Labo 2 Fisicai.docx

“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

INFORME DE LABORATORIO Nº 2 DE FÍSICA I

VELOCIDAD Y ACELERACION INSTATANEAS EN EL MOVIMIENTO RECTILINEO

 Datos Generales: INTEGRANTES:  Saldaña Bezada Luiggi Martin  Bustinza Agramonte Alex Valentín  Mejía Sayabe Raúl Alejandro SECCION: “R”

LIMA - 2012 – I

20122168H 20112620E 20120311H

OBJETIVOS  Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir de la información posición vs tiempo.  Determinar la aceleración instantánea a partir de la información velocidad instantánea vs tiempo.

FUNDAMENTO TEÓRICO: a) CONCEPTOS MATEMATICOS Función real de variable real: (f) Conjunto de pares ordenados de números reales tales que a un mismo primer elemento no le corresponden dos segundos elementos diferentes. f = { x,f(x) } Limite de una función en un punto x₀: Es el valor al cual se aproxima la variable dependiente f(x) cuando la variable independiente x se aproxima a x₀. Algunas veces no existe. Razón de cambio de una función en un intervalo (x₁,x₂)

r(x₁,x₂) =

f(x2 ) − f(x2 )

(5.1)

x₂−x₁

Función razón de cambio de una función alrededor de un punto 𝒙𝒏

r(x,xn ) =

f(xn ) − f(x)

(5.2)

𝑥𝑛 −x

Derivada de una función en un punto 𝒙𝒏 , cuando existe el límite:

𝑓 ′ (𝑥𝑛 ) = lim

𝑥→𝑥𝑛

f(xn) − f(x) 𝑥𝑛 −x

(5.3)

O aproximadamente:

𝑓 ′ (𝑥𝑛 ) =

f(𝑥𝑛 + δ) − f(x)

(5.4)

𝛿

(Esta aproximación será mejor cuanto más pequeño sea 𝛿) Función derivada es el conjunto de pares ordenados 𝑓 ′ = { 𝑥𝑛 , f(x ) } n Donde 𝑥𝑛 es cualquier número real sobre el cual será definida la función 𝑓 y f(xn ) es el correspondiente segundo elemento obtenido de acuerdo a la ecuación (5.3). Segunda derivada ( 𝑓 ") es la funcion derivada de la funcion𝑓 ′ .

b) CONCEPTOS FISICOS Función posición. es el conjunto de pares ordenados { t,x(t) } donde t es el tiempo transcurrido desde un instante fijado convencionalmente como 𝑡𝑜 = 0,x(t) es la posición respecto a un punto tomado convencionalmente como 𝑥0 = 0. Velocidad media en un intervalo de tiempo ( 𝒕𝟏 , 𝒕𝟐 ) Vm (t₁,t₂) =

X(t₂) − X(t₁) t₂−t₁

(5.5)

Función velocidad media alrededor de un instante 𝒕𝒏 Vm ( 𝑡𝑛 ,t) =

X(t₂) − X( 𝑡𝑛 ) t₂− 𝑡𝑛

(5.6)

(Comparar con el concepto 'función razón de cambio'), ecuación (5.2). Velocidad instantánea en un instante 𝒕𝒏 Vm ( 𝑡𝑛 ) = lim

𝑡→𝑡𝑛

x(𝑡) − x(𝑡𝑛 ) 𝑡−𝑡𝑛

(5.7)

(Comparar en el concepto 'derivada en un punto', ecuación (5.3).

Función velocidad instantánea Es el conjunto de pares ordenados V = { 𝑡𝑛 ,V(𝑡𝑛 ) } Donde 𝑡𝑛 designa un instante y v(𝑡𝑛 ) es la velocidad en ese instante obtenida de acuerdo a la ecuacion (5.7) (observe que la función velocidad instantánea viene a ser la derivada de la función posición). Aceleración media en un intervalo de tiempo (t₁,t₂)

𝑎𝑚 (t₁,t₂) =

𝑉2 − 𝑉1

(5.8)

t₂−t₁

Función aceleración media alrededor de un instante

𝑎𝑚 ( 𝑡𝑛 ,t) =

V(t) − V( 𝑡𝑛 ) t− 𝑡𝑛

(5.9)

Aceleración en el instante 𝒕𝒏

𝑎𝑚 ( 𝑡𝑛 ) = lim

𝑡→𝑡𝑛

V(𝑡) − V(𝑡𝑛 ) 𝑡−𝑡𝑛

(5.10)

Función aceleración instantánea Es el conjunto de pares ordenados a = { 𝑡𝑛 ,a(𝑡𝑛 ) } donde 𝑡𝑛 designa un instante y a(𝑡𝑛 ) es la aceleración en ese instante de acuerdo a la ecuación (5.10)es la función derivada de la función velocidad instantánea.

