Laporan Makalah Pdn 1.docx

PERSAMAAN DIFERENSIAL NUMERIK I PENERAPAN METODE PREDIKTOR KOREKTOR PADA PERSAMAAN LOGISTIK UNTUK MEMPREDIKSI PERTUMBUHAN PENDUDUK

Dosen

: Nur Shofianah, S.Si, M.Si, Ph.D

Kelompok

:5

Anggota

: 1. Putri Lestari Asih

(165090407111009)

2. Nisrina Rahma Yustina

(165090400111009)

3. M Irfan Baihaqi

(165090400111010)

4. Theodoreus Kevin

(165090400111015)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG 2018

2

KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya, sehingga makalah Persamaan Diferensial Numerik I yang membahas tentang Metode Prediktor-Korektor atau Metode Adams-Bashforth-Moulton dapat terselesaikan dengan baik. Penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyusunan makalah ini. Terlebih kepada dosen Persamaan Diferensial Numerik I, Ibu Nur Shofianah. Namun, penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca. Semoga makalah ini dapat memberikan tambahan pengetahuan dan bermanfaat bagi kita semua. Malang, 6 November 2018

Penulis

1

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR............................................................................................................. i DAFTAR ISI........................................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN....................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang............................................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah....................................................................................................... 1 1.3 Tujuan........................................................................................................................... 2 BAB II DASAR TEORI......................................................................................................... 3 2.1 Metode Prediktor-Korektor........................................................................................ 3 2.1.1 Metode Prediktor................................................................................................ 3 2.1.2 Metode Korektor................................................................................................ 5 2.1.3 Algoritma Metode Prediktor-Korektor............................................................ 7 2.2 Model Logistik............................................................................................................. 8 BAB III PEMBAHASAN....................................................................................................... 10 3.1 Penerapan Metode Prediktor-Korektor.................................................................... 10 3.1.1 Nilai Eksak........................................................................................................... 11 3.1.2 Source Code......................................................................................................... 13 3.1.3 Hasil..................................................................................................................... 16 3.1.4 Grafik................................................................................................................... 20 3.1.5 Pengerjaan Secara Manual................................................................................ 20 3.1.6 Pembahasan........................................................................................................ 24 BAB IV PENUTUP................................................................................................................. 25 4.1 Kesimpulan DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................................. 26

2

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita kenal, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa. Pesamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan dari sebuah unknown function dan hanya memiliki satu variabel bebas. Solusi dari persamaan diferensial adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan. Tidak semua permasalahan yang dimodelkan ke bentuk persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan dengan mudah, bahkan terdapat suatu persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Oleh kerena itu, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggungjawabkan secara analitik. Dengan menggunakan metode pendekatan, tentu setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisis metode numerik, kesalahan ini menjadi penting. Karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi. Ada banyak metode secara numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, salah satunya Metode Prediktor-Korektor atau Metode Adams-BashforthMoulton. Dalam makalah ini, selain membahas tentang Metode Prediktor-Korektor juga dibahas mengenai penerapannya pada persamaan logistik dalam memprediksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan. [1] 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan paparan latar belakang yang dikemukakan di atas, didapatkan suatu rumusan masalah sebagai berikut 1. Bagaimana penurunan dari skema Metode Prediktor-Korektor? 2. Bagaimana penerapan Metode Prediktor-Korektor pada persamaan logistik dalam memprediksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan? 3. Bagaimana solusi yang diperoleh dalam penerapan Metode Prediktor-Korektor jika diselesaikan dengan software Matlab? 1.3 Tujuan Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut 1. Memahami penurunan dari skema Metode Prediktor-Korektor. 1

2. Memahami penerapan Metode Prediktor-Korektor pada persamaan logistik dalam memprediksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan. 3. Mengetahui solusi yang diperoleh dalam penerapan Metode Prediktor-Korektor jika diselesaikan dengan software Matlab.

2

BAB II DASAR TEORI 2.1 Metode Prediktor-Korektor atau Metode Adams-Bashforth-Moulton 2.1.1 Metode Prediktor (Adam Bashforth) dy =f (t , y) , dengan syarat awal dx . Untuk menentukan solusi numerik di titik selanjutnya menggunakan

Diberikan persamaan diferensial biasa berbentuk y ( t 0 =0 ) = y 0 t j+1

y j +1= y j + ∫ f ( t , y ) dt (1) tj

Dalam metode prediktor, untuk menentukan solusi pada t j−3 ,t j−2 , t j−1 , dan t j .

t j+1 , dibutuhkan 4 buah titik pada

Perhatikan gambar berikut.

