Laboratorio 2 Fcop.docx

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito. Ochoa, Tobon, Espinosa, Buendia, Solórzano

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Oscilaciones Forzadas Buendia, Miguel., Apellido, Solórzano Felipe, y Espinosa , Daniel. [email protected] [email protected] [email protected] Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito 

Resumen— Lo hecho en la práctica inicialmente fue tomar las medidas necesarias para obtener lo que necesitamos, tales como la casa de la cuerda, la longitud de la cuerda, la densidad y la longitud de la cuerda hasta el nodo del sistema. con estas medidas, pudimos proceder en hacer uso de las fórmulas para determinar la velocidad que la cuerda tiene al mantener la frecuencia anteriormente calculada y luego obtener la frecuencia aproximada a la que se debe trabajar para obtener el número de nodos deseado, procediendo a hacer el mismo procedimiento, pero con una masa cambiante en el sistema para finalmente poder comparar los resultados dados teóricamente con los dados en el experimento como tal y definiendo su error porcentual. Índice de Términos— Oscilaciones, Resonancia, Frecuencia, Periodo, Movimiento Armónico Simple (MAS), Nodos. I. INTRODUCCIÓN En el presente informe, vamos a estudiar y determinar la velocidad de una cuerda primero haciendo los cálculos y luego probando los resultados en un sistema de cuerda, donde nosotros vamos a medir cuanta frecuencia necesita la cuerda para formar cierto número de nodos en la misma mientras oscila consiguiendo una oscilación armónica de n nodos. II. OBJETIVOS El objetivo de esta practica es evidenciar las oscilaciones que se generan en una cuerda, y calcular así la frecuencia del primer armónico para poder

manipular el numero de nodos que se generan en la oscilación.

III.

MARCO TEÓRICO

Ondas Estacionarias. Las ondas estacionarias en una cuerda son el resultado de la superposición de ondas armónicas propagándose por una cuerda en la que ambos extremos están fijos. Si se hace vibrar uno de los extremos siguiendo un Movimiento Armónico Simple (MAS) perpendicular a la cuerda, esté se propaga en forma de onda armónica por la cuerda. Al llegar a los extremos fijos, la onda se refleja de forma que al final en la cuerda tendrá́ lugar la superposición de las ondas que da lugar a la onda estacionaria. Suponiendo inicialmente una cuerda fija en su extremo izquierdo, que hacemos coincidir con el origen de coordenadas, podemos representar las ondas incidentes (que viaja hacia la izquierda) y reflejada (que viaja hacia la derecha) respectivamente como: 𝑥 𝑌𝑖 = −𝑦0 𝐶𝑂𝑆 [2𝜋 ( + 𝑓𝑡)] (1) 𝜆 𝑥 𝑦𝑟 (𝑥, 𝑡) = 𝑦0 𝐶𝑂𝑆 [2𝜋 ( + 𝑓𝑡)] (2) 𝜆 donde y es la amplitud del MAS, f es la frecuencia del MAS y λ es el Longitud de Onda. f y λ se relacionan a través de la velocidad de propagación de la onda v = λ f = TL / m, donde T es la tensión a la que está sometida la cuerda, y m y L son su masa y longitud. De la superposición de ambas ondas resulta una onda estacionaria, descrita por la ecuación:

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2𝜋𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝑦0 𝑆𝐸𝑁 ( ) 𝑆𝐸𝑁 (2𝜋𝑓𝑡)(3) 𝜆 𝑣=√ la cual explica la aparición de nodos (N), donde la cuerda está siempre en reposo, y antinodos, o valles, (A), donde las oscilaciones de la cuerda alcanzan su máxima amplitud (2Y0). La posición de dichos nodos Xn se puede obtener a partir de la ecuación anterior (ver más abajo). Así mismo, al imponer en dicha ecuación que el extremo derecho de la cuerda también sea fijo, se obtiene el conjunto de frecuencias discretas o armónicos para los cuales la cuerda soporta las ondas estacionarias:

𝜆𝑛 𝑥𝑛 = 𝑚 ( ) (4) 2

𝑓𝑛 =

𝑛 𝑇 √ (5) 2 𝑚𝐿

IV. ECUACIONES

2

𝐹𝑇 (7) 𝜇

V. PROCEDIMIENTO Empezamos tomando las mediciones a los datos directos como la longitud haciendo uso de un metro y la masa de la cuerda haciendo uso de una balanza digital. Con esos resultados procedemos a calcular la densidad lineal de la cuerda y después la velocidad de onda, con el resultado calculamos la frecuencia del primer armónico VI.

