Laporan Metnum Gw

BAB I PENDAHULUAN A. Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh perhatikan integral berikut ini. L=01sin(x)xdx ⁡

Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi, filtering dan optimasi pola radiasi.

Gambar.Kurva y=sin(x)

Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metode 1

tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah mendekati nilai yang diharapkan. Pada persoalan lain, misalnya diketahui suatu kurva dari fungsi non-linier y=x2+exp(x) sebagai berikut :

Gambar.Kurva y=x2+exp(x)

Perhatikan kurva y=x2+exp(x) memotong sumbu X di antara –1 dan –0.5, tetapi untuk menentukan akar persamaan (titik potong dengan sumbu X) tersebut dengan menggunakan metode manual dapat dikatakan tidak mungkin. Sehingga diperlukan metode-metode pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan benar. Metode tersebut adalah metode numerik, yaitu metode yang menggunakan analisisanalisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik yang dapat mewakili suatu data seperti berikut:

Gambar.Kurva Pendekatan

2

Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang kecil (<20) masih bisa dilakukan, tetapi untuk jumlah data yang besar sulit sekali dilakukan karena akan membutuhkan waktu yang sangat lama. Untuk itulah digunakan perhitungan komputer, dan pemakaian metode numeric mejadi penting artinya untuk menyelesaikan permasalahan ini. Selain adanya persoalan-persoalan di atas, seiring dengan perkembangan pemakaian komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persoalan, maka pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Sehingga metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Telah banyak yang menawarkan program program numerik ini sebagai alat bantu perhitungan. Dalam

penerapan

matematis

untuk

menyelesaikan

persoalan-persoalan

perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk menghasilkan penyelesaian yang baik adalah : 1. Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema

analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut,

maka

penyelesaian

matematis

(metode

analitik)

adalah

penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan. 2. Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara

matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik. 3. Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas

tinggi,sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik,maka dapat digunakan metode-metode simulasi. Prinsip-prinsip Metode numerik Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatanpendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini

3

disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh hasil yang main mendekati nilai penyelesaian exact. Perhatikan salah bentuk formulasi dalam metode numerik adalah: xn = xn-1 + δxn-1 Terlihat bahwa hasil iterasi ke n adalah hasil iterasi ke n-1 (sebelumnya) dengan ditambah δxn-1 yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa semakain banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai exact atau semakin baik hasil yang diperoleh. Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentukan setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi. Persoalan-persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah persoalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, antara lain: • Menyelesaikan persamaan non linier • Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variabel • Menyelesaikan differensial dan integral • Interpolasi dan Regresi • Menyelesaikan persamaan differensial • Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat 4

B. Komputasi Numerik

Adanya kemajuan teknologi komputer yang memungkinkan pelaksanaan komputasi secara tepat dan cepat menjadikan berbagai metode penyelesaian persoalan dengan pendekatan numerik sangata berguna, karena antara lain : 1) Pendekatan numerik yang mungkin merupakan salah satunya alternatif penyelesaian dapat diperoleh secara efisien 2) Pendekatan numerik memungkinkan pengkajian parametrik dari berbagai

persoalan dari medan yang bersifat sembarang,yang tidak dapat dipecahkan secara eksak. Guna menunjang komputasi ilmiah ada beberapa hal yang berkaitan dengan teknik pemrograman dan penggunaan komputer yang perlu diketahui yaitu: 1. Bahasa pemrograman dan beberapa diantaranya yang banyak dipakai pada saat ini adalah MATLAB,Turbo C++,Borland C++ ,Maple dll. 2. Sistem komputer yang menggunakan bahasa pemrograman tersebut 3. Cara men debug (melenyapkan kesalahan) dari program komputer dan

memastikan keabsahan hasil yang diperoleh 4. Cara menyusun prosedur komputasi C Mengenal Bahasa Pemrograman MATLAB

