Lecture 12b-pdlinhomtk-n-rev.pdf

PD LINIER TK N Matematika Departemen Teknik Kimia FT UGM (bahan ini kompilasi dari berbagai sumber dan hanya untuk kalangan pribadi/tdk untuk public link)

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT-n

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = Q( x) dx dx dx P0 ( x)  0, Pi ( x) dan Q( x) fungsi x atau konstan.

(1)

Jika Q( x) = 0 maka : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = 0 (2) dx dx dx Pers.(2) disebut PD Homogin atau persamaan tereduksi. Pers.(1) disebut PD tidak Homogin karena Q ( x )  0.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT-n

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = Q( x) dx dx dx P0 ( x)  0, Pi ( x) dan Q( x) fungsi x atau konstan.

(1)

Jika Q( x) = 0 maka : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = 0 (2) dx dx dx Pers.(2) disebut PD Homogin atau persamaan tereduksi. Pers.(1) disebut PD tidak Homogin karena Q ( x )  0.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT-n

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = Q( x) dx dx dx P0 ( x)  0, Pi ( x) dan Q( x) fungsi x atau konstan.

(1)

Jika Q( x) = 0 maka : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = 0 (2) dx dx dx Pers.(2) disebut PD Homogin atau persamaan tereduksi. Pers.(1) disebut PD tidak Homogin karena Q ( x )  0.

Sifat − sifat umum PD Linier Bila bentuk : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = L( y ) dx dx dx maka pers.(1) dapat ditulis : L( y ) = Q( x) dan pers.(2) adalah : L( y ) = 0

(3)

Beberapa Teorema penting I . Jika y = y ( x) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c y ( x) juga memenuhi. c = konstan sembarang dan riil. II . Jika tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3..., n) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)

(4) juga memenuhi.

c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil. Pers.(4) merupakan primitif atau penyelesaian dari L( y ) = 0.

Sifat − sifat umum PD Linier Bila bentuk : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = L( y ) dx dx dx maka pers.(1) dapat ditulis : L( y ) = Q( x) dan pers.(2) adalah : L( y ) = 0

(3)

Beberapa Teorema penting I . Jika y = y ( x) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c y ( x) juga memenuhi. c = konstan sembarang dan riil. II . Jika tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3..., n) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)

(4) juga memenuhi.

c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil. Pers.(4) merupakan primitif atau penyelesaian dari L( y ) = 0.

Sifat − sifat umum PD Linier Bila bentuk : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = L( y ) dx dx dx maka pers.(1) dapat ditulis : L( y ) = Q( x) dan pers.(2) adalah : L( y ) = 0

(3)

Beberapa Teorema penting I . Jika y = y ( x) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c y ( x) juga memenuhi. c = konstan sembarang dan riil. II . Jika tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3..., n) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)

(4) juga memenuhi.

c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil. Pers.(4) merupakan primitif atau penyelesaian dari L( y ) = 0.

Sifat − sifat umum PD Linier Bila bentuk : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = L( y ) dx dx dx maka pers.(1) dapat ditulis : L( y ) = Q( x) dan pers.(2) adalah : L( y ) = 0

(3)

Beberapa Teorema penting I . Jika y = y ( x) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c y ( x) juga memenuhi. c = konstan sembarang dan riil. II . Jika tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3..., n) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)

(4) juga memenuhi.

c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil. Pers.(4) merupakan primitif atau penyelesaian dari L( y ) = 0.

Sifat − sifat umum PD Linier Bila bentuk : dny d n −1 y dy P0 ( x) n + P1 ( x) n −1 + ... + Pn −1 ( x) + Pn ( x) y = L( y ) dx dx dx maka pers.(1) dapat ditulis : L( y ) = Q( x) dan pers.(2) adalah : L( y ) = 0

(3)

Beberapa Teorema penting I . Jika y = y ( x) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c y ( x) juga memenuhi. c = konstan sembarang dan riil. II . Jika tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3..., n) memenuhi L( y ) = 0, maka y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x)

(4) juga memenuhi.

c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil. Pers.(4) merupakan primitif atau penyelesaian dari L( y ) = 0.

