Lbm

Sobre la ley de balance de momento en medios continuos BAMAZ 2009

1.

Presi´ on La presi´on est´a definida como la fuerza que cruza la superficie ~S = P n ˆ por unidad de ´area ~S = −

Z

Pn ˆ dA

(1)

∂w

donde P es la presi´on, n ˆ es un vector unitario ortogonal a cualquier plano, imaginario, que pueda formarse sobre un punto de la superficie del fluido. Luego, hablamos de fuerza por unidad de ´area que est´a cruzando la superficie. Nos referimos a una suma de peque˜ n´ısimos elementos de ´area que son atravesados por estas l´ıneas discretas de fuerza ~S, que no es otra cosa que una presi´on infinitesimal expandiendo cada min´ uscula secci´on de ´area. Se suma en ∂w ya que as´ı indicamos que el proceso se hace en la frontera del fluido, en la capa superficial del mismo. El signo negativo aparece porque las l´ıneas de fuerza van entrando hacia el fluido, van en sentido opuesto al que llevan las l´ıneas discretas que forman el fluido.

2.

C´ alculo de la ley de balance de momento

Utilizaremos la ecuaci´on (1) y aplicaremos el teorema de la divergencia en esta ecuaci´on para obtener una ecuaci´on de fuerza que nos proporcione una 1

visi´on m´as amplia del espacio estudiado, desde el volumen, debemos tomar uno de esos vectores ~e de flujo que consideraremos fijo en el espacio. Existen ciertas partes de un flujo que conservan una misma direcci´on y sentido en intervalos de tiempo: ~e~S = −

Z

Z

P~en ˆ dA = −

∇(P~e)dV

(2)

w

∂w

En (2) se us´o el teorema de la divergencia. Luego vemos que ~S = −

Z

∇(P )dV

(3)

w

debido a que ~e es un vector fijo en el espacio, ´este no es dependiente de ninguna de las variables que contiene el vector nabla, ∇, por ende sale de su acci´on como si fuese constante. Esto s´ı puede suceder debido a que as´ı hemos escogido nuestro vector. ∇ puede no contener todas las variables espaciales estudiadas. Luego, sabemos que en el fluido act´ ua una fuerza total debida a la presi´on y a la gravedad: Z

~ = m~g + ~S ⇒ m d~v = m~g − ∇(P )dV F dt w

(4)

El gradiente de la presi´on, ∇(P ), nos muestra la direcci´on en el espacio en donde la presi´on se est´a dando, son un conjunto de vectores con el mismo sentido y direcci´on que nos habla de una especie de conjunto de l´ıneas que hacen fuerza sobre un determinado segmento de volumen. Esta integral nos da la cantidad de l´ıneas de presi´on que atraviesa una secci´on de volumen. Las direcciones de las l´ıneas (de ese flujo que ejerce fuerza desde el exterior) no es afectada por el volumen considerado. Debido a que todas esas l´ıneas de presi´on est´an representadas en un solo conjunto, ∇(P ), que permanece constante para cada secci´on de volumen considerado, vemos que: m

Z d~v = m~g − ∇(P )dV = m~g − ∇(P )V dt w

Pero Z

m(~x, t) =

ρ(~x, t)dV w

2

(5)

m=Vρ⇒V =

m ρ

(6)

Usando (6) en (5) obtenemos que m

d~v m = m~g − ∇(P ) dt ρ

d~v = ρ~g − ∇(P ) dt donde (7) es la ley de balance de momento. ⇒ρ

3.

(7)

An´ alisis

Se le llama ley de balance de momento o balance de cantidad de movimien~ ~ = m d~v ⇒ F ~ = dP to. Proviene de la segunda ley de Newton F que implica dt dt ~ son proporcionales al cambio, con el que la suma de las fuerzas aplicadas F ~ Esta ley no s´olo se aplica a sistiempo, de la cantidad de movimiento P. temas de part´ıculas sino tambi´en a medios continuos como lo es un fluido, ~ ~ = V ρ d~v = dP en nuestro caso F . dt dt

3