Legge Di Capitalizzazione E Fattore Di Montante.docx

LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE E FATTORE DI MONTANTE

Una LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE Mt è una qualsiasi modalità di valutazione dei montanti basata su un FATTORE DI MONTANTE m(t) che soddisfi le 3 seguenti proprietà:   

dominio di m(t):  0; + ) m(0) = 1 m(t) funzione monotona non decrescente nel dominio, se derivabile: m’(t)  0  t   0; + )

dove t = 0 è la data di valutazione.

MONTANTE, INTERESSE, CAPITALE INIZIALE

Sia: C capitale Mt montante al tempo t It interesse al tempo t allora: 

Mt = C · m(t)



It = Mt - C = C ·  m(t) - 1 FATTORE DI SCONTO

Si definisce FATTORE DI SCONTO o FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE, v(t), associato al fattore di montante m(t) il reciproco di quest’ultimo, ossia:

=  m(t) -1

v(t) =

Da tale definizione discende la definizione di LEGGE DI ATTUALIZZAZIONE C = Mt · v(t) VALORE ATTUALE, SCONTO

Supponiamo di avere un capitale a scadenza Mt allora C rappresenta il VALORE ATTUALE C = Mt · v(t)

e lo SCONTO si calcola come Dt = Mt - C TASSO UNITARIO DI INTERESSE

L’INTERESSE PER UNITA’ DI CAPITALE INIZIALE relativo al periodo  0 ; t  è dato da:

Per t = 1 esso rappresenta il TASSO UNITARIO DI INTERESSE, i. TASSO UNITARIO DI SCONTO

Lo SCONTO PER UNITA’ DI CAPITALE FINALE relativo al periodo  0 ; t  è dato da:

Per t = 1 esso rappresenta il TASSO UNITARIO DI SCONTO, d. INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE

Si definisce INTENSITA’ ISTANTANEA DI INTERESSE o FORZA DI INTERESSE la variazione percentuale istantanea di Mt.

FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE U E FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE V

Supponiamo t = 1 M1 = C + I1 = C + iC = C(1+i) con i tasso unitario d’interesse ed u = (1 + i) fattore di capitalizzazione.

C = M1 - D = M1 - M1d = M1(1-d) con d tasso unitario di sconto e v = (1 - d) fattore di attualizzazione. FATTORI DI MONTANTE USATI NELLA PRATICA COMMERCIALE

Le leggi finanziarie di capitalizzazione più utilizzate si basano su fattori di montante appartenenti alle funzioni:

lineare 

REGIME AD INTERESSE SEMPLICE

esponenziale  REGIME AD INTERESSE COMPOSTO iperbolico 

REGIME AD INTERESSE ANTICIPATO o REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE. REGIME AD INTERESSE SEMPLICE

Nel REGIME AD INTERESSE SEMPLICE il fattore di montante è: m(t) = 1 + it

con t 0i > 0

con i tasso unitario di interesse. Si ha quindi: Mt = C · (1 + it) It = Cit TASSI EQUIVALENTI NEL REGIME AD INTERESSE SEMPLICE

Due tassi relativi a periodi diversi sono EQUIVALENTI, in un dato regime di capitalizzazione, se applicati a capitali uguali per la medesima durata, producono montanti uguali. Per il regime ad interesse semplice vale la RELAZIONE:

(1 + i) = (1 + ikk) i = ikk dove: t = 1 anno = k periodi i = tasso annuo d’interesse ik = tasso riferito ad 1/k-esimo di anno REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

Il regime finanziario dell’interesse composto, o esponenziale, è una famiglia di leggi del tipo

con

ed

.

Affinché le due leggi siano equivalenti deve valere la seguente relazione tra  ed i:

da cui e OSSERVAZIONI

Occorre precisare che nella pratica si utilizza anche un regime misto per le capitalizzazioni di durata non intera. Il regime prevede l’utilizzo della capitalizzazione composta per la parte intera della durata e di quella semplice per la residua parte frazionaria. Quindi se intera e p parte frazionaria, si ha

con k parte

REGIME DI INTERESSE ANTICIPATO

In tale regime lo sconto viene calcolato proporzionalmente alla durata t

Il regime finanziario dell’interesse anticipato, o iperbolico, è

con

e

. TASSI EQUIVALENTI

(se il periodo è pari a

anno, il tasso periodale viene indicato con

nel regime di interesse semplice

nel regime di interesse anticipato

nel regime di interesse composto

TASSI NOMINALI

o

)

dato il tasso nominale convertibile m volte l’anno

vale

Inoltre si definisce tasso annuo effettivo equivalente:

TASSO MEDIO DI INTERESSE

Si supponga di investire C per una durata t con

Inoltre supponiamo che il tasso di interesse vari nel tempo secondo la seguente funzione

per

Allora il montante è dato dalla seguente formula

Il tasso medio di interesse dell’operazione finanziaria è quel tasso di interesse costante che consente di realizzare il medesimo montante nel medesimo tempo. DEFINIZIONE DI RENDITA

Si definisce rendita un insieme di cardinalità finita o numerabile di più SFE, ossia di somme disponibili ad epoche differenti:

, dove Ri è la i-esima rata ed è relativa al periodo [ti-1,ti]. Le caratteritiche di cui si può dotare una rendita sono: Rendita perpetua o temporanea. In dipendenza del numero di rate: se le rate sono in numero finito la rendita è detta temporanea, mentre se sono infinite (ma comunque numerabili) la rendita è detta perpetua. Rendita a rata costante o variabile. In dipendenza dell’importo della rata la rendita può essere a rata costante se Ri=R (in particolare unitaria se Ri=1 solamente delle rendite a rata costante.

) o a rata variabile. Ci occuperemo

Rendita periodica o aperiodica. In dipendenza dell’intervallo tra le scadenze la rendita è equintervallata se (ti-ti-1) risulta costante

. In particolare annua se (ti-ti-1) è uguale ad 1anno

.

Rendita anticipata o posticipata. In dipendenza del momento in cui viene pagata la rata: se la rata relativa al periodo [ti-1, ti] è pagata all’ inizio del periodo la rendita è anticipata, se è pagata alla fine del periodo è posticipata . Rendita immediata o differita. In dipendenza del momento di inizio può essere immediata anticipata (se inizia all’epoca 0), immediata posticipata (se inizia all’epoca 1) o differita (se inizia all’epoca ti>1). VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA UNITARIA ANNUALE IMMEDIATA POSTICIPATA

E’ il valore della rendita "tipo" da cui si può partire per attribuire una valutazione a qualsiasi tipo di rendita. Quando è temporanea questa rendita è costituita dall’insieme di SFE il suo valore attuale è pertanto:

Il valore della rendita unitaria annua immediata posticipata è indicato col simbolo

alla quantità

ed

e corrisponde

. VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA UNITARIA ANNUALE IMMEDIATA ANTICIPATA

Quando è temporanea questa rendita è costituita dall’insieme di SFE ed il suo valore attuale è pertanto:

V0=

=1+v+v2+...+vn-1

Si tratta, analogamente a quanto visto sopra, della somma dei primi n termini di una progressione geometrica con primo termine 1 e ragione 0
.

Il valore della rendita unitaria annua immediata anticipata è indicato col simbolo

alla quantità (1+i)

e corrisponde

. RELAZIONI TRA RENDITA IMMEDIATA POSTICIPATA E ANTICIPATA

Valgono le seguenti relazioni con la rendita unitaria annua immediata posticipata:

1)

=(1+i)

.

Essa deriva direttamente dalla espressione di ma è interpretabile anche finanziariamente. Infatti nella rendita anticipata le SFE sono tutte anticipate di un anno rispetto alla posticipata; pertanto ogni rata vale ad oggi (1+i) volte la corrispondente della posticipata, da cui la relazione data;

2)

=

.

Ad essa si può arrivare con passaggi algebrici, ricordando che (1+i)=v -1:

=(1+i)

=

.

Anche questa relazione è interpretabile finanziariamente, se si tiene conto che l’insieme delle SFE che compongono la rendita anticipata è uguale all’insieme delle SFE che compongono una rendita posticipata di n-1 rate, unito alla SFE (0,1). VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERPETUA ANTICIPATA/POSTICIPATA

Si noti che se la rendita posticipata invece di essere temporanea è perpetua, il valore attuale esiste comunque ed è pari al seguente limite:

=

.