III . Jika y = R ( x) memenuhi L( y ) = Q( x) dan tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3,..., n) memenuhi L( y ) = 0 maka : y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x) + R ( x)

(5)

juga memenuhi L( y ) = Q( x). c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil . Pers.(5) merupakan primitif dari L( y ) = Q ( x). Pers.(4) dalam pers.(5) disebut fungsi komplementer , y = R ( x) disebut penyelesaian khusus atau penyelesaian partikulir. Penyelesaian PD (1) :

y = yc + y p

III . Jika y = R ( x) memenuhi L( y ) = Q( x) dan tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3,..., n) memenuhi L( y ) = 0 maka : y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x) + R ( x)

(5)

juga memenuhi L( y ) = Q( x). c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil . Pers.(5) merupakan primitif dari L( y ) = Q ( x). Pers.(4) dalam pers.(5) disebut fungsi komplementer , y = R ( x) disebut penyelesaian khusus atau penyelesaian partikulir. Penyelesaian PD (1) :

y = yc + y p

III . Jika y = R ( x) memenuhi L( y ) = Q( x) dan tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3,..., n) memenuhi L( y ) = 0 maka : y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x) + R ( x)

(5)

juga memenuhi L( y ) = Q( x). c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil . Pers.(5) merupakan primitif dari L( y ) = Q ( x). Pers.(4) dalam pers.(5) disebut fungsi komplementer , y = R ( x) disebut penyelesaian khusus atau penyelesaian partikulir. Penyelesaian PD (1) :

y = yc + y p

III . Jika y = R ( x) memenuhi L( y ) = Q( x) dan tiap − tiap y = yi ( x) (i = 1, 2,3,..., n) memenuhi L( y ) = 0 maka : y = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) + ... + cn yn ( x) + R ( x)

(5)

juga memenuhi L( y ) = Q( x). c1 , c2 ,..., cn = konstan sembarang dan riil . Pers.(5) merupakan primitif dari L( y ) = Q ( x). Pers.(4) dalam pers.(5) disebut fungsi komplementer , y = R ( x) disebut penyelesaian khusus atau penyelesaian partikulir. Penyelesaian PD (1) :

y = yc + y p

DIFFERENSIAL OPERATOR-D Untuk PD linier dengan koefisien konstan yaitu L( y ) = P0 y ( n ) + P1 y ( n −1) + ... + Pn −1 y '+ Pn y = Q( x)

(6)

Pi (i = 0,1, 2,3,..., n) adalah konstan. n d dy d y n D = , Dy = , dan D y = n . D disebut differensial operator. dx dx dx Pers.(6) dapat ditulis :

L( y ) = P0 D n y + P1 D ( n −1) y + ... + Pn −1 Dy + Pn y = Q ( x) Jika f ( D) = P0 D n + P1 D ( n −1) + ... + Pn −1 D + Pn maka :

L( y ) = f ( D) y

DIFFERENSIAL OPERATOR-D Untuk PD linier dengan koefisien konstan yaitu L( y ) = P0 y ( n ) + P1 y ( n −1) + ... + Pn −1 y '+ Pn y = Q( x)

(6)

Pi (i = 0,1, 2,3,..., n) adalah konstan. n d dy d y n D = , Dy = , dan D y = n . D disebut differensial operator. dx dx dx Pers.(6) dapat ditulis :

L( y ) = P0 D n y + P1 D ( n −1) y + ... + Pn −1 Dy + Pn y = Q ( x) Jika f ( D) = P0 D n + P1 D ( n −1) + ... + Pn −1 D + Pn maka :

L( y ) = f ( D) y

DIFFERENSIAL OPERATOR-D Untuk PD linier dengan koefisien konstan yaitu L( y ) = P0 y ( n ) + P1 y ( n −1) + ... + Pn −1 y '+ Pn y = Q( x)

(6)

Pi (i = 0,1, 2,3,..., n) adalah konstan. n d dy d y n D = , Dy = , dan D y = n . D disebut differensial operator. dx dx dx Pers.(6) dapat ditulis :

L( y ) = P0 D n y + P1 D ( n −1) y + ... + Pn −1 Dy + Pn y = Q ( x) Jika f ( D) = P0 D n + P1 D ( n −1) + ... + Pn −1 D + Pn maka :

L( y ) = f ( D) y

DIFFERENSIAL OPERATOR-D Untuk PD linier dengan koefisien konstan yaitu L( y ) = P0 y ( n ) + P1 y ( n −1) + ... + Pn −1 y '+ Pn y = Q( x)

(6)

Pi (i = 0,1, 2,3,..., n) adalah konstan. n d dy d y n D = , Dy = , dan D y = n . D disebut differensial operator. dx dx dx Pers.(6) dapat ditulis :

