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FUNDAMENTOS DE LOS GRÁFICOS EN 3D

Informática Gráfica 5º Ingeniería Informática Universidad de Salamanca

Alberto Pastor Nieto 70889752A Israel García Sánchez 70808913D

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Alberto Pastor Nieto Israel García Sánchez

ÍNDICE ÍNDICE............................................................................................................................. 2 1. INTRODUCCIÓN: LOS GRAFICOS POR ORDENADOR ...................................... 3 2. LA MIRADA TRIDIMENSIONAL ............................................................................ 6 3. LOS ORÍGENES DE LA REPRESENTACIÓN TRIDIMENSIONAL EN EL RENACIMIENTO............................................................................................................ 7 4. LA IMITACIÓN DE LA PERSPECTIVA NATURAL ............................................ 10 5. LAS COORDENADAS CARTESIANAS................................................................. 12 5.1. La Profundidad, añadiendo la tercera dimensión ................................................ 15 6. PROYECCIONES ESPECIALES.............................................................................. 18 6.1. PERSPECTIVA TRADICIONAL ...................................................................... 21 6.2. PERSPECTIVA CON UN PUNTO DE FUGA O CÓNICA.............................. 22 6.3. PERSPECTIVA CON DOS PUNTOS DE FUGA O CABALLERA................. 23 6.4. PERSPECTIVA CON TRES PUNTOS DE FUGA O ISOMÉTRICA .............. 24 7. EL PROCESO DE CREACIÓN DE UNA IMAGEN TRIDIMENSIONAL POR ORDENADOR ............................................................................................................... 25 7.1. EL PROCESO DE MODELADO ....................................................................... 26 7.2. EL PROCESO DE LA EXTRUSIÓN PARA GENERAR FORMAS TRIDIMENSIONALES ............................................................................................. 26 7.3. EL MODELADO DE SECCIONES CRUZADAS............................................. 27 7.4. LA INCORPORACIÓN DE SUPERFICIES A LOS OBJETOS ....................... 27 7.5. EL MAPEO DE IMÁGENES ............................................................................. 27 7.6. EL SOMBREADO DE OBJETOS...................................................................... 28 7.6.1. Sombreado de punto de alambre .................................................................. 29 7.6.2. El sombreado plano ...................................................................................... 29 7.6.3. El sombreado de Gouraud ............................................................................ 29 7.6.4. El sombreado Phong..................................................................................... 29 7.7. PROFUNDIDAD EN IMÁGENES 3D............................................................... 31 7.7.1. EL SOMBREADO ....................................................................................... 32 7.7.2. LA ELEVACIÓN Y LA ALTURA RELATIVA ........................................ 32 7.7.3. SOLAPAMIENTO ....................................................................................... 34 7.7.4. EL BRILLO Y EL COLOR ......................................................................... 36 7.7.5. LAS SOMBRAS .......................................................................................... 37 7.7.6. EL DETALLE .............................................................................................. 38 7.7.7. LA VISIÓN BINOCULAR: ESTEREOSCOPÍA ........................................ 40 7.7.7.1. Método por Anaglífo ............................................................................. 42 7.7.7.2. Sistema de lentes polarizados ................................................................ 43 7.7.7.3. Imagen entrelazada ................................................................................ 44 7.7.7.4. Efecto Pulfritch...................................................................................... 46 7.8. ELIMINACIÓN DE SUPERFICIES OCULTAS ............................................... 46 7.8.1. EL PROBLEMA .......................................................................................... 47 7.8.2. MÉTODO DEL VECTOR NORMAL AL PLANO .................................... 48 7.8.3 EL ALGORITMO DEL PINTOR ................................................................. 50 7.8.3.1. Problema del solapamiento mutuo ........................................................ 51 7.8.4. EL ALGORITMO Z-BUFFER .................................................................... 52 7.9. EJEMPLO DE MODELADO DE UNA IMAGEN TRIDIMENSIONAL ......... 55 8. CONCLUSIONES...................................................................................................... 62 9. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................ 63 2

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1. INTRODUCCIÓN: LOS GRAFICOS POR ORDENADOR Los gráficos por ordenador surgieron a principios de los cincuenta en el MIT (Instituto Tecnológico de Masachussets). En él se conectó un osciloscopio a uno de sus ordenadores, de modo que éste podía controlar directamente la posición del haz catódico. Este sistema podía realizar dibujos simples, moviendo el haz de manera que fuese trazando las líneas que lo componían. Sin embargo, cuando la complejidad del gráfico aumentaba, aparecía un problema de difícil solución: el parpadeo. Este surgía porque el punto trazado por el haz desaparecía unas décimas de segundo después de que el haz se hubiese movido, lo que obligaba a redibujar constantemente el gráfico (a este proceso se le denomina refresco). Con figuras de pocas líneas, el dibujo podía ser refrescado a una velocidad suficiente como para que no hubiese problemas, pero al aumentar el número de segmentos, el ordenador tardaba más en generar cada imagen, de modo que cuando empezaba a redibujar una línea, la original ya se había borrado totalmente. A este problema había que añadirle que el ordenador tenía que dedicar la totalidad de su tiempo de ejecución a mantener el refresco de la imagen, lo que impedía la realización de cálculos simultáneos.

Ilustración 1. Osciloscopio

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Posteriormente se ideó un tipo de pantalla que mantenía la luminosidad de un punto incluso después de que el haz dejase de iluminarlo, usando una especie de condensador entre el fósforo y el tubo. Para borrar la pantalla, simplemente se descargaba ese condensador. Este sistema tenía la ventaja de que eliminaba totalmente el refresco de la imagen, pues ésta se mantenía aunque el haz dejase de pasar. Sin embargo, tenía el problema de que no se podía borrar una parte de la pantalla, sino que se debía borrar toda y reescribir la parte común. A esto hay que unir el bajo contraste de la imagen. Este sistema de generación de imágenes es denominado VECTORIAL pues sus imágenes están compuestas por vectores unidos entre sí. Pronto se hizo evidente que este sistema no era excesivamente práctico, así que se empezó a trabajar en uno más perfeccionado. El resultado fue el sistema RASTER SCAN. En él, no es la CPU la que controla el tubo catódico, sino que existe una circuitería independiente que realiza todo el trabajo. Esta vez, el haz no crea la imagen a partir de segmentos o vectores, sino que lo hace a partir de puntos (los famosos PIXELS). Para ello, el haz recorre toda la pantalla en líneas horizontales, de izquierda a derecha y de arriba a abajo. Este movimiento se realiza con el haz a baja intensidad. Si necesita activar un pixel, aumenta la intensidad en el momento en que pase encima de él. Dado que el haz tiene que recorrer siempre toda la pantalla, el parpadeo de la imagen solo dependerá de la velocidad del rayo, nunca de la complejidad de la imagen. Así mismo, al ser una circuitería externa a la CPU la que genera la imagen y la refresca, ésta queda totalmente liberada de esta tarea, pudiendo mantener una imagen en pantalla mientras realiza otros cálculos. A todo esto hay que unir la posibilidad de conseguir una amplia gama de tonos y colores, frente a la gran limitación de los sistemas VECTORIALES en este aspecto. La supremacía de los sistemas RASTER queda demostrada al comprobar que todos los ordenadores actuales lo usan, sin importar su tamaño y potencia. La circuitería para la generación de la imagen puede estar diseñada de muy diversas formas, de modo que acepte más o menos resolución o colores. Sin embargo, en todas ellas, la imagen es almacenada en una memoria RAM especial, línea a línea, de modo que, para transferirla a la pantalla solo haya que leerla secuencialmente y transmitir los datos leídos al haz. Hay dos posibilidades básicas para la escritura en esa memoria de video: en el más sofisticado, la placa incorpora un microprocesador propio, y acepta ordenes de alto

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nivel desde la CPU, como trazar rectas, círculos, mover SPRITES automáticamente, actualizar la paleta de colores, etc. De este modo, la CPU se comunica a través de puertos. Este sistema tiene la gran ventaja de descargar casi por completo a la CPU principal del trabajo de la gestión de la pantalla. A esto se le añade que la cantidad de memoria asignada a la pantalla puede ser superior a la que es capaz de direccionar directamente el microprocesador principal, sin que surjan problemas de velocidad o de transferencia de información por necesitar usar técnicas de paginación de memoria. El otro método consiste en una circuitería que simplemente lee la imagen de la memoria de video y la plasma en pantalla. La diferencia con el otro es que la CPU accede directamente a esa memoria y escribe en ella los datos necesarios. Esto significa que tiene que estar situada dentro del espacio direccionable por la CPU, como una parte más de la memoria principal. Tiene la ventaja de que es un sistema mucho más barato y simple que el anterior, y es perfectamente válido, pues es la circuitería extra la que mantiene el refresco; sin embargo, es la CPU la que tiene que hacer los cálculos matemáticos para trazar rectas, círculos, etc. Sin embargo, estos inconvenientes se convierten en ventajas en cuanto se comprende que, de este modo, se dispone de un control total sobre la imagen presentada, pudiendo realizar sobre ésta todas las modificaciones que se deseen sin ninguna clase de limitación. Este sistema, por tanto, se usa por razones de bajo precio o bien por la necesidad de altas prestaciones en pantalla.