Il valore attuale di una rendita anticipata perpetua è:

=

. RENDITA FRAZIONATA

Se l’intervallo tra una rata e la successiva non è annuo ma comunque costante si ha il caso delle rendite frazionate. In questo caso, vale quanto detto a proposito dei tassi equivalenti e cioè che le formule date sono valide anche per rendite frazionate purché il tasso sia quello corrispondente al periodo di frazionamento. VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA UNITARIA ANNUA DIFFERITA

Nel caso di rendita unitaria annua posticipata e differita m anni, il cui valore attuale viene indicato con , ogni SFE è da attualizzare di m anni in più rispetto alle SFE della rendita immediata posticipata. Dall’affermazione si ottiene pertanto:

=(1+i)-m

.

D’altra parte la stessa affermazione vale anche nel caso di rendita annua anticipata e differita m

anni, il cui valore attuale viene indicato con

=(1+i)-m

e vale:

.

Dalle espressioni di

e

si nota che continua ad essere mantenuta la relazione:

=(1+i) Analoghe relazioni valgono anche quando la rendita è perpetua. MONTANTE DI UNA RENDITA UNITARIA

In tutti i casi in cui occorre calcolare il montante di una rendita unitaria (esclusa ovviamente la rendita perpetua), sarà sufficiente capitalizzare il relativo valore attuale. Se il montante è calcolato all’atto dell’ultimo versamento esso è detto montante della rendita posticipata, viene indicato col simbolo

=(1+i)n

=

e vale

.

Se il montante è calcolato un anno dopo l’ultimo versamento esso è detto montante della rendita anticipata, viene indicato col simbolo

=(1+i)n

=(1+i)

Si noti che come al solito vale

e vale

.

=(1+i) . COSTITUZIONE DI UN CAPITALE

La costituzione di un capitale consiste nella ricerca della rendita (temporanea) necessaria per potere ottenere un certo capitale ad una certa epoca successiva, una volta fissato un tasso. Se la rendita costante di n rate annue di importo R viene scambiata con la somma M all’epoca n dovrà essere:

M=R

dove

=

è detto quota costitutiva posticipata del capitale unitario.

Se invece la rendita costante di n rate annue di importo R viene scambiata con la somma M

all’epoca n+1 dovrà essere:

M=R

dove

=

è detto quota costitutiva anticipata del capitale unitario. DEFINIZIONE DI AMMORTAMENTO DI UN DEBITO

L’operazione di ammortamento di un debito è la specificazione dei termini (rate e valute) nei quali si concretizza la restituzione e la remunerazione del debito. Redigere il piano di ammortamento di un debito significa specificare le SFE che costituiscono tale rendita, cioè gli importi e le scadenze alle quali verranno effettuati i pagamenti. Ogni pagamento o rata Rj è formato in parte da una quota di remunerazione degli interessi (quota interessi Ij) ed in parte da una quota di restituzione del capitale (quota capitale Cj). Poiché nella maggior parte dei piani di ammortamento il rimborso del capitale avviene a più scadenze, varrà la pena conoscere dopo ogni pagamento quale parte del capitale originario è già stata restituita (debito estinto Ej) e quale è ancora da restituire (debito residuo Dj). NOTAZIONI

Useremo le seguenti notazioni: Rj per indicare l’importo della rata alla scadenza T j; Cj per indicare la quota capitale della j-esima rata; Ij per indicare la quota interessi della j-esima rata; Ej per indicare il debito estinto dopo il pagamento della j-esima rata; Dj per indicare il debito residuo dopo il pagamento della j-esima rata. REGOLE FONDAMENTALI

Nel caso generale comunque il piano di ammortamento deve sottostare alle seguenti regole: ogni rata è composta da una quota capitale e da una quota interessi di competenza: Rj=Cj+Ij; la somma di tutte le quote capitali deve corrispondere al debito iniziale (c.d. "condizione di chiusura"):

ogni pagamento comporta la diminuzione del debito residuo e l’aumento del debito estinto nei

seguenti termini: Dj=Dj-1-Cj e Ej=Ej-1+Cj; la somma del debito estinto e di quello residuo rimane costante e pari al debito iniziale: Ej+Dj=K; ogni quota interesse è calcolata come segue: Ij=iDj-1; valgono le seguenti ulteriori condizioni sul debito estinto e su quello residuo: E0=0, En=K, D0=K, Dn=0. PRESTITO CON RIMBORSO GLOBALE ALLA SCADENZA

Si tratta dell’ammortamento di un capitale K odierno mediante un’unica rata da corrispondere all’epoca n. Le seguenti sono le caratteristiche del piano di ammortamento: Rn=K(1+i)n, Cn=K,