MATLAB

merupakan bahasa pemrograman

tingkat tinggi yang berbasis

dengan matrik yang sering digunakan untuk tehnik komputasi numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah

yang malibatkan operasi

matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi, dll. MATLAB terdiri dari : 1. Window – window MATLAB Ada beberapa macam window yang tersedia dalam MATLAB yaitu: a. MATLAB Command window atau Editor MATLAB Command

window atau editor merupakan window yang

dibuka pertama kali MATLAB dijalankan, seperti terlihat dibawah ini :

5

Pada window diatas dapat dilakukan akses – akses ke command – command MATLAB dengan mengetikkan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti mengakses help window dan lain-lainnya. b. MATLAB Editor atau Debugger (Editor M-File atau Pencarian Kesalahan) Window ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAB yang berfungsi sebagai editor script MATLAB (M-File). Walaupun sebenarnya script ini dalam pemrograman MATLAB dapat saja menggunakan editor lain seperti Notepad, Wordpad, bahkan Word. Untuk mengakses M-File dapat dilakukan dengan cara : 1. Memilih File lalu pilih New 2. Pilih M-File, maka MATLAB akan menampilkan editor window.

6

Selain cara di atas, untuk menampilkan editor M-File ini dapat juga dengan mengetik >> edit. c. Figure Windows Window ini adalah hasil visualisasi script MATLAB. Namun MATLAB juga memberi kemudahan untuk mengedit window ini sekaligus memberikan program khusus untuk itu sehingga window ini selain berfungsi sebagai visualisasi output daopt juga sekaligus menjadi media input yang interaktif. d. MATLAB Help Window MATLAB menyediakan system help yang dapat diakses dengan perintah help. Misalnya untuk memperoleh informasi mengenai fungsi elfan, yaitu untuk fungsi trigonometri , eksponsila, kompleks, dan lainlain, yand dapt diakses dengan mengetik : >> help elfun, lalu tekan enter. Maka dilayar akan muncul informasi dalam bentuk teks pada layar MATLAB. 3. Bilangan dan Operator Matematika di MATLAB Ada tiga tipe bilangan di dalam MATLAB yaitu : •

Bilangan Bulat (integer),

•

Bilangan Real

•

Bilangan Kompleks

4. Komentar dan tanda Baca 7

Semua teks sesudah tanda % dianggap statement komentar, contoh : Semester=8 % jumlah semester S I Semester = 8

8

BAB II METODE BAGI DUA (BISECTION) A. Tujuan Praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar

persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua. 2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan. B. Dasar Teori

Metode bagi dua(bisection) ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi kontinu,yaitu bahwa suatu selang[a,b] harus mengandung f(x) = 0,bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda misalnya f(a)>0 dan f(b)<0.Proses dilakukan dengan pengulangan membagi selang [a,b] menjadi dua dalam setiap langkah diambil setengah selang yang memenihi persyaratan tersebut.Proses ini didapatkan ketelitian yang sama dengan interval[a,b] terakhir. Dalam algoritma digunakan variable : a sebagai batas bawah selang b sebagai batas atas selang T sebagai titik tengah Bila f(a)>0 dan f(b)<0 maka perkalian keduanya menghasilkan bilangan yang kecil dari 0 atau f(a)∙f(b)<0.ini berarti selang [a,b] terdapat paling sedikitnya satu akar. Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, a < b ,yang harus memenuhi f(a), f(b) < 0 ; selang (a,b) mengandung satu akar. Mulamula ditentukan titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama panjang,sebut titik Tengahnya T. Dua selang baru yang diperoleh yakni (a,T) dan (T,b), salah satu diantaranya apsti mengandung akar.Proses diulangi dengan membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang mana yang mengandung akar. Pembagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil. 9

Gambar.Metode bagi dua C. Algoritma

Masukan : f(x),a,b dan epsilon Keluaran : Akar Langkah-langkah : 1. bm := am : cm = bm 2. untuk iterasi =1,2,. . .,m

untuk i = m – 1,m – 2, . . .,1 bi = ai + 3. f(a) . f(b) < 0 4. T :=a+b2 5. Jika f(a) . f(T) < 0 berarti akar berada pada selang [a,T] maka b := T jika

tidak a := T 6. Jika b – a ≤ epsilon maka estimasi akar := T.Selesai 7. Ulangi kembali ke langkah 1