Dalam kasus ini, selanjutnya kita hampiri fungsi f ( t , y ) dengan menggunakan polinomial interpolasi Lagrange berderajat tiga yang melalui titik-titik ( t j−3 , f j−3 ) , ( t j−2 , f j−2 ) , ( t j −1 , f j−1 ) , ( t j , f j ) , yaitu sebagai berikut f (t , y )=

( t −t j−2) ( t−t j −1 ) ( t−t j ) ( t−t j−3 ) ( t −t j−1 ) ( t−t j ) f j−3+ f j −2 ( t j−3 −t j−2 )( t j−3−t j−1 ) ( t j−3−t j ) ( t j −2 −t j−3 )( t j−2−t j−1 )( t j−2−t j )

+ ( t−t j −3 ) ( t−t j −2 ) ( t−t j )

( t j−1−t j−3 ) ( t j−1−t j−2 ) ( t j−1−t j ) ¿

f j−1+

( t−t j−2) ( t−t j−1 ) ( t−t j ) (−h )(−2 h ) (−3 h )

( t−t j−3 )( t−t j−2 )( t−t j−1) fj ( t j−t j−3 )( t j−t j−2 ) ( t j−t j−1 )

f j−3 +

( t−t j−3 )( t−t j−1) ( t−t j ) ( h )(−h ) (−2h )

f j−2

+(t−t j−3 )(t−t j−2)(t−t j ) (t−t j−3 )(t−t j−2)(t−t j−1) f j−1 + fj (2 h)(h)(−h) (3 h)(2 h)( h) 3

f (t , y )=

−1 1 t−t j−2 ) ( t−t j−1 )( t−t j ) f j−3+ 3 ( t−t j −3 ) ( t−t j −1 ) ( t−t j ) f j−2 3( 6h 2h −1 1 t−t j−3 )( t−t j−2 )( t−t j ) f j−1 + 3 ( t−t j−3 )( t−t j−2) ( t−t j −1 ) f j (2) 3( 2h 6h

Kemudian untuk menentukan skema numerik Metode Prediktor, substitusikan persamaan (2) ke dalam (1), sehingga diperoleh t j+1

y j +1= y j + ∫ tj

t j+ 1

+∫ tj

¿ y j−

[

[

] ]

−1 1 t−t j−2 ) ( t−t j−1 )( t−t j ) f j−3+ 3 ( t−t j −3 ) ( t−t j−1 ) ( t−t j ) f j−2 dt 3( 6h 2h

−1 1 t−t j−3 ) ( t−t j−2 ) ( t−t j ) f j−1+ 3 (t −t j−3 )(t−t j−2)(t−t j−1)f j dt 3( 2h 6h t j+1

f j−3

2 h3

t j+ 1

∫ ( t−t j−2) ( t−t j−1 ) ( t−t j ) dt + 2h 3 ∫ ( t−t j−3 ) ( t−t j−1 ) ( t−t j ) dt

6 h3

−f j−1

f j−2

tj

tj

t j+ 1

fj

t j+1

∫ ( t−t j −3 ) ( t−t j −2 ) ( t−t j ) dt + 6 h3 ∫ ( t−t j−3)(t−t j−2 )(t−t j−1)dt tj

tj

f j −2 h ( t+2 h )( t+ h ) ( t ) dt +¿ 3 ∫ ( t +3 h ) ( t+ h )( t ) dt 2h 0 f j−3 h ¿ y j− 3 ∫ ¿ 6h 0 −f j−1 h fj h ( t +3 h ) ( t+2 h ) ( t ) dt + ∫ ∫ ( t+3 h )( t +2 h ) ( t +h ) dt 2 h3 0 6 h3 0 ¿ y j−

f j−3 h 3 f j −2 h 3 2 2 2 2 (t +3 h t + 2h t)dt + (t + 4 h t + 3 h t) dt 3∫ 3∫ 6h 0 2h 0

−f j−1 h 3 fj h 3 2 2 2 2 3 (t +5 h t +6 h t) dt + 3 ∫ (t +6 h t +11h t+ 6 h )dt 3 ∫ 2h 0 6h 0 ¿ y j−

h f j−3 1 4 f 1 4 3 3 2 2 t + ht +h t + j−23 t 4 + h t 3+ h2 t 2 3 4 3 2 6h 4 0 2h

[

]

[

h

]

0

−f j−1 1 4 5 3 2 2 h f j 1 4 11 t + h t +h t + 3 t + 2h t 3+ h2 t 2 +6 h3 t 3 3 4 2 2h 4 0 6h

[

¿ y j−

]

[

f j−3 1 4 4 4 f j−2 1 4 4 4 3 4 h +h +h + 3 h+ h + h 3 2 6 h3 4 2h 4

[

] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−f j−1 1 4 5 4 f 1 11 h + h + 3 h4 + j3 h4 +2 h 4+ h4 + 6 h4 3 3 2 2h 4 6h 4