Ilustración 2. Dibujo con píxeles

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2. LA MIRADA TRIDIMENSIONAL Los fundamentos de las imágenes en tres dimensiones se remontan al Renacimiento. Los artistas de esta época fueron los primeros que aprendieron cómo engañar al ojo logrando una sensación de profundidad al contemplar una superficie plana bidimensional. La ilusión conseguida se basaba en un conjunto de conocimientos que nos retrotrae a la antigua Grecia: la geometría. La geometría es una rama de las matemáticas que se centra en el análisis de las relaciones, las propiedades y la medición de sólidos, superficies, líneas y ángulos. También se trata de una teoría del espacio y de las figuras en el espacio. El artista del Renacimiento aprendió a transformar este conocimiento en obras que alcanzaban un grado de realismo verdaderamente asombroso. Antes del Renacimiento los artistas empleaban el arte para expresar ideas. El artista del Renacimiento emplea el arte para imitar a la realidad. Esto representó un avance decisivo. En la actualidad, la expresión fotorrealismo se refiere a imágenes generadas por ordenador que modelan las propiedades ópticas y físicas del mundo real de forma tan acertada que, al contemplarlas, algunas personas jurarían que se trata de fotografías. Los programas de creación de imágenes en 3D codifican en una serie de algoritmos las leyes de la perspectiva y las complejas interrelaciones entre las superficies y la iluminación de las mismas. Ocultando los algoritmos de modelado tras una interfaz sencilla, el programa de creación de imágenes en 3D pone la tecnología en su sitio, considerándola como otra herramienta en el estudio del artista.

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3. LOS ORÍGENES DE LA REPRESENTACIÓN TRIDIMENSIONAL EN EL RENACIMIENTO Si se intenta dibujar una figura tridimensional, es fácil darse cuenta lo difícil que es crear la ilusión de profundidad en una superficie plana. En efecto, el concepto de espacio tridimensional resulta tan abstracto que un niño no tiene una comprensión innata de conceptos tales como profundidad o volumen. Incluso después de haber aprendido a pensar en tres dimensiones, resulta necesario aprender a aplicar dicho conocimiento. Aprender a modelar objetos en el espacio tridimensional constituye un aspecto básico del aprendizaje artístico, hasta tal punto que a menudo olvidamos que los principios que subyacen en dicha clase de representaciones no siempre fue algo conocido. Tenemos dos ilustraciones, la primera de ellas fue creada por el artista florentino Cimabue hacia el año 1280. La segunda corresponde a una pintura realizada unos 30 años más tarde por el artista Giotto. Como cabe observar, Cimabue estaba interesado en las representaciones tridimensionales, pero Cimabue no lograba una representación realista. Giotto nos da una solución más clara, proporcionando al espectador un punto de vista privilegiado.

Ilustración 3. Madonna de Cimabue

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Ilustración 4. Madonna de Giotto

La Madonna de Giorgione (en la siguiente página) parece ser más pequeña que las figuras que están delante del trono. Se trata de un principio totalmente contrario al canon que regía en la Edad Media, cuando la figura más importante del cuadro aparecía representada con el menor tamaño. El espectador contemporáneo comprende que la Madonna sólo parece ser más pequeña precisamente porque está muy lejos del observador.

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Ilustración 5. Madonna de Giorgione

La solidez tridimensional del trono destaca claramente en relación con la visión panorámica y natural del fondo. El artista ha descubierto algunas de las sutilezas que implica la representación de los objetos en el espacio tridimensional. Así, por ejemplo, hay un efecto de niebla en el lejano paisaje que contribuye sobremanera a resaltar la sensación de profundidad. El detalle está más cuidado en las figuras que aparecen en primer plano que las que están en el fondo. Los objetos lejanos tienen un color más desleído. Hay una atención clara hacia el tamaño relativo de los objetos. Por ejemplo, apenas sí se distingue la silueta de dos personajes que aparecen en la distancia, situados a la derecha del trono. Sabemos que está muy lejos debido a su tamaño diminuto en comparación con las figuras colocadas en primer plano.

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4. LA IMITACIÓN DE LA PERSPECTIVA NATURAL El artista del Renacimiento descubrió como imitar lo que actualmente se denomina perspectiva natural. El mundo siempre se contempla desde un determinado punto de vista, el punto de vista en que está situado el ojo. Obsérvese que las líneas convergen a medida que se produce un desplazamiento desde el marco de la imagen hacia un punto de fuga.

Ilustración 6. Ilusión de profundidad

Contemplada desde el punto de vista del ojo, una escena con perspectiva natural presenta el aspecto Todas las líneas que aparecen en la imagen convergen en un punto de fuga situado en la distancia. De esta manera el ojo resulta “engañado”, creando una situación de profundidad en donde no la hay. Giorgione conoce la fórmula para organizar la figura ante el ojo del espectador. Imaginemos que tenemos el trabajo de Giorgione ante nosotros y que el espectador sigue con la vista las líneas verticales del suelo. Así, nuestro hombre continúa recorriendo el trazado de las líneas hasta llegar a la figura de la Madonna. La línea del horizonte está situada en un punto bastante elevado, de forma tal que las líneas deberían dirigirse hacia un punto de fuga situado detrás del trono, en las colinas que aparecen en el fondo. Al colocar la Madonna justo sobre la trayectoria del punto de fuga, Giorgione está utilizando la perspectiva para alinear el mundo natural con el mundo espiritual representado con la Madonna.

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Ilustración 7. Perspectiva en la Madonna de Giorgione

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5. LAS COORDENADAS CARTESIANAS La leyenda dice que el filósofo y matemático francés del siglo XVII, René Descartes, yacía en su lecho cuando una mosca entró en su habitación y empezó a revolotear en el techo. Entonces, el matemático concibió el sistema de coordenadas que actualmente lleva su nombre, si bien ha sido modificado con las formas latinas. Descartes pensó que la posición de la mosca en cualquier punto del espacio podía describirse utilizando tres números, cada uno de los cuales serviría para representar la posición del insecto relativa a un punto preestablecido. Más adelante, desarrolló la misma idea incluyendo la noción de punto bidimensional en una superficie plana, cuya posición sólo tendría que ser descrita por dos números. Dicha idea fue publicada en el extenso apéndice de un volumen publicado por Descartes en 1637. A pesar de que este importante concepto no despertó interés en aquel momento, el método cartesiano para representar los puntos en un plano y en el espacio mediante la utilización de coordenadas numéricas dio lugar a la aparición de una nueva rama de las matemáticas, en donde se combinan la geometría y el álgebra. Esta fusión se conoce como geometría analítica. En geometría, una línea (concepto teórico que no necesariamente tiene que tener una correspondencia con el mundo “real”) consiste en una serie infinita de puntos. Además entre dos puntos hay un número infinito de puntos, por lo que cabe concluir que la línea es infinitamente divisible. No importa cuántas veces la haya cortado, lo cierto es que siempre podrá cortarla en trozos cada vez más pequeños. Los números reales en términos generales son números que incluyen valores fraccionados, o en otras palabras, números con punto decimal. Existe un número infinito de números reales, tanto positivos como negativos, y entre dos de ellos, un número infinito de números reales. El sistema de números reales es, al igual que la línea, infinitamente divisible. Por esta razón, si tenemos una línea infinitamente larga (esto es posible de acuerdo con las reglas de la geometría), cabe encontrar un punto correspondiente a cada uno de los números reales. Aunque en la práctica no resulta posible obtener una línea infinitivamente larga o infinitamente divisible, por ello se realiza una aproximación con divisiones de longitudes iguales. Tradicionalmente, el valor de los números de dichas líneas se incrementa hacia la derecha y disminuye hacia la izquierda. Sólo cabe en la imaginación una línea numérica capaz de extenderse teóricamente a una distancia

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infinita en los sentidos positivo y negativo, ya que todo el papel resulta insuficiente para representarla. En todo caso, no tendría por qué haber problemas para localizar los puntos correspondientes. En una línea perfecta y teórica, existe un punto para cada número real. El ingenio de Descartes sirvió para establecer una correspondencia entre los puntos de una línea y los números utilizados por los matemáticos para traducir conceptos geométricos; en otras palabras, aquellos relacionados con puntos, líneas, planos, espacio tridimensional, etc. en términos geométricos. En una línea numérica vertical, los valores aumentan a medida que se asciende y disminuyen a medida que se desciende La intersección de las líneas se produce en el punto 0 de cada una y el conjunto que estas forman es lo que se conoce como plano cartesiano. Como se puede observar, a cada número real le corresponde un punto en ambas líneas y, de la misma manera, a cada par de números reales le corresponde un punto en el plano rectangular sobre el cual se encuentran trazadas las líneas. Un par numérico correspondiente a un punto en un plano cartesiano es denominado par de coordenadas, o simplemente, coordenadas. La utilización de pares de coordenadas permitió a Descartes realizar una descripción numérica precisa de todos aquellos conceptos geométricos que hasta el momento resultaban vagos y confusos. No sólo cabe describir un punto con un par de coordenadas, sino que, además resulta posible describir una línea utilizando dos pares de coordenadas que servirán para representar los extremos de la línea. Asimismo, se pueden describir numéricamente otro tipo de formas. Las dos líneas numéricas utilizadas para establecer la posición de los puntos en un plano se denominan ejes. Por razones históricas, los pares de coordenadas suelen representarse mediante las variables x e y. Por este motivo, las coordenadas se conocen como coordenadas x e y. La similitud entre la pantalla del ordenador y el plano cartesiano reside en el hecho de que cabe especificar la posición de cualquier punto de la pantalla mediante la utilización de un par de coordenadas. De hecho, se trata del método más habitual para especificar las localizaciones de los pixels. Existen multitud de dispositivos: monitores, impresoras, plotters, etc, cada uno con sus propias características y capacidades. Por si fuera poco, nos encontramos con que también existen diferencias entre ellos mismos; así, nos encontramos con tarjetas

