Lemma 1

Lemma 1.2.1 Misalkan S ⊂ N dan S ≠ ∅, maka S memilki unsure terkecil, yaitu terdapat no S, sehingga n0 ≤ n, ∀ n∈S. Contoh: 1. Misal S = 1,2,3,4,5 ⊂ N

n0 = 1 dan ambil n = 5, atau n bisa juga di ambil n = 2, n = 3, n = 4 sehingga 1 ≤ 5, ∀ n∈S. 2. 1,2,3,4,5 Misal S = 7,8,9,10,11 ⊂ N n0 = 7 dan ambil n = 9, atau n bisa juga di ambil n = 8, n = 10, n = 11 sehingga 7 ≤ 9, ∀ n∈S. 3. Misal S = 11,12,13,14,15 ⊂ N n0 = 11 dan ambil n = 15, atau n bisa juga di ambil n = 12, n = 13, n = 14 sehingga 11 ≤ 15, ∀ n∈S. 4. Misal S = 20,21,22,23,24 ⊂ N n0 = 20 dan ambil n = 23, atau n bisa juga di ambil n = 21, n = 22, n = 24 sehingga 20 ≤ 23, ∀ n∈S. 5. Misal S = 16,17.18.19.20 ⊂ N n0 = 16 dan ambil n = 19, atau n bisa juga di ambil n = 17, n = 18, n = 20 sehingga 16 ≤ 20, ∀ n∈S. Lemma 1.2.2 Jika x,y

Q dan x y, maka terdapat z ∈ Q, sehingga x < z < y.

Contoh: 1. Misal, x = 16, dan y = 13 z = 14 Sehingga 16 <14 <13 2. Misal, x = 43, dan y = 74 z = 32 Sehingga 43 < 32<74 3. Misal, x = 95, dan y = 102 z = 83 Sehingga 95 <83 < 102 4. Misal, x = 89, dan y = 97 z = 87 Sehingga 89 <87 < 97 5. Misal, x = 110, dan y = 17 z = 18

Sehingga 110 <18 < 17 Lemma 1.2.3 ( Sifat Archimedes ) Jika x

Q, maka terdapat n ∈ Z, sehingga x < n.

1. Mis x = 2110∈Q n = 3∈ Z sehingga x < n = 2110 < 3 2. Mis x = 310∈Q n = 1∈ Z sehingga x < n = 310 < 1 3. Mis x = 257∈Q n = 4∈ Z sehingga x < n = 257 < 4 4. Mis x = -94∈Q n = -2∈ Z sehingga x < n = -94 < -2 5. Mis x = -174∈Q n = -3 ∈ Z sehingga x < n = -174 <- 3

Teorema 1.4.1 (Sifat Archimedes) Untuk setiap x,y

R dan x > 0 , terdapat n

1. Mis x = 3

y = 14,5 n=5 sehingga nx > y = 5(3) > 14,5 2. Mis x = 2,3 y = 20 n = 10 sehingga nx > y = 10(2,3) > 20 3. Mis x = 5,6 y = 50 n=9 sehingga nx > y = 9(5,6) > 50 4. Mis x = 7,8 y = 15,5 n = 20 sehingga nx > y = 20(7,8) > 15,5

N, sehingga nx > y.

5. Mis x = 3,15

y = 50 n = 16 sehingga nx > y = 16(3,15) > 50 Teorema 1.4.2 Untuk setiap x,y

R dan x < y, terdapat p ∈ Q, sehingga x< p < y.

1. Mis x = 4,01

y = 4,5 p = 215∈Q sehingga x< p < y.= 4,01<215 < 4,5 2. Mis x = 6,21 y=7 p = 193∈Q sehingga x< p < y.= 6,21<193 < 7 3. Mis x = 1 y = 95 p = 53∈Q sehingga x< p < y.= 1<53< 95 4. Mis x = 94 y = 114 p = 104∈Q sehingga x< p < y.= 94<104< 114 5. Mis x = 1710 y = 189100 p = 137∈Q sehingga x< p < y.= 1710<137< 189100 Teorema 1.4.3 Untuk setiap a

R, a > 0 dan n

1. Mis a = 7, 7 > 0, dan n = 2 Sehingga ∃x∈R

Maka x2 = 7 x =7 dan x ∈ I 2. Mis a = 8, 8 > 0, dan n = 9 Sehingga ∃x∈R Maka x9 = 8 x = 98

N, terdapat x

R sehingga xn = a

dan x ∈ I 3. Mis a = 5, 5 > 0, dan n = 3 Sehingga ∃x∈R Maka x3 = 5 x = 35 dan x ∈ I 4. Mis a = 4, 4 > 0, dan n = 5 Sehingga ∃x∈R Maka x5 = 4 x = 54 dan x ∈ I 5. Mis a = 5, 5 > 0, dan n = 6 Sehingga ∃x∈R Maka x6 = 5 x = 65 dan x ∈ I