L( y ) = P0 D n y + P1 D ( n −1) y + ... + Pn −1 Dy + Pn y = Q ( x) Jika f ( D) = P0 D n + P1 D ( n −1) + ... + Pn −1 D + Pn maka :

L( y ) = f ( D) y

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Sifat − sifat yang berlaku untuk polinomial operator 1. f1 ( D) + f 2 ( D) = f 2 ( D) + f1 ( D) 2.[ f1 ( D) + f 2 ( D)] + f 3 ( D) = f1 ( D) + [ f 2 ( D) + f 3 ( D)] 3.[ f1 ( D). f 2 ( D)]. f 3 ( D) = f1 ( D).[ f 2 ( D). f 3 ( D)] 4. f1 ( D).[ f 2 ( D) + f 3 ( D)] = f1 ( D). f 2 ( D) + f1 ( D). f 3 ( D)] 5. Jika f1 ( D), f 2 ( D), dan f 3 ( D) operator dengan koefisien konstan maka : f1 ( D). f 2 ( D) = f 2 ( D). f1 ( D) 6. Jika y ( x) fungsi dengan n derivatif − derivatifnya, maka : f ( D)(e ax y ) = e ax f ( D + a ) y 7. Jika m dan n bilangan bulat positif , maka : D m .D n = D m + n 8. Jika m konstan, maka : D k e mx = m k e mx

Andaikan : f ( D ) = P0 D n + P1D ( n −1) + ... + Pn −1D + Pn maka : f ( D ) e mx = ( P0 D n + P1D ( n −1) + ... + Pn −1D + Pn ) e mx atau : f ( D) e mx = e mx f (m) Jika m adalah akar − akar persamaan f (m) = 0 f ( D) e

mx

=0

Andaikan : f ( D ) = P0 D n + P1D ( n −1) + ... + Pn −1D + Pn maka : f ( D ) e mx = ( P0 D n + P1D ( n −1) + ... + Pn −1D + Pn ) e mx atau : f ( D) e mx = e mx f (m) Jika m adalah akar − akar persamaan f (m) = 0 f ( D) e

mx

=0

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER HOMOGIN TINGKAT-n DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 n + P1 n −1 + ... + Pn −1 + Pn y = 0 dx dx dx P0  0, Pi (i = 1, 2,3,..., n) = konstan atau : f ( D) y = 0 f ( D) adalah linier differensial operator. Bila m merupakan akar persamaan f (m) = 0, maka :

(1)

(2)

f ( D) e mx = 0 → berarti y = e mx adalah penyelesaian pers.(2) Pers. f (m) = 0 disebut persamaan karakteristik . " PD linier tingkat n yang homogin dengan koefisien konstan mempunyai penyelesaian yang terdiri atas n suku "

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER HOMOGIN TINGKAT-n DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 n + P1 n −1 + ... + Pn −1 + Pn y = 0 dx dx dx P0  0, Pi (i = 1, 2,3,..., n) = konstan atau : f ( D) y = 0 f ( D) adalah linier differensial operator. Bila m merupakan akar persamaan f (m) = 0, maka :

(1)

(2)

f ( D) e mx = 0 → berarti y = e mx adalah penyelesaian pers.(2) Pers. f (m) = 0 disebut persamaan karakteristik . " PD linier tingkat n yang homogin dengan koefisien konstan mempunyai penyelesaian yang terdiri atas n suku "

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER HOMOGIN TINGKAT-n DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 n + P1 n −1 + ... + Pn −1 + Pn y = 0 dx dx dx P0  0, Pi (i = 1, 2,3,..., n) = konstan atau : f ( D) y = 0 f ( D) adalah linier differensial operator. Bila m merupakan akar persamaan f (m) = 0, maka :

(1)

(2)

f ( D) e mx = 0 → berarti y = e mx adalah penyelesaian pers.(2) Pers. f (m) = 0 disebut persamaan karakteristik . " PD linier tingkat n yang homogin dengan koefisien konstan mempunyai penyelesaian yang terdiri atas n suku "

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER HOMOGIN TINGKAT-n DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Bentuk umum : dny d n −1 y dy P0 n + P1 n −1 + ... + Pn −1 + Pn y = 0 dx dx dx P0  0, Pi (i = 1, 2,3,..., n) = konstan atau : f ( D) y = 0 f ( D) adalah linier differensial operator. Bila m merupakan akar persamaan f (m) = 0, maka :

(1)

(2)

f ( D) e mx = 0 → berarti y = e mx adalah penyelesaian pers.(2) Pers. f (m) = 0 disebut persamaan karakteristik . " PD linier tingkat n yang homogin dengan koefisien konstan mempunyai penyelesaian yang terdiri atas n suku "