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

A continuación, se presentan los valores obtenidos directa e indirectamente, los cálculos y los datos relacionados. En la tabla 1, se presenta la masa medida del objeto suspendido, la longitud total de la cuerda y la densidad lineal determinada, también se establece una longitud de un metro para facilitar los cálculos:

𝑥 𝑌𝑖 = −𝑦0 𝐶𝑂𝑆 [2𝜋 ( + 𝑓𝑡)] (1) 𝜆 𝑥 𝑦𝑟 (𝑥, 𝑡) = 𝑦0 𝐶𝑂𝑆 [2𝜋 ( + 𝑓𝑡)] (2) 𝜆 2𝜋𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝑦0 𝑆𝐸𝑁 ( ) 𝑆𝐸𝑁 (2𝜋𝑓𝑡)(3) 𝜆 𝜆𝑛 𝑥𝑛 = 𝑚 ( ) (4) 2

𝑓𝑛 =

𝑛 𝑇 √ (5) 2 𝑚𝐿

𝑣 𝑓 = 𝑛 (6) 2𝐿

MASA CUERDA (Kg) 0,00073 LONGITUD DE LA CUERDA(m) 2,16 DENSIDAD LINEAL 0,000337963 LONGITUD HASTA EL NODO(m) 1 Tabla 1. primeros datos tomados para la practica

Para determinar la frecuencia aproximada a la que se debe trabajar para obtener el número de nodos deseado, usamos la expresión 6. Donde 𝑓 es la frecuencia, 𝑣 es la velocidad de la onda y 𝐿 es la longitud de la cuerda entre la frontera y la fuente.

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La velocidad se obtiene de la expresión 7

Nodos (n) vs Frecuencia (f)

0,294𝑁 𝑘𝑔 0,000337963 𝑚

= 29,49436909

𝑚 𝑠

Para obtener entre 1 y 5 nodos en la cuerda, al momento de encender la fuente, se obtuvieron los siguientes resultados, cabe resaltar que la frecuencia obtenida por la ecuación 6 fue una aproximación, por lo tanto, en base a esos valores se empezó a variar la frecuencia de la fuente hasta obtener nodos más definidos, determinados visualmente, por lo tanto, los valores con los que se trabajó pudieron variar de forma poco relevante. n 1 2 3 4 5

f(Hz) 14,74 29,48 45,3 61,4 76,8

Tabla 2. Frecuencias para cada número de nodos

90 80 70

Frecuencia

Donde 𝜇 es la densidad lineal, y 𝐹𝑇 es la fuerza de tensión determinada por la segunda ley de Newton 𝐹 = 𝑚𝑎 en este caso, la fuerza es ejercida por efecto de una masa suspendida, por lo tanto, 𝐹 = 𝑚𝑔 = 𝑚 (0,03𝑘𝑔) (9,81 2 ) = 0,294𝑁 𝑠

𝑣=√

3

60 50 40 30

f = 15,604n - 1,268

20 10 0

0

1

2

3

Nodos

4

5

6

Grafica 1.En esta gráfica, se muestra la relación lineal entre frecuencia f y el número de nodos en la cuerda

Posteriormente, se decidió repetir las mediciones, para un mismo número de nodos (en este caso 2) y una fuerza de tensión variante, esto se logra aumentando progresivamente la masa suspendida. Fuerza de Velocidad masa(kg) Tensión(T) (m/s) 0,00582 0,057036 12,99092201 0,01197 0,117306 18,63054496 0,01795 0,17591 22,81448711 0,02397 0,234906 26,36407269 0,02999 0,293902 29,48945296