[

¿ y j−

f j−3 9 4 f j−2 37 4 f j−1 59 4 f j 55 4 h + h − h + h 3 3 3 3 6h 4 2 h 12 2h 12 6h 4

[ ]

4

]

h 0

¿ y j− ¿ y j+

9h 37 h 59 h 55 h f j−3+ f j−2− f j−1 + f 24 24 24 24 j

h (−9 f j−3 +37 f j−2−59 f j−1+ 55 f j) 24

Sehingga, diperoleh y j +1= y j +

h (−9 f j−3 +37 f j−2−59 f j−1 +55 f j) 24

yang merupakan skema metode prediktor / Adam Bashforth. Rumus galat pemotongan untuk metode Prediktor atau Adams-Bashforth orde empat 251 5 (5) h y (α ) dengan y(5) adalah turunan kelima dari y , dan E AB adalah E AB= 720 adalah galat pada titik α .

2.1.2 Metode Korektor (Adam Moulton) Analog dengan sebelumnya, untuk menentukan solusi numerik di titik selanjutnya menggunakan t j+1

y j +1= y j + ∫ f ( t , y ) dt tj

Berikut penurunan untuk skema korektor. f (t , y)

Fungsi

melalui

( t j−2 , f j −2 ) , ( t j−1 , f j−1 ) , ( t j , f j ) dan

titik-titik

( t j+ 1 , f j+1 ) =( t j +1 , f ( t j+1 , f j +1 ) ) didekati oleh interpolasi Lagrange diperoleh f (t , y )=

(t−t j−1)(t −t j )(t−t j +1) (t −t j−2)(t −t j)(t −t j +1) . f j−2 + .f (t j−2−t j−1 )(t j−2−t j )(t j−2−t j+ 1) (t j−1−t j−2 )(t j−1−t j )(t j−1−t j+ 1) j−1 +(t −t j−2 )(t −t j−1)(t −t j +1) (t −t j−2)(t −t j−1)(t −t j ) . f j+ .f (t j−t j −2 )(t j−t j−1 )(t j−2−t j +1) (t j +1−t j−2 )(t j+1−t j−1)(t j +1−t j) j+1

¿

(t−t j−1)( t−t j)(t−t j +1) (t−t j −2 )(t−t j )(t−t j+1 ) . f j−2 + . f j−1 (−h)(−2 h)(−3 h) (h)(−h)(−2h) +(t−t j−2)(t−t j−1)(t−t j +1) (t−t j −2 )(t−t j−1)( t−t j) . f j+ . f j +1 (2 h)(h)(−h) (3 h)(2 h)(h)

¿−

( t−t j −1 ) ( t−t j ) ( t−t j +1 ) 3

6h

. f j−2+

( t−t j−2) ( t−t j ) ( t−t j+1 ) 3

2h

. f j−1

−(t−t j−2)(t−t j −1 )(t−t j+ 1) (t−t j−2 )(t−t j−1)(t−t j ) . f j+ . f j+1 3 2h 6 h3

Subtitusi f ( t , y ) ke dalam persamaan di atas diperoleh 5

t j+1

y j +1= y j + ∫ f ( t , y ) dt tj

t j+1

y j +1= y j + ∫

−( t−t j−1 )( t−t j ) ( t−t j+1 ) 6 h3

tj

t j+ 1

+∫

. f j−2 +

−( t−t j −2 ) ( t−t j−1 ) ( t−t j +1) 2 h3

tj

¿ y j− −f j 2 h3 ¿ y j− −f j 2 h3 ¿ y j−

f j−2 6h

3

. f j+

( t−t j−2 ) ( t−t j ) ( t−t j+1 ) 2 h3

( t−t j−2) ( t−t j −1 ) ( t−t j ) 6 h3

t j+1

f j−1

. f j−1 dt

. f j +1 dt

t j+ 1

∫ ( t−t j−1) ( t−t j ) ( t−t j +1 ) dt+ 2 h3 ∫ ( t −t j−2 ) ( t−t j ) ( t−t j +1 ) dt tj

tj

t j+1

f j+1

t j+1

∫ ( t−t j−2) ( t−t j−1 ) ( t−t j +1 ) dt + 6 h3 ∫ ( t−t j−2 )( t−t j−1) ( t−t j ) dt tj

