Laboratorio 2_2017 (1).pdf

Facultad de Ingeniería Curso: Sistemas Automáticos de Control William Ipanaqué

Laboratorio 2: Análisis de respuesta en frecuencia 1. Objetivos  Aplicación del significado físico de la función de transferencia  Obtención del diagrama de Bode a partir de pruebas hechas sobre un modelo  Análisis de la influencia de los polos y ceros usando los diagramas de Bode y de Nyquist 2. Fundamento teórico El análisis de la respuesta en frecuencia está basado en la relación de  respecto a  y en la relación de y0  f0 respecto a ., por lo tanto, debemos hacer un análisis previo de estas cantidades. Sabemos ya que la relación que existe entre la entrada y la salida de un sistema en el plano de Laplace, está determinada por la función de transferencia del mismo.

Y ( s)  T ( s) F ( s) Donde:

(1)

Y(s) = salida del sistema en el plano de Laplace. F(s) = entrada del sistema en el plano de Laplace. T(s) = función de transferencia del sistema. T ( s) 

b0  b1 s  ...  bn s n a 0  a1 s  ...  a m s m

m>n

(2)

Tal y como ya se discutió, la respuesta en frecuencia corresponde a una entrada senoidal, por lo tanto:

f (t )  f 0 sen  t F (s)  L f 0 sen  t =

(3)

 f0  f0 = 2 ( s  j )(s  j ) s  2

(4)

Según este tipo de entrada y la función de transferencia propia del sistema, la salida estará expresada por:  b  b1 s  ...  bn s n Y ( s)   0 m  a 0  a1 s  ...  a m s

  f0      ( s  j )( s  j )   

(5)

Esta expresión se puede ordenar de modo que quede como la suma de fracciones simples cuyos denominadores posean las raíces del sistema, las cuales deben tener parte real negativa. Esta expresión es similar a la siguiente:

Y ( s) 

Kn Kc K c K1      s  z1 s  z n s  j s  j

(6)

La respuesta en el tiempo tendrá entonces la siguiente forma: y(t )  K1e z1t     K n e znt 

1



K ( j ) sen( t   )

(7)

Incidimos en el hecho de que los polos zi del sistema deben tener parte real negativa de modo que en el régimen permanente la respuesta estará determinada por el último término de la ecuación (7). y(t ) ss 

1



K ( j ) sen( t   )

(8)

Los términos K ( j ) y  están expresados como sigue:

K ( j )  T (s)  f 0

(9)

  T(j)

(10)

Reemplazando (9) en (8) tenemos:

y(t ) ss  T ( j ) f 0 sen( t   ) = y0 sen ( t +  )

(11)

De la ecuación (11) podemos observar que la amplitud y0 de la respuesta en el estado estacionario y(t)ss está dada por:

y 0  T ( j ) f 0

(12)

La relación de amplitudes es:

y0  T ( j ) f0

(13)

La respuesta del sistema a una entrada senoidal estará caracterizada entonces por la relación de amplitudes y por el desfase, ecuaciones (13) y (10) respectivamente. 3. Trabajo a realizar Interpretación física de la función de transferencia En este parte del laboratorio utilizaremos el siguiente esquema de Simulink.

El trabajo constará de los siguientes pasos: 1. Se ira aplicando entradas sinusoidales de amplitud unitaria, de desfase cero y de frecuencia variable. Los bloques To Workspace nos permitirán trabajar con los vectores de entrada y de salida en el entorno Matlab. El tiempo de simulación deberá ser el adecuado según la frecuencia de la señal de entrada. 2. Se calculará la relación de ganancia que relaciona la amplitud de la salida entre la amplitud de entrada. Esta ganancia deberá calcularse tomando datos del período estacionario. Las amplitudes se pueden obtener por observación de los resultados gráficos o de los vectores de datos. 3. De la misma manera se calculará el desfase entre las señales de entrada y de salida. Las sugerencias son las mismas que para el cálculo de la ganancia. Por ejemplo para el caso de frecuencia igual a 1 radián por segundo, se tiene los siguientes resultados.