1.Akar - akar f(m) = 0 semua riildanberlainan Andai akar − akar f (m) = 0 adalah : m1  m2  m3  ...  mn Penyelesaian PD : y = c1e m1x + c2 e m2 x + c3e m3 x + ... + cn −1e mn−1x + cn e mn x c1 , c2 , c3 ,..., cn konstan sembarang . Contoh : 1. Selesaikan PD : d3y d 2 y dy − 4 2 + + 6y = 0 3 dx dx dx f ( D) = D3 − 4 D 2 + D + 6 Pers. karakteristik f (m) = m 3 − 4m 2 + m + 6 = 0

1.Akar - akar f(m) = 0 semua riildanberlainan Andai akar − akar f (m) = 0 adalah : m1  m2  m3  ...  mn Penyelesaian PD : y = c1e m1x + c2 e m2 x + c3e m3 x + ... + cn −1e mn−1x + cn e mn x c1 , c2 , c3 ,..., cn konstan sembarang . Contoh : 1. Selesaikan PD : d3y d 2 y dy − 4 2 + + 6y = 0 3 dx dx dx f ( D) = D3 − 4 D 2 + D + 6 Pers. karakteristik f (m) = m 3 − 4m 2 + m + 6 = 0

1.Akar - akar f(m) = 0 semua riildanberlainan Andai akar − akar f (m) = 0 adalah : m1  m2  m3  ...  mn Penyelesaian PD : y = c1e m1x + c2 e m2 x + c3e m3 x + ... + cn −1e mn−1x + cn e mn x c1 , c2 , c3 ,..., cn konstan sembarang . Contoh : 1. Selesaikan PD : d3y d 2 y dy − 4 2 + + 6y = 0 3 dx dx dx f ( D) = D3 − 4 D 2 + D + 6 Pers. karakteristik f (m) = m 3 − 4m 2 + m + 6 = 0

(m + 1)(m − 2)(m − 3) = 0 Akar − akar pers. karakteristik : m1 = −1; m2 = 2; m3 = 3 Penyelesaian PD : y = c1e − x + c2 e 2 x + c3e3 x

2. Selesaikan PD d5y d4y d3y d2y dy − 3 4 − 5 3 + 15 2 + 4 − 12 y = 0 5 dx dx dx dx dx f ( D) = D 5 − 3D 4 − 5 D 3 + 15D 2 + 4 D − 12 Pers. karakteristik : f (m) = m5 − 3m 4 − 5m3 + 15m 2 + 4m − 12 = 0

2. Selesaikan PD d5y d4y d3y d2y dy − 3 4 − 5 3 + 15 2 + 4 − 12 y = 0 5 dx dx dx dx dx f ( D) = D 5 − 3D 4 − 5 D 3 + 15D 2 + 4 D − 12 Pers. karakteristik : f (m) = m5 − 3m 4 − 5m3 + 15m 2 + 4m − 12 = 0

Akar-akar f(m)=0 dicari dengan metode Horner

f (m) = m5 − 3m 4 − 5m3 + 15m 2 + 4m − 12 = 0 m1 = 1; m2 = −1; m3 = −2; m4 = 2; dan m5 = 3 Penyelesaian PD : y = c1e x + c2e − x + c3e −2 x + c4e 2 x + c5e3 x Akar 1

-3 1

-5 -2

15 -7

4 8

-12 12

1

-2 -1

-7 3

8 4

12 -12

0

1

-3 2

-4 -2

12 -12

0

1

-1 -2

-6 6

0

1

-3 3

0

1

0

1 -1 2 -2 3

2. Akar - akar f(m) = 0 semua riildanada yang sama Bila akar − akar f (m) = 0 adalah : m1 = m2 = m3 = ... = m p  m p +1  m p + 2  ...  mn Penyelesaian PD : y = e m1x (c1 + c2 x + c3 x 2 + ... + c p −1 x p − 2 + c p x p −1 ) + c p +1e

m p+1 x

+ c p +2e

m p+2 x

+ ... + cn e

mn x

Selesaikan PD : ( D 4 − 7 D 3 + 18D 2 − 20 D + 8) y = 0 Pers. karakteristik : m 4 − 7 m3 + 18m 2 − 20m + 8 = 0