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gráficas VGA, SVGA..., con impresoras de distinta resolución, plotters con más o menos puntos por pulgada, etc. Todo esto hace que, en principio, el software tenga que estar adaptado a las resoluciones de cada uno. Esto es debido a que trabajamos con las COORDENADAS ESPECIFICAS del aparato. Por ejemplo, si trabajamos con un sistema antiguo CGA, las coordenadas tendrán que darse referidas a un origen situado en la esquina superior izquierda, y con unas dimensiones máximas de 320 x 200 puntos. Si corriésemos ese programa con una SVGA en el modo 1024 x 768 puntos, el dibujo saldría más pequeño, pues el programa piensa que tiene simplemente 320 x 200. Además, al ser distinta la relación entre coordenadas X e Y, las figuras saldrían deformadas. El

problema

se

resuelve

usando

un

sistema

de

COORDENADAS

UNIVERSALES y VISUALES, de modo que el programa trabaja siempre en un modo fijo, y luego estas coordenadas son traducidas a las específicas del dispositivo justo antes de ser enviadas. Las coordenadas universales se usan para definir cada uno de los objetos en la base de datos. Cada uno se define con el origen de coordenadas en su centro. No existe un límite máximo en ningún eje, sino que los objetos pueden ser tan grandes como necesitemos. A continuación se realiza la conversión a coordenadas visuales. En ellas, el origen se encuentra, bien en el ojo del observador, bien en el centro del dispositivo de representación. Aquí lo que se hace es modificar las coordenadas de cada objeto mediante fórmulas de rotación y traslación para situarlos en el sitio y en la posición del espacio que le corresponde a cada uno. Al igual que antes, no existe límite en el valor de estas coordenadas. No olvidemos que trabajamos con todo el espacio. Por último, llega el momento de convertir las coordenadas visuales en coordenadas específicas. Para ello, necesitaremos tomar un par de dimensiones proporcionales al dispositivo. Para hacer esto, hay que tener en cuenta la relación de aspecto. Veámoslo con detalle: Cuando trabajamos con cualquier ordenador, la relación de dimensiones X e Y del tubo catódico es la misma, 3/4 (igual que los televisores normales). Esto hay que tenerlo en cuenta a la hora de definir la relación de coordenadas universales. Aunque resulta posible orientar los ejes cartesianos de cualquier manera en la pantalla (o incluso fuera de la misma), lo más común es considerar la línea de pixels

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situada en la parte superior de la pantalla como el eje de las x, mientras que la línea de pixels que baja por el extremo izquierdo corresponde al eje de las y. De esta manera, el píxel situado en la esquina superior izquierda correspondería a las coordenadas (0,0) y constituiría el origen del sistema. Como se puede observar, en programación se ha establecido que el eje de las y de la pantalla del ordenador debe crecer en sentido inverso al del eje y estándar del sistema cartesiano. Probablemente, se debe a que corresponde al sentido en que las direcciones de los pixels aumentan de valor en la RAM de video. Esta orientación de los ejes contribuye a simplificar la tarea de calcular las direcciones de la RAM de video de un píxel en un determinado par de coordenadas. En los gráficos tridimensionales hace falta introducir una tercera coordenada que represente la tercera dimensión. Para ajustarse a las convenciones empleadas en los gráficos cartesianos tridimensionales, se llamará a esta tercera coordenada la coordenada z. El eje de las z será perpendicular al eje de las x (correspondiente a la anchura), así como al eje de las y (correspondiente a la altura), transcurriendo del interior al exterior de la pantalla.

5.1. La Profundidad, añadiendo la tercera dimensión En los gráficos de ordenador, la tercera dimensión siempre aporta la profundidad. En otras palabras, se trata de la dimensión que discurre perpendicular al plano de la pantalla, aún cuando ésta sea totalmente plana. El objetivo de los gráficos tridimensionales es proyectar un mundo tridimensional en una pantalla bidimensional, de tal manera que el observador siempre tenga la sensación de que existe una tercera dimensión.

15 Ilustración 8. Ojo respecto a pantalla con coordenadas

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En figura de la anterior página vemos representada la proyección del punto P, de coordenadas Y y Z (la X sería perpendicular al gráfico, así que no la representamos). El punto O es donde está situado el ojo del observador, y la línea vertical del medio es la pantalla. El punto, por tanto, se encontraría en el interior del monitor. Vemos que, al unir O con P, la línea corta a la pantalla en el punto P', que será la proyección de P sobre la pantalla. Vemos que tenemos unas coordenadas Z, Z', Y e Y', y dos triángulos equivalentes. Z' es la distancia del observador a la pantalla, así que la llamaremos D. De este modo, para hallar la coordenada Y', que sería la coordenada Y de la pantalla, bastará que usemos un poco de trigonometría, y tendremos que:

Luego, tenemos que:

Lo mismo que decimos para la Y se debe aplicar para la X. La ecuación de arriba presupone que la coordenada (0,0) se halla en la mitad de la pantalla, cosa que no suele ser así; por tanto, si dx es la dimensión de la pantalla en horizontal (en pixels) y dy la correspondiente para la vertical:

dx y dy se refieren a las dimensiones X e Y de la pantalla virtual en relación de aspecto del dispositivo de salida. 16

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Para desplazar el origen hasta la pantalla y evitarnos errores, se usan las ecuaciones:

Además de proyectar una figura en pantalla, necesitaremos desplazarla. Para ello, basta con sumar o restar a las coordenadas originales del objeto una cantidad -dx, dy, dz-que correspondan a la longitud del desplazamiento respecto del origen de coordenadas, y proyectar el objeto sobre las nuevas coordenadas así obtenidas.

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6. PROYECCIONES ESPECIALES Las clases de proyección más utilizadas en el dibujo industrial son las proyecciones axonométricas. Estas son proyecciones paralelas en las que la dirección de proyección es perpendicular al plano de visualización. Podemos modificar la dirección de una proyección axonométrica para obtener una vista diferente del objeto, siempre que el plano de visualización siga siendo perpendicular a la nueva dirección de proyección. Supongamos que estamos mirando a un cubo cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Podemos empezar con una vista perpendicular a una de las caras del cubo, de tal forma que el cubo parezca un cuadrado. Si desplazamos la dirección de proyección ligeramente hacia un lado, entonces una de las caras laterales de cubo se hará visible, mientras que los lados de la cara frontal se acortan. Si elevamos el ángulo de visión, los lados de la cara superior se alargan mientras que las aristas de las caras laterales se acortan. Existe una dirección de proyección en particular en la que todas las aristas aparecen afectadas por el mismo factor de escala. Esta dirección especial recibe el nombre de proyección isométrica. Una proyección isométrica de un cubo mostrará una esquina del cubo en el medio de la imagen rodeada por tres caras idénticas. Si escogemos una transformación en la que sólo los lados paralelos a dos de los ejes de coordenadas se ven afectados por el mismo cambio de escala, entonces la proyección recibe el nombre de dimétrica. Una proyección trimétrica es aquella en la todos los lados se ven afectados por diferentes factores de escala.

Ilustración 9. Proyección Isométrica

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Ilustración 10. Proyección dimétrica

Ilustración 11. Proyección trimétrica

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Si la dirección de una proyección paralela no es perpendicular al plano de visualización tenemos lo que se denomina proyección oblicua. Veremos dos casos especiales de proyecciones oblicuas, la proyección caballera y la proyección de gabinete. Supongamos que estamos observando un objeto cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas. El plano de visualización será paralelo a la cara frontal (paralelo al plano xy). Para la perspectiva caballera, la dirección de proyección está inclinada de tal forma que los puntos con coordenadas z positivas son proyectados abajo y a la izquierda en el plano de visualización. Los puntos con coordenadas z negativas serán proyectados arriba a la derecha. El ángulo del eje z proyectado puede ser el que queramos, pero la distancia a la que el punto está situado en la dirección z proyectada debe ser igual a la distancia real del punto al plano de visualización. Sin embargo, el resultado es un objeto que parece alargarse a lo largo del eje z.

Ilustración 12. Proyección caballera

Una alternativa, que sigue siendo fácil de construir, es llevar sólo la mitad de la distancia real sobre el eje z proyectado. Esta es la llamada proyección de gabinete.

