Laboratorio-2-thevenin-norton-maxpot (2).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INEGENIERÍA MECÁNICA

Profesor: Ing. Sinchi Francisco Sección: “B” Apellidos y Nombres      

:

Ccarita Ccoyo, Joel Chaiña Lopez, Carlos Garcia Chavez, Gabriel Enrique Palomino Rondinel, Cristhian Paucar de la Cruz, Alejandro Sotelo Astiyaure, José Valerio

2017-I

20140167J 20140395B 20154004K 20080191G 20142508I 20144057D

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ÍNDICE Objetivos Fundamento Teórico Simulaciones Cuestionario Conclusiones Observaciones Recomendaciones Bibliografía

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OBJETIVOS 

Analizar y verificar en forma experimental los teoremas propuestos a partir de los datos tomados en el laboratorio.



Desarrollar la capacidad analítica: aislar fenómenos y detectarlos mediante la prueba adecuada.



Comprobar que un circuito eléctrico puede ser reducido, entre dos puntos, a una fuente de voltaje y una resistencia en serie (Teorema de Thevenin) o a una fuente de corriente y una resistencia en paralelo (Teorema de Norton).



Verificar que, para obtener una potencia máxima en una resistencia, el valor de esta debe ser igual al del equivalente Thevenin. Calcular el valor de esta resistencia.

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FUNDAMENTO TEÓRICO TEOREMA DE THEVENIN La Figura 1 esquematiza el concepto básico del Teorema de Thévenin: “Dado un circuito lineal cualquiera N, para un par de terminales A y B de dicho circuito, es posible encontrar un circuito equivalente formado por una fuente de voltaje ideal en serie con una resistencia, de manera tal que ese circuito de dos terminales produzca los mismos valores de voltaje y corriente en esos terminales (conectados o no a otro circuito) que el circuito original”. La fuente de voltaje tendrá un valor conocido como Voltaje de Thévenin VTH y la resistencia tendrá un valor conocido como Resistencia de Thévenin RTH. Este teorema nos permite introducir un método de análisis de circuitos adicional: dividir el circuito original en componentes de dos puertos, que son equivalentes de Thévenin de una parte del circuito, los cuales se interconecten entre sí. Esto permite realizar cálculos más sencillos que con el circuito completo. Como se verá en los circuitos con inductancias o capacitancias, el análisis del comportamiento de corrientes y voltajes en circuitos de primer y segundo orden, mediante ecuaciones diferenciales, también se simplifica utilizando el equivalente de Thévenin entre los terminales de las capacitancias o inductancias, de las cuales se quieren analizar los fenómenos transitorios, al utilizar las fórmulas encontradas para circuitos RC o RL, que están formados por una capacitancia o una inductancia en serie con una resistencia y una fuente de voltaje.

Figura 1: Teorema de Thevenin. CÁLCULO DEL EQUIVALENTE DE THÉVENIN La Figura 2 muestra el método de la fuente de prueba en la cual al conectar la fuente de voltaje vab entre los terminales A y B de cualquiera de los dos circuitos (a) y (b) se debe producir la misma corriente iab , dado que los dos circuitos son equivalentes. De la Figura2.b tenemos:

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Figura 2: Método de la fuente de prueba. Por tanto para encontrar el equivalente debemos calcular sobre el circuito original (Figura2.a) vab en función de iab, de manera que nos dé una expresión de la forma:

Y por comparación se tiene que:

Por supuesto que el cálculo de Vx y Rx requiere la aplicación de técnicas de análisis de circuitos para encontrar la expresión deseada.

CÁLCULO DEL EQUIVALENTE DE NORTON

Figura 3: Equivalente Norton. Se puede obtener a partir del equivalente de Thévenin aplicando transformación de fuentes Figura 4. Sin embargo, existen métodos similares a los del equivalente de Thévenin para encontrar el equivalente de Norton sin pasar por el equivalente de Thévenin.