Frecuencia (Hz) 20,6 29 34,63 40,04 44,83

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Masa (m) vs Frecuencia (f)

4

Frecuencia^2(f) vs Velocidad de Onda 2500

50 45

2000

35 30 25

Frecuencia^2

Frecuencia

40

f = 79,329n0,4712 R² = 0,9996

20 15

1500

1000

10 5

f^2 = 2,2479x + 46,149 R² = 0,9996

500

0 0

0.1

0.2

0.3

Masa

0.4 0 0

200

Grafica 2.Frecuencia utilizada para 2 nodos, en función de la fuerza de tensión

Posteriormente, se calcula la densidad teóricamente a partir de los resultados, para ello hacemos uso de la ecuación 5

𝑓𝑛

𝑛2 𝑇 = 4 𝑚𝐿

Para un numero de nodos n=2 la expresión se convierte en

600

800

1000

Donde se obtiene una pendiente 𝑃 = 22478, de esta forma y de la expresión (8) Se obtiene la densidad lineal

Donde podemos observar que para una frecuencia en función de √𝑇, la curva es exponencial, con exponente menor a 1, por lo tanto, elevamos ambos lados al cuadrado, para obtener una expresión lineal. 2

400

Velocidad de Onda

𝑔 = 22478 𝜇 𝑚 𝑠2 = 𝜇 22478

9,81

𝜇 =0,00043596 Al compararlo con el primer valor determinado, se obtiene un error porcentual de

𝑔

𝑓𝑛 2 = 𝜇 𝑚(8) una expresión lineal donde

𝐸% = 22,4788832% 𝑔 𝜇

es la pendiente, al

graficar la frecuencia al cuadrado con respecto a la velocidad al cuadrado, por medio de una regresión lineal por computador, podemos obtener la pendiente y para un valor establecido de la gravedad, podemos despejar el valor de la densidad lineal.

Tabla 3. Masas variantes, fuerza de tensión ejercida y velocidades y frecuencia determinadas

VII.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

En la práctica se realizó dos tipos de tablas, pero en ambas teniendo en cuenta que no se tenía en cuenta la masa de la cuerda y además que la distancia iba a ser la misma en los dos casos estudiados. El primer caso estudiado fue un tubo cerrado-abierto la gráfica resultante dio una recta, se pueden encontrar rápidamente la cantidad de armónicos debido a que la frecuencia del segundo modo es a próximamente

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el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es aproximadamente el triple, y así sucesivamente. En la segunda parte donde se cambiaban las masas, y por consiguiente la tensión a la que estaba sometida la cuerda esta debía dar una curva polinómica cercana a la ½, esto se debe deber 𝑛

𝑇

porque la ecuación que rigüe esto da que 𝑣 = 2𝐿 √𝜇 , casi todos los factores en esta función eran constantes, tales como la longitud y cantidad de nodos (2), afectando esta ultima la frecuencia ya que usando la misma frecuencia pero con diferente tensión se iba a dar con los dos nodos. Por último esta la densidad de masa lineal la cual se pudo haber sido afectada porque en el segundo caso, en la práctica se no se usaba el valor de la frecuencia dado por los cálculos, porque en la mayoría de los casos no daban los dos nodos tan visibles, por tanto se modificaba dicha frecuencia. VIII. CONCLUSIONES 

 

Al comprar los resultados de calcular la densidad lineal μ por ambos métodos nos encontramos que el resultado es muy similar, lo que da entender que el valor real de μ es aproximadamente 0,00043596. La velocidad de onda depende del medio en el que se propaga en este caso la cuerda. Los nodos aparecen según a la frecuencia a la que se someta la cuerda. REFERENCIAS

[1] Sears, Zemanski, “Fisica universitaria ”, 12nd ed. vol. 1, J. Peters, Ed. New York: McGrawHill, 1964, pp. 15–64. [2] Hibber, Back, “Fisica Elemental Para Ingenieros”, 9 ed, vol 1, Ed Pearson,

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