Laksmana Widi Prasetya (i0416046).docx

Laksmana Widi Prasetya I0416046

TUGAS TRANSLATE GETARAN MEKANIK 2.1 Pengenalan Suatu sistem dikatakan mengalami getaran bebas ketika berosilasi hanya di bawah gangguan awal tanpa ada kekuatan eksternal yang bekerja sesudahnya. Beberapa contoh adalah osilasi dari pendulum jam kakek, gerakan osilasi vertikal yang dirasakan oleh pengendara sepeda setelah menabrak gundukan jalan, dan gerakan anak di ayunan setelah dorongan awal. Gambar 2.1 (a) menunjukkan sistem massa pegas yang mewakili sistem getaran paling sederhana yang mungkin. Ini disebut sistem kebebasan derajat tunggal, karena satu koordinat (x) cukup untuk menentukan posisi massa setiap saat. Tidak ada kekuatan eksternal yang diterapkan massa; karenanya gerakan yang dihasilkan dari gangguan awal adalah getaran bebas.

GAMBAR 2.1 Sistem massa pegas dalam posisi horizontal.

GAMBAR 2.2 Sistem massa pegas setara untuk pengikut kamera. sistem Gambar 1.32. Karena tidak ada elemen yang menyebabkan pembuangan energi selama gerakan massa, amplitudo gerakan tetap konstan dengan waktu; ini adalah sistem yang tidak terbendung. Dalam praktik yang sebenarnya, kecuali dalam ruang hampa, amplitudo getaran bebas berkurang secara bertahap dari waktu ke waktu, karena resistensi yang ditawarkan oleh media sekitarnya (seperti udara). Getaran semacam itu dikatakan lembab. Studi tentang getaran bebas dari sistem kebebasan derajat tunggal yang tidak teredam dan teredam adalah dasar untuk memahami topik yang lebih maju dalam getaran. Beberapa sistem mekanik dan struktural dapat diidealkan sebagai sistem kebebasan derajat tunggal. Dalam banyak sistem praktis, massa didistribusikan, tetapi untuk analisis sederhana, massa dapat

diperkirakan dengan massa titik tunggal. Demikian pula, elastisitas sistem, yang dapat didistribusikan ke seluruh sistem, juga dapat diidealkan oleh pegas tunggal. Untuk sistem kamera yang ditunjukkan pada Gambar 1.39, misalnya, berbagai massa digantikan oleh massa ekuivalen (meq) dalam Contoh 1.7. Elemen-elemen dari sistem pengikut (pushrod, lengan ayun, katup, dan pegas katup) semuanya elastis tetapi dapat direduksi menjadi pegas tunggal yang setara dengan kekakuan keq. Untuk analisis sederhana, sistem cam-pengikut dapat diidealkan sebagai sistem massa pegas tunggal derajat-tunggal, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2. Demikian pula, struktur yang ditunjukkan pada Gambar. 2.3 dapat dianggap sebagai balok penopang yang dipasang di tanah. Untuk studi getaran transversal, massa atas dapat dianggap sebagai

titik massa dan struktur pendukung (balok) dapat didekati sebagai pegas untuk mendapatkan model derajat kebebasan tunggal yang ditunjukkan pada Gambar 2.4. Kerangka bangunan yang ditunjukkan pada Gambar 2.5 (a) juga dapat diidealkan sebagai sistem massa pegas, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.5 (b). Dalam hal ini, karena konstanta pegas k hanyalah rasio gaya terhadap defleksi, konstanta pegas dapat ditentukan dari sifat geometrik dan material kolom. Massa sistem ideal adalah sama dengan lantai jika kita menganggap massa kolom dapat diabaikan.

GAMBAR 2.4 Pemodelan struktur tinggi sebagai sistem pegas-massa

GAMBAR 2.5 Idealisasi bingkai bangunan.

