Lab08

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 8

TEMAT:

INTERAKCJA AMPLITUDOWO – CZĘSTOŚCIOWA W UKŁADACH Z NIELINIOWOŚCIĄ FIZYKALNĄ

OPRACOWAŁA:

DR INŻ.

GRAŻYNA SYPNIEWSKA-KAMIŃSKA

1. Cel ćwiczeń • •

Wyznaczenie zależności pomiędzy amplitudą i okresem drgań w układach o twardej i miękkiej charakterystyce sił sprężystych. Umiejętność analizowania ruchu na podstawie przebiegu trajektorii fazowych.

2. Słowa kluczowe drgania nieliniowe, miękka i twarda charakterystyka siły sprężystej, interakcja amplitudowo-częstościowa, płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, portret fazowy Uwagi 1. Wartości wszystkie wielkości należy podawać po przeliczeniu na jednostki podstawowe układu SI. 2. Zalecane ustawienia opcji programu DERIVE – menu Opcje/Ustawienia trybów pracy, zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj. 3. Nieliniowa zależność pomiędzy siłą i odkształceniem Ciało o masie m = 2kg połączone jest z otoczeniem za pośrednictwem sprężyny. Zależność wartości siły F, z jaką działa sprężyna, od jej odkształcenia ∆l ma postać F(∆l) = k ∆l + k1 (∆l )3

k, k1

(1)

przy czym k i k1 są stałymi współczynnikami. W celu wyznaczenia współczynników k i k1 wykonano pomiary, podczas których okazało się, że pod działaniem siły o wartości: – F1 sprężyna wydłużyła się o ∆l 1, – F2 sprężyna wydłużyła się o ∆l 2.

m

3.1. Wyznaczenie współczynników k i k1 Wyprowadź wzory określające wartości współczynników k i k1. W tym celu należy rozwiązać układ równań F1 = k ∆l 1 + k1 (∆l 1)3 • • • • •

F2 = k ∆l 2 + k1 (∆l 2)3 . Zapisz oba równania (użyj znaku =, który służy do zapisywania relacji. Dwuznak := jest elementem instrukcji podstawienia). Układ równań definiuje się wybierając z menu Rozwiąż polecenie Układ. W oknie dialogowym, które pojawi się automatycznie, określ liczbę równań układu. W kolejnym oknie dialogowym określ równania układu i niewiadome k i k1. Równania można skopiować do odpowiednich okienek używając klawisza F3 albo podać numer linii, w której znajduje się równanie (na przykład #7 ). Rozwiązanie układu równań realizujemy wydając polecenie Algebraicznie z menu Uprość (lub ikona Uprość ze znakiem = ). Dokonaj edycji wprowadzając do rozwiązań dwuznak := instrukcji podstawienia.

4. Równanie ruchu i warunki początkowe W chwili t = 0 ciało wychylono z położenia równowagi w prawo o x0 i nadano mu jednocześnie prędkość v0 . • Zapisz wzór określający zależność siły sprężyny od położenia układu F(x) := k x + k1 x 3

1

(2)

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 8

•

Pomijając masę sprężyny i zaniedbując opory występujące przy toczeniu napisz równanie ruchu układu. (3)

•

Zapisz warunki początkowe. (4)

•

Sprowadź równanie ruchu do równoważnego układu dwóch równań pierwszego rzędu (5.1) (5.2)

•

Zapisz w programie DERIVE wektor prawych stron układu oraz wektor zmiennych.

5. Interakcja amplitudowo-częstościowa w układzie ze sprężyną o charakterystyce twardej Dla wartości podanych w tabeli F1 = 30 N • • •

– – – – •

F2 = 60 N

∆l 2 = 0.8 cm

Oblicz wartości współczynników k i k1. Przedstaw na wykresie nieliniową charakterystykę sprężyny F(x). Dla każdego z podanych zestawów warunków początkowych

a) x0= 0.3 cm, v0 = 0, d) x0= 0.9 cm, v0 = 0, –

∆l 1 = 0.5 cm

b) e)

x0= 0.5 cm, x0= 1.1 cm,

v0 = 0, v0 = 0

c)

x0= 0.7 cm,

v0 = 0 ,

znajdź przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania ruchu stosując metodę Rungego-Kutty (przyjmij krok czasowy 0.002 lub mniejszy), wykonaj wykres x(t). Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków początkowych zamieść na jednym wykresie. Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak. zmierz okres drgań i amplitudę dla każdego przebiegu czasowego, wyniki pomiarów przedstaw w postaci wykresu: na osi odciętych amplituda, na osi rzędnych okres drgań, wykonaj wykres trajektorii fazowej. Wszystkie krzywe portretu fazowego przedstaw na jednym rysunku. Sformułuj wnioski.

6. Interakcja amplitudowo-częstościowa w układzie ze sprężyną o charakterystyce miękkiej Dla wartości podanych w tabeli F1 = 50 N • • •

– – – – •

F2 = 300 N

∆l 2 = 3.1 cm

Oblicz wartości współczynników k i k1. Przedstaw na wykresie nieliniową charakterystykę sprężyny. Dla każdego z podanych zestawów warunków początkowych

a) x0= 0, v0 = 1m/s, d) x0= 0, v0 = 4m/s, g) x0= 0, v0 = 8m/s –

∆l 1 = 0.5 cm

b) e)

x0= 0, x0= 0,

v0 = 2m/s, v0 = 5m/s,

c) x0= 0, v0 = 3m/s , f) x0= 0, v0 = 7m/s,

znajdź przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania ruchu stosując metodę Rungego-Kutty (przyjmij krok czasowy 0.002 lub mniejszy), wykonaj wykres x(t). Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków początkowych zamieść na jednym wykresie. Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak. zmierz okres drgań i amplitudę dla każdego przebiegu czasowego, wyniki pomiarów przedstaw w postaci wykresu: na osi odciętych amplituda, na osi rzędnych okres drgań, wykonaj wykres trajektorii fazowej. Wszystkie krzywe portretu fazowego przedstaw na jednym rysunku. Sformułuj wnioski.

7. Literatura 1. Z. Osiński, Teoria drgań. 2. J. Awrejcewicz, Drgania deterministyczne układów dyskretnych.

2