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6.1. PERSPECTIVA TRADICIONAL Actualmente se utilizan muchos y diversos métodos empíricos mecánicos y constructivos para crear imágenes en perspectiva. Estos métodos emplean unos pasos y procedimientos muy específicos para construir una perspectiva a mano. Por suerte el software 3D realiza todo esto con el punto de vista de una cámara que podremos situar en la escena a nuestro antojo. Estas cámaras proporcionan una exactitud que muchos delineantes son incapaces de conseguir. Los siguientes puntos hacen referencia a términos de perspectiva que los artistas 3D utilizan en sus composiciones. La teoría tradicional de la perspectiva sitúa al observador en un punto estacionario y que mira a otro punto en la distancia denominado centro de visión. Esto es equivalente al emplazamiento de una cámara y del target (punto hacia el que se dirige la cámara) es una escena 3D. La línea que une nuestro ojo y el centro de visión normalmente se denomina línea de visión. El software 3D une automáticamente la cámara con el target. Este vector nos indica lo que nuestro ojo es capaz de llegar a ver: si un objeto bloquea esta línea no seremos capaces de ver a través de él. Una técnica útil es la de utilizar esta línea de visión como referencia cuando se observa la escena desde una situación superior al target y a la cámara. Se pueden trazar líneas desde el punto del observador a cualquiera de los objetos de la escena; estas líneas se proyectan sobre un plano teórico suspendido entre el observador y la escena y que es determinado por el plano de ésta. Para un artista sería equivalente a un lienzo sobre el que dibujar. Para un programa 3D es el encuadre del fotograma final y es lo que la cámara ve. El plano sobre el que está el observador se denomina plano de tierra, el suelo o la superficie sobre la que la mayoría de los objetos de la escena descansan. El plano de tierra se extiende en profundidad hasta la altura de la visión, esto es, hasta la altura del horizonte. La altura del punto de visión, o posición de la cámara, es también la altura del horizonte de la escena. Todas las líneas contenidas en planos paralelos al de tierra convergen en puntos situados en el horizonte. Se puede pensar en el horizonte como un plano infinito que ese extiende en la distancia manteniendo siempre la altura respecto del plano de tierra. A medida que los objetos se alejan en la distancia, parecen estar cada vez más cercanos a reposar sobre el horizonte.

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El horizonte es importante porque todas las líneas horizontales (líneas que están sobre planos paralelos al de tierra) visualmente convergen en puntos de fuga situados en él. Líneas situadas en planos por debajo del punto de vista convergen hacia arriba hasta la línea del horizonte, mientras que líneas sobre el punto de vista convergen hacia abajo. Líneas que están directamente a nivel del punto vista coinciden con el horizonte y se visualizan como una sola línea.

6.2. PERSPECTIVA CON UN PUNTO DE FUGA O CÓNICA El mundo en el que vivimos está basado primordialmente en ángulos rectos. La perspectiva tiene su mayor efecto en líneas paralelas y en este tipo de ángulos; por ello, es bastante común hablar de perspectiva en relación con un simple cubo.

Ilustración 13. Perspectiva cónica

Cuando observamos el cubo de forma paralela a una de sus caras, sólo las líneas perpendiculares a nosotros convergen en el horizonte. El punto de fuga reposa en esta línea y coincide con el centro de visión. Las otras aristas del cubo tienen puntos de fuga a una distancia infinita a cada lado (es decir, no existe punto de fuga). Estas líneas no convergen y son paralelas al observador y a su horizonte.

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6.3. PERSPECTIVA CON DOS PUNTOS DE FUGA O CABALLERA Si no estamos en un plano paralelo al cubo, existirá un punto de fuga para cada una de las dos caras visibles. Éstos se sitúan fuera del ángulo de visión, en la línea del horizonte, a izquierda y a derecha... Mientras que la perspectiva cónica debe ser paralela a una de las caras del cubo, la perspectiva caballera puede situarse desde cualquier ángulo del mismo plano que la anterior. Se ha de tener en cuenta que hay que mantener la línea de visión para cerciorarse que las líneas verticales siguen siéndolo, para ello la cámara y el target deben estar nivelados con el plano de tierra. Como estos planos verticales permanecen constantes, es muy fácil para los delineantes determinar distancias utilizando la perspectiva caballera.

Ilustración 14. Perspectiva caballera

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6.4. PERSPECTIVA CON TRES PUNTOS DE FUGA O ISOMÉTRICA Si no observamos el cubo a nivel de la línea de visión, es decir, que lo vemos desde arriba o desde abajo, las líneas verticales poseen también su punto de fuga. Los tres planos del cubo ahora poseen tres puntos de fuga. Las aristas verticales del cubo ahora convergen a un punto de fuga situado en una línea también vertical que parte del centro de visión. Si observamos desde arriba a un punto por debajo del horizonte, las aristas verticales del cubo convergen hacia abajo. Estas aristas convergerán hacia arriba si observamos por debajo del horizonte. Si nos situamos a nivel del horizonte tendremos una perspectiva caballera. Todas las líneas tienen puntos de fuga; el cubo tiene tres, uno por cada grupo de caras paralelas. En un a escena por construir pueden haber cientos de estos grupos. Los delineantes se suelen centrar en los tres planos básicos y realizar aproximaciones al resto. Se pueden determinar cada uno de estos puntos de fuga: cada línea paralela al plano de tierra, o que descansa sobre el suelo, tiene su punto de fuga en el horizonte. Como podemos apreciar la perspectiva isométrica puede resultar bastante compleja, por lo que muchos artistas prefieren evitarla. Esta complicación no resulta tal para un software 3D.

Ilustración 15. Perspectivva isométrica

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7. EL PROCESO DE CREACIÓN DE UNA IMAGEN TRIDIMENSIONAL POR ORDENADOR Las nuevas herramientas de diseño gráfico por ordenador en 3D liberan al artista permitiendo que se concentre en la creación de imágenes tridimensionales en lugar de tener que pensar en perspectivas y demás aspectos términos. Las cuatro etapas del proceso creativo son: •

Paso 1: Planificación del proyecto. Al planear y visualizar la escena el artista realiza un boceto en papel.

•

Paso 2: Modelado. El artista crea una versión generada por ordenador del boceto utilizando las herramientas de modelado. Posteriormente, se configuran los parámetros mediante los cuales se controla el color, los sombreados y otros atributos de la superficie en cuestión.

•

Paso 3: Puesta en escena. En esta etapa se colocan los diversos objetos en un “escenario”. Asimismo, se procede a crear un punto de vista colocando una cámara en la escena. Se añade iluminación para conseguir un efecto real.

•

Paso 4: Rendering. Finalmente, la escena se renderiza. Se trata de un proceso que convierte los datos tridimensionales generados durante las etapas previas en una imagen que el artista puede guardar en disco como cualquier imagen generada por ordenador o bien, cabe la posibilidad de generar un video o una película configurando una serie de fotogramas.

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7.1. EL PROCESO DE MODELADO Se trata del proceso de creación de la estructura geométrica de los objetos en la memoria del ordenador y la subsiguiente construcción de superficies. El ordenador se encarga de realizar las representaciones tridimensionales. En un principio, los artistas tenían que dibujar literalmente todos y cada uno de los segmentos lineales para definir un objeto en la pantalla. Actualmente, se utilizan una serie de técnicas de modelado para generar objetos tridimensionales de forma automática con software especializado.

7.2. EL PROCESO DE LA EXTRUSIÓN PARA GENERAR FORMAS TRIDIMENSIONALES Uno de los métodos más comunes para generar objetos tridimensionales consiste en dibujar el perfil de un objeto determinado en pantalla y proceder a extrudirlo. La extrusión utiliza la capacidad de procesamiento de la información que brinda el ordenador para transformar objetos. De esta forma, un cuadro bidimensional se convierte mediante extrusión en una caja tridimensional. El perfil de una copa de vino gira sobre su eje para convertirse en una copa de vino tridimensional. Un círculo hueco se convierte en un cilindro con remate a ambos lados. Un cuadrado vacío se convierte en una caja.

Ilustración 16. Extrusión

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7.3. EL MODELADO DE SECCIONES CRUZADAS Existe otra técnica de modelado que consiste en dividir un objeto en secciones bidimensionales cruzadas sobre las que se dibujan una superficie, como ocurre en la realidad en la pantalla de una lámpara. La forma del objeto puede modificarse cambiando la forma y el tamaño de las porciones individuales que definen las secciones cruzadas que conforman el objeto. Posteriormente, el programa interpola la superficie que debe dibujarse sobre las porciones individuales.

7.4. LA INCORPORACIÓN DE SUPERFICIES A LOS OBJETOS Los objetos tridimensionales tienen superficies que están compuestas por triángulos o polígonos. Se trata de una serie de segmentos lineales que presentan un aspecto semejante al de una jaula de alambres y que constituye el modo de visualización por defecto (modelo de alambre) en la mayor parte de los sistemas de creación de modelados. Existen tres formas básicas de añadir superficies a los modelos de alambre tridimensionales: aplicando una capa de pixels sobre la capa del objeto utilizando un mapa de referencia, aplicando a la superficie en cuestión un patrón generado matemáticamente y modelando el efecto de la luz sobre la superficie.