2. Akar - akar f(m) = 0 semua riildanada yang sama Bila akar − akar f (m) = 0 adalah : m1 = m2 = m3 = ... = m p  m p +1  m p + 2  ...  mn Penyelesaian PD : y = e m1x (c1 + c2 x + c3 x 2 + ... + c p −1 x p − 2 + c p x p −1 ) + c p +1e

m p+1 x

+ c p +2e

m p+2 x

+ ... + cn e

mn x

Selesaikan PD : ( D 4 − 7 D 3 + 18D 2 − 20 D + 8) y = 0 Pers. karakteristik : m 4 − 7 m3 + 18m 2 − 20m + 8 = 0

Akar − akar pers.karakteristik : m = 1; 2; 2; 2 PenyelesaianPD : y = c1e x + (c2 + c3 x + c4 x 2 )e 2 x Akar 1 1 1 2 1 2 1 2

-7

18

-20

8

1

-6

12

-8

-6

12

-8

0

2

-8

8

-4

4

0

2

-4

-2

0

2 1

0

3. Akar - akar f(m) = 0 komplex dan berlainan Definisi e z untuk z imajiner (kompleks ) z = a + ib a dan b adalah riil dan i = −1 a disebut bagian riil dari z disebut R ( z ) dan b bagian imajiner dari z dan ditulis I ( z ) e z = e a +ib = e a .eib Rumus − rumus : 2 3 n u u u u eu = 1 + + + + ... + 1! 2! 3! n! u 2 u4 u6 cos u = 1 − + − + ... 2! 4! 6! u 3 u5 u7 sin u = u − + − + ... 3! 5! 7!

3. Akar - akar f(m) = 0 komplex dan berlainan Definisi e z untuk z imajiner (kompleks ) z = a + ib a dan b adalah riil dan i = −1 a disebut bagian riil dari z disebut R ( z ) dan b bagian imajiner dari z dan ditulis I ( z ) e z = e a +ib = e a .eib Rumus − rumus : 2 3 n u u u u eu = 1 + + + + ... + 1! 2! 3! n! u 2 u4 u6 cos u = 1 − + − + ... 2! 4! 6! u 3 u5 u7 sin u = u − + − + ... 3! 5! 7!

2 3 n ib ( ib ) ( ib ) ( ib ) Jadi : eib = 1 + + + + ... + 1! 2! 3! n! i 2b 2 i 4b 4 i 6b 6 = (1 + + + + ...) 2! 4! 6! i 3b3 i 5b5 i 7b 7 + (ib + + + + ...) 3! 5! 7! i = −1 → i 2 n = (−1) n

b 2 b4 b6 b 3 b5 b 7 Jadi : e = (1 − + − + ...) + i (b − + − + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7! ib

eib = cos b + i sin b

2 3 n ib ( ib ) ( ib ) ( ib ) Jadi : eib = 1 + + + + ... + 1! 2! 3! n! i 2b 2 i 4b 4 i 6b 6 = (1 + + + + ...) 2! 4! 6! i 3b3 i 5b5 i 7b 7 + (ib + + + + ...) 3! 5! 7! i = −1 → i 2 n = (−1) n

b 2 b4 b6 b 3 b5 b 7 Jadi : e = (1 − + − + ...) + i (b − + − + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7! ib

eib = cos b + i sin b

2 3 n ib ( ib ) ( ib ) ( ib ) Jadi : eib = 1 + + + + ... + 1! 2! 3! n! i 2b 2 i 4b 4 i 6b 6 = (1 + + + + ...) 2! 4! 6! i 3b3 i 5b5 i 7b 7 + (ib + + + + ...) 3! 5! 7! i = −1 → i 2 n = (−1) n

b 2 b4 b6 b 3 b5 b 7 Jadi : e = (1 − + − + ...) + i (b − + − + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7! ib

eib = cos b + i sin b

2 3 n ib ( ib ) ( ib ) ( ib ) Jadi : eib = 1 + + + + ... + 1! 2! 3! n! i 2b 2 i 4b 4 i 6b 6 = (1 + + + + ...) 2! 4! 6! i 3b3 i 5b5 i 7b 7 + (ib + + + + ...) 3! 5! 7! i = −1 → i 2 n = (−1) n

b 2 b4 b6 b 3 b5 b 7 Jadi : e = (1 − + − + ...) + i (b − + − + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7! ib

eib = cos b + i sin b

Bila akar − akar f (m) = 0 kompleks berlainan yaitu a + ib dan a − ib, maka penyelesaian PD :

y = (c1 cos bx + c2 sin bx) e ax Contoh : Selesaikan PD :( D 3 + D 2 + 4 D + 4) y = 0 f ( m) = m 3 + m 2 + 4m + 4 = 0 m 2 (m + 1) + 4(m + 1) = 0 → (m 2 + 4)(m + 1) = 0 Akar − akar : m 2 + 4 = 0 → m 2 = −4 → m = 2i m + 1 = 0 → m = −1 Penyelesaian PD : y = c1e − x + (c2 cos 2 x + c3 sin 2 x )e 0 x y = c1e − x + c2 cos 2 x + c3 sin 2 x

