Lecture 5

‫הרצאה ‪5‬‬ ‫נושא‪ :‬עצים‬ ‫נגדיר מבנה הנקרא עץ‪:‬‬

‫‪ʵ ʲ ʤʹ ʸ ʥ‬‬ ‫ʹ‬

‫‪ʭʩ‬‬ ‫‪ʴ ʰʲ‬‬

‫עץ בנוי מ‪ -‬קודקודים או צמתים ומקשתות‬ ‫הגדרה רקורסיבית של עץ‬ ‫‪.1‬קבוצה ריקה הוא עץ‬ ‫‪.2‬צומת בודד הוא עץ‬ ‫‪.3‬יהיו ‪ T1,T2,T3…Tk‬עצים עם שורשים ‪ n1,n2,n3..nk‬בהתאמה יהיה‬ ‫‪ n‬צומת חדשה‬ ‫ונעביר קשתות מ ‪ n‬ל‪ n1,n2,n3 -‬ונקבל‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n3‬‬

‫‪T3‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪n1‬‬

‫‪T2‬‬

‫‪T1‬‬

‫קיבלנו עץ חדש בעל שורש ‪ n‬עבורו ‪ T1,T2,T3…Tk‬הם תתי‪-‬עצים‬ ‫‪n‬‬

‫‪n3‬‬

‫‪n1‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪n6‬‬

‫‪n5‬‬

‫‪n4‬‬

‫לעצים ‪ n1,n2‬נקרא הילדים של ‪n‬‬ ‫לצמתים ‪ n4,n5,n6‬נקרא הילדים של ‪n‬‬ ‫‪ N3,n4,n5‬נקרא הצאצאים של ‪n‬‬ ‫לצמתים ‪ n4,n5,n6‬נקרא אחים‬ ‫לצומת ‪ n‬נקרא אב (ההורה) של ‪n1,n2‬‬ ‫לצומת ‪ n‬נקרא אב הקדמון של ‪n4,n5,n6‬‬ ‫מסלול‪ path :‬הוא סדרה ‪ n1,n2..nk‬של צמתים בעץ כך ש ‪ ni‬הוא ההורה‬ ‫של ‪ni+1‬‬ ‫‪i<=k=<1‬‬ ‫למשל בעץ שבציור יש מסלול‬

‫‪N  n1  n5‬‬ ‫‪N n1n5n7‬‬ ‫אורך המסלול = מס' הקשתות במסלול למשל למסלול‬ ‫‪N n1n5‬‬ ‫אורך המסלול = ‪2‬‬

‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n1‬‬

‫‪n3‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪n7‬‬

‫‪n4‬‬

‫‪n5‬‬

‫‪n8‬‬

‫‪ ni‬הוא אב קדמון של ‪ nj‬אם קיים מסלול בין ‪ ni‬ל ‪ nj‬למשל ‪ n2‬הוא אב‬ ‫קדמון של ‪n8‬‬ ‫‪N2n7n8‬‬ ‫גובה העץ = אורך המסלול הארוך ביותר משורש העץ לעלה‬ ‫למשל גובה העץ שבדוגמה = ‪3‬‬ ‫עומק הקודקודים = אורך המסלול משורש העץ אל הצומת‬ ‫למשל עומק הצומת ‪n1,n2 = 1‬‬ ‫עומק של ‪n3,n4,n5,n7 = 2‬‬

‫עומק של ‪n8 = 3‬‬ ‫לכל צומת יש אב אחד‬ ‫דרגה של צומת‪:‬‬ ‫שווה למספר הילדים שלו למשל הדרגה של ‪ n=2‬הדרגה של ‪n1=1‬‬

‫עץ בינארי‬ ‫בי = ‪2‬‬ ‫עצים בעלי דרגה <= ‪ 2‬נקראים עצים בינאריים‬ ‫במילים פאוטות אלה עצים שכל צומת בהם בעל ‪ 2‬או פחות ילדים‪.‬‬ ‫דוגמה‬

‫עץ בינארי מלא‬ ‫זה עץ בו דרגה של כל צומת פרט לעלים שווה ל ‪2‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫לעצים פנימיים יש דרגה ‪ 2‬לעלים יש דרגה ‪0‬‬

‫עץ בינארי שלם‬ ‫זה עץ שבו כל העלים נמצאים באותו עומק וכל הצמתים הפנימיים בעלי‬ ‫דרגה ‪2‬‬

‫דוגמה‪:‬‬

‫עץ כמעט שלם הוא בעל דרגה ‪ 2‬בצמתים הפנימיים וכל העלים שלו‬ ‫נמצאים באותו עומק וחסרים לו מספר עלים‬

‫עץ ‪-k‬נרי‬ ‫עץ בעל דרגה קטנה\שווה ל ‪k‬‬

‫עץ בינארי‬ ‫יש בו ילדים משני סוגים – בן שמאלי ובן ימני‬ ‫טענה‪ :‬מספר הצמתים המקסימלי בעומק ‪ n‬שווה ל‪-‬‬ ‫‪)1‬עבור עץ בעל עומק ‪:0‬‬

‫יש צמת אחת‬ ‫‪)2‬עבור עץ בעל עומק ‪:1‬‬

‫יש בו ‪2‬‬ ‫‪)3‬עבור עץ בעל עומק ‪:2‬‬

‫יש בו ‪4‬‬ ‫‪)4‬בעומק ‪:3‬‬ ‫‪ 8 = 3^2‬וכו‪..‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫מספר הצמתים הכולל המקסימלי בעץ בינרי בגובה ‪:n‬‬ ‫‪n+1( -1(^2‬‬ ‫הוכחה‬

‫(‪)1‬בעץ בעל גובה (‪ )n=0‬יש ‪ 0‬צמתים פנימיים ו ‪ 1‬עלה סה"כ מס'‬ ‫מקסימלי כולל של צמתים שווה ל‪1 – 1^2 -‬‬ ‫(‪)2‬בעץ בעל גובה ‪ 1‬יש לכל היותר‬ ‫‪ 1- 2^2=3‬צמתים (‪ 2‬עלים ‪ +‬שורש)‬ ‫(‪)3‬נניח כח הטענה מתקיימת לעץ בגובה ‪ k=n‬כלומר מתקיים כי‬ ‫מס' הצמתים המקסימלי בו שווה ל ‪n+1( -1(^2‬‬ ‫(‪)4‬נסתכל על עץ בעל גובה ‪k=n+1‬‬ ‫כיוון שעץ בעל גובה ‪ n‬הוה בעל כמות מקסימלית של צמתים עץ בעל‬ ‫גובה (‪ )n+1‬יראה כמוהו עד לרמה ‪ n‬וברמה ‪ n+1‬יופיעו צמתים‬ ‫נוספים‬ ‫מכאן מספר מקסימלי של צמתים בעץ בעל גובה ‪ n+1‬שווה ל‪-‬‬ ‫‪)2^)n+1( -1(+2^)n+1( = 2*2^)n+1( -1 = 2^)n+2( -1‬‬ ‫מס' הצמתים המקסימלי בעומק‬ ‫‪N+1‬‬ ‫פעולות בסיסיות בעצים‬ ‫(‪Create_tree)1‬‬ ‫(‪ Create node)2‬יצירת צומת‬ ‫(‪ Init_node)3‬איתחול צומת‬

‫‪ n‬מספר צמתים בעץ בעל גובה‬