PARTE EXPERIMENTAL Equipo El material necesario para este experimento esta mostrado en la imagen mostrada y consta de:   

 

Riel sobre un plano inclinado con tira de papel eléctrico. Carrito metálico. Chispero electrónico (caja de color azul), produce chispas cada 25 milisegundos o cada 50ms según la posición del interruptor negro en la parte superior derecha. Fuente del chispero (caja de color rojo). Una tira de papel bond de 65cmx6cm.

Procedimiento Nota: Cuando el chispero se encuentre en operación evite tener contacto con el papel milimetrado, los rieles y la parte metálica del carrito. El carrito debe ser operado cogiéndolo de la parte de acrílico. 1. Disponga del sistema riel/plano inclinado con una inclinación de 10 a 25 grados sexagesimales, como se muestra en la imagen 2. Conecte la fuente del chispero a 220V 3. Conecte la salida de la fuente a la entrada del chispero (bananas a la izquierda en la parte inferior del chispero). 4. Conecte una salida del chispero a la banana sobre el riel y la otra salida del chispero a la banana sobre la base de madera, la cual a su vez está conectada al papel eléctrico 5. Coloque en "ON" el interruptor de la fuente pero todavía no el del chispero. 6. Coloque el carrito en la parte superior del plano inclinado, sostenerlo de la parte de acrílico. 7. El estudiante A "ON"el interruptor del chispero y un instante después el estudiante B que está sosteniendo el carrito lo soltara. cuando el carrito llegue a la parte más baja del plano inclinado, inmediatamente el estudiante A colocara en "OFF" el interruptor del chispero. 8. Sobre el papel bond queda marcada una serie de puntos, designa al instante en que se produjo el primer punto de la trayectoria como 𝑡0 =0 y 𝑥0 =0 la posición del primer en cualquier otro punto.

(Por convención se podría elegir 𝑡0 =0 y 𝑥0 =0 pero en este experimento no es lo más conveniente).

9. La posición de los otros puntos quedara expresada por la distancia en cm al punto x = 0. El instante en que el movil ocupaba la posicion marcada por el segundo, tercer, n-esimo puntos serán 1 tick, 2 ticks, etc.(entre tick y tick hay 25 o 50ms dependiendo de la frecuencia a la cual está trabajando el chispero).

ANALISIS DE DATOS  40 Hz ; 32 cm t (ticks)* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

x(t)* mm 9 20 32 44 57 71 86 101 117 134 152 171 190 210 232 256 280 305 330 356 382 409 436 464 492 522

(cm)* 0,9 2 3,2 4,4 5,7 7,1 8,6 10,1 11,7 13,4 15,2 17,1 19 21 23,2 25,6 28 30,5 33 35,6 38,2 40,9 43,6 46,4 49,2 52,2

t-4 t-8 t-12 1,16666667 1,31428571 1,47272727 1,2 1,35 1,51 1,2 1,38 1,54444444 1,425 1,5875 1,3 1,46666667 1,62857143 1,35 1,5 1,66666667 1,4 1,5 1,7 1,425 1,75 1,46 1,6 1,8 1,5 1,65 1,85 1,54285714 1,7 1,9 1,5875 1,75 1,62222222 1,78 1,9 1,66 1,81666667 1,95 1,70909091 1,87142857 2,03333333 1,76666667 1,9375 2,125 1,81538462 1,98888889 2,18 1,86428571 2,04 2,23333333 1,90666667 2,08181818 2,27142857 1,95 2,125 2,3125 1,98823529 2,16153846 2,34444444 2,02777778 2,2 2,38 2,06315789 2,23333333 2,40909091 2,1 2,26875 2,44166667 2,13333333 2,3 2,46923077 2,17272727 2,33888889 2,50714286

t-16 1,64 1,67857143 1,71538462 1,75833333 1,8 1,84 1,87777778 1,925 1,97142857 2,01666667 2,06 2,1 2,16666667 2,25 2,3

t-20 1,82631579 1,86666667 1,90588235 1,95 1,99333333 2,03571429 2,07692308 2,125 2,17272727 2,22 2,26666667 2,3125 2,37142857 2,43333333 2,48 2,5 2,53333333 2,55 2,6

t-24 1,97826087 2,01818182 2,05714286 2,1 2,14210526 2,18333333 2,22352941 2,26875 2,31333333 2,35714286 2,4 2,44166667 2,49090909 2,54 2,57777778 2,6 2,5 2,62857143 2,5 2,65 2,5 2,68 2,525 2,7 2,54 2,6 2,73333333 2,56666667 2,65 2,75 2,58571429 2,66666667 2,8 2,6125 2,7 2,63333333 2,72 2,8 2,67 2,76666667 2,9