tj

f j−2 6h

3

t j+1

f j−1

t j+ 1

∫ ( t +h ) ( t )( t−h ) dt + 2h 3 ∫ ( t+2 h ) ( t )( t−h ) dt tj

tj

t j+1

f j+1

t j+ 1

∫ ( t +2 h ) ( t+h )( t−h ) dt + 6 h3 ∫ ( t +2 h )( t +h ) ( t ) dt tj

tj

f j−2 6h

3

h 3

f j−1

2

h

∫ ( t −h t ) dt+ 2 h3 ∫ ( t 3 +h t2−2h 2 t ) dt 0

0

−f j h 3 f j+1 h 3 2 2 3 2 2 ( ) t +2 h t −h t−2 h dt + 3 ∫ ( t + 3 ht +2 h t ) dt 3∫ 2h 0 6h 0 1 4 1 2 2 t − h t 4 2 ¿ ¿ 1 4 1 3 2 2 t + h t −h t 4 3 ¿ ¿ f ¿ y j − j −23 ¿ 6h 1 4 2 3 1 2 2 3 t + h t − h t −2 h t 4 3 2 ¿ ¿ 1 4 t + h t 3 +h2 t 2 4 ¿ ¿ −f j ¿ 2 h3 ¿ y j−

f j−2 1 4 1 4 f j−1 1 4 1 4 4 f 1 2 1 h − h + 3 h + h −h − j 3 h 4 + h4 − h4 −2 h4 3 2 3 3 2 6h 4 2h 4 2h 4

[

]

[

]

6

[

]

+ f j +1 1 4 4 4 h +h + h 6 h3 4

[

¿ y j− ¿ y j+ f ¿ ¿ ¿ y j+

]

f j−2 −1 4 f j−1 −5 4 f −19 4 f j+ 1 9 4 h + 3 h − j3 h + 3 h 3 6h 4 2h 12 2h 12 6h 4

[

] [

]

[

] [ ]

h 5h 19 h 9h f − f + f + f 24 j−2 24 j−1 24 j 24 j+1

h ¿ 24

Sehingga diperoleh skema korektor y j +1= y j +

h ( f −5 f j−1+19 f j +9 f j +1) 24 j −2

Rumus galat pemotongan untuk metode Korektor atau Adams-Moulton orde empat −19 5 (5) h y ( α ) dengan y(5) adalah turunan kelima dari y , dan E AM adalah E AM = 720 adalah galat pada titik α .

Jadi skema Prediktor-Korektor (Metode Adams-Bashforth-Moulton) Skema prediktor: ¿

y j +1= y j +

h (−9 f j−3 +37 f j−2−59 f j−1 +55 f j) 24

Skema korektor: y j +1= y j +

h ¿ (f j −2 −5 f j−1+19 f j +9 f j +1) 24

[2]

2.1.3 Algoritma Metode Prediktor-Korektor Algoritma penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan metode PrediktorKorektor orde empat adalah sebagai berikut: 1. Diberikan masalah nilai awal

'

y=

dy =f ( t , y ) , dt

dengan nilai awal

y ( t0 ) = y 0 .

Dengan ukuran langkah h yang tetap dan t j+1 =t j+ h . 2. Dihitung empat solusi awal y 0 , y 1 , y 2 , y 3 menggunakan metode Runge-Kutta orde empat, yaitu 7

1 y j +1= y j + (k 1+2 k 2 +2 k 3 + k 4 ) 6 k 1=hf (t j , y j) 1 1 k 2=hf (t j + h , y j + k 1 ) 2 2 1 1 k 3=hf (t j + h , y j + k 2 ) 2 2 k 4=hf (t j+ h , y j +k 3 ) f , 3. Tentukan nilai-nilai dengan j=3,4,… sebagai berikut j f j−1 , f j−2 , f j−3 f j−3=f 0=f (t 0 , y 0 ) f j−2=f 1=f ( t 1 , y 1 ) f j−1=f 2=f ( t 2 , y2 ) f j=f 3=f (t 3 , y 3 ) 4. Tentukan solusi numerik menggunakan metode Prediktor-Korektor orde empat dengan rumus sebagai berikut Skema prediktor: ¿

y j +1= y j +

h (−9 f j−3 +37 f j−2−59 f j−1 +55 f j) 24

Skema korektor: y j +1= y j +

h (f −5 f j−1+19 f j +9 f ¿j +1) 24 j −2

[3]

2.2 Model Logistik Model logistik adalah model yang menggambarkan pertumbuhan populasi. Misalnya y (t )

adalah jumlah penduduk di suatu kota saat

t . Selanjutnya diasumsikan laju

kelahiran dan laju kematian sebanding dengan jumlah penduduk saat itu. Misalnya kelahiran, dan sejumlah

δ

laju kematian, maka selama selang waktu

∆t

β

laju

terdapat kelahiran

β ∆ ty (t) dan kematian δ ∆ ty (t) . Maka

∆ y= ( β−δ ) ∆ty (t ) dy ∆y = lim =my ( t ) dt ∆ t → 0 ∆ t Solusi persamaan diferensial di atas

y ( t )= y 0 e

mt

dengan

y0

menyatakan jumlah

populasi awal dan m menyatakan laju pertumbuhan penduduk yang didapat dari

8

y ( t )= y 0 e mt y ( t ) mt =e y0 y (t ) =ln ( emt ) y0

ln

( )

ln

( ( ))

y t =mt y0

y (t ) 1 m= ln t y0

( )