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Figura 4: Transformación de fuentes. La principal manera de calcular el equivalente de Norton se muestra en la Figura 4.a, en la cual vemos que para la Figura 4.b se tiene:

De manera que como se hizo para el caso de Thévenin, al calcular en el circuito de la Figura 4.a iab en función de vab nos dé una expresión de la forma:

Y por comparación se tiene que:

Figura 5: Equivalencia entre circuito Thevenin y Norton. Si en el circuito original N se hace un corto circuito entre los terminales A y B como se muestra en la Figura 5.a, se tiene que vab = 0, y por lo tanto la ecuación para iab para la Figura 5.b se convierte en: y la ecuación para iab para la Figura 6-8.a se convierte en: Como Ix es la corriente entre A y B al hacer el corto circuito (Figura 5.a) esta corriente se denomina la corriente de corto circuito isc. De manera que:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INEGENIERÍA MECÁNICA Esto significa que para calcular el valor de la fuente de corriente del equivalente de Norton (Figura 5.b) se calcula la corriente de corto circuito isc, haciendo un corto entre los terminales A y B del circuito original N (Figura 5.a). Luego se calcula la resistencia de Norton de la misma manera que se calculó la de Thévenin: se apagan las fuentes independientes y se calcula la resistencia equivalente.

con IN = 0 , de manera que

Otra relación importante que se desprende de todo lo anterior es:

MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Figura 6: Equivalente Thevenin. Cuando una fuente o un circuito se conectan a una carga cualquiera es deseable que tal fuente o circuito pueda transmitir la mayor cantidad de potencia a la carga que la recibe. La Figura 6 .a muestra un equivalente de Thévenin de un circuito cualquiera (a la izquierda de AB) conectado a una carga cualquiera. Al conectar esta carga aparece un voltaje Vc y una corriente Ic entre los nodos A y B. Para determinar las condiciones en las cuales se presenta máxima transferencia de potencia de un circuito a otro vamos a considerar dos casos: el primero en el cual solo hay una carga resistiva, y el segundo en el cual la carga puede tener elementos pasivos y activos. MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA CON CARGA RESISTIVA En el caso particular de que la carga sea una resistencia Rc (Figura 6 .b) tendremos:

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La Figura 7 muestra la variación de la potencia absorbida por la carga Pc en función de Rc.

Figura 7: Grafica Pc vs Rc. Como se puede apreciar en la gráfica la potencia absorbida –que es una función cuadrática- alcanza un máximo. Este valor máximo se calcula derivando la potencia e igualando a cero, con lo cual se encuentra que la potencia tendrá un máximo cuando:

De manera que para que haya máxima transferencia de potencia desde el circuito a la izquierda de AB (representado por su equivalente de Thévenin) se debe tener que la resistencia de la carga sea igual a la resistencia de Thévenin. Adicionalmente, dado que estás dos resistencia son iguales, por divisor de voltaje se tiene que el voltaje máximo en Vc es Vcmax es la mitad de Vth:

En este caso la potencia máxima transferida será:

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MATERIALES

Dos Multímetros Multímetro CIE 122 destinado a medir el voltaje, intensidad y la frecuencia.

Panel resistivo Panel que consta de resistencias de diferentes valores.

Cables Necesarios conexiones

para

realizar

las

Fuente de alimentación Fuente de alimentación la cual nos brindara los 20 voltios necesarios para realizar la experiencia

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PROCEDIMIENTO 1. Armamos los circuitos que deseamos analizar, reconociendo las resistencias a utilizar.

2. Una vez armado el circuito lo alimentamos con una fuente de corriente continua, la Figura. Jorge y Fernando terminando de darle los últimos ajustes al circuito cual será graduada a 20 voltios.

Figura 8. Circuito 1 terminado y listo para realizar las mediciones

Figura 9. Circuito 2 terminado y listo para realizar las mediciones

3. Procedemos a medir el voltaje de Thevenin entre los nodos c-d. Esto se hace después de desconectar e resistor RL y dejar los bornes c-d a circuito abierto.

