L'effetto Hall

POLITECNICO DI TORINO III Facoltà di Ingegneria

Relazione sperimentale

L'effetto Hall Mappatura del campo magnetico

Docente Prof. Mario Trigiante

Gruppo 6 Alberto Tibaldi Adrien Yepdieu Yannick Vittorio Giovara

Anno accademico 2006-2007

Capitolo 1 Finalit` a dell’esperienza Con la presente relazione si intende esporre l’esperienza effettuata in laboratorio riguardante la mappatura di un campo magnetico mediante una sonda basata sull’effetto Hall. Poich`e il campo magnetico viene generato da un magnete permanente a forma di disco (di cui intendiamo inoltre individuare l’asse di simmetria), `e possibile approssimare il magnete ad una spira, in modo tale da permettere di calcolare il valore del momento magnetico tramite la relazione di dipendenza del campo dalla distanza lungo l’asse del magnete.

1

Capitolo 2 Descrizione della strumentazione Il materiale a disposizione per effettuare l’esperienza `e stato il seguente: • Sistema di movimentazione in piano, con scala graduata; • Sonda ad effetto Hall; • Foglio di calcolo per la memorizzazione del valori del campo nel piano; • Matlab - Software per calcolo matriciale; • Magnete a forma cilindrica. L’esperienza si basa come gi`a accennato sull’effetto Hall, scoperto nel 1879 dal fisico americano Edwin Hall. L’effetto Hall `e un fenomeno che ci permette di determinare la carica dei portatori in una corrente elettrica mediante lo studio dell’iterazione di quest’ultima con un campo magnetico esterno ortogonale alla corrente elettrica. Questo fenomeno `e dovuto alla natura del flusso della corrente in un conduttore: quando in un conduttore `e presente un passaggio di corrente, si genera una forza, chiamata forza di Lorentz, che quantifica e qualifica la variazione del moto di una carica all’interno di un

2

campo magnetico. La forza di Lorentz si rappresenta matematicamente mediante la relazione:

→

→

→

FL = q v × B

Si supponga di avere un nastro conduttore con una certa densit`a di carica →

→

→

J , un movimento di cariche con velocit`a di deriva vd = vd ux ed un campo magnetico direzionato nel verso dell’asse y (di conseguenza esprimibile in →

→

termini versoriali come B = B uy ); riesprimendo la relazione appena esposta considerando le ipotesi appena avanzate in notazione versoriale, si avr`a:

→

FL =

→

JB n

→

→

→

−→ qvd B ux × uy −→ qvd B uz

→

→

→

Si osserva che dunque di fatto il prodotto vettoriale di ux e uy sia uz ; la forza di Lorentz, date le ipotesi proposte, agir`a esclusivamente sulla di→

rezione del versore uz . Risulta spontaneo confrontare la forza di Lorentz con un’ipotetica forza elettrica, definendo il campo elettrico di Hall EH come il →

campo definito come EH =

FL q

→

=

→

J ×B . qn

L’effetto di tutto ci`o `e creare un

eccesso di carica nel nastro conduttore e di conseguenza una differenza di potenziale ai suoi capi. Si verr`a a creare una situazione di equilibrio grazie alla presenza di un campo elettrostatico generato dall’eccesso di cariche: l’effetto di quest’ultimo campo e di quello di Hall si bilanceranno. Poich`e →

→

→

EH = − Ees e Ees `e conservativo, `e possibile ricavare un’espressione della →

iB differenza di potenziale come ∆V = − nqa , dove a `e la lunghezza del nastro

Lo strumento che viene utilizzato nell’esperienza, la sonda Hall, `e uno strumento in grado di variare la propria differenza di potenziale in uscita in risposta alla variazione di intensit`a del campo magnetico presente nella zona spaziale analizzata dalla sonda. In sostanza tale sonda `e costituita

3

da un trasduttore analogico inviante ad un amplificatore di segnale impulsi elettrici indotti dal campo magnetico alla sonda.