Pertumbuhan populasi secara eksponensial tidak relevan untuk populasi penduduk, juga mungkin untuk populasi-populasi lain. Jika laju kelahiran dan

β ( y ) =konstanta−ay

β

merupakan fungsi

y ,

(interpretasi), sedemikian sehingga dy m =( m−ay ) y= m− y y dt K

(

)

dy y =m 1− y dt K

(

)

y ( t0 ) = y 0

Dimana

K=

m . Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial biasa orde satu non a

linear dan disebut sebagai persamaan logistik. [4]

9

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Penerapan Metode Prediktor-Korektor Persamaan logistik merupakan persamaan yang menggambarkan pertumbuhan populasi. Dalam penerapan Metode Prediktor-Korektor pada persamaan logistik dalam memprediksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan, data yang akan di analisis merupakan data yang diperoleh dari Publikasi Badan Pusat Statistik (BPS) Sulawesi Selatan berupa jumlah pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan tahun 2005-2014. No Tahun Hasil Sensus 1 2005 7.494.701 2 2006 7.629.138 3 2007 7.700.255 4 2008 7.805.024 5 2009 7.908.519 6 2010 8.034.776 7 2011 8.115.638 8 2012 8.250.018 9 2013 8.342.047 10 2014 8.432.163 Berdasarkan tabel di atas, maka diperoleh pertambahan penduduk sebagai berikut. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Berdasarkan tabel di

Tahun Hasil Sensus 2005-2006 134.437 2006-2007 71.117 2007-2008 104.769 2008-2009 103.495 2009-2010 126.257 2010-2011 80.862 2011-2012 134.380 2012-2013 92.029 2013-2014 90.116 atas, setiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dengan rata-

rata 104.162 jiwa. Berdasarkan data tersebut, akan diprediksi pertumbuhan penduduk di tahun 10

berikutnya dengan persamaan logistik menggunakan Metode Prediktor-Korektor sebagai berikut. Untuk menentukan laju pertumbuhan digunakan rumus sebagai berikut. y (t ) 1 1 7.629 .138 m= ln = ln =0,01777=0,02 t y0 1 7.494 .701

( ) (

)

Misalkan diasumsikan untuk kapasitas tampung Provinsi Sulawesi Selatan yaitu K=20.000 .000 , dengan laju pertumbuhan awal. Pada interval

0,02=2 ,

dengan banyak iterasi

[0,15]

y ( 0 )=7.494 .701

n=60 ,

h=

sebagai nilai

b−a 15−0 = =0,25 . n 60

Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan logistik sebagai berikut. dy y y =m 1− y=0,02 1− y dt K 20.000 .000

(

)

(

Dari persamaan logistik tersebut,

y (t )

f (t , y )=

masalah tersebut, diketahui y ( 0 )=7.494 .701

)

pada interval

menunjukkan jumlah penduduk saat

t . Dari

dy y =0,02 1− y , dengan nilai awal dt 20.000.000

[0,15]

(

)

dengan ukuran langkah

h=0,25

(artinya

pertambahan penduduk dilihat setiap 3 bulan) akan diselesaikan dengan Metode PrediktorKorektor menggunakan software Matlab untuk memprediksi jumlah penduduk pada tahun 2015-2020. 3.1.1

Nilai Eksak

Eksak :

(

y ' =0,02 1−

(

y ' =0,02 y−

y y 20.000 .000

)

y2 1.000 .000 .000 2

(

)

y y −0,02 y=− 1.000 .000.000 '

yn

Dengan bernouli Misal v=y maka,

1−2

=

)

y y2 '

2

v =− y ∗y '

y ' =− y 2∗v '

dan

y= y 2∗v 11

substitusi ke PDB −v ' ¿ y 2 + (−0.02 )∗v ¿ y 2=

−1 ¿ y2 1.000 .000 .000

1 y2

kalikan dengan

v ' +( (−0.02 )∗v )=

−1 1.000.000 .000

Menggunakan faktor pengintegralan

( f ( t )∗v ' ) + ( f ( t )∗0.02∗v )=

1 ∗f (t ) 1.000.000 .000

d ( f ( t )∗v ' ) + ( f ( t )∗0.02∗v )= ∗( f ( t )∗v ( t ) ) dt

f ' (¿¿ '∗v )+( f∗v ) ( f ( t )∗v ' ) + ( f ( t )∗0.02∗v )=¿



f (¿ ¿'∗v) ( f ( t )∗0.02∗v ) =¿ ( f ( t )∗0.02 )=f ' df f ∗0.02= dt 2 1 ∗dt= ∗df 100 f 50∗1 dt= (df ) f t=50∗ln ⁡∨f ∨¿ t =ln ⁡∨f ∨¿ 50 t

e 50 =f



f

(t )∗1 d = (f ( t )∗v ( t )) 1.000.000 .000 dt t

t

e 50∗1 d = (e 50∗v ( t )) 1.000 .000 .000 dt t

t

e 50∗1 dt=¿ e 50∗v (t) 1.000 .000 .000 ∫¿

12

e t t ∗1 50 (¿ 50 )+c=e ∗v (t) ¿ ∗50 1.000.000 .000 ¿ 5 c v ( t )= + t 100.000 .000 50 e



