Laporan Praktikum 5.docx

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI PERCOBAAN V DIFFERENSIASI NUMERIK

DISUSUN OLEH: NAMA

: KURNIA BADRAINI

NIM

: J1D113055

KELOMPOK : II (DUA) ASISTEN

: MUHAMMAD SARIF

KEMENTERIAN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA BANJARBARU 2015

LEMBAR PENGESAHAN LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI

Nama

: Kurnia Badraini

NIM

: J1D113055

Kelompok

: 2 (Dua)

Judul Percobaan

: Differensiasi Numerik

Tanggal Percobaan

: 27 April 2015

Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Program Studi

: Fisika

Asisten

: Muhammad Sarif

Nilai

Banjarbaru,

Mei 2015

Asisten,

(Muhammad Sarif)

DIFFERENSIASI NUMERIK Kurnia Badraini1, Muhammad Sarif2, Ade Agung Harnawan,S.Si,M.Sc3 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru, Indonesia [email protected], [email protected], [email protected] Abstrak Praktikum kali ini yaitu tentang differensiasi numerik bertujuan untuk mendefinisiasi numerik suatu fungsi kontinyu menggunakan metoda forward, backward dan central difference. Adapun permasalahan yang terdapat dalam percobaan kali ini adalah mendapatkan derivatif pertama dan kedua pada pada suatu data titik-titik yang diberikan dan menghitung kecepatan mobil ngerem pada beberapa selang waktu tertentu. Seiring dengan perkembangannya pemakaian komputer sebagai alat hitung dan pada banyak permasalahan differensial adalah salah satu bagian dari penyelesaian, sebagai contoh metode newton raphson memerlukan differensial sebagai pembagi nilai perbaikan errornya, sehingga metode newton raphson ini hanya bisa dilakukan bila nilai differensialnya bisa dihitung. Kata kunci: Differensial, , Forward backwand, Central difference Abstrak Practicum this time is about numerical differentiation numerical aims to mendefinisiasi a continuous function using methods forward, backward and central difference. The issues contained in this experiment is to get the first and second derivatives at the data points are awarded and calculate the speed of the car brake at some specified intervals. Along with the development of the use of computers as a tool in many issues count and differential are one part of the settlement, for example, Newton Raphson method requires the differential as a divider value error repair, so the Newton Raphson method can only be done if the differensialnya value can be calculated. Keywords: Differensial, Forward backwand, Central difference PENDAHULUAN Penyelesaian suatu persamaan diferensial adalahsuatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial dan juga memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut. Penyelesaian persamaan diferensial secara analitis, biasanya mencari penyelesaian umum yang mengandung konstanta sembarang dan kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Diferensiasi numerik sering digunakan untuk mengevaluasi suatu turunan sebuah fungsi kontinyu yang telah didiskritisasi.

Diferensiasi numerik sangat penting dalam solusi numerik baik persamaan differensial biasa maupun parsial. Dengan menggunakan metode pendekatan, tentu setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilaierror (nilai kesalahan). Dalam analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting. Karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi. Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan adalah differensial, dimana differensial ini banyak digunakan untuk keperluan perhitungan geometrik. Dan perhitungan-perhitungan yang berhubungan dengan perubahan nilai persatuan waktu atau jarak. Secara kalkulus, differensial didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak. Hampir semua fungsi kontinu dapat dihitung nilai differensialnya secara mudah, sehingga dapat dikatakan metode numerik dianggap tidak perlu digunakan untuk keperluan perhitungan differensial ini. KASUS FISIS Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan yang mengandung suatu besaran dan differensialnya, dan dituliskan dengan :

Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks. Salah satu persamaan differensial yang banyak digunakan dalam penerapannya adalah Persamaan Differensial Linier, yang dituliskan dengan:

(Anonim1, 2012). Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara analitik seperti pemakaian Transformasi Laplace, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial linier ini menjadi sulit diselesaikan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial yang sederhana berikut ini:

Persamaan diffrensial di atas tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diffrensial di atas bukanlah sesuatu yang mudah,

bahkan dapat dikatakan dengan menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan penyelesaian. Sehingga pemakaian metode-metode pendekatan dengan metode numerik menjadi suatu alternatif yang dapat digunakan (Sasmitasari, 2011). Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaika persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metode-metode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas yang ditentukan (Anonim1, 2012). Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model matematis di dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial ditentukan (Anonim1, 2012). Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial, dan dituliskan : 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = ℎ Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil, karena metode ini mempunyai error sebesar : 1 𝐸(𝑓) = − ℎ𝑓′′(𝑥) 2 Metode selisih mundur dengan nilai x di x0 dan x-h, dengan nilai dua titik : (x-1,f-1) dan (x0,f0), maka f’(x0). 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ℎ) 𝑓 ′ (𝑥) = ℎ Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar : 1 𝐸(𝑓) = − ℎ𝑓′′(𝑥) 2 Metode selisih tengah dengan nilai x di x+h dan x-h, dengan nilai dua titik : (x-1,f-1) dan (x1,f1), maka f’(x0). 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 − ℎ) 𝑓 ′ (𝑥) = ℎ Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. error metode selisih maju sebesar : 1 𝐸(𝑓) = − ℎ𝑓′′′(𝑥) 6 (Sasmitasari, 2011). METODE KOMPUTASI DAN LISTING PROGRAM I. Metode atau Algoritma

a. Program Turunan Pertama Metode Forward Difference 1. Masukkan nilai x 2. Masukkan nilai h 3. Menghitung nilai F(x) dan F(x+h) 4. Mencari turunan pertama F(x) 5. Menampilkan nilai F(x) dan F(x+h) 6. Menampilkan nilai turunan pertama F(x)

b. Program Turunan Kedua 1. Masukkan nilai x 2. Masukkan nilai h 3. Mencari turunan kedua F(x) dengan metode perbedaan maju dan perbedaan tengah 4. Menampilkan turunan kedua F(x) dengan metode perbedaan maju dan perbedaan tengah II. Flowchart a. Program Turunan Pertama Metode Forward Difference

START

Masukkan nilai x dan nilai h

Menghitung nilai F(x) dan F(x+h)

Mencari turunan pertama F(x) (f(x+h) - f(x)) / h

- Menampilkan nilai nilai F(x) dan F(x+h) -Menampilkan nilai turunan pertama F(x)

END

b. Program Turunan Kedua

START

Masukkan nilai x dan nilai h

Mencari turunan kedua F(x) dengan metode perbedaan maju (f(x+2*h) - 2*f(x+h) + f(x)) / (h*h)

Mencari turunan kedua F(x) dengan metode perbedaan maju (f(x+2*h) - 2*f(x) + f(x-2*h)) / (4*h*h)

Menampilkan turunan kedua F(x) dengan metode perbedaan maju dan perbedaan tengah

END

III. Listing Program

1. Turunan Pertama #include #include #include #include<math.h> using namespace std; double f(double x) { return log(x); } main() { double x, h, f1; int N; cout << "x= "; cin >> x; cout << "h = "; cin >> h; f1 = (f(x+h)-f(x))/h; cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision (10); cout << "f(x) = " << f(x) << endl; cout << "f(x+h) = " << f(x+h) << endl; cout << "turunan f(x) = " << f1 << endl; getch(); } 2. Turunan Kedua #include #include #include #include<math.h> using namespace std;

double f(double x) { return x*x*x-2*x*x+x-3; } main()

{ double x, h, f2m, f2t; int N; cout << "x= "; cin >> x; cout << "h = "; cin >> h; f2m = (f(x+2*h)-2*f(x+h)+f(x))/(h*h); f2t = (f(x+2*h)-2*f(x)+f(x-2*h))/(4*h*h); cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision (10); cout << "f''(x) maju = " << f2m << endl; cout << "f''(x) tengah= " << f2t << endl; getch(); }

HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil perhitungan untuk tugas eksperimen : 1. Gunakan aproksimasi perbedaan maju, aproksimasi perbedaan mundur, dan aproksimasi perbedaan tengah (jika data memungkinkan) untuk mendapatkan derivative pertama dan kedua pada titik-titik pada tabel 7 Jawab: Dengan menggunakan metode perbedaan maju : X F(x) F’(x) 2,1 -1,709847 3,36024 2,2 -1,373823 2,54609 2,3 -1,119214 2,032 2,4 -0,916014 1,68992 2,5 -0,747022 1,45425 2,6 -0,601597 Dengan menggunakan metode perbedaan mundur : X F(x) F’(x) 2,1 -1,709847 2,2 -1,373823 3,36024 2,3 -1,119214 2,54609 2,4 -0,916014 2,032 2,5 -0,747022 1,68992 2,6 -0,601597 1,45425 Dengan menggunakan metode perbedaan tengah :

F’’(x) -8,1415 -5,1409 -3,4206 -2,3567

F’’(x) -8,1415 -5,1409 -3,4206 -2,3567

X 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2.