4

Capitolo 3 Esecuzione dell’esperienza Per poter effettuare una mappatura del campo magnetico presente su di un piano orizzontale, si ricerca innanzitutto il piano ortogonale all’asse spaziale z, in cui il campo magnetico B ha modulo massimo. A tale scopo, si pone la sonda di Hall allineata con il magnete e si rileva il valore massimo del campo, variando l’altezza della sonda e leggendo sull’amplificatore di segnale il valore proporzionale all’altezza. Una volta individuato il piano in cui il campo magnetico ha massima intensit`a, la sonda viene fissata all’altezza corrispondente, che rester`a costante durante lo svolgimento dell’esperienza. Poich`e si lavora su di un piano, per determinare la direzione delle linee del campo magnetico sono necessarie due dimensioni: il vettore del campo proiettato sull’asse x e il vettore del campo proiettato sull’asse y. Il vettore di campo B corrispondente nel punto dello spazio sar`a la somma vettoriale delle due componenti cos`ı misurate. Spostando il sistema di misura in un piano di intervalli regolari, verranno ricavati i valori delle componenti x e y del campo magnetico, tramite cui sar`a possibile formare una griglia descrivente l’andamento del campo magnetico nello spazio. Per ricavare queste misurazioni →

occorre dunque misurare prima le componenti Bx , dopodich`e ruotare di

π 2

la sonda Hall e rieffettuare le misurazioni, in modo da ottenere una anche →

misura di By . In questo modo otterremo due griglie di misurazioni, una per →

→

le misure di Bx in vari punti del piano selezionato, e una le misure di By .

5

La direzione del campo magnetico allora sar`a data da: →

tan( B→y ) Bx

mentre il modulo del campo in un certo punto del piano (x, y) sar`a: q

(Bx 2 + By 2

Sono state ottenute le seguenti misure del campo: Si osserva dal grafico dei valori

By Bx

che in prossimit`a di x = 0 si avran-

no i valori della tangente pi` u approssimativamente costanti. Si utilizzer`a dunque tale insieme di valori come interpolanti per ottenere l’asse. A questo punto `e possibile, mediante un software di calcolo vettoriale come Matlab, effettuare una mappatura del campo magnetico in analisi. Esistono diverse funzionalit`a in grado di disegnare un campo magnetico date alcune matrici di componenti: nella fatispecie quella che verr´a utilizzata nell’esperienza sar`a la funzione quiver(). Mediante l’inserzione delle matrici delle posizioni in cui si `e misurato il campo vettoriale, delle velocit`a (valori della tangente) e →

→

dei moduli (norma euclidea delle componenti Bx e By ) (poich`e si ricorda che l’esperienza va effettuata su di un piano), viene descritto un campo di vettori bidimensionali, rappresentanti il campo magnetico misurato. Si sceglie di rappresentare i vettori con modulo direzione e verso, considerando dunque anche l’intensit`a del campo nel piano, per poter meglio rendere idea della variazione del campo col variare della distanza dal magnete. Per completare la mappatura, si disegnano linee di flusso del campo mediante un’altra funzionalit`a di Matlab; da qui si avr`a una rappresentazione pi` u completa dell’andamento del campo. Ora qui vengono riportate le tavole delle misure del campo, e il rapporto By Bx