Bila akar − akar f (m) = 0 kompleks berlainan yaitu a + ib dan a − ib, maka penyelesaian PD :

y = (c1 cos bx + c2 sin bx) e ax Contoh : Selesaikan PD :( D 3 + D 2 + 4 D + 4) y = 0 f ( m) = m 3 + m 2 + 4m + 4 = 0 m 2 (m + 1) + 4(m + 1) = 0 → (m 2 + 4)(m + 1) = 0 Akar − akar : m 2 + 4 = 0 → m 2 = −4 → m = 2i m + 1 = 0 → m = −1 Penyelesaian PD : y = c1e − x + (c2 cos 2 x + c3 sin 2 x )e 0 x y = c1e − x + c2 cos 2 x + c3 sin 2 x

Bila akar − akar f (m) = 0 kompleks berlainan yaitu a + ib dan a − ib, maka penyelesaian PD :

y = (c1 cos bx + c2 sin bx) e ax Contoh : Selesaikan PD :( D 3 + D 2 + 4 D + 4) y = 0 f ( m) = m 3 + m 2 + 4m + 4 = 0 m 2 (m + 1) + 4(m + 1) = 0 → (m 2 + 4)(m + 1) = 0 Akar − akar : m 2 + 4 = 0 → m 2 = −4 → m = 2i m + 1 = 0 → m = −1 Penyelesaian PD : y = c1e − x + (c2 cos 2 x + c3 sin 2 x )e 0 x y = c1e − x + c2 cos 2 x + c3 sin 2 x

4. Bila akar - akar f(m) = 0kompleks dansama Akar − akar f (m) = 0 adalah : a  ib; a  ib; a  ib; a  ib Penyelesaian PD : y = [(c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 x3 ) cos bx + (c5 + c6 x + c7 x 2 + c8 x 3 ) sin bx]e ax Contoh : d4y d2y Selesaikan PD : 4 + 8 2 + 16 y = 0 dx dx f (m) = m 4 + 8m 2 + 16 = 0 → m 4 + 4m 2 + 4m 2 + 16 = 0 m 2 (m 2 + 4) + 4(m 2 + 4) = 0 → (m 2 + 4)(m 2 + 4) = 0 m = 2i;  2i Penyelesaian PD : y = (c 1 +c2 x) cos 2 x + (c3 + c4 x) sin 2 x

4. Bila akar - akar f(m) = 0kompleks dansama Akar − akar f (m) = 0 adalah : a  ib; a  ib; a  ib; a  ib Penyelesaian PD : y = [(c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 x3 ) cos bx + (c5 + c6 x + c7 x 2 + c8 x 3 ) sin bx]e ax Contoh : d4y d2y Selesaikan PD : 4 + 8 2 + 16 y = 0 dx dx f (m) = m 4 + 8m 2 + 16 = 0 → m 4 + 4m 2 + 4m 2 + 16 = 0 m 2 (m 2 + 4) + 4(m 2 + 4) = 0 → (m 2 + 4)(m 2 + 4) = 0 m = 2i;  2i Penyelesaian PD : y = (c 1 +c2 x) cos 2 x + (c3 + c4 x) sin 2 x

4. Bila akar - akar f(m) = 0kompleks dansama Akar − akar f (m) = 0 adalah : a  ib; a  ib; a  ib; a  ib Penyelesaian PD : y = [(c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 x3 ) cos bx + (c5 + c6 x + c7 x 2 + c8 x 3 ) sin bx]e ax Contoh : d4y d2y Selesaikan PD : 4 + 8 2 + 16 y = 0 dx dx f (m) = m 4 + 8m 2 + 16 = 0 → m 4 + 4m 2 + 4m 2 + 16 = 0 m 2 (m 2 + 4) + 4(m 2 + 4) = 0 → (m 2 + 4)(m 2 + 4) = 0 m = 2i;  2i Penyelesaian PD : y = (c 1 +c2 x) cos 2 x + (c3 + c4 x) sin 2 x