets (banques, espionnage, …) utilisent des nombres premiers.

2) Les entiers relatifs : L’ensemble ℤ Cet ensemble est composé des entiers naturels et de leurs symétriques par rapport à 0 . Exemple : 1 ; -5 ; 0 ; …

3) Les nombres décimaux : L’ensemble D Cet ensemble est composé des entiers relatifs avec une partie décimale finie. Exemple : 1 ; -5 ; 4,915 ; - 0,32 ; … Remarque : Un nombre décimal est toujours le quotient d’un nombre relatif par une puissance de 10 (par exemple, 4,915 =

4915

)

1000

4) Les nombres rationnels : L’ensemble ℚ Cet ensemble est composé des quotients de deux entiers relatifs non nuls. 1

−32

1

100

Exemple : 1 ( ) ; - 0.32 (

);

2

13

;…

Remarque : La partie décimale d’un nombre rationnelle peut être infinie, mais en tout cas, elle se répète forcément (exemple

2

13

= 0,15384615384615384….)

5) Les nombres réels : L’ensemble ℝ Ce sont tous les autres nombres qui ont été vus au collège. Exemple : 1 ; -0,32 ;

2

13

; 7 ; cos (45) ; …

Remarque : Un droite graduée contient tous les nombres réels. Chaque réel peut être représenté par une abscisse. J.HERTZOG

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6) Récapitulatif Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres. Le plus « petit » est ℕ et le plus grand ℝ.

37 0 2168

D

ℤ

ℕ

4,915

1

ℚ

-5 -0,32

2 13

ℝ 7

Cos (45)

II-

Représentation dans une calculatrice Exemple : le nombre 1 + 2 1) Valeur exacte 1+ 2

2) Valeur arrondie de la calculatrice 2.41421356237 (à 10-11 près)

3) Valeur approchée en mémoire (Ans) 2.4142135623731 (à 10-13 près)

III- Ordre 1) Critères de comparaison Pour prouver que deux nombres A et B sont égaux, on peut :  Partir de A et par calcul arriver à B Exemple : Montrer que (1+ 3)(1 − 3) + 1 = -1  Transformer A et B pour trouver le même nombre C Exemple : Montrer que 1 – (x + 1)(x – 3) = 5 – (x – 1)²  Montrer que A – B = 0 ou que Exemple : Montrer que

𝑥+4 3

−

𝑨

𝑩 𝑥 2

= 1 (si B ≠ 0)

=1+

2−𝑥 6

Remarque : On démontre que l’un des nombres A ou B est plus grand que l’autre de la même manière.

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2) Valeur absolue et distance entre deux nombres a) Les intervalles Un intervalle est une partie de la droite des réels. Il existe deux types d’intervalles :  Les intervalles bornés, entre deux extrémités qui sont des nombres Exemple : [1 ; 7] est l’ensemble des nombres compris entre 1 et 7 inclus. [1 ; 7[ est l’ensemble des nombres compris entre 1 (inclus) et 7 (exclu).  Les intervalles non bornés avec une ou deux extrémités infinies Exemple : [1 ; +∞[ est l’ensemble des nombres plus grands que 1 (inclus) ]- ∞ ; -3[ est l’ensemble des nombres plus petits que – 3 (exclu) Remarque : L'ensemble des réels est représenté par l'intervalle ]-∞ ; +∞[ b) Intersection et réunion Définition :  L'intersection entre deux intervalles est l'ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles en même temps. Exemple : L'intersection entre [-7 ; -2] et [-5 ; 2] est l'intervalle[- 5 ; -2] On écrit [-7 ; -2] ∩ [-5 ; 2] On dit [-7 ; -2] inter [-5 ; 2]  La réunion de deux intervalles est l'ensemble des nombres appartenant à l'un ou l'autre des intervalles. Exemple : La réunion entre [-7 ; -2] et [-5 ; 2] est l'intervalle[- 7 ; 2] On écrit [-7 ; -2] ∪ [-5 ; 2] On dit [-7 ; -2] union [-5 ; 2]

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c) La valeur absolue La valeur absolue d’un nombre réel a est la partie numérique seule de ce nombre (sans le signe). Elle représente la distance entre ce nombre et 0. Elle est notée |a|. Exemple : |2| = 2 |-4.1| = 4.1 Remarque : La valeur absolue de deux nombres opposés est la même : |-3| = 3 et |3| = 3 Conséquence : |a - b| = |b - a| pour n’importe quels nombres a et b. C’est la distance entre les nombres a et b Remarque : La longueur d’un intervalle [a ; b] est le nombre |b - a| (ou |a - b|) ; peu importe le sens des crochets. Exemples : Calculer la longueur des intervalles suivants :  [5 ; 9]  ]-1 ; 6]  [1- 5 ; 1+ 5[ Résoudre les (in)équations suivantes :  |x| = 5  |x - 1| = 2  |x + 3| ≤ 1  |2 - x| ≥ 2

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