F(x) -1,709847 -1,373823 -1,119214 -0,916014 -0,747022 -0,601597

F’(x)

F’’(x)

2,289045 1,86096 1,572085

-5,461025 -3,5848

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap V. Pada saat rem ditekan (t-0 detik) mobil mulai melambat dan berhenti pada t=6 detik. Jarak mulai saat rem ditekan sampai mobil berhenti ditunjukkan pada tabel 9.

Waktu (s) Jarak (m)

1 30

2 50

3 65

4 70

5 72

6 71

Hitung kecepatan mobil pada saat rem ditekan t=0 detik dan pada saat t=3,5 detik. Estimasikan juga perlambatan mobil pada saat t=3,5 detik. Jawab : Kecepatan saat t = 0 detik dengan h = 1 menggunakan metode perbedaan maju didapatkan ; v = f’(t) = 𝑓 ′ (0) =

f(t + h) − f(t) h

f(0 + 1) − f(0) = 30 − 0 = 30m/s 1

Kecepatan saat t = 3,5 detik dengan h = 0,5 menggunakan metode perbedaan tengah didapatkan ; f(t + h) − f(t − h) 2h f(3,5 + 0,5) − f(3,5 − 0,5) 𝑓 ′ (3,5) = 2.0,5 v = f’(t) =

𝑓 ′ (3,5) =

f(4) − f(3) = 70 − 65 = 5m/s 1

Untuk mencari perlambatan mobil pada saat t = 3,5 detik, maka cari dulu kecepatan saat t = 3 detik sebagai berikut. Kecepatan saat t = 0 detik dengan h = 1 menggunakan metode perbedaan

maju didapatkan ; f(t + h) − f(t) h

v = f’(t) = 𝑓 ′ (3) = 𝑓 ′ (3) =

f(3 + 1) − f(3) 1

f(4) − f(3) = 70 − 65 = 5m/s 1

Maka perlambatan saat t = 3,5 detik yaitu 𝑓 ′ (3) − 𝑓 ′ (3,5) = 5 − 5 = 0𝑚/𝑠 Pembahasan: Pada praktikum ini, metode yang digunakan yaitu metode diferensiasi numerik selisih maju, mundur dan tengahan. Secara teori yang ada, perbedaan antara diferensiasi numerik selisih maju, mundur dan tengahan adalah pada rumus yang telah ada. Selain itu, perbedaan dapat dilihat pada bentuk grafik. Pada diferensiasi numerik selisih maju, dapat dilihat aproksimasi berada di depan titik potong. Pada diferensiasi numerik selisih mundur dapat dilihat aproksimasi berada di belakang titik potong. Sedangkan pada diferensiasi numerik selisih tengahan aproksimasi berada pada posisi depan dan belakang. Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial, dan dituliskan 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

, dan untuk turunan pertama. Sedangkan metode

selisih mundur dengan 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥−ℎ) ℎ

dan Metode selisih tengah dengan

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥−ℎ) ℎ

, untuk turunan kedua.

Pada perhitungan manual mencari nilai turunan kedua f(x) atau nilai derivatif kedua pada tugas eksperimen no.1 , yang juga menggunakan metode perbedaan maju dan perbedaan tengah, didapatkan hasil yang jauh berbeda dari hasil yang didapatkan menggunakan program. Dikatakan demikian karena hasil dari perhitungan manual itu bernilai negatif sedangkan dari program itu bernilai positif. Hal ini terbilang aneh, karena rumus yang ada pada listing programnya itu sama dengan rumus yang digunakan pada perhitungan manual. Dan juga nilai x dan nilai h yang digunakan juga sama. Kemungkinan besar hal tersebut terjadi karena adanya nilai error baik pada perhitungan manual maupun pada program yang digunakan. DAFTAR PUSTAKA Anonim1, 2012. Differensiasi Numerik http://lecturer.eepis-its.edu/~alfaruqi/mnumerik/bab5tm.pdf

Diakses tanggal 10 Mei 2015 Sasmitasari, Eka. 2011. Studi Kesalahan Aproksimasi Derivatif Pertama Pada Fungsi Polinomial. Universitas Muhammadiyah: Ponorogo

Lampiran Perhitungan nilai f’(x) pada tugas eksperimen no.1

Perhitungan nilai f’’(x) pada tugas eksperimen no.1