−1

v=y 1 y= v

t

y= y=

y=

10 8∗e 50 t 50

( 5∗e )+(c∗10 ) 8

1 5 c + t 8 10 e 50 t 5 ∗(2∗107∗e 50 ) 5 t

e 50 +(c∗2∗107 ) 5∗e y= y=

5∗e

t 50 t 50

∗(2∗107 ) −t

1+(2∗107∗e 50∗c ) (2∗107) 7

t 50

1+(2∗10 ∗e ∗c) Dengan

y ( 0 )=7494701

Didapatkan nilai c=8.342760438∗10−7 Nilai c dimasukkan ke persamaan, maka didapatkan solusi umum sebagai berikut (2∗107 )

y= 7

t 50

1+(2∗10 ∗e ∗8.342760438∗10−7 ) e −t 1+(¿ ¿ ∗1.668552088 ) 50 (2∗107 ) y= ¿



Nilai eksak digunakan untuk mencari error pada program.

13

3.1.2

Source Code

clear all; clc; fprintf('Perbandingan Pertumbuhan Penduduk Menggunakan ABM-4 dan ABM-2 \n'); fprintf('==============================\n'); a=0; b=15; N=60; h=(b-a)/N; t=a:h:b; n=length(t); y(1)=7494701; yeks(1)=7494701; d=((2*10^7)-7494701)/(2*10^7*7494701); fprintf('Menggunakan ABM-4\n'); for i=1:3 k1=h*(0.02*(1-y(i)/20000000)*y(i)); k2=h*(0.02*(1-(y(i)+0.5*k1)/20000000)*(y(i)+0.5*k1)); k3=h*(0.02*(1-(y(i)+0.5*k2)/20000000)*(y(i)+0.5*k2)); k4=h*(0.02*(1-(y(i)+k3)/20000000)*(y(i)+k3)); y(i+1)=y(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); end for i=4:n-1 p(i+1)=y(i)+(h/24)*(-9*(0.02*(1-(y(i-3)/20000000))*y(i-3)) +37*(0.02*(1-(y(i-2)/20000000))*y(i-2))-59*(0.02*(1-(y(i1)/20000000))*y(i-1))+55*(0.02*(1-(y(i)/20000000))*y(i))); y(i+1)=y(i)+(h/24)*((0.02*(1-(y(i-2)/20000000))*y(i-2))5*(0.02*(1-(y(i-1)/20000000))*y(i-1))+19*(0.02*(1(y(i)/20000000))*y(i))+9*(0.02*(1-(p(i+1)/20000000))*p(i+1))); end fprintf(' i t(i) y(i) Error \n'); for i=1:n yeks(i)=(2*10000000)/(1+(2*10000000)*exp(-(t(i)/50))*d); error1(i)=abs(y(i)-yeks(i)); fprintf('%3d %5.2f %5.10f %5.10f \n',i,t(i),y(i),error1(i)); end q(1)=7494701; qeks(1)=7494701; fprintf('\n Menggunakan ABM-2 \n'); fprintf(' i t(i) y(i) Error \n'); k1=h*(0.02*(1-q(1)/20000000)*q(1)); k2=h*(0.02*(1-(q(1)+k1)/20000000)*(q(1)+k1)); q(2)=q(1)+(1/2)*(k1+k2); for i=2:n-1 p(i+1)=q(i)+(h/2)*(-1*(0.02*(1-(q(i-1)/20000000))*q(i-1)) +3*(0.02*(1-(q(i)/20000000))*q(i))); q(i+1)=q(i)+(h/2)*((0.02*(1-(q(i)/20000000))*q(i)) +(0.02*(1-(p(i+1)/20000000))*p(i+1))); end for i=1:n 14

qeks(i)=(2*10000000)/(1+(2*10000000)*exp(-(t(i)/50))*d); error2(i)=abs(q(i)-qeks(i)); fprintf('%3d %5.2f %5.10f %5.10f \n',i,t(i),q(i),error2(i)); end subplot(2,2,1); plot(t,y); hold on; plot (t,yeks,'o'); title('Solusi ABM4','fontname','Arial','color','b','fontangle','italic'); grid on; xlabel('X','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); ylabel('Y','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); subplot(2,2,2); plot(t,q); hold on; plot (t,qeks,'o'); title('Solusi ABM2','fontname','Arial','color','b','fontangle','italic'); grid on; xlabel('X','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); ylabel('Y','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); subplot(2,2,3); plot(t,error1); title('Error ABM4','fontname','Arial','color','b','fontangle','italic'); grid on; xlabel('X','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); ylabel('Y','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); subplot(2,2,4); plot(t,error2); title('Error ABM2','fontname','Arial','color','b','fontangle','italic'); grid on; xlabel('X','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic'); ylabel('Y','fontname','algerian','fontsize',18,'color','b','fo ntweight','bold','fontangle','italic');