7.5. EL MAPEO DE IMÁGENES La superficie de un objeto puede asignarse a una textura derivada de una imagen bidimensional. La imagen se crea en un programa para pintar o bien, se obtiene desde un escáner o incluso puede tratarse de un fotograma de vídeo capturado con una cámara o un reproductor de vídeo. El mapeo de imágenes constituye un proceso similar a envolver una caja de color blanco con papel de regalo. El programa de tratamiento tridimensional coloca una capa de pixels sobre el objeto proyectando automáticamente la imagen de referencia sobre un objeto tridimensional.

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Ilustración 17. Mapeo de textura

7.6. EL SOMBREADO DE OBJETOS El sombreado constituye otro método para definir la manera en que aparecerá la imagen final. Se procede a asignar un color al objeto en cuestión y el programa determina la manera en que se generará la sombra en dicho objeto basándose en la forma en que la luz se proyecta sobre la superficie del objeto. Existen cuatro clases principales de sombreado: de modelo de alambre, plano, Gouraud, Phong. En la imagen siguiente hay un ejemplo de cada tipo. Hay una única fuente de iluminación que alumbra cada una de las escenas. Se puede observar el reflejo de luz en tres de las cuatro esferas.

Ilustración 18. Sombras en esferas

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7.6.1. Sombreado de punto de alambre En el sombreado de modelo de alambre sólo se renderizan los bordes del polígono. Cuando se empezaron a utilizar ordenadores para mostrar imágenes en tres dimensiones la representación de los objetos se hacía con modelos de alambre.

7.6.2. El sombreado plano En el sombreado plano se utiliza un único nivel de iluminación para un polígono dado. En la esfera que tiene sombreado plano se puede ver la forma de los polígonos que configuran la superficie de dicha esfera. La esfera no presenta un aspecto uniforme debido a que los polígonos que la conforman tienen tonalidades diferentes. El sombreado plano no resulta demasiado natural, pero, en contrapartida los objetos pueden renderizarse rápidamente.

7.6.3. El sombreado de Gouraud Se trata de la forma más simple de sombreado uniforme, en donde la intensidad de la luz aplicada es un valor promedio para todo el polígono, normalmente a partir de valores medidos en los vértices del mismo. En la esfera que tiene sombreado Gouraud se observa el contorno desdibujado de los polígonos en donde incide la luz, si bien la esfera nos da una impresión mucho más uniforme que la obtenida en la esfera renderizada con sombreado plano. El sombreado de Gouraud trata de tomar las intensidades correspondientes a cada uno de los vértices de la figura, y realizar un promedio de ellos para cada uno de los puntos de la figura.

7.6.4. El sombreado Phong La esfera con sombreado Phong refleja la luz de forma mucho más real. En esta clase de sombreado, cada píxel de la superficie del objeto es calculado en relación con la fuente de iluminación. El número de cálculos que resulta preciso efectuar en un objeto con sombreado Phong es mucho mayor que el que hay que hacer en objetos con sombreado Gouraud, sombreado plano o modelo de alambre. El número de operaciones matemáticas se multiplica exponencialmente a medida que se incrementa la resolución espacial de la imagen. Como regla general en el terreno de la generación de imágenes tridimensionales por ordenador, cuanto más realista sea la escena final, mayor será el

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tiempo de renderización para crear dicha escena. En este sentido, corresponde al usuario escoger qué clase de sombreado resulta más apropiado en cada caso.

Ilustración 19. Sombreado de Gouraud

Ilustración 20. Sombreado de Phong

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7.7. PROFUNDIDAD EN IMÁGENES 3D Los pintores renacentistas eran capaces de realizar imágenes con la perspectiva correcta, esto es, la perspectiva real, aunque a veces la exageraban un poco para cumplir a ciertos intereses estéticos. Aquí tenemos un ejemplo de Caravaggio, en el que se aplica la técnica del escorzo.

Ilustración 21. La cena de Emmaus

El escorzo es una representación de un objeto o personaje en sentido perpendicular u oblicuo con relación al plano del cuadro que contiene la imagen por medio de la perspectiva, de tal manera que resulte más estrecho y de color menos intenso cuanto más se distancie del espectador. Da sensación de profundidad y tridimensionalidad.

Las principales técnicas utilizadas, además de los puntos de fuga, para simular la profundidad en imágenes en 3D son la elevación, el brillo y el color, el detalle en primer plano y en el fondo de la escena, el tamaño relativo de los objetos conocidos, el contorno y la visión binocular. De todos ellos hablaremos a continuación, haciendo énfasis en sus características y poniendo ejemplos.

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7.7.1. EL SOMBREADO

La técnica de sombreado consiste en definir la forma en que los colores de los objetos interactúan con la luz existente en la escena. La zona del objeto más brillante representa la zona donde la luz incide directamente. Si el objeto se distancia de la luz o la superficie no está directamente expuesta a la luz, entonces se vuelve más oscuro. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en la siguiente imagen.

Ilustración 22. Ejemplo de sombreado

El sombreado nos aporta una sensación del volumen y del tacto de los objetos de la escena, aportando realismo.

7.7.2. LA ELEVACIÓN Y LA ALTURA RELATIVA

Esta técnica se basa en la sensación que nos aporta el que un objeto sea observado desde un punto de vista superior al objeto o no. En caso de que estemos mirando el objeto desde arriba, este nos parecerá más pequeño que si lo miramos desde su misma horizontal, o desde abajo. No hay que confundir esto con otra técnica utilizada que es la altura relativa, la cual consiste en que cuanto más alto estén situados los objetos en el

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plano horizontal (cuanto más cerca estén de la línea del horizonte), más lejanos parecen. Ejemplo:

Ilustración 23. Ejemplo altura relativa

Ahora veremos un ejemplo de elevación, para diferenciarlo de la altura relativa, y ver su efecto óptico.

Ilustración 24. Figura vista desde abajo, parece más grande

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Ilustración 25. Figura vista desde arriba, parece más pequeña

7.7.3. SOLAPAMIENTO

Esta técnica consiste en la superposición de unos objetos sobre otros. Los objetos más cercanos al observador ocultarán aquellos que se situan en su misma línea de visión y que están más lejanos que estos. Para el ejemplo hemos utilizado dos figuras bidimensionales, un cuadrado y un círculo. En la primera imagen podemos ver que ambas figuras se situan a la misma profundidad sobre el plano, no ofreciendo ninguna información tridimensional de profundidad.

Ilustración 26. Círculo y cuadrado como elementos bidimensionales

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Si movemos el círculo sobre el cuadrado se aprecia una sensación de profundidad, aunque se puede considerar ambigua, puesto que no se puede saber si es el cuadrado el que está más cerca, o, por el contrario, es el círculo.

Ilustración 27. Círculo y cuadrado con sensación de profundidad

Si consideramos la superficie de ambas figuras y superponemos completamente el círculo al cuadrado, entonces se elimina esa ambigüedad y conseguimos que se realce la sensación de profundidad, teniendo el círculo más cercano al observador que el cuadrado.

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Ilustración 28. Figura circular superpuesta totalmente a la figura cuadrangular

7.7.4. EL BRILLO Y EL COLOR

En la simulación 3D, se utiliza el brillo y el color para, de alguna manera, ubicar los objetos unos respecto a otros, y todos respecto a la luz de la escena (bien sea uno o varios focos). De esta forma se puede considerar que los objetos más brillantes son los que más cerca se encuentran de los focos de luz, así mismo, el color también es más vivo cuando la luz incide más sobre el objeto. Por lo tanto los objetos menos brillantes, y con menos intensidad de color se situarán en un plano más lejano de los focos de luz. Muchas veces la luz suele coincidir con el observador o un punto cercano a él. De esta forma, los objetos más brillantes y con colores más intensos serán los más cercanos al observador. A continuación veremos un ejemplo de los efectos del brillo y el color en las imágenes 3D.

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Ilustración 29. Objetos 3D brillo y color

7.7.5. LAS SOMBRAS

Las sombras es una de las técnicas más utilizadas para dar sensación de profundidad en imágenes 3D. Muchas de las aplicaciones utilizadas para el tratamiento de la luz dan al usuario la posibilidad de modelar estas sombras, permitiendo modificar su forma, intensidad, color, granularidad, ... A continuación se muestran algunos ejemplos de trabajos con sombras. También se puede apreciar en la anterior Ilustración 29 el uso de las sombras.

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Ilustración 30. Habitación con sombras y luz proveniente de la ventana

Ilustración 31. Monstruo y esfera. Uso de sombras y brillos

Las sombras van a proporcionar realismo a las escenas, haciendo de nuestras imágenes 3D algo más verdadero y palpable.