2.4 Respon Sistem Orde Pertama dan Konstan Waktu Pertimbangkan rotor turbin yang dipasang di bantalan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.17 (a). Cairan kental (pelumas) pada bantalan menawarkan torsi redaman viskos selama rotasi turbin rotor. Dengan asumsi momen massa inersia rotor tentang sumbu rotasi sebagai J dan konstanta redaman rotasi bantalan sebagai Cl, aplikasi kedua Newton hukum gerak menghasilkan persamaan gerak rotor sebagai di mana kecepatan sudut rotor ω, adalah laju waktu perubahan sudut kecepatan, dan torsi eksternal yang diterapkan ke sistem diasumsikan nol. Kami berasumsi kecepatan sudut awal, ω (t = 0) = ω0 sebagai input dan kecepatan sudut rotor sebagai output dari sistem. Perhatikan bahwa kecepatan sudut, alih-alih perpindahan sudut, dianggap sebagai output untuk mendapatkan persamaan gerak sebagai yang pertama memesan persamaan diferensial. Solusi dari persamaan gerak rotor, Persamaan. (2.47), dapat ditemukan dengan asumsi solusi percobaan sebagai

di mana A dan s adalah konstanta yang tidak diketahui. Dengan menggunakan kondisi awal, ω (t = 0) = ω0 Persamaan (2.48) dapat ditulis sebagai

Dengan mengganti Persamaan. (2.49) ke Persamaan. (2.47), kita dapatkan Karena ω0 = 0 mengarah ke “tanpa gerakan” rotor, kami menganggap ω0 ≠ 0 dan Persamaan. (2.50) bisa jadi benar hanya jika 𝑐𝑡

Persamaan (2.51) dikenal sebagai persamaan karakteristik yang menghasilkan s = − 𝐽 . Demikianlah solusi, Persamaan (2.49), menjadi

Variasi kecepatan sudut, diberikan oleh Persamaan (2.52), dengan waktu ditunjukkan pada Gambar. 2.17 (b). Kurva dimulai pada ω0, meluruh dan mendekati nol karena t bertambah tanpa batas. Dalam berurusan dengan respon membusuk secara eksponensial, seperti yang diberikan oleh Persamaan. (2.52), akan lebih mudah untuk menggambarkan respons dalam hal kuantitas yang dikenal sebagai konstanta waktu (T). Konstanta waktu didefinisikan sebagai nilai waktu yang

membuat eksponen dalam Persamaan. (2.52) ct sama dengan - 1. Karena eksponen Persamaan. 𝑐𝑡 (2,52) dikenal sebagai - 𝐽 , waktu konstan akan sama dengan

sehingga Persamaan. (2.52) memberi, untuk t = T,

Dengan demikian responsnya berkurang hingga 0,368 kali lipat dari nilai awalnya pada waktu yang sama dengan konstanta waktu sistem.

2.5 Metode Energi Rayleigh Untuk sistem derajat kebebasan tunggal, persamaan gerak diturunkan dengan menggunakan metode energi dalam Bagian 2.2.2. Pada bagian ini, kita akan menggunakan metode energi untuk menemukan frekuensi alami dari sistem derajat kebebasan tunggal. Prinsip pelestarian energi, dalam konteks sistem getar yang tidak terkendali, dapat dinyatakan kembali sebagai T1 + U1 = T2 + U2

(2.55)

di mana subskrip 1 dan 2 menunjukkan dua contoh waktu yang berbeda. Secara khusus, kami menggunakan subskrip 1 untuk menunjukkan waktu ketika massa melewati posisi keseimbangan statis dan memilih U1 = 0 sebagai referensi untuk energi potensial. Jika kita membiarkan subskrip 2 menunjukkan waktu yang sesuai dengan perpindahan maksimum massa, kita memiliki T2 = 0. Dengan demikian Persamaan. (2.55) menjadi T1 + 0 = 0 + U2

(2.56)

Jika sistem mengalami gerakan harmonik, maka T1 dan U2 menunjukkan nilai maksimum T dan U, masing-masing, dan Persamaan. (2.56) menjadi Tmax = Umax

(2.57)

Penerapan Persamaan. (2.57), yang juga dikenal sebagai metode energi Rayleigh, memberikan frekuensi alami sistem secara langsung, seperti yang diilustrasikan dalam contoh berikut. Contoh 2.7 Manometer untuk mesin diesel Knalpot dari mesin diesel empat langkah silinder tunggal harus dihubungkan ke peredam, dan tekanan di dalamnya harus diukur dengan manometer tabung-U sederhana (lihat Gambar 2.18). Hitung panjang minimum tabung manometer sehingga frekuensi alami osilasi kolom merkuri akan 3,5 kali lebih lambat daripada frekuensi fluktuasi tekanan pada peredam pada kecepatan mesin 600 rpm. Frekuensi fluktuasi tekanan pada peredam sama dengan 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑥 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛 2