D. Flowchart

10

Xa = Input

Xb=Input

f(Xa) * f(Xr) < 0 Tidak f(Xa) * f(Xt) > 0

Ya

Ya Xb = Xt

f(Xa) * f(Xt) = 0

Xa = Xt

E. Listing Program MFILE 1

11

MFILE 2

Output Program Metode Bagi Dua

12

F. Kesimpulan Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari.Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b.Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a) x f(b) < 0.Apabila terpenuhi syarat tersebut,berarti terdapat akar fungsi dalam segmen tinjauan.Jika tidak demikan,kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a) x f(b) < 0. Dengan rumusan m = ( a + b ) / 2,diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10-6 ( batas simpangan kesalahan ). Jika benar,nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi,ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila f(a)*f(m) < 0,dan mengganti a = m bila f(a) * f(m) > 0,proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan. Metode bisection adalah salah satu kelas metode pengelompokan karena prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan kelompok akar.Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi penentuan nilai x. Misalnya,tidak digunakannya ukuran relative f(a) dan f(b) karena umumnya jika f(a) < f(b) dalam nilai mutlaknya,maka akar persamaan akan terletak lebih dekat ke f(a). Salah satu cara efektif mendaptkan nilai m ini adalah menghubungkan 13

f(a) dan f(b) dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan absis x merupakan nilai m.

BAB III METODE NEWTON RAPHSON 14

A.Tujuan praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya

menggunakan metode Newton Raphson. 2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan. B.Dasar Teori

Gambar. Metode Newton-Raphson

Metode newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’.Metode ini menggunakan suatu garis lurus sebagai ampiran fungsi pada selang.Garis tersebut adalah garis singgung pada kurva.Dengan menggunakan suatu nilai awal xo dan ditetapkan xi adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva f dititik xo.maka : tan∝=f'(x0)x0-x1 sehingga x1=x0-f(x0)f'x0

Dalam setiap iterasi akan terbentuk xi secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai X yang membuat f(x) = 0. Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah sama dengan kemiringan garis singgung dititik tersebut. 15

f'xi=f(x0)x0-x1 ⇔xi+1=xi-f(xi)f'(xi)

Dalam metode ini prinsip pengurangan akar tidak dipergunakan lagi, akibatnya metode ini tidak dijamin lagi kekonvergenannya. Iterasi dihentikan apabila dua iterasi yang beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama. Dalam rumus iterasi pada penyebut terdapat duku f'(x1). Agar metode berhasil, maka selama iterasi nilasi ini tidak boleh pernah sama dengan nol. C. Algorima

Masukan : f(x),f’(x),xo,epsilon,m ( banyaknya iterasi ) Keluaran : Akar Langkah-langkah : 1. definisikan terlebih dahulu fungsi dan aturan fungsinya 2. jika f’(x) =0 maka proses gagal.Selesai 3. jika tidak,xr≔x0f(x0)f'(x0) 4. jika xr-x0xr ≤ epsilon maka akar := xr .Selesai satu iterasi 5. ulangi iterasi dengan mengambil x0 := xr

D. Flowchart

Definisikan fungsi

Baca x0, x1, tol, iter max

16

Iter = 0

Iter = iter+1 Fx=F(x0) F1x=F’(x0)

x(iter)=x(iter-1)-((feval(fname,x(iter1)))/(feval(dfname,x(iter-1))))

(abs(x(iter)-x(iter-1))<=eps) Iter>iter_max

x0=xb

Tulis hasil xb, F(xb)

E. Listing Program MFILE 1

17

MFILE 2

MFILE 3

18

Output Program Newton Raphson

F. Kesimpulan Metode yang paling baik dalam memilih g’(x) adalah dengan membuat garis singgung dari f(x) untuk nilai x yang dipilih,an dengan menggunakan besaran x dari perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru.