La señal color azul corresponde a la entrada y la señal color rojo a una salida. Los puntos son los que se tomarán en cuenta para el cálculo de la ganancia y del desfase, ya que en ese rango de tiempo las señales ya están en estado estacionario. Para poder extraer la información de dichos puntos, usaremos una función extract para extraer información de un rango determinado de tiempo. Los parámetros de entrada son los vectores de tiempo, entrada y salida, y los límites de tiempo inferior y superior para la extracción de datos. Las salidas son los vectores de tiempo, entrada y salida con la información extraída en el rango especificado por los límites. >>[t2,u2,y2,i1,i2]=extract(t,u,y,87,92); En la fila anterior, se extrae los datos de los vectores t,u e y correspondiente al período de tiempo correspondiente entre 87 y 92;

Esto nos permitirá calcular más fácilmente la ganancia y el desfase entre las señales de entrada y de salida. Puede usarse la siguiente rutina de Matlab: [t2,u2,y2,i1,i2]=extract(t,u,y,87,92); [ym,i1]=max(y2); [um,i2]=max(u2); gan=max(y2)/max(u2) desf=(t2(i2)-t2(i1)) Para el caso de frecuencia igual a 1 radián los resultados son: una ganancia igual a 0.2425 (variable gan) y un desfase de -1.3272 radianes (variable desf). Se debe escoger un rango de tiempo apropiado donde haya un máximo de la señal de entrada y una de la salida. De esta manera se va calculando las diferencias ganancias y desfases para diferentes frecuencias. Se sugiere tabular los resultados de la siguiente manera: 

T(j)

T(j)

Una vez calculados un número adecuado de valores de T ( j ) y T ( j ) es posible construir los diagramas de Bode y de Nyquist.

Influencia de polos y ceros en los diagrama de frecuencia En esta parte se utilizará los diagramas de bode y de Nyquist para graficar las respuesta en frecuencia de la funciones. Los datos que se necesitan son la ganancia del sistema, los polos, los ceros y el retardo. Como ejemplo, en la siguiente gráfica se ve el diagrama de bode de la siguiente función de transferencia:

5( s  2)e 2 s T ( s)  ( s  0.1)( s  100)

Usando esta herramienta gráfica se pide lo siguiente: a)

Diseñar un filtro pasabaja con frecuencia de corte de 20 radianes/s. La ganancia para frecuencias inferiores a la de corte debe ser de 20 decibelios. Para frecuencias superiores a la de corte la pendiente deber ser de -40 decibelios/década.

b) Diseñar un filtro pasa alta con frecuencia de corte de 10 radianes/s. La ganancia para frecuencias inferiores a la de corte debe ser de 40 decibelios. Para frecuencias superiores a la de corte la pendiente deber ser 60 decibelios/década. c)

Diseñar un filtro pasabanda con una frecuencia de corte inferior (  m ) de 100 radianes/s y una de corte superior (  n ) de 250 radianes/s. La ganancia de este filtro es 40 decibelios

d) Proponer una aplicación o ejemplo práctico (Utilizar de preferencia la función de transferencia de proceso del trabajo del curso), analizar y comentar su comportamiento según el diagrama de Bode del mismo. e)

Elaborar metodología paso a paso (detallada) de cómo obtener una función de transferencia en base a un diagrama de Bode. Dar 2 ejemplos.

f)

Identificar limitaciones, ventajas y desventajas del uso del diagrama de Bode. Dar ejemplos.

En los casos planteados se debe comparar los diagramas de Bode simplificados y reales.

20logT(j) m

n log

2

Informe: El informe debe contener los siguientes puntos: 1. Interpretación física de la función de transferencia: reconstruir los diagramas de bode y nyquist de las siguientes funciones de transferencia. (6 p) a. 𝑠2

1 + 2𝑠 + 1

b. 1 𝑠 2 + 0.1𝑠 + 1 c. 𝑒 −2𝑠 𝑠 2 + 0.1𝑠 + 1 2. Influencia de polos y ceros en los diagrama de frecuencia: apartados de a) a f), comentar los resultados. En los casos planteados se debe comparar los diagramas de Bode simplificados y reales. (6 p) 3. Conclusiones de los puntos anteriores. (4 p).