 40 Hz ; 26 cm t (ticks)** 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

x(t)** mm 6 13 20,5 28,5 36,5 45 54,5 64,5 75 86,5 98,5 110,5 123 135,5 148,5 161,5 175,5 190 205 220 235,5 252 269 287 305 324

(cm)** 0,6 1,3 2,05 2,85 3,65 4,5 5,45 6,45 7,5 8,65 9,85 11,05 12,3 13,55 14,85 16,15 17,55 19 20,5 22 23,55 25,2 26,9 28,7 30,5 32,4

t-4 0,75 0,775 0,8

t-8 t-12 t-16 0,83571429 0,95 1,03666667 0,85833333 0,975 1,06071429 0,88 1 1,08461538 0,9 1,025 1,10833333 0,8 0,93333333 1,05714286 1,13636364 0,825 0,975 1,09166667 1,165 0,86666667 1 1,12 1,18888889 0,9 1,15 1,2125 0,93 1,05 1,18333333 1,23571429 0,96666667 1,1 1,2 1,25 1 1,13333333 1,2 1,26 1,025 1,15 1,275 1,05 1,17 1,25 1,28333333 1,07 1,18333333 1,25 1,3 1,09090909 1,2 1,26666667 1,3 1,10833333 1,2125 1,275 1,13076923 1,23333333 1,3 1,4 1,15357143 1,255 1,325 1,425 1,17666667 1,27727273 1,35 1,45 1,196875 1,29583333 1,36875 1,4625 1,21764706 1,31538462 1,38888889 1,48 1,24166667 1,33928571 1,415 1,50833333 1,26578947 1,36333333 1,44090909 1,53571429 1,2925 1,390625 1,47083333 1,56875 1,31666667 1,41470588 1,49615385 1,59444444 1,34318182 1,44166667 1,525 1,625

t-20 1,12631579 1,15 1,17352941 1,196875 1,22333333 1,25 1,27307692 1,29583333 1,31818182 1,335 1,35 1,36875 1,38571429 1,40833333 1,43 1,4625 1,48333333 1,5 1,5

t-24 1,21956522 1,24318182 1,26666667 1,29 1,31578947 1,34166667 1,36470588 1,3875 1,41 1,42857143 1,44615385 1,46666667 1,48636364 1,51 1,53333333 1,5625 1,58571429 1,60833333 1,63 1,6625 1,55 1,7 1,6 1,725 1,63333333 1,75 1,675 1,7 1,85 1,73333333 1,875

Grafica de la función posición  

Llene las dos primeras columnas de la tabla 1: t en ticks y x en cm. Grafique en el papel.

Posición vs tiempo (Hmax)*

Posición vs tiempo (Hmax-6cm)** 40

60

y = 0.0231x2 + 0.6468x - 0.1202

y = 0.0415x2 + 0.9409x - 0.0751

50

30

40

20

30 20

10

10

0

0 0

10

20

30

0

10

20

30

Velocidad instantánea en t=4 ticks A partir de las dos primeras columnas y haciendo las operaciones indicadas en la parte superior de la tercera columna llene la tercera columna. Observe que la primera y tercera columnas definen la función velocidad media alrededor de {t, Vm (4,t)}ecuación (5.5).Observe también que esta función no está definida en t=4. Haga un grafico de la función {t, Vm (4,t)}. Observe que este grafico se puede considerar como constituido por dos partes:(i) para t<4 y (ii) para t>4. Si prolonga ambas partes para que se encuentren en t=4 se obtendrá la velocidad aproximadamente instantánea V(4). Ella estará expresada en cm/tick, haga la transformación a m/s.

Vmedia (t=4)*

Vmedia (t=4)**

2.5

1.5

2 1

1.5 1

0.5

0.5 0

0 0

V4 =

(𝑉3 +𝑉5 ) 2

10

=

1.2+1.3 2

20

30

= 1.25𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉4 = 0.0125𝑚. 𝑠 −1

0

V4 =

(𝑉3 +𝑉5 ) 2

10

=

0.8+0.8 2

20

30

= 0.8𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉4 = 0.008𝑚. 𝑠 −1

Velocidad instantánea en varios puntos Repita lo mismo para los instantes t = 8,12, 16, 20, 24, tickso los puntos que el profesor le sugiera puede usar un solo papel para todas las gráficas {t, Vm (𝑡𝑛 ,t)}.