19

Keuntungan dalam menggunakan metode ini adalah sifat konvergensi kuadratik dalam

proses

iterasi,karena

terjadinya

koreksi

digit

ganda

di

setiap

proses.Sedangkan kekruangan metode ini adalah harus mencari f’(x) dan nilainya mungkin 0,tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen,dalam perhitungan ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen,kecuali nilai perkiraan awal x cukup tepat.

BAB IV 20

METODE SECANT A. Tujuan praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya

menggunakan metode Secant. 2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan. B. Dasar Teori

Gambar. Metode Secant

Metode secant diperoleh dari metode newton dengan cara menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi, f'xn=fxn-f(xn-1)xn-xn-1

Kemudian sebagaiganti skema iterasi Newton diperolah xn+1:=xn-fxnxn-xn-1fxn-f(xn-1)

Secara geometri,dalam metode newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu x dan garis singgung di xn,sedangkan dalam metode secant xn+1 berupa perpotongan sumbu x dan tali busur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn-1 dan xn.Metode secant memerlukan dua tebakan awal,xo dan x1 tetapi menghindari perhitungan turunan.dapat diperlihatkan bahwa metode sacant lebih lambat dibandingkan 21

dengan metode newton,tetapi tetap lebih disukai bilamana kerja perhitungan suatu nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja perhitungan nilai f(x).Algoritmanya serupa dengan metode newton,tidak dianjurkan menuliskan skema iterasi diatas dalam bentuk xn+1= xn-1fxn-xnf(xn-1)fxn-f(xn-1)

Karena boleh jadi akan menimbulkan kesukaran (kehilangan angka benar)pada waktu xn dan xn-1 bernilai sama. C. Algoritma

Masukkan : xn,xn-1,f(x),x,epsilon dan m ( banyaknya iterasi ) Keluaran : akar Langkah-langkah: 1. masukkan 2 tebakan awal 2. jika f beda hingga = 0 maka proses gagal.Selesai 3. jika tidak, xn+1:=xn-fxnxn-xn-1fxn-f(xn-1) 4. Jika xn+1-xnxn+1 ≤ epsilon maka akar := xn+1 baru.Selesai satu iterasi 5. Ulangi iterasi dengan mengambil xn := xn+I hingga galat ≤ epsilon atau sesuai

jumlah iterasi

D. Flowchart

Definisikan fungsi

Baca xa, xb, eps, iter max

22

Iter = 0

Iter = iter+1

x(iter+1)=x(iter)-y(iter)*(x(iter)x(iter-1))/(y(iter)-y(iter-1)) abs(x(iter)-x(iter-1))<=eps

Ya

Tidak x(iter)-x(iter-1)

Tulis hasil x(iter), F(x(iter-1))

E. Listing Program MFILE 1

23

MFILE 2

Output Progam Metode Secant

24

F. Kesimpulan Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. y - y0 = m(x − x0 ) Persamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai pendekatannya adalah : δn=-ynxn-xn+1yn-yn+1

Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua titik pendekatan x0 dan x1. Kedua titik pendekatan ini diambil pada titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin.

BAB V 25

INTERPOLASI LINIER A. Tujuan Praktikum 1. Dapat memahami Interpolasi linier. 2. Dapat mengaplikasikan interpolasi tersebut dalm berbagai permasalahan

yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B.Dasar Teori Interpolasi linier adalah interpolasi yang menggunakan sarana garis lurus melalui dua buah titik (xo,fo) dan (x1,f1) ditunjukan oleh persamaan berderajat satu P1x=f0+x-x0fx0,x1 dengan fx0,x1 adalah beda terbagi pertama yang didefenisikan

sebagai fx0,x1= f1-f0x1-x0

Gambar. Interpolasi Linier

C. Algoritma

Masukan : xi,f(xi),x ; i = 1,2,…,n keluaran : ilinier 26

Langkah-langkah 1. Untuk i = 1,2, masukan xi dan f(xi) 2. Beda terbagi : = f(x2)-f(x1)x2-x1 3. Ilinier : = f(x1) + Beda terbagi x ( x – x1)

D. Flowchart

Baca x,x0,x1

y(1)+(((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)))*(x(3)x(1)))