15

3.1.2

Hasil

16

17

18

19

20

3.1.4

Grafik

3.1.5

Pengerjaan Secara Manual 1. Dengan Metode ABM Orde 2

Diketahui: dy =( 0.02∗y ) −¿ (y2/109) dt y(0) = 7494701 h=

b−a N

=

15 60

= 0.25

Jawab: *dengan runge kutta orde 2 mencari nilai y1 yi+1 = yi + 

1 (k1+k2) 2

k1= h*f(xi,yi) = 0.25*f(t0,y0) = 0.25*f(0,7494701) 21

= 0.25*[(0.02*7494701) - (74947012/109)] = 0.25*[149894.02-56170.54308] = 0.25*93723.47692 = 23430.86923



k2= h*f(ti+h , yi+k1) = h*f(t0+0.25,y0+k1) = 0.25*f(0.25,7518131.869) = 0.25*[(0.02*7518131.869) – (7518131.8692/109)] = 0.25*[150362.6374-56522.3068] = 0.25*93840.3306 = 23460.08265



y1 = y0 +

1 2

(k1+k2)

= 7494701 +

1 2

(23430.86923 + 23460.08265)

= 7494701 + 23445.47594 = 7518146.476 *dengan AB orde 2 yi+1 = yi +

h 2

( 3fi + fi-1)



f(xi,yi) f(t1,y1)



f(xi-1,yi-1) = f (0,7494701) f(t0,y0) = [(0.02*7494701) – (74947012/109)] = 93723.47692



y*i+1 y*2

= f (0.25,7518146.476) = [(0.02*7518146.476) – (7518146.4762/109)] = 93840.40309

h (3fi – fi-1) 2 h = yi + (3f1 – f0) 2 = 7518146.476 + 0.125 (3*93840.40309 – 93723.47692) = 7541621.193 = yi +

*dengan ABM orde 2 

yi+1 = yi +

h [f(xi , yi) + f(xi+1,y*i+1)] 2 22

h [f(x1 , y1) + f(x2,y*2)] 2 = 7518146.476 + 0.125[93840.40309+f(0.5,7541621.193)] = 7541621.073

y2 = y1 +

2. Dengan Metode ABM Orde 4

*dengan runge kutta orde 4 mencari nilai y1, y2, y3 yi+1 = yi +

1 (k1+2*k2+2*k3+k4) 6

i=1 

k1= h*f(xi,yi) = 0.25*f(0,7494701) = 0.25*[(0.02*7494701) - (74947012/109)] = 0.25*[149894.02-56170.54308] = 0.25*93723.47692 = 23430.86923



k2 = h*f(ti+h/2 , yi+(k1)/2) = 0.25*f(0.125,7506416.435) = 0.25*[(0.02*7506416.435) - (7506416.4352/109)] = 0.25*93782.041 = 23445.51025



k3 = h*f(ti+h/2 , yi+(k2)/2) = 0.25*f(0.125,7506423.755) = 0.25*[(0.02*7506423.755) - (7506423.7552/109)] = 23445.51938



k4 = h*f(ti+h , yi+k3) = 23460.10083



y1 = y0 +

1 (k1+2*k2+2*k3+k4) 6 = 7518146.50489

dengan rumus yang sama, dicari i=2 sampai i=3 i=2 23

    

k1 = 23460.10081 k2 = 23474.62254 k3 = 23474.63151 k4 = 23489.04334 y2 = 7541621.12193

    

i=3 k1 = 23489.09332 k2 = 23503.49511 k3 = 23503.50342 k4 = 23517.84548 y3 = 7565124.61141 *dengan AB orde 4 y*i+1 = yi + h/24 (-9*fi-3 + 37*fi-2 – 59*fi-1 + 55*fi)

 fi-3 = f (0 , 7494701) = 93723.47692  fi-2 = f (0.25 , 7518146.50489) = 93840.40323

 fi-1 = f (0.50 , 7541621.12193) = 93956.37329

 fi = f (0.75 , 7565124.61141) = 94071.38184  y*i+1 = y3 + h/24 (-9*fi-3 + 37*fi-2 – 59*fi-1 + 55*fi) y4* = 7565124.61141 + (0.0625) (-843511.2923 + 3472094.92 - 5543426.024 +5173926.001) = 7706317.317

