Lecture 7_sebaran Peubah Acak-dikonversi.pdf

Sebaran Peubah Acak Pertemuan 7 Dosen : Denny Astrie Anggraini, MT

[email protected]

Pengertian Peubah Acak Ruang contoh dari pelemparan 3 buah koin = 23 = 8, yaitu {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} Bila kita hanya tertarik pada berapa kali sisi gambar muncul, maka nilai numerik 0, 1, 2 dan 3 dapat diberikan pada titik contoh. Bilangan 0,1,2 dan 3 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari hasil percobaan. [email protected]

Definisi Peubah Acak Definisi : Peubah acak merupakan suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh

[email protected]

Berdasarkan contoh sebelumnya :

Pada pelemparan uang logam, peubah acak X akan bernilai 2 untuk semua unsur bagian {GGA, GAG, AGG}

[email protected]

Contoh 1 : • Dua kelereng diambil berturut-turut tanpa pengembalian dari sebuah kantung yang berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng hitam. • Hasil percobaan yang mungkin berikut nilai y bagi peubah acak Y, yang menyatakan banyaknya kelereng merah terambil adalah : Ruang Contoh

y

MM MH HM HH

2 1 1 0 [email protected]

Contoh 2 : • Seorang petugas penitipan topi mengembalikan 3 topi secara acak kepada pemiliknya. Bila Smith, Jones dan Brown, dalam urutan tersebut menerima masing-masing topi, daftarkan semua titik contoh bagi kemungkinan urutan pengembalian topi dan pemiliknya yang tepat.

Jawab :

• Bila S, J, dan B masing-masing menyatakan topi milik Smith, Jones dan Brown, maka urutan kemungkinan pengembalian topi serta banyaknya pasangan topi dan pemiliknya yang tepat adalah sebanyak 3! = 3x2x1=6 yaitu : Ruang Contoh

m

SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS

3 1 1 0 0 1 [email protected]

Ruang Contoh Diskret Definisi : Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi banyaknya sama dengan bilangan cacah, maka ruang itu di sebut ruang contoh diskret. Contoh : Bila kita ingin mengetahui probabilitas munculnya mata dadu < 5, maka ruang contohnya adalah mata dadu 1,2,3 dan 4. Peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh diskret disebut peubah acak diskret. [email protected]

Ruang Contoh Kontinu Definisi : Bila suatu ruang contoh mengandung tak hingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu. Contoh : Bila kita mencatat lamanya suatu reaksi kimia tertentu,maka banyaknya selang waktu yang menyusun ruang contoh kita tidak terhingga atau tidak tercacah. Peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh kontinu disebut peubah acak kontinu.

[email protected]

ADA PERTANYAAN ?

9

Sebaran Peluang Diskret Pada peubah acak diskret, setiap nilainya dapat dikaitkan dengan peluang tertentu. Misalnya, dalam pelemparan uang logam sebanyak 3 kali, peubah acak X yaitu banyaknya sisi gambar mengaitkan peluang sebesar 3/8 pada nilai peubah acak 2. Ruang contoh dari pelemparan 3 buah koin : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} : n(S) = 8 Peubah acak bernilai 2, pada munculnya sisi gambar sebanyak 2 kali dari 3 pelemparan, ruang contohnya : {GGA, GAG, AGG} : n(A) = 3. Sehingga peluang munculnya sisi gambar sebanyak 2 kali (nilai peubah acak = 2) adalah 3/8.

Sebaran Peluang Diskret (2) Bila S, J, dan B masing-masing menyatakan topi milik Smith, Jones dan Brown, maka urutan kemungkinan pengembalian topi serta banyaknya pasangan topi dan pemiliknya yang tepat adalah :

Ruang Contoh

m

SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS

3 1 1 0 0 1

maka peluang m bernilai 0 adalah 2/6 = 1/3. Semua kemungkinan nilai m :

Total Peluang = 1

m

0

1

3

P(M=m)

1/3

1/2

1/6 [email protected] d

Sebaran Peluang Diskret (3) Definisi : Sebaran Peluang Diskret. Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret, berikut peluangnya disebut sebaran peluang diskret.

[email protected] d

Sebaran Peluang Diskret (4)

Contoh : Tentukan sebaran peluang diskret bagi jumlah bilangan bila sepasang dadu dilemparkan! Jawab : Misal X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah bilangan dari kedua dadu tersebut. Maka X x 2 nilai 3 dari 4 6 712. Bila 8 92 buah 10 11 12 mempunyai 25sampai dadu P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 dapat mendarat dengan 6x6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36. Maka P(X=3) =2/36, karena jumlah 3 hanya terjadi

[email protected] d

Sebaran Peluang Kontinu Perhatikan peubah acak yang menyatakan tinggi badan semua orang yang berusia di atas 21 tahun. Antara dua nilai sembarang yaitu 163,5 cm dan 164,5 cm, terdapat tak hingga banyaknya ukuran tinggi, dan hanya satu yang tepat 164. Bila kita bicara peluang terambilnya seseorang dengan tingginya sekurang-kurangnya 163 cm dan tidak lebih dari 165 cm, maka kita dihadapkan dengan selang nilai peubah acak kontinu P(a<Xc) dan sebagainya. Bila X kontinu , maka : P(a < X ≤ b) = P(a<X
[email protected] d

Sebaran Peluang Kontinu (2) Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dinyatakan dalam bentuk rumus yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai kurva kontinu. Disebut dengan fungsi kepekatan peluang (fungsi kepekatan). Luas daerah akan digunakan untuk menyatakan peluang dan peluang itu positif , sehingga luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu-x sama dengan 1. F(x)

F(x)

F(x)

x

x

x

[email protected] d

Sebaran Peluang Kontinu (3) Definisi fungsi kepekatan peluang. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu X bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b menyatakan peluang X terletak antara a dan b. Umumnya akan sering berhadapan dengan bentuk kurva yang rumit, sehingga penentuan luas daerah di bawah kurva menjadi lebih sulit. Beruntung luas daerah di bawah kurva telah dihitung dan ditabelkan orang.

F(x)

x

a

b

[email protected] d

ANY QUESTIONS ?

AKHIR KULIAH KE-7 [email protected]