Tulis Hasil Taksiran

G.Listing Program MFILE 1

27

MFILE 2

Output Program Interpolasi Linear

28

F. Kesimpulan Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan,di dalam interpolasi linier misalkan kita mempunyai m buah data x,dan tiap-tiap x memiliki pasangan harga y,yang merupakan fungsi x,dengan perkataan lain y = f(x).Untuk suatu harga x.Dengan x terletak diantara dua nilai x yang ada pada himpunan data,misalnya xk < x < xk+1 Interpolasi linear untuk meramalkan nilai y = f(x) dapat dilakukan dengan menganggap bahwa

yk dan yk+1 dihubungkan oleh suatu garis lurus. Secara

geometric,peramalan garis L yang menghubungkan titik (xk,yk) dengan titik (xk+1,yk+1) dapat dinyatakan oleh persamaan y= yk+yk+1-ykxk+1-xk(x-xk)

Sehingga y= yk+yk+1-ykxk+1-xk(x-xk)

Dengan demikian hasil yang diperoleh akan benar ( exact ),bilamana f(x) memang merupakan fungsi linear. Jika f(x) bukan merupakan fungsi linear,maka y= yk+yk+1-ykxk+1-xk(x-xk)

Akan merupakan pendekatan dari nilai sebenarnya,sehingga dengan demikian kan terdapat kesalahan ( galat ) antara y yang dinyatakan oleh persamaan y= yk+yk+1-ykxk+1-xk(x-xk) 29

Dengan nilai y yang sebenarnya.

BAB VI INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON A. Tujuan Praktikum 1. Dapat memahami Interpolasi beda terbagi newton.

30

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi beda terbagi newton tersebut dalam

berbagai permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B. Dasar Teori Kita perhatikan interpolasi linier yang membuat hampiran suatu titik dari dua titik yang diberikan.Dari grafik diatas terlihat sekali bahwa interpolasi linier mempunyai kemungkinan galat yang sangat besar untuk kurva yang tidak linier. Untuk itu akan dibahas Interpolasi newton yang bias membuat hampiran suatu titik dari banyak titik yang diberikan Secara umum,Interpolasi Newton dapat dituliskan sebagai : F(x) = fo + (x - xo)f[xox1] + (x - xo) (x – x1) f[xo,x1,x2] + ∙∙∙+(x - xo) ∙∙∙(x-xn-1)f[xo, ∙∙∙,xn] Rumus newton sahih untuk simpul-simpul berjarak sama sebarang seperti yang mungkin terjadi dalam praktek, dalam percobaan atau pengamatan atau seperti diinginkan seseorang.

C. Algoritma Masukan : n,xi,f(xi),z,epsilon ; i = 1,2,…,n Keluaran : perkiraan bagi (pbagi) Langkah-langkah bo : = f(xo) pbagi :=bo faktor :=i Untuk i :=1,2,…,n lakukan bi := f(xi) untuk j :=i-1,…,0 lakukan bj= bj+1-bxi-xj

faktor := faktor ∙ (z – xi-1) suku :=bo∙faktor pbagi := pbagi + suku Jika suku≤epsilon ,selesai

D. Flowchart 31

Baca Data : n

For i= 2: n

Baca a(i),y(i),y(j),a(j)

Baca y(i)

Tulis hasil P

E. Listing Program MFILE

32

Output Program Interpolasi Beda Terbagi Dua

F. Kesimpulan Interpolasi suatu fungsi atau beberapa data beberapa kali,dan tiap kali derajat polinom dan jumlah data ditambah.Didalam masalah galat nilai dari metode ini masih konsisten dari taksiran galat.