7.7.6. EL DETALLE

A medida que nos acercamos a los objetos, el nivel de detalle de los mismos se va incrementando, hasta el punto de alcanzar su mayor nivel en los objetos que el observador puede alcanzar. Esta es una técnica que enfatiza la profundidad en las

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escenas 3D, y junto a otras técnicas vistas anteriormente, hacen que las imágenes cobren un mayor realismo. Un ejemplo del uso del detalle en imágenes 3D puede ser el siguiente, en el que vemos cómo a medida que nos vamos alejando del observador, los objetos van perdiendo detalle en sus contornos, formas y colores. Así pues, el coche azul tiene un gran nivel de detalle, el coche amarillo, algo menos, aunque todavía bastante, puesto que se trata de un objeto cercano y que además forma parte significativa de la escena. Sin embargo, podemos ver cómo los edificios y las montañas han perdido mucho nivel de detalle (así como color y brillo) puesto que se encuentran en planos muy alejados del observador.

Ilustración 32. El detalle en las escenas 3D

Para optimizar el uso de esta técnica, conviene desdibujar el contorno de los objetos distantes desde el primer momento, reduciendo mucho el tiempo empleado en construir y renderizar toda la escena. Para conseguir esta falta de detalle, muchas aplicaciones de diseño gráfico proporcionan filtros capaces de desdibujar contornos y reducir el nivel de detalle.

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7.7.7. LA VISIÓN BINOCULAR: ESTEREOSCOPÍA

La estereoscópica también llamada visión en tres dimensiones, o visión en relieve, resulta de la capacidad del sistema visual de dar aspecto tridimensional a los objetos a partir de las imágenes en dos dimensiones obtenidas en cada una de las retinas de los ojos. Estas imágenes son procesadas y comparadas por el cerebro, el cual acaba creando una sensación espacial. Por lo que si tomamos o creamos dos imágenes con un ángulo ligeramente distinto y se las mostramos a cada ojo por separado, el cerebro podrá reconstruir la distancia y por lo tanto la sensación de profundidad. De aquí se extrae la conclusión de que las variaciones horizontales que hacen que las imágenes tengan angulación ligeramente diferentes pueden ser interpretadas por nuestro cerebro como una realidad con volumen. Un ejemplo gráfico de la explicación de esta técnica sería el siguiente:

Ilustración 33. Estereoscopía

Este principio ha sido utilizado con mucha frecuencia para la generación de efectos tridimensionales. El método más común consiste en crear dos imágenes que están ligeramente desviadas entre sí, asignándoles diversos colores, habitualmente, rojo y verde. Cuando se contempla la escena a través de unas gafas provistas de una lente de color rojo y otra de color verde, cada ojo contempla una escena ligeramente diferente y el cerebro interpreta la imagen como si fuera tridimensional. El cerebro tiene una forma específica de crear una imágen en 3D. Para ello requiere de datos sobre la distancia de los objetos, dicha información se obtiene gracias a que tenemos dos ojos capaces de obtener una vista del mismo objeto desde ángulos distintos, dando como resultado una triangulación de la cual el cerebro obtiene la distancia al objeto. 40

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Si tomamos dos imágenes con un ángulo ligeramente distinto y se la proporcionamos a cada ojo, el cerebro podrá reconstruir la distancia y por lo tanto la sensación de profundidad. Así el secreto para obtener la ilusión de profundidad o estereoscopía, consiste en poder proporcionar una imagen distinta a cada ojo. Actualmente se han desarrollado varias técnicas para obtener 3D, además existe dos técnicas que permite simular el efecto.

Ilustración 34. Estereoscopio

Para poder ver 2 imágenes como una sóla capaz de darnos la sensación de profundidad y tridimensionalidad, necesitaríamos el estereoscopio. Sin embargo también es posible ver estas imágenes a simple vista, fijando la vista en la línea entre las dos imágenes y bizqueando de forma que lleguemos a ver 3 imágenes. La imagen que se ve en el centro, es la mezcla de la otras dos imágenes y tiene un efecto tridimensional. A continuación se proporcionará una breve descripción de cada técnica relacionada con este principio de la estereoscopía y que se han utilizado para generar este efecto de tridimensionalidad.

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7.7.7.1. Método por Anaglífo

Ilustración 35. Escena para ser vista con lentes anaglifo

Con este nombre tan aparatoso, se denomina a la técnica que utiliza filtros de colores para separar las dos imágenes. Si vemos a través de un filtro rojo, los colores verde o azul se ven como negro y si utilizamos un filtro verde, azul o cian, el rojo parece negro. Este principio nos permite mezclar dos imágenes y observarlas a través de las lentes anaglifo, que son las que utilizan 2 filtros de color, uno verde y otro rojo, uno para cada ojo, obteniendo un efecto estereoscópico. Un filtro utiliza el color rojo, y el otro depende del medio utilizado. Así pues, para impresión se acostumbra a utilizar el azul. Para proyección o para video el filtro es verde, que es mas brillante. Hay que añadir un inconveniente a esta técnica, con estos filtros, la imagen parece estar en blanco y negro. Existe otra variante que utiliza un filtro rojo y otro cian, si la imagen no esta muy saturada, se puede hacer una separación de color de la imagen, conservando el componente rojo de la imagen izquierda y los componente verde y azul de la imagen

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derecha. De esta manera se puede conservar el color de la imagen. Sin embargo la diferencia de luminosidad de las dos imágenes puede resultar muy cansada después de un tiempo. Si la imagen es demasiado saturada en color, es posible que algunos elementos no se vean en una de las imágenes, por lo que es necesario bajar la saturación de color de la imagen.

7.7.7.2. Sistema de lentes polarizados

Ilustración 36. Imagenes polarizadas

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Esta técnica funciona en base a un fenómeno de la física llamado polarización de la luz. También se utilizan filtros, al igual que la técnica anterior, pero esta vez, se aplican para permitir o denegar el paso a ondas con una determinada polaridad o dirección. La luz resultante se denomina luz polarizada. Partiendo de esto, la técnica sería similar a la anterior, se aplican dos filtros que dejan pasar la luz con una diferencia de 90 grados el uno al otro. Estos filtros nos van a generar 2 imágenes polarizadas. Si aplicamos estos filtros, uno a cada ojo, se generará el deseado efecto de tridimensionalidad. Los filtros son aún relativamente baratos, el inconvenientes es que sólo funciona con sistemas de proyección, que generalmente requiere dos proyectores o un proyector especialmente modificado, y una pantalla especial. Este método es ideal para audiencias grandes y además las representaciones se pueden ver a color. El principal inconveniente es que los filtros polarizados oscurecen la imagen por lo que se necesita proyectores muy luminosos. Existe un problema especial con los proyectores actuales de video, de cristal liquido, ya que estos polarizan la luz para funcionar, por lo que al colocar los filtros polarizadores la perdida de luminosidad es aun mayor. Otro problema es que se requiere un tipo especial de pantalla que no ropa la polarización de la luz, y este tipo de pantalla es difícil de conseguir en tamaños grandes. Cuando la producción se hace en cine, las dos imágenes son grabadas lado a lado, de manera comprimida. Se utiliza un sistema de prismas semejantes al que se utilizan en el formato cinemascope, para expandir la imagen y poderlas proyectas de manera simultanea, consiguiendo el efecto deseado.

7.7.7.3. Imagen entrelazada La técnica de imagen entrelazada utiliza una propiedad del video que se conoce como barrido o entrelazado. Cuando se inventó la televisión, se encontró que al proyectar a 30 cuadros por segundo (o 25 en pal), se percibía un parpadeo en la imagen que podía ser molesto, una alternativa hubiera sido aumentar la velocidad de los cuadros (como en las computadoras actuales), pero la cantidad de información hubiera sido excesiva para la tecnología de la época, por lo que se recurrió a otra solución, cada cuadro de video se dividió en dos imágenes, una de ellas consiste en las líneas pares y la otra en las líneas

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impares y a cada una de estas partes se le llamó campo. El resultado es que la imagen se transmite a 60 campos por segundo, lo cual logra que el parpadeo se reduzca. Esta propiedad se puede utilizar de manera que un campo tenga la imagen del ojo izquierdo y el otro campo la imagen del ojo derecho. Para esto se utilizan unos lentes especiales elaborados con cristal líquido, los cuales se cierran y se abren 60 veces por segundo, lo que hace posible bloquear un ojo si y el otro no para que cada uno vea la imagen correspondiente. Aquí vemos un ejemplo de una imagen entrelazada:

Ilustración 37. Imagen entrelazada

La ventaja de este método es que puede utilizarse en monitores convencionales de video y computadora, con muy buena calidad, la desventaja es que requiere de lentes electrónicos con un mayor costo que los lentes de filtros y generalmente se siente dicho parpadeo. Además si se utiliza un monitor convencional de video, el parpadeo puede llegar a ser muy molesto. Una solución a este problema consiste en aumentar la velocidad de barrido de 30 a 60 campos por segundo, pero entonces solo se pueden utilizar monitores de computadora que soporten esta velocidad y equipo especial que duplique la velocidad de barrido del video convencional. Una variante de esta técnica, consiste en grabar a video las dos imágenes lado a lado. De manera análoga como se hace en cine. En el momento de proyectar un equipo especial

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separa las imágenes para entrelazarlas, pero a una frecuencia mayor que la de video, con esto se elimina en mucho la vibración, pero tiene el inconveniente de que no se pueden utilizar monitores o proyectores convencionales de video.