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4. Luego cortocircuitamos los bornes cd y medimos los voltajes c-d y procedemos a medir los voltajes en los extremos cercanos para tal como vemos en la figura 8 calculamos la intensidad de corriente gracias a las leyes de Kirchhoff.

5. Luego con los bornes c-d y el circuito abierto, retiramos la fuente y cortocircuitamos los bornes a-b, luego medimos con el Multímetro (usándolo como ohmímetro) la resistencia entre los bornes c-d.

6. Conectamos la fuente en los bornes c-d a una tensión de 20 voltios, midiendo la corriente que entrega dicha fuente.

Figura 10. realizando mediciones con el multímetro

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CUESTIONARIO Parte I: Circuito Nº 2 1.- Hacer un diagrama del circuito usado, indicando las mediciones efectuadas en la carga en los pasos 1,2 y 3 del procedimiento del laboratorio 2 del manual de laboratorio de circuitos eléctricos.

Figura 11. Circuito usado en la experiencia. 2.- Con las mediciones efectuadas armar el circuito Thevenin y Norton equivalente y verificar la tensión y corriente de la carga. Explicar los errores que se puedan tener.

Figura 12. Circuito Thevenin hallado experimentalmente.

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Figura 13. Circuito Norton hallado experimentalmente. Como se aprecia en los circuitos equivalentes, la carga tienen intensidad de corriente y tensión similares, esto se debe a que la corriente de Norton se halló al dividir la tensión Thevenin entre la resistencia equivalente a falta de amperímetro que pueda medir corriente en DC en el laboratorio. 3.- Con los datos de las resistencias medidas, hallar las incógnitas de RL en forma directa. Hallar teóricamente el circuito Thevenin y Norton, verificando los teoremas propuestos. Explicar las posibles causas de error.

Figura 14. Cálculo teórico de la tensión Thevenin usando los valores de resistencias experimentales.

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Figura 15. Cálculo teórico de la resistencia equivalente (se eliminan las fuentes independientes).

Figura 16. Calculo de la corriente Norton usando valores experimentales de las resistencias.

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Tabla 1. Comparación de valores. Error Teórico Experimental (%) VTH (V) IN (mA) REQ (kΩ)

5.11

5.14

-0.59

0.47

0.47

0.00

10.84

10.84

-0.02

Como se aprecia en la tabla de anterior los errores son menores, pero existen y esto se pude deber que al momento del cálculo ocurran aproximaciones. 4.- Investigar sobre las limitaciones para aplicar los teoremas de Thevenin y Norton en Circuitos Eléctricos. Para poder aplicar estos teoremas en un circuito, este debe ser lineal y activo con 2 terminales de salida. Si se trabaja con impedancias éstas deben estar a frecuencia que hayan sido calculados. Si son resistencias éstas deben poseer un valor constante en el tiempo. Algunos circuitos contienen una o más fuentes dependientes de corrientes o voltajes así como independientes. La presencia de una fuente dependiente impide obtener directamente la resistencia equivalente a partir de la simple reducción del circuito usando las reglas para resistencias en serie y en paralelo. En este caso se procede a calcular de forma indirecta, calculándose la tensión a circuito abierto y luego la corriente de cortocircuito. 5.- Busque algunas aplicaciones de los teoremas usados y explicar las ventajas que ofrecen. En los sistemas eléctricos grandes, por ejemplo, se suele utilizar la reducción de Thevenin para el cálculo de corrientes máximas en condiciones de falla (cortocircuitos) en las redes (y así calcular y coordinar sus protecciones), ya que podemos representar a todo el sistema de un país con una simple fuente de voltaje con una impedancia en serie. La reducción de circuitos y redes complejas a una forma simple que permite un análisis simple. Utilizado en redes eléctricas de Potencia, para análisis de estabilidad de la red y localización de fallas. Se utiliza en la caracterización (o sea, determinación de parámetros) de semiconductores, dispositivos piezoeléctricos, etc.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INEGENIERÍA MECÁNICA 6.- ¿Cómo se aplica los teoremas de Thevenin y Norton en los circuitos que presentan fuentes controladas? Sea el circuito:

-

Caculo de voltaje Thevenin

En este caso se deja en circuito abierto los bornes a-b, se eliminan las fuentes independientes manteniendo las dependientes y se calcula la tensión entre a y b que es la tensión Thevenin. - Cálculo de corriente Norton Para este caso se deja en cortocircuito los bornes a-b, eliminan la fuentes independientes pero manteniendo las fuentes independientes. La corriente que circula de a hacia b será la corriente de Norton. - Cálculo de Resistencia equivalente Las fuentes dependientes NO SE PUEDEN ANULAR para calcular RTH o RN, solo se anulan las fuentes independientes y que se aplica el método I-V, se aplica una tensión Vx en bornes donde se quiere obtener Req y se determina la corriente Ix, de modo que:

Otra forma de calcular la resistencia equivalente es la de dividir la tensión de Thevenin entre la corriente Norton.

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Parte II 1. Hacer un diagrama del circuito utilizado y en un cuadro aparte dar los valores de VL e IL obtenidos por medición directa, y el correspondiente valor de RL determinado indirectamente

Figura 17. Esquema del circuito empleado

Tabla 2. Voltajes y Corrientes de cada resistencia utilizada en RL R(kΩ) 2.336 2.345 3.257 4.617 6.18 7.35 17.36 18.68 20.56 22.73 25.41 27.46 28.17 29.53 30.35

V(volts) 2.489 2.497 2.969 3.466 3.857 4.074 4.894 4.942 5.008 5.06 5.143 5.186 5.21 5.231 5.247

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I(mA) 1.06549658 1.06481876 0.91157507 0.75070392 0.62411003 0.55428571 0.28191244 0.26456103 0.24357977 0.22261329 0.20240063 0.18885652 0.18494853 0.17714189 0.17288303

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2. En la misma tabla indicar el valor de la potencia PL que se consume en RL y P1, que es la potencia que entrega la fuente. R(kΩ) 2.336 2.345 3.257 4.617 6.18 7.35 17.36 18.68 20.56 22.73 25.41 27.46 28.17 29.53 30.35

P(mW) 2.65202098 2.65885245 2.70646638 2.60193979 2.40719239 2.25816 1.37967949 1.3074606 1.21984747 1.12642323 1.04094644 0.97940991 0.96358182 0.92662922 0.90711727

P1 (mW) 15.4935406 15.5424989 18.3938082 21.3662669 23.6830664 24.9608379 29.7295543 30.0048026 30.3851204 30.6805615 31.1629184 31.409839 31.5508749 31.6702585 31.7627241

Tabla 3. Potencias consumidas por la resistencia y potencias generadas por la fuente de 20 V. 3. Graficar PL vs RL, para determinar gráficamente el valor de RL con el que se obtiene el valor de la resistencia de carga que absorbe la máxima potencia

Figura 18. Potencia consumida vs Resistencia (RL) Valor de RL que consume la potencia máxima: 𝑹𝑳 = 𝟑. 𝟐𝟓𝟕 𝒌Ω

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4. Calcular en cada caso el valor de la eficiencia “n”

𝒏= R(kΩ) 2.336 2.345 3.257 4.617 6.18 7.35 17.36 18.68 20.56 22.73 25.41 27.46 28.17 29.53 30.35

𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝑹𝑳 𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆 P(mW) 2.65202098 2.65885245 2.70646638 2.60193979 2.40719239 2.25816 1.37967949 1.3074606 1.21984747 1.12642323 1.04094644 0.97940991 0.96358182 0.92662922 0.90711727

n (eficiencia) 0.17116946 0.17106982 0.14714008 0.12177793 0.10164192 0.09046812 0.04640768 0.04357504 0.04014621 0.03671456 0.03340337 0.03118163 0.03054057 0.02925866 0.02855918

