Lab06

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 6

TEMAT:

REZONANS W UKŁADACH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Z TŁUMIENIEM. DRGANIA NIELINIOWE. WAHADŁO MATEMATYCZNE

OPRACOWAŁA:

DR INŻ.

GRAŻYNA SYPNIEWSKA-KAMIŃSKA

1. Cel ćwiczeń • •

Wyznaczanie krzywych rezonansu w układach z tłumieniem. Wyznaczanie składników dynamicznych sił przenoszonych na podłoże.

2. Słowa kluczowe drgania wymuszone, rezonans w układzie z tłumieniem, krzywe rezonansu, drgania nieliniowe, wahadło matematyczne, linearyzacja, małe drgania, interakcja amplitudowo-częstościowa Uwagi 1. Wartości wszystkie wielkości należy podawać po przeliczeniu na jednostki podstawowe układu SI. 2. Zalecane ustawienia opcji programu DERIVE menu Opcje/Ustawienia trybów pracy: – zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj, – zakładka Upraszczanie wyrażeń wartość Collect w polu dotyczącym wyrażeń trygonometrycznych. 3. Krzywe rezonansu w układach o jednym stopniu swobody • •

Wprowadź do programu DERIVE wzór określający współczynnik zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych tłumionych układu o jednym swobody. Wykonaj wykresy współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych podanych w tabeli wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia.

γ

0.03 0.05 0.07 0.1

0.15 0.2

0.3

0.5

0.7

1

1.5

4

Wszystkie wykresy przedstaw na jednym rysunku. • Sformułuj wnioski. Jakie zjawisko nazywamy rezonansem? 4. Tłumienie krytyczne • •

•

Dla jakich wartości współczynnika γ w układzie występuje rezonans? W celu udzielenia dokładnej odpowiedzi na powyższe pytanie zbadaj warunek konieczny istnienia ekstremum współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych. – na początek instrukcją γ:= anuluj przypisanie zmiennej γ wartości, – oblicz pochodną współczynnika α względem zmiennej z, – znajdź miejsce/a zerowe pochodnej, – zbadaj dla jakich wartości współczynnika γ istnieje punkt stacjonarny o dodatniej wartości. Graniczną wartość bezwymiarowego współczynnika tłumienia γ, dla której występuje maksimum współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych nazywamy tłumieniem krytycznym. Wyznacz tę wartość. Amplituda z definicji jest wielkością dodatnią, dlatego przy zapisywaniu obu wzorów należy pamiętać o zastosowaniu wartości bezwzględnej – funkcja ABS(.).

4. Linia (krzywa) szkieletowa • • •

Przyjrzyj się uważnie krzywym rezonansu otrzymanym w zadaniu 3. Dla jakich wartości zmiennej z współczynnik zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych osiąga maksimum? W celu udzielenia dokładnej odpowiedzi na powyższe pytanie narysuj na wykresie linię o równaniu x = 1. Miejsce geometryczne punktów maksimum współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych nazywamy linią szkieletową.

1

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 6

•

Narysuj linię szkieletową na wykresie krzywych rezonansu z zadania 3. – zdefiniuj zależność pomiędzy punktem stacjonarnym, a bezwymiarowym współczynnikiem tłumienia γ zmax: = – przy pomocy funkcji TABLE stabelaryzuj współrzędne (zmax, α) punktów maksimum krzywych rezonansu w przedziale 〈0.02, γ kr〉 B := TABLE([zmax, α], γ, 0.02, γ kr, γ kr /30) – za pomocą polecenia B COL [2, 3] wybierz z tabeli B współrzędne (zmax, α) – wykonaj wykres.

5. Porównanie rozwiązań nieliniowego i zlinearyzowanego równania ruchu wahadła matematycznego Punkt materialny o masie m zawieszony jest za pośrednictwem nierozciągliwej linki o długości l do nieruchomego punktu O. W chwili t = 0 ciało wychylono z położenia równowagi o kąt