Vmedia (t=8)*

Vmedia (t=16)*

2.5

3

2

2.5

1.5

2

1

1.5

0.5

1 0.5 0

0 0

10

20

30

0 (𝑉7 +𝑉9 ) 2

V8 =

=

1.5+1.6 2

= 1.55𝑐𝑚. 𝑠 −1 V16 =

∴ 𝑉8 = 0.0155𝑚. 𝑠 −1

10

(𝑉15 +𝑉17 ) 2

2.3+2.5 2

=

20

30

= 2.4𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉16 = 0.024𝑚. 𝑠 −1

Vmedia (t=8)**

Vmedia (t=20)*

2 3

1.5

2

1

0.5

1

0 0

10

20

30

0 0

V8 =

(𝑉7 +𝑉9 ) 2

=

1+1.05 2

= 1.025𝑐𝑚. 𝑠 −1 V20 =

∴ 𝑉8 = 0.01025𝑚. 𝑠 −1

10

(𝑉19 +𝑉21 ) 2

=

2.6+2.6 2

20

30

= 2.6𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉20 = 0.026𝑚. 𝑠 −1

Vmedia (t=12)*

Vmedia (t=12)**

3

2 2

1.5

1

1 0.5

0 0

10

20

30

0 0

V12 =

(𝑉11 +𝑉13 ) 2

=

1.9+1.9 2

= 1.9𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉12 = 0.019𝑚. 𝑠 −1

V12 =

10

(𝑉11 +𝑉13 ) 2

=

1.2+1.25 2

20

30

= 1.225𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉12 = 0.01225𝑚. 𝑠 −1

Vmedia (t=16)**

Vmedia (t=24)*

2

4

1.5

3

1

2

0.5

1

0

0 0

V16 =

10

(𝑉15 +𝑉17 ) 2

=

1.3+1.4 2

20

30

= 1.35𝑐𝑚. 𝑠 −1

0

V24 =

(𝑉23 +𝑉25 ) 2

=

2.8+2.8 2

20

∴ 𝑉24 = 0.028𝑚. 𝑠 −1

Vmedia (t=20)**

Vmedia (t=24)** 2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0 0

10

(𝑉19 +𝑉21 ) 2

=

1.5+1.55 2

20

= 1.525𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉20 = 0.01525𝑚. 𝑠 −1

0

30

V24 =

10

(𝑉23 +𝑉25 ) 2

=

30

= 2.8𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉16 = 0.0135𝑚. 𝑠 −1

2

V20 =

10

20

1.75+1.85 2

30

= 1.8𝑐𝑚. 𝑠 −1

∴ 𝑉24 = 0.018𝑚. 𝑠 −1

Aceleración en un instante ( t = 16 ) Ahora que ya tiene la función velocidad instantánea puede proceder a hallar la aceleración en un instante, en forma análoga a como la función posición obtuvo la velocidad en cada instante.La aceleración es la pendiente de la gráfica: t 4 8 12 16 20 24

v 0,0125 0,0155 0,019 0,024 0,026 0,028

t 4 8 12 16 20 24

v 0,008 0,01025 0,01225 0,0135 0,01525 0,018

A = 0.0008 m.s-2

A = 0.0005 m.s-2

Grafico x vs 𝒕𝟐 Observe que el método descrito para hallar la velocidad y aceleración instantáneas se basa solo en las respectivas definiciones, es decir, este método es aplicable para cualquier dependencia de x respecto de t. en particular, en el experimento descrito se espera: 1

x(t) = 2a𝑡 2 La aceleración es constante y su valor se puede obtener graficando x vs 𝑡 2 y calculando la pendiente.

t* 4 8 12 16 20 24

F(x)* 0,0064 0,0256 0,0576 0,1024 0,16 0,2304

t** 4 8 12 16 20 24

F(x)** 0,004 0,016 0,036 0,064 0,1 0,144

Bibliografía  Alvarenga, Beatriz Física I  Cuestiones de Física – Aguilar Jsement  Física Tomo I – Ser Wai Raymond  Dinámica II: Mecánica Para Ingeniería y sus Aplicaciones – David J. MacGill & Wilton King  Alonso –Finn Física Vol.-1  Sears –Zemansky –Young Física Universitaria