Tabla 2. Voltajes y Corrientes de cada resistencia utilizada 5. Graficar n vs RL y determinar el valor de “n” correspondiente al valor de RL que da la máxima potencia

Figura 19. Eficiencia vs Resistencia (RL) Valor de eficiencia para RL que absorbe potencia máxima: 𝒏 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟏𝟒

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INEGENIERÍA MECÁNICA 6. Comparar el valor de RL obtenido gráficamente que da la máxima potencia con la resistencia que presenta la red pasiva entre los bornes cd. La resistencia pasiva entre los bornes cd será la correspondiente al equivalente Thevenin, de este modo: 𝑹𝑻𝑯 = 𝟑. 𝟎𝟗𝟏 𝒌Ω Comparando este valor con el valor de RL que da la potencia máxima se obtiene el siguiente error: 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑨𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟔 %𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 = %𝟓. 𝟑𝟕𝟎𝟒 7. Dar el circuito Thevenin equivalente de la red activa que alimenta R L en el circuito utilizado, mostrando el valor de RL que absorbe la máxima potencia y “n”.

Figura 20. Equivalente Thevenin para la resistencia que consume mayor potencia.

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CONCLUSIONES  Se comprueba experimentalmente los teoremas de Thevenin y Norton para circuitos lineales.  Se demuestra que la resistencia equivalente es igual a la resistencia Thevenin y la resistencia Norton.  Se demuestra que cuando se conecta el ohmmimetro al circuito es mostrara la resistencia equivalente de todo el circuito y no solo del elemento al cual se cree esta conectado.  Como el error presentado entre la resistencia de Thevenin y la resistencia que disipa mayor calor es del 5.4%, aproximadamente, se logra corroborar que la mayor potencia se da cuando la resistencia analizada sea igual a la resistencia del equivalente Thevenin.  Debido a que las gráficas de las Figuras 18 y 7 presentan la misma tendencia, se puede concluir que las medidas tomadas cumplen fielmente con la relación de Potencia y resistencia presentada en el marco teórico  Se concluye que, si bien para un valor de resistencia se da una máxima transferencia de potencia, este valor de resistencia no supondrá una máxima eficiencia con respecto a la potencia entregada por la fuente. (Figura 19)  De las tres conclusiones anteriores, se da la conclusión final de que el Teorema de máxima transferencia de potencia fue verificado correctamente.

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OBSERVACIONES 

Se observa que la tendencia de la Figura 18 coincide con la teórica de la Figura 7, presentada en el marco teórico (Se tiene un único punto máximo de potencia cercano al eje de las potencias)

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RECOMENDACIONES

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BIBLIOGRAFÍA Páginas web: -

TEOREMA THEVENIN. Recuperado el 15 de abril. Disponible en:

http://unicrom.com/el-teorema-de-thevenin-circuito-equivalente-vth-rth-simplificacionde-circuitos/ -

ANÁLISIS DEL TEOREMA THEVENIN. Recuperado el 15 de abril. Disponible en:

http://www.fisicapractica.com/thevenin.php -

CIRCUITOS ELECTRICOS. Recuperado el 15 de abril. Disponible en:

http://www.unedcervera.com/c3900038/estrategias/estrategias_thevenin.html -

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https://www.ecured.cu/Teorema_de_Thévenin -

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http://gco.tel.uva.es/tutorial_cir/tema3/thev_nor.htm -

TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA. Recuperado el 15 de abril. Disponible en:

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/2750/2954/html/46_teorema_de _norton.html -

TEOREMA DE NORTON. Recuperado el 15 de abril. Disponible en:

https://cel1manv11.wikispaces.com/Teorema+de+Norton?responseToken=774daa615ad4f97b9fb7 972acc9bf50d

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