7.7.7.4. Efecto Pulfritch Este sistema está basado en un dato fisiológico respecto al cerebro y es que este tarda un poco en procesar las imágenes. El llamado Efecto Pulfrich fue descubierto por el médico alemán Carl Pulfrich en 1922. El fenómeno es la percepción de un efecto estereoscópico cuando se observa una imagen en movimiento horizontal sobre un plano y con un filtro oscuro situado delante de uno de los ojos. Debido a la menor luminosidad que percibe el ojo con el filtro, la imagen llega al cerebro con un retardo de unas centésimas de segundo. Por tanto, en la estereopsis el cerebro percibe la misma imagen pero con una pequeña diferencia de posición horizontal, lo que genera el efecto estereoscópico.

7.8. ELIMINACIÓN DE SUPERFICIES OCULTAS Al observar una escena desde un determinado punto de vista, se supone que hay zonas de los objetos presentes en esta que no se deberían mostrar, siendo ocultados por otros objetos o por otras partes de los mismos. Para conseguir, por tanto, un mayor realismo en la escena habría que tener en cuenta qué superficies de los objetos deben permanecer ocultas al observador desde su punto de vista y cuales no. De esta forma también evitaremos ambigüedades en la escena. Para conseguir ocultar estas superficies en cada momento, existen una serie de algoritmos de líneas y superficies ocultas, que se clasifican bien en función a definiciones de objetos en forma directa o bien en función a sus imágenes proyectadas. De esta forma podemos establecer una primera clasificación con 2 grupos bien diferenciados: Un primer grupo que recoge aquellos métodos que comparan objetos y partes de los mismos para determinar qué superficies y líneas deben ser ocultas. El

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segundo grupo de esta primera clasificación engloba a aquellos algoritmos de imagenespacio en los que la visibilidad de los objetos se decide punto por punto en cada posición sobre el plano de proyección, estudiando la imagen del objeto, en lugar del propio objeto. El problema general que consiste en hacer que los objetos se vuelvan opacos en el mundo de los gráficos tridimensionales se denomina eliminación de las superficies ocultas, puesto que implica eliminar aquellas superficies del dibujo que habitualmente permanecerían ocultas. Tras dar forma al problema pasaremos a explicar los distintos algoritmos que se encargan de solucionarlo.

7.8.1. EL PROBLEMA

La semilla del problema es que el sistema de visualización de video que utilizamos normalmente es plano (en 2D), y no dispone de un eje para indicar la profundidad de los objetos en la escena. Cuando procedemos a dibujar un polígono en el sistema de visualización de video, dicha figura representa una superficie que está situada a una distancia específica del espectador, siendo representada por las coordenadas z de los vértices del polígono. Aquellos polígonos que tengan coordenadas z más largas, estarán colocados más lejos que aquellos polígonos con coordenadas z más pequeñas. En el mundo real, si un objeto que está situado más cerca se mueve delante de otro situado más lejos, este último es ocultado (total o parcialmente) por el objeto más cercano (suponiendo que el objeto más cercano sea opaco). Si bien los polígonos de nuestro mundo imaginario poseen diferentes coordenadas z, puesto que están situadas a diferentes distancias con respecto al espectador, los polígonos que se dibujan en la pantalla de visualización para representar dichos polígonos no poseen coordenadas z. En efecto, sólo difieren en las coordenadas x e y. Esto ocurre porque el sistema de visualización de video es plano. De esta manera, no hay nada que indique que un polígono que represente una figura situada más cerca ocultará necesariamente la figura de un polígono situado más lejos, puesto que el sistema de visualización de vídeo no tiene forma de saber qué polígono está más cerca y cuál está más lejos. Esta cuestión habrá de ser determinada por el programa antes de que se efectúe el dibujo (o, al menos, antes de que el dibujo se termine de realizar). Aportemos ahora posibles soluciones a este problema:

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7.8.2. MÉTODO DEL VECTOR NORMAL AL PLANO

Para conseguir ocultar zonas que no deberían verse en la escena, este método está basado en que las caras que miran hacia atrás del objeto no se pintan. Para definir la parte delantera del plano, los vértices de éste deben definirse en sentido antihorario por los motivos que veremos a continuación: Para empezar necesitamos hallar un vector perpendicular o normal al plano que defina la cara que estamos tratando. Para ello, cogemos dos segmentos consecutivos, y los multiplicamos vectorialmente, tomando sus coordenadas como coordenadas de vectores. Esto nos dará las coordenadas de un vector que cumple la condición de perpendicularidad a los dos iniciales. Debido a que el producto vectorial no es conmutativo, para que este vector apunte hacia el exterior de la figura, es necesario que los vértices de cada plano estén definidos en sentido antihorario. Por lo tanto, para definir cada plano, debemos imaginarnos la figura de tal modo que el plano que vamos a traducir a datos esté mirando hacia nosotros, y escribir entonces las coordenadas de los vértices en sentido antihorario. Una vez que tenemos las coordenadas de esos vectores normales al plano, llega el momento de aplicar el algoritmo de visibilidad. Para ello, hallaremos las coordenadas del vector que une el ojo del observador con un vértice cualquiera de la cara a testear. Una vez hecho esto, aplicamos el producto escalar de este vector y el normal a la superficie, y obtendremos un valor dependiente del ángulo que forman. A partir de este valor, si es uno, entonces el vector apunta hacia el observador, y si es cero, será normal al vector que une el vértice con el ojo del observador. De aquí deducimos que, si el valor resultante es positivo, la cara está mirando hacia la parte delantera del objeto, o sea, hacia nosotros, y entonces la pintaremos. Si el valor es negativo, la cara está mirando hacia atrás del objeto, así que no la pintaremos. Si el valor es cero, la cara es normal a nosotros, luego podríamos dejarla sin pintar, pues quedaría reducida a una simple línea.

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Ventajas e inconvenientes: Este método tiene la clara ventaja de su rapidez y su relativa simplicidad de aplicación. Es útil para usar con figuras no excesivamente complicadas, y cuando solo hay una en pantalla. Entre sus inconvenientes, el primero es que no funciona bien con figuras convexas, ya que en éstas, las superficies pueden quedar parcialmente cubiertas por otras, dejando a la vista sólo una parte de estas. Y aquí llegamos al inconveniente. Este algoritmo es imcapaz de determinar si las superficies quedan parcialmente ocultas. Sólo puede decidir si es oculta o no, esto es, si se va a ver o no. De este modo, estas superficies siempre se pintarían completas, restando credibilidad a la imagen y otorgando cierto grado de ambigüedad en muchos casos. Otro inconveniente surge cuando se tienen varios objetos en pantalla. Entonces, aunque en cada objeto se eliminen correctamente las superficies ocultas, puede ocurrir que uno se superponga sobre otro. Cuando esto ocurre, se verán los dos, uno a través del otro, como si fuesen transparentes, aunque cada uno solo tendrá las caras visibles.

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7.8.3 EL ALGORITMO DEL PINTOR

El nombre "algoritmo del pintor" se refiere a un pintor que primero dibuja los elementos lejanos de una escena y después los cubre con los más cercanos. El algoritmo del pintor ordena todos los polígonos de una escena en función de su profundidad y después los pinta en ese orden, pintando encima de las partes que no son visibles y solucionando así el problema de la visibilidad.

Ilustración 38. Primero las montañas, luego el prado y luego los árboles, en función a la distancia

Este sistema parecería resolver nuestro problema, pero hay una trampa. Si dibujamos polígonos de atrás hacia adelante, ciertamente contribuiríamos a la eliminación de superficies ocultas, pero ¿cómo se da este orden de atrás hacia adelante? Se trata de un problema que resulta más difícil de lo que cabría suponer en un primer momento. La respuesta obvia consiste en clasificar los polígonos en un orden inverso al de sus coordenadas z, utilizando un algoritmo de clasificación estándar. Esta operación se denomina clasificación de profundidades y constituye el primer paso en la implementación del algoritmo del pintor. Pero cuando se procede a clasificar los polígonos por las coordenadas z, ¿qué coordenada z hay que utilizar? Es preciso recordar que cada polígono tiene al menos tres vértices, y que cada uno de estos vértices posee su coordenada z. En la mayor parte de los casos las tres coordenadas z resultan diferentes entre sí. ¿Se debería utilizar aquella que corresponde al primer vértice del listado de vértices? O, ¿quizás resulta necesario buscar la coordenada z máxima entre todas las coordenadas z de los vértices y luego efectuar la clasificación?. En realidad, no importa qué coordenada se esté utilizando, siempre y cuando se emplee la misma para cada polígono, es decir, la elección de la coordenada no afectará al resultado final siempre que se actúe de forma consistente.

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Ventajas: La primera ventaja que tiene este método es que elimina todas las caras que no se ven, mientras que el método anterior, bajo ciertas condiciones, podía dejar caras que realmente no se verían. La segunda ventaja es que también elimina trozos de caras parcialmente ocultas por otras, con lo que arreglamos de un plumazo el principal problema del otro sistema. Por si fuera poco, el algoritmo también funciona razonablemente bien cuando hay varias figuras en pantalla solapándose. La única precaución que hay que tomar en este caso es que, al ordenar los planos del más alejado al más cercano, no debe hacerse con los de cada objeto por separado, sino que debe hacerse con todas las caras de todos los objetos en conjunto.