Solusi 1. Frekuensi alami osilasi kolom cair: Biarkan datum pada Gambar 2.18 diambil sebagai posisi kesetimbangan cairan. Jika perpindahan kolom cair dari posisi keseimbangan dilambangkan dengan x, perubahan energi potensial diberikan oleh U = energi potensial kolom cair terangkat + energi potensial kolom cair tertekan = (berat merkuri meningkat * perpindahan C.G segmen) + (berat merkuri tertekan * perpindahan C.G. segmen)

di mana A adalah luas penampang kolom merkuri dan g adalah berat spesifik merkuri. Perubahan energi kinetik diberikan oleh

di mana l adalah kolom panjang merkuri. Dengan mengasumsikan gerak harmonik, kita dapat menulis

di mana X adalah perpindahan maksimum dan vn adalah frekuensi alami. Dengan mengganti Eq. (E.3) ke dalam Persamaan. (E.1) dan (E.2), kami dapatkan

Dimana

Dan

Dengan menyamakan Umax ke Tmax, kami memperoleh frekuensi alami:

2. Panjang kolom merkuri: Frekuensi fluktuasi tekanan pada peredam

Dengan demikian frekuensi osilasi kolom cair dalam manometer adalah 10 pi / 3,5 = 9,0 rad / detik. Dengan menggunakan Persamaan. (E.8), kami dapatkan

Contoh 2.8 Efek Massa pada Vn Spring Tentukan efek dari massa pegas pada frekuensi alami dari sistem pegas-massa yang ditunjukkan pada Gambar. 2.19. Solusi: Untuk menemukan efek dari massa pegas pada frekuensi alami dari sistem massa-pegas, kami menambahkan energi kinetik sistem ke massa yang melekat dan menggunakan metode energi untuk menentukan frekuensi alami. Biarkan aku menjadi total panjang pegas. Jika x menunjukkan perpindahan ujung bawah pegas (atau massa m), perpindahan pada jarak y dari dukungan diberikan oleh y (x / l). Demikian pula, jika x menunjukkan kecepatan massa m, kecepatan pegas elemen yang terletak pada jarak y dari dukungan diberikan oleh y (x / l). Energi kinetik pegas elemen panjang dy adalah

di mana ms adalah massa pegas. Total energi kinetik dari sistem dapat dinyatakan sebagai

Total energi potensial sistem diberikan oleh

Dengan mengasumsikan gerak yang harmonis di mana X adalah perpindahan maksimum massa dan ωn adalah frekuensi alami, energi kinetik maksimum dan potensial dapat dinyatakan sebagai

Dengan menyamakan Tmax dan Umax, kami memperoleh ekspresi untuk frekuensi alami:

Dengan demikian efek dari massa pegas dapat diperhitungkan dengan menambahkan sepertiga dari massa ke massa utama [2.3]. Contoh 2.9 Pengaruh Massa Kolom pada Frekuensi Alami Tangki Air Temukan frekuensi alami getaran melintang dari tangki air yang dipertimbangkan dalam Contoh 2.1 dan Gbr. 2.10 dengan memasukkan massa kolom. Solusi: Untuk memasukkan massa kolom, kami menemukan massa setara kolom pada ujung bebas menggunakan ekivalensi energi kinetik dan menggunakan model derajat kebebasan tunggal untuk menemukan frekuensi getaran alami. Kolom tangki dianggap sebagai balok penopang yang dipasang di satu ujung (tanah) dan membawa massa M (tangki air) di ujung lainnya. Lendutan statis balok kantilever di bawah beban akhir terkonsentrasi diberikan oleh (lihat Gambar 2.20):

Energi kinetik maksimum dari balok itu sendiri (Tmax) diberikan oleh

di mana m adalah total massa dan (m / l) adalah massa per satuan panjang balok. Persamaan (E.1) dapat digunakan untuk menyatakan variasi kecepatan, y (x), sebagai

dan karenanya Persamaan. (E.2) menjadi

Jika meq menunjukkan massa setara kantilever (tangki air) di ujung bebas, energi kinetik maksimumnya dapat dinyatakan sebagai

Dengan menyamakan Persamaan. (E.4) dan (E.5), kami dapatkan

Jadi total massa efektif yang bekerja pada ujung balok kantilever diberikan oleh di mana M adalah massa tangki air. Frekuensi alami getaran melintang dari tangki air diberikan oleh