BAB VII INTERPOLASI LAGRANGE 33

A. Tujuan Praktikum 1. Dapat

memahami

Interpolasi

Langrange

beserta

keuntungan

dan

kerugiannya. 2. Dapat mengaplikasikan Interpolasi Langrange tersebut dalam berbagai

permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B. Dasar Teori Bila diberikan titik-titik (xo,fo), (x1,f1), . . .,(xn,fn) maka didefinisikan rumus Interpolasi Langrange sebagai berikut : fx=Lnx= k=0nlk(x)lk(xk)fk

Dimana lo(x) = ( x – x1 ) ( x – x2 ) . . . ( x – xn )

C. Algoritma Masukan : n,xi,f(xi),x ; i:= 0,1,2,. . .,n Keluaran : perkiraan langrange (plag) Langkah-langkah 1. Plag := 0 2. Untuk i := 0,1,2 , …,n 3. Jika j ≠ I,faktor := factor. x-xjxi-xj 4. Plag :=plag + faktor . f(xi)

D. Flowchart

Baca Data : n

34

For I : 1: n

Baca x(i),y(i)

Baca x P = Langrange (x)

Tulis hasil P

E. Listing Program MFILE

35

Output Program Interpolasi Lagrange

F. Kesimpulan Dalam interpolasi lagrange variable bebas dalam formulanya tidak perlu berjarak sama dan tidak diperlukan perbedaan fungsi,sehingga hasil yang diperoleh tidak dapat diperiksa ketelitiannya,karena formulanya diyatakan dua hubungan variable maka berlaku juga,dalam formula lagrange,jika variable bebas mempunyai jarak interpolasi terlalu besar,hasil menjadi kurang akurat. 36

BAB VIII INTEGRASI NUMERIK(ATURAN TRAPESIUM) 37

A. Tujuan Praktikum 1. Dapat memahami aturan trapesium untuk menyelesaikan integral. 2. Dapat menggunakan aturan Trapesium untuk menyelesaikan permasalahan

yang diberikan.

B. Dasar Teori Penyelesaian suatu integral tertentu dapat dilakukan dengan cara membagi daerah antara x = a dengan x = b menjadi pita-pia tipis yang lebarnya ρx ,yang membentuk bangun trapesium. Karena setiap pita berbentuk trapesium maka luas pita I yang terletak antara xi dan xi+1 adalah sesuai dengan aturan luas trapesium yaitu:12t(A+B). Jadi, untuk daerah yang dibentuk oleh pita-pita tipis tadi, dapat kita hitung masing-masing luasnya sebagai : Ai = 12ρxfxi+f(xi+1) sehingga untuk n buah pita, jumlah luasnya adalah : A=i=0nAi=i=0n 12ρxfxi+fxi+1 12ρxfa+2fxi+2fx2+…+2fxn+f(b)

Gambar.Aturan Trapesium

Ini adalah hampiran terhadap integrasi dari f(x) dan dapat dituliskan sebagai berikut : Fx=bafxidx

C. Algoritma Masukan : a,b,n,f(x) Keluaran : A (Luas daerah) 38

Langkah-langkah 1. h≔(b-a)n

2. jsisi := 0 3. Untuk i := sampai n-1 lakukan 4. x≔a+h*i+1 5. jsisi :=jsisi+f(x) 6. jsisi≔h2[fa+fb+2*jsisi]

D. Flowchart

Baca : a,b,n

39

I = 1 to n-1

E. Listing Program MFILE 1

40

MFILE 2

Output Program Aturan Trapesium

41

F. Kesimpulan Aturan trapesium adalah formula yang paling sederhana untuk integrasi secara numeric,dimana didekati dengan sejumlah n buah trapesium. Dimana selang akan dipecah atas n selang yag sam panjang,masing-masing dengan panjang h = ( b – a ) / n. Kesalahan pemotongan yang akan ditinjau jauh lebih baik dari metode lainnya.dalam galat integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan h3.

BAB IX INTEGRASI NUMERIK(ATURAN SIMPSON) 42

A. Tujuan Praktikum 1. Dapat memahami aturan komposisi simpson untuk menyelesaikan integral. 2. Dapat menggunakan aturan simpson untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan. 3. Dapat membandingkan aturan komposisi trapesium dan simpson.