Inconvenientes: En las implementaciones más básicas, el algoritmo del pintor puede ser poco eficiente, ya que fuerza al sistema a renderizar cada punto de todos los polígonos visibles, incluso si estos polígonos están ocultos en la escena final. Esto implica que, en las escenas detalladas, el algoritmo del pintor puede consumir demasiados recursos.

7.8.3.1. Problema del solapamiento mutuo

Ilustración 39. Solapamiento mutuo

El algoritmo puede fallar en determinados casos. En el ejemplo, los polígonos A, B y C están superpuestos. No es posible determinar qué polígono está por encima de los otros o cuándo dos se intersectan en tres dimensiones. En este caso, los polígonos en cuestión deben ser cortados de alguna manera para permitir su ordenación. El algoritmo de Newell propuesto en 1972 da una solución para cortar dichos polígonos. También se han propuesto numerosos métodos en el campo de la geometría computacional.

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7.8.4. EL ALGORITMO Z-BUFFER

Este algoritmo es un método de los que clasificamos en el grupo imagen-espacio, en el que la visibilidad del objeto se decide punto por punto, estudiando la coordenada de profundidad del mismo. En cada posición del píxel x,y sobre el plano de visión, la superficie con la menor coordenada z en esa posición es visible. Mediante este método se obtiene solución a los problemas observados en el algoritmo del pintor. Así pues, no sólo cabe la posibilidad de que los polígonos tengan coordenadas z distintas, sino que cada punto de la superficie de un polígono puede tener una coordenada z diferente. El único sistema realmente exhaustivo para llevar a cabo una clasificación de profundidades implicaría determinar la profundidad de cada punto sobre la superficie de cada polígono en la pantalla y proceder a dibujar sólo los puntos que estén más cercanos con respecto al espectador. Pero seguramente, esto no resulta posible. Después de todo, existe un número infinito en un plano, o incluso, en una sección de un plano, y un polígono constituye una sección de un plano. No existe la forma de clasificar un número infinito de puntos y determinar cual está más cerca del espectador. Pero, por suerte, esto no es , sólo es preciso clasificar aquellos puntos que van a ser dibujados, es decir, aquellos que corresponden a los pixels situados en el puerto de visualización. Al contrario de lo que ocurre con el número de puntos de la superficie de un polígono, el número de pixels en el puerto de visualización es una magnitud finita. Si tuviésemos un sistema para registrar qué se dibuja en cada píxel del puerto de visualización, podríamos asegurarnos de que se muestran aquellos pixels que representan los puntos más cercanos con respecto al espectador. En efecto, estaríamos llevando a cabo una clasificación de profundidades separada para cada píxel en el área de la pantalla correspondiente al puerto de visualización. Esto es exactamente lo que hace el algoritmo z-buffer. Así, determina qué puntos situados sobre determinados polígonos están más cerca del espectador para cada píxel en el puerto de visualización, de manera que sólo se muestren dichos puntos. Este método requiere que el programa configure a parte una serie entera en la cual cada elemento se corresponda con un píxel en el puerto de visualización. Cada vez que un punto de la superficie de un polígono se dibuje en el puerto de visualización, la coordenada z de dicho punto es colocada en el elemento de la serie que corresponde a la

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posición del píxel en la cual se ha dibujado el punto. La siguiente vez que un píxel se ha dibujado en la misma posición, la coordenada z del punto representada por el nuevo píxel es comparada con el valor actual en la serie correspondiente en dicha posición. Si la coordenada z en el buffer es menor que la del nuevo punto, el nuevo píxel no se dibuja, ya que dicho punto estaría más lejos que el punto anterior y formaría parte de una superficie oculta. Si la coordenada z en el buffer es mayor que la del nuevo punto, entonces el nuevo píxel se dibuja sobre la anterior y la coordenada z del nuevo píxel se coloca, reemplazando al anterior.

Ilustración 40. Distintas coordenadas z para los objetos

Ilustración 41. Uso del z-buffer

La implementación de este algoritmo consume mucho tiempo y espacio, de forma que se ha optado por implementarlo en Hardware en las tarjetas gráficas para optimizar su rendimiento.El primero se utiliza para almacenar los valores de z para cada posición x,y a medida que se comparan las superficies y el segundo almacena los valores de intensidad de cada posición. Este método es fácil de implementar, pero si disponemos de un sistema cuya resolución es de 1024 x 1024 pixels se requieren más de un millón de posiciones en el buffer con profundidad. En el siguiente ejemplo se trata de explicar cómo funciona el z-buffer: 53

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Ilustración 42. Explicación z-buffer

Las profundidades vienen representadas por números de tal forma que el cero representa el punto más alejado del espectador. En el ejemplo se observa que inicialmente el zbuffer se encuentra vacío. A continuación se añade un polígono con profundidad constante 5 al z-buffer vacío. En la parte inferior se muestra el resultado de añadir un nuevo polígono con profundidades distintas en sus puntos sobre el z-buffer obtenido con anterioridad. Otro ejemplo donde se cruzan 2 objetos triangulares es el siguiente: Las profundidades de cada pixel se superponen y se pintarán los píxeles con menor valor de profundidad, como indica la figura de la parte superior derecha.

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Ilustración 43. Figuras triangulares con z-buffer

7.9. EJEMPLO DE MODELADO DE UNA IMAGEN TRIDIMENSIONAL En primer lugar se deben crear las proyecciones ortográficas de la escena a modelar:

Ilustración 44. Vista plana

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Ilustración 45. Vista frontal

Ilustración 46. Vista lateral

Ilustración 47. Proyección axonométrica

Ilustración 48. Proyección en perspectiva

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Ilustración 49. Sensación de profundidad

Ilustración 50. Vectores coloreados

Ilustración 51. Eliminación de líneas ocultas

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Ilustración 52. Eliminación de superficies ocultas

Ilustración 53. Sombreado plano de superficies con reflejo difuso

Ilustración 54. Sombreado Gouraud de superficies con reflejo difuso

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Ilustración 55. Sombreado Gouraud de superficies con reflejo especular

Ilustración 56. Sombreado Phong de superficies con reflejo especular

Ilustración 57. Curveado de superficies

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Ilustración 58. Mejora de la iluminación

Ilustración 59. Mapeo de texturas

Ilustración 60. Desplazamiento de texturas y sombras

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Ilustración 61. Mapeo de reflejos

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8. CONCLUSIONES El estudio de este tema nos ha revelado mucho sobre las bases de los gráficos en 3D, desde sus orígenes, en el Renacimiento, hasta las técnicas utilizadas en la actualidad como por ejemplo el z-buffering. Un personaje que hizo huella en la generación de imágenes tridimensionales es Descartes, mediante su propuesta del sistema de coordenadas (que es el actual). La formación de imágenes 3D parte de imágenes bidimensionales. El problema de representar en un superficie bidimensional una vista de un objeto tridimensional ya existía mucho tiempo antes de la aparición de los ordenadores. A la hora de crear imágenes tridimensionales en el ordenador hay que tener muy clara la diferencia entre coordenadas universales, visuales y especificas. Lo primero que necesitamos para realizar gráficos 3D es saber proyectar puntos tridimensionales (los del gráfico) sobre un plano (la pantalla o monitor). El proceso de modelado de imágenes tridimensionales trata, fundamentalmente, de la creación de la estructura geométrica de los objetos en la memoria del ordenador y la subsiguiente construcción de superficies. Las principales técnicas para simular imágenes tridimensionales y dotarlas de realismo son, por ejemplo, el sombreado, el mapeado de texturas, el coloreado, el uso del brillo, la elevación, el detalle, ..., y algoritmos como el del pintor, el z-buffering ..., que permiten dar una sensación de profundidad y realismo a las imágenes. El ordenador, en la actualidad, es ampliamente utilizado para la generación de imágenes en 3D, llegando a su máximo exponente en el cine y los videojuegos.

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9. BIBLIOGRAFÍA Foley, Van Dam, Feiner, Hughes (1997) Computer Graphics. Principles and practice. pp. 616, 669 y 670. Shaddock, Philip (1994)

Laboratorio de modelado en 3D. Aprenda a crear modelos tridimensionales de realismo fotográfico en su PC. pp. 37-71.

Estereoscopía, http://www.paralax.com.mx/09_video3d.html

Coordenadas universales y visuales, http://raster.cibermillennium.com/articulo/graf3d/graf3d.html

Proyección puntos en cónico, http://raster.cibermillennium.com/articulo/graf3d/graf3d.html

Apuntes gráficos, superficies ocultas, http://www.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/BackFace/BackFace.htm

Imágenes en 3 dimensiones, http://216.12.215.150/datos_web/hemeroteca/r_9/nr_133/a_1641/1641.htm

StereoWEB 3D, http://www.users.inycom.es/~agonzalez/

The Pulfrich Effect, http://www.siu.edu/~pulfrich/

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