In=K

,

E0=E1=...=En-1=0, En=K, D0=D1=...=Dn-1=K, Dn=0. Si tratta di un'operazione finanziaria elementare. PRESTITO CON RIMBORSO PERIODICO DEGLI INTERESSI E DEL CAPITALE A SCADENZA

Si tratta dell’ammortamento del capitale K odierno mediante la corresponsione di n rate equintervallate posticipate iK e del capitale K alla scadenza n. Nel caso in cui le rate di soli interessi siano annue e posticipate le caratteristiche del piano di ammortamento sono: R1=R2=...=Rn-1=iK Rn=K(1+i), I1=I2=...=In-1=In=iK, C1=C2=...=Cn-1=0,

Cn=K, E0=E1=...=En-1=0, En=K, D0=D1=...=Dn-1=K, Dn=0. AMMORTAMENTO A QUOTE CAPITALI COSTANTI (ITALIANO)

La caratteristica è che le quote capitali sono tutte uguali tra loro. Da ciò discende che per ammortizzare l’importo K in n rate si avrà:

C1=C2=...=Cn=

Ej=

Dj =

Ij=iDj-1=i

Rj=Cj+Ij=K

.

Si noti come, salvo Cj che è costante, tutti gli altri elementi costituiscono delle progressioni aritmetiche:

Ej di ragione

Dj di ragione -

;

;

Ij e Rj di ragione -i

. PIANO DI AMMORTAMENTO A RATE COSTANTI (FRANCESE)

E’ caratterizzato da una rata costante nel tempo.

Affinché l’operazione sia equa dovrà essere:

K=R

dove

è la rata costante di ammortamento del debito unitario.

Si noti che il debito residuo all’istante j è dato dal valore delle rimanenti n-j rate da pagare

quindi la quota interessi della j-esima rata è calcolata come segue:

e la quota capitale :

Infine osserviamo che Si osservi infine che le quote di capitale crescono in progressione geometrica di ragione (1+i). AMMORTAMENTO AMERICANO

Si tratta di un ammortamento con rimborso annuale degli interessi posticipati al tasso di ammortamento i e del capitale a scadenza; al fine di costituire il capitale a scadenza il debitore effettua versamenti annui costanti posticipati al tasso di costituzione y. Dunque non si tratta di un nuovo tipo di ammortamento ma di un ammortamento con rimborso globale alla scadenza accompagnato da un’operazione di costituzione. Ovviamente l’operazione si presenta conveniente per il debitore se il tasso y è maggiore del tasso i, lucrando a suo favore la differenza. Gli elementi fondamentali di questo tipo di ammortamento sono pertanto costanti: Ij=iK

Qj=K

. LA FUNZIONE FABBISOGNO Ft

La funzione fabbisogno rappresenta in ogni istante t [0,n] il valore attuale in t degli impegni futuri, cioè

Ft=

con

e h la parte intera di t.

Nei diversi tipi di ammortamento essa ha comunque tratti in comune: F0=K; Fn=0; Ft è funzione esponenziale a tratti con punti di discontinuità alle epoche h di pagamento delle rate. VALORE DI UN PRESTITO

Si definisce VALORE DEL PRESTITO, Vk, il valore attuale al tasso di valutazione y di tutte le somme che il debitore deve ancora versare al creditore. In particolare, si chiama USUFRUTTO, Uk, il valore attuale delle quote di interesse ancora da versare e NUDA PROPRIETA’, Pk, il valore attuale delle quote di capitale ancora da versare. Vk = Uk + Pk RISULTATO ECONOMICO ATTUALIZZATO (REA)

Data una generica operazione d’investimento, siano C0, C1, C2, ... Cn i flussi di cassa relativi alle epoche t0, t1, t2, ... tn, Fissato un tasso di valutazione y, il REA è il valore attuale netto dei flussi di cassa : C 0, C1, C2, ... Cn valutati al tasso y e all’epoca t0.

REA=G(y) = Per la valutazione dell'investimento si osserva che G(y) > 0 : l’investimento conviene G(y) = 0 : l’investimento è indifferente G(y) < 0 : l’investimento non conviene Tra due investimenti preferisco quello con il REA positivo più elevato. IL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR)

Il TIR di un progetto di investimento è il tasso y* (se esiste unico) tale che G(y*) = 0 Fra più investimenti si sceglie quello con y* maggiore.