B. Dasar Teori Karena kesalahan yang cukup besar bila menggunakan pendekatan terhadap kurva,x = a dan x = b didekati dengan potongan –potongan garis lurus. Maka digunakan pendekatan potongan kurva yang lain yaitu dengan menggunakan parabola atau polinom orde dua. Jadi akan dianggap bahwa kurva y = f(x) dihampiri oleh suatu parabola yang melalui tiga titik (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2) dan diperoleh polinom penginterpolasian P(x) derajat ≤ 2. Jika diintegralkan P(x) pada [x0,x2] dan memakai nilai untuk menghampiri integral f(x) maka dipakai aturan simpson. Bilamana proses ini diulang pada interval-interval bagian dari [a,b]. Untuk menurunkan rumus iterasinya xi+1 ditempatkan pada x = 0,maka xi berada pada x =-ρx dan xi+2 berada pada x =ρx. Bilamana persamaan parabola yang dipakai adalah : f(x) = a2x2 + a1x + ao. Bilama kita bagi selang [a,b] menjadi 2n bagian yang berlebar sama yakni h=ba2n dan menggunakan a = xo < x1 < x2 < . . . < x2n = b dan dengan xk = a + hk untuk i

= 0,1,…,2n maka hampiran integral dengan aturan simpson untuk kurva f(x) pada selang [a,b] adalah A = 1/3 h [f(xo) + 4f(x1) + 4f(x3) + . . . + 4f(x2n-1) + 2f(x2) + 2f(x4) + . . . + f(x2n) ] atau A = h/3 1nfx2n-2+4fx2n-1+f(x2n) A adalah hampiran integrasi numerik dari kurva dengan aturan simpson

43

Gambar.Aturan Simpson

C. Algoritma Masukan : a,b,n,f(x) Keluaran : Luas Langkah-langkah 1. definisikan fungsi F(x) 2. input a,b,n 3. dinyatakan xo = a dan luas = 0

dengan menggunakan rumus x1 = xo + 2h x2 = x1 + 2h Luas = Luas + ( 2n/3 ) (f(xo) + 4f(x1) + f(x2)) hingga x2 = b maka integral dari F(x) adalah Luas

D. Flowchart 44

Tidak

I= N -3

ya

T < Temp2

Ya

E. Listing Program MFILE 1 45

MFILE 2

Output Program Aturan Simpson

46

F. Kesimpulan Didalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu aturan simpson 1/3 dan 3/8.Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi yang berderajat lebih tinggi.Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola.Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola,untuk itu dibutuhkan 3 buah titik data,misalkan (0,f(0)), (h,f(h)),(2h,f(2h)). Sedangkan untuk aturan simpson 3/8 dibutuhkan 4 buah titik dimana tingkat nilai dari integrasi cenderung lebih baik daripada aturan simpson 1/3.

Daftar Pustaka Sumber Internet : 1. mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm - 24k 47

2. mages.jlitheng1371.multiply.com/attachment/0/R@yOrgoKCsoAAHfJELM1/b pk%20menum.doc?nmid=88422089 3. pksm.mercubuana.ac.id/new/elearning/files_modul/15016-14696551097528.doc 4. http://www.box.net/shared/ynagzq884g 5. http://www.box.net/shared/dinxtmpkws 6. elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar_metode_numerik/bab5integras i.pdf 7. mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Pendahuluan.htm - 14k –

8. cw.unnes.ac.id/ocw/matematika/matematika-s1/mat307metode.../Metode%20Numerik%20-%20Drs.%20Rochmad-%20M.Si... 9. uk.staff.ugm.ac.id/numerik/MetodaNumerik.pdf 10. mail.si.itb.ac.id/~amrinsyah/bab-3a.pdf 11. benny_irawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/11533/interpolasi.pdf 12. syont.wordpress.com/2006/12/22/ooo-calc-interpolasi-linear/ - 14k 13. pksm.mercubuana.ac.id/new/elearning/files_modul/15016-9726687804254.pdf -

Sumber Buku : 1. Munir,Rinaldi.Metode Numerik.Edisi Revisi.Informatika.2003.Bandung 2. Djojodihardjo,Harijono.Metode

Numerik.PT

Gramedia

Pustaka

Utama.2000.Jakarta 3. Nasution,A.,Hasballah,Z.Metode Numerik dalam Ilmu Reakayasa Sipil.PT ITB

Bandung.2001.Bandung

48