Legea Gravitatiei

Legea gravitatiei (atractiei) universale

Un punct material de masă m1 atrage orice alt punct material din univers de masă m2 cu o forţă

 km1m2 F12 = − rˆ 2 r m1

rˆ

r

 F12

m2

m1

 F21

r

 F12

  F21 = −F12

k=6.67•10-11 Nm2/kg2 constanta atracţiei universale

m2

Câmp gravitational r m1

 g

rˆ

P

g = intensitatea câmpului graviational (acceleratia câmpului graviational

 km g = − 21 rˆ r

g=

km1 r2

Dacă se cunoaşte acceleraţia gravitaţională atunci forţa de atracţie dintre particula de masă m1 şi o altă particulă de masă m2 se poate scrie astfel:

  F12 = m2 g

m1

rˆ

r

  F12 = m2 g

m2

Energia potenţială a două puncte materiale aflate la distanţa r rA m1

rˆ

r

 F (r )

m2

 F(rA )

m2

Energia potenţială a sistemului format de punctele materiale m1 şi m2 este egală cu minus lucrul mecanic făcut de forţa gravitaţională pentru a deplasa pe m2 dela distanta rA la distanta r faţă de m1

B     E p (rB ) − E p (rA ) = − ∫ F ⋅ dr A

km1m 2   r ⋅ dr 2 rA r r km m km1m 2 km1m 2 1 2 E p (r ) − E p (rA ) = ∫ dr = − + rA r2 r rA r

E p (r ) − E p (rA ) = − ∫ −

rA = ∞ E p = −

km1m 2 r

m1

rˆ

r

  km1m2 F = − 2 rˆ F = −∇E p r

 F

m2

dE Frˆ = − P rˆ dr

F =−

km1m2 dE p = − Fdr = −(− 2 )dr r km1m2 ∫ dE p = ∫ − (− r 2 )dr km1m2 Ep = − +C r km1m2 E p (∞ ) = C = 0 E p = − r

dE p dr

Forţa de gravitaţie

Câmpul gravitaţional

 km1m2 F12 = − rˆ 2 r

 km g = − 2 rˆ r

km1m2 F= r2

km g= 2 r

km1m2 Ep = − r

km ϕ =− r φ =potenţialul câmpului gravitaţional

 F = −∇E p

 g = −∇ϕ

Forţa de atracţie dintre două sfere cu masa distribuită cu simetrie sferică (densitatea depinde doar de raza sferei)

r

M

rˆ

 kMm F = − 2 rˆ r

 F

m

Intensitatea câmpului gravitaţional creat de o sferă cu distribuţie simetrică de masă în exteriorul sferei

M

r

rˆ

 kM g = − 2 rˆ r

 g

Densitatea Pământului Forţa de interacţiune dintre Pământ şi un punct material de masă m legea a II-a:

   ma = mg = F mg =

kmM p R

2

 kmM p F=− rˆ 2 R m

 F R MP

kM P g= 2 R k=6.67•10-11 Nm2/kg2 R=6371 km

gR 2 Mp = k

ρ=

MP VP

4 VP = πR 3 3

3g ρ= 4kπR ρ (roci) ≤ 3.5 g / cm3

R

 g MP

ρ (calculat ) ≈ 5 g / cm3

Interpretare: In interiorul Pământului există o zonă cu densitate mare

Variaţia densităţii în interiorul Pământului 0

0

2

4

8

Zona de tranzitie

1000

2000

6

10

Mantaua inf.

Nucleul extern

5000

6000

14

Mantaua sup

3000

4000

12

Nucleul intern

.

Variaţia acceleraţiei gravitaţionale cu altitudinea r – distanţa de la centrul Pamântului până la un punct având altitudinea h R – raza Pământului g0= acceleraţia gravitaţională la suprafaţa Pământului g = acceleraţia gravitaţională la altitudinea h

h

r = R+h R

Expresia modulului lui g este:

g=

kM p

g0 =

r2

=

kM p ( R + h) 2

=

kM P R2

Dacă h<
 g  g0 MP

kM p R 2 (1 + (h / R)) 2

= g0

1 h (1 + ) 2 R

Variaţia acceleraţiei gravifice cu latitudinea

Un observator aflat la suprafaţa Pământului se găseşte într-un sistem de referinţă neinerţial datorită rotaţiei acestuia în jurul axei N-S.

Acceleraţia centrifuga are expresia:

ac = ω 2 R cos(lat )

v = ωr

2 v ac = ω 2 r = r

Acceleraţia centrifugă de inerţie are expresia:

  a ci = −a c

ac = aci = ω 2 R cos(lat )

Pământul sferă rigidă

Acceleraţia gravifică g (acceleraţia unui corp în cădere) la suprafaţa Pământului este dată de suma dintre acceleraţia gravitaţională (g0) şi acceleraţia centrifugă de inerţie (aci):

   g = g 0 + a ci Modulul acceleraţiei gravifice poate fi calculat cu teorema cosinusurilor:

g = g 02 + ω 4 R 2 cos 2 (lat ) − 2 g 0ω 2 R cos 2 (lat ) g 0 = 9.81ms − 2 ω = 7.27 ×10 −5

rad s

cazuri particulare: 1. punct pe ecuator lat=0°

   g = g 0 + a ci g = g0 − ω 2 R 2. punct la pol lat = 90°

   g = g 0 + a ci    a ci = 0 g = g 0 g = g0

Rotatia unor corpuri elastice

Pământul fiind o structură elastică sub influenţa rotaţiei ia forma unui elipsoid de rotaţie, alungit la ecuator şi turtit la poli. Consecinte: Acceleraţia gravifică este în orice punct perpendiculară pe tangenta dusă la elipsoid. In domeniul oceanic suprafaţa acestuia coincide, într-o primă aproximaţie, cu suprafaţa elipsoidului. Direcţia ei reprezintă verticala locală (direcţia firului cu plumb). Datorită formei de elipsoid latitudinea geocentrică nu coincide cu latitudinea geografică.

g n = g e (1 + β1 sin 2 (lat ) + β 2 sin 2 (2lat )) g e = 9.780318ms − 2

β1 = 5.3024 × 10 −3 β 2 = −5.87 ×10 −6