*dengan ABM orde 4  yi+1 = yi + h/24 (*fi-2 - 5*fi-1 + 19*fi + 9*fi+1)  y4 = y3 + h/24 (*fi-2 - 5*fi-1 + 19*fi + 9*fi+1) = 7565124.61141 + 0.01041666667 (2264065.97) = 7588656.643 24

3.1.6

Pembahasan Pada hasil yang ditampilkan, terdapat variabel t yang menunjukkan tahun, artinya t(1) = 0.00 menunjukkan tahun 2005 dengan jumlah penduduk y(1) = 7.494.701, t(5) = 1.00 menunjukkan tahun 2006 dengan jumlah penduduk y(5) = 7.588.656,73229, dan seterusnya sampai t(61) = 15.00 menunjukkan tahun 2020 dengan jumlah penduduk y(61) = 8.944.168,66640. Selain itu, dari grafik yang ditampilkan dapat terlihat bahwa setiap tahun semakin bertambah jumlah penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan. Selain itu, dari hasil yang diperoleh menggunakan software Matlab dengan hasil sensus penduduk pada tahun 2005-2014 terdapat selisih seperti berikut.

No

Tahun

Hasil Sensus

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

7.494.701 7.629.138 7.700.255 7.805.024 7.908.519 8.034.776 8.115.638 8.250.018 8.342.047 8.432.163 -

Hasil Numerik (sesudah pembulatan) 7.494.701 7.588.657 7.683.066 7.777.915 7.873.186 7.968.863 8.064.929 8.161.368 8.258.162 8.355.294 8.452.746 8.550.500 8.648.538 8.746.841 8.845.391 8.944.169

25

Selisih 0 40.481 17.189 27.109 35.333 65.913 50709 88.650 83.885 76.869 -

BAB IV PENUTUP 4.1. Kesimpulan Berdasarkan penurunan yang dilakukan pada dasar teori, diperoleh skema Metode Prediktor-Korektor sebagai berikut Skema Prediktor: y ¿j +1= y j +

h (−9 f j−3 +37 f j−2−59 f j−1 +55 f j) 24

Skema Korektor: y j +1= y j +

h ( f −5 f j−1+19 f j +9 f ¿j +1) 24 j −2

Metode Prediktor-Korektor pada persamaan logistik dalam memprediksi jumlah penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan menunjukkan bahwa setiap tahunnya jumlah penduduk bertambah. Dengan memilih ukuran langkah h=0,25 yang artinya pertumbuhan penduduk tersebut dilihat setiap 3 bulan menggunakan software Matlab dapat dilihat bahwa hasil pertambahan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan pada tahun 2015 bertambah 97.452 Jiwa, tahun 2016 bertambah 97.754 Jiwa, tahun 2017 bertambah 98.037 Jiwa, tahun 2018 bertambah 98.303 Jiwa, tahun 2019 bertambah 98.549 Jiwa dan tahun 2020 bertambah 98.777 Jiwa. Setelah membandingkan antara Metode Prediktor-Korektor orde 2 dengan orde 4, kami dapat menyimpulkan bahwa kedua metode tersebut terdapat perbedaan yang tidak begitu 26

berpengaruh terhadap pertumbuhan penduduk di Sulawesi Selatan. Perbedaan antara kedua metode tersebut hanya berbeda satu jiwa saja tiap tahunnya dan perbedaan satu jiwa tersebut dihitung dengan menggunakan Metode Prediktor-Korektor orde 2.

27

DAFTAR PUSTAKA

[1]

Tornados,dan Faiz Ahyaningsih. Pengaruh Perubahan Nilai Parameter Terhadap Nilai Error Pada Metode Runge Kutta Orde 3. Medan: FMIPA UNIMED.

[2]

Suryanto Agus. 2016. Persamaan Diferensial Numerik I. Malang: FMIPA-UB. (halaman 29-35).

[3]

Apriadi,

Bayu

Prihandono,

dan

Evi

Noviani.

2014.

Metode

Adams-

Bashforth_Moulton Dalam Penyelesaian Persamaan Diferensial Non Linear. Pontianak: FMIPA-UNTAN. (halaman 108-112) [4]

Sri Redjeki P, 2011,“Persamaan Diferensial” (Diktat Kuliah MA2271 Metode Matematika di Prodi Matematika Institut Teknologi Bandung).

Nurman, Try Azizah dan Sumarni Abdullah. 2014. Penerapan Metode AdamsBashforth-Moulton Pada Persamaan Logistik Dalam Memprediksi Pertumbuhan Penduduk Di Provinsi Sulawesi Selatan. Makassar: FST-UINAM. (halaman 87, 88, dan 90)

28