6

Tabella 3.1: Bx

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4 4,5

5

-5

7

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

-4,5

9

7

5

3

1

0

0

0

0

0

0

-4

13

9

6

2

0

0

0

0

0

0

0

-3,5

18

11

6

2

0

0

0

0

0

0

0

-3

24

13

4

0

-1

-2

-2

-2

-1

-1

-1

-2,5

34

11

0

-4

-6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-2

39

0

-12

-16 -15

-12

-9

-7

-5

-4

-2

-1,5

12

-30

-36

-31 -24

-18 -13

-9

-7

-5

-3

-1

-207 -139

-93

-61 -40

-27 -20

-14

-9

-7

-5

-0,5

-525 -267

-145

-82 -54

-34 -23

-16 -11

-8

-5

0

-712 -334

-179

-96 -60

-38 -25

-17 -12

-9

-5

0,5

-688 -349

-184

-100 -60

-37 -26

-16 -12

-8

-6

1

-393 -231

-130

-88 -51

-36 -24

-16 -11

-8

-6

1,5

-130 -117

-86

-58 -41

-28 -20

-14 -10

-7

-5

2

-6

-40

-41

-34 -26

-20 -15

-11

-8

-5

-4

2,5

10

-9

-18

-19 -17

-14 -11

-8

-6

-5

-3

3

15

0

-4

-7

-8

-8

-7

-5

-4

-3

-2

3,5

13

4

0

-2

-3

-4

-4

-3

-3

-2

-1

4

11

5

1

0

0

-1

-1

-1

-1

-1

0

4,5

8

5

2

0

0

0

0

0

0

0

0

5

6

4

2

1

0

0

0

0

0

0

0

7

Tabella 3.2: 2 2,5 3 3,5

By

0

0,5

1

1,5

4

4,5 5

-5

5

6

7

7

7

6

6

5

4

4 3

-4,5

8

9

10

10

9

8

7

6

5

4 3

-4

12

12

14

13

12

10

9

7

6

5 4

-3,5

19

21

20

18

16

12 10

8

6

5 4

-3

31

33

29

25

20

15 11

8

6

5 4

-2,5

59

54

42

35

24

18 13

10

9

5 4

-2

120

91

70

45

31

19 11

10

8

5 4

-1,5

200

148

76

51

32

21 13

9

6

5 3

-1

334

175

87

47

28

19 11

7

5

3 2

-0,5

308

172

67

39

22

13

9

8

4

3 2

0

120

65

28

17

10

5

4

2

2

1 1

0,5

-173

-67 -29

-10

-6

-4

0

0

0

0 0

1

-266 -111

-61

-27 -14

-7

-3

-1

0

0 0

1,5

-200 -121

-64

-38 -19

-12

-6

-3

0

0 0

2

-118

-78 -49

-34 -22

-12

-7

-4 -2

0 0

2,5

-61

-52 -39

-28 -18

-11

-8

-5 -3

-1 0

3

-32

-30 -25

-22 -16

-11

-7

-4 -2

-1 0

3,5

-18

-19 -17

-15 -11

-8

-6

-4 -2

-1 0

4

-9

-11 -11

4,5

-5

-6

5

-1

-3

-9

-7

-6

-5

-3 -1

-1 0

-7

-6

-6

-4

-3

-2 -1

0 0

-4

-4

-3

-3

-2

-1 -1

0 0

8

Tabella 3.3:

By Bx

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

-5,00

0,71

1,20

1,75

2,33

3,50

6,00

-4,50

0,89

1,29

2,00

3,33

9,00

-4,00

0,92

1,33

2,33

6,50

-3,50

1,06

1,91

3,33

9,00

-3,00

1,29

2,54

7,25 -

-2,50

1,74

4,91 -

-2,00

3,08

-1,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-20,00

-7,50

-5,50

-4,00 -6,00

-5,00

-4,00

-8,75

-4,00

-3,00

-2,60

-2,50 -3,00

-2,50

-4,00

-

-5,83 -2,81

-2,07

-1,58

-1,22

-1,43 -1,60

-1,25

-2,00

16,67

-4,93

-2,11 -1,65

-1,33

-1,17

-1,00

-1,00 -0,86

-1,00

-1,00

-1,00

-1,61

-1,26

-0,94 -0,77

-0,70

-0,70

-0,55

-0,50 -0,56

-0,43

-0,40

-0,50

-0,59

-0,64

-0,46 -0,48

-0,41

-0,38

-0,39

-0,50 -0,36

-0,38

-0,40

0,00

-0,17

-0,19

-0,16 -0,18

-0,17

-0,13

-0,16

-0,12 -0,17

-0,11

-0,20

0,50

0,25

0,19

0,16

0,10

0,10

0,11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1,00

0,68

0,48

0,47

0,31

0,27

0,19

0,13

0,06

0,00

0,00

0,00

1,50

1,54

1,03

0,74

0,66

0,46

0,43

0,30

0,21

0,00

0,00

0,00

2,00

19,67

1,95

1,20

1,00

0,85

0,60

0,47

0,36

0,25

0,00

0,00

2,50

-6,10

5,78

2,17

1,47

1,06

0,79

0,73

0,63

0,50

0,20

0,00

3,00

-2,13

-

6,25

3,14

2,00

1,38

1,00

0,80

0,50

0,33

0,00

3,50

-1,38

-4,75

-

7,50

3,67

2,00

1,50

1,33

0,67

0,50

0,00

4,00

-0,82

-2,20 -11,00

6,00

5,00

3,00

1,00

1,00

4,50

-0,63

5,00

-0,17

-

-

-1,20

-3,50 -

-

-

-

-

-

-

-

-0,75

-2,00 -4,00

-

-

-

-

-

-

-

9

-

→

→

Studiando le matrici di misure Bx e By ed interpolando i valori mediante il metodo dei minimi quadrati, `e inoltre possibile ottenere una retta di regressione rappresentante l’asse del magnete; poich`e questo deve essere a pendenza costante (infatti l’asse `e una retta), ci`o che si intende cercare `e proprio una serie di valori a tangente costante: >> [c, err] = polyfit(x, y, 1) c = 0.0049

-0.1715

err = R: [2x2 double] df: 9 normr: 0.0871 >> Il valore c(1) = 0.0049 rappresenta la pendenza della retta estrapolata dai valori della tangente nel vettore x contenente i valori da 0 a 5 con differenza 0,5; la massima distanza tra i punti e la retta estrapolata, indicata come normr (0.0871).

10

Il terzo e ultimo punto dell’esperienza prevede la determinazione del momento magnetico del magnete: ipotizzando di considerare esclusivamente il campo passante per il centro del magnete, ossia il suo asse, ed approssimando dunque il magnete ad una spira lineare percorsa da corrente, si ricava che: µ0 B = Bx = ( 4π )

2m

3

R2 +x0 2 2

Per lavorare meglio, si sceglie di linearizzare l’espressione, elevando tutto ad esponente 23 ; ci`o che si intende a questo punto fare `e ottenere una regres→

sione lineare a partire dal vettore Bx , che viene scelto in base alle supposizioni precedenti come asse del magnete. Otterremo dal valore del campo magnetico in determinati punti, una retta di regressione lineare che approssimer`a il campo; sar`a dunque possibile, mediante alcune relazioni che tra poco verranno introdotte, determinare il momento magnetico del magnete. Linearizzando l’espressione, si ottiene che: 2

Y = B − 3 = a + bX Mediante regressione lineare dunque si ricavano i valori a e b, che vanno

11

utilizzati per cercare la distanza del magnete R, e il momento magnetico: R= m=

q

a b

2π

3

µ0 b 2

Considerando un’incertezza di ± 1 G per il campo magnetico e di 0, 1 cm sulle distanze, dunque sulla griglia 0, 01 cm2 , non contando eventuali errori di parallasse, si determina il momento magnetico e si applica ai risultati trovati la propagazione degli errori. Nella tabella 3.4 sono inserite le misure del campo avente direzione dell’asse del magnete; nella tabella 3.5 i dati estrapolati dalla regressione lineare di quest’ultimo, con l’applicazione della propagazione degli errori per quanto riguarda le incertezze.

12

Tabella 3.4: −2 3

−2 3

X’

∆x0

0

0,1

712

1

5,82

0,01

0,5

0,1

334

1

9,64

0,02

1

0,1

179

1

14,62

0,05

1,5

0,1

96

1

22,14

0,15

2

0,1

60

1

30,29

0,34

2,5

0,1

38

1

41,07

0,72

3

0,1

25

1

54,3

1,45

3,5

0,1

17

1

70,22

2,76

4

0,1

12

1

88,57

4,92

4,5

0,1

9

1

107,3

7,95

5

0,1

5

1

158,78

21,18

Bx (G) ∆Bx (G)

B

(T ) ∆B

(T )

Tabella 3.5: Misura

Incertezza

a

8,93

1,26

b

50258,14

1618

m

0,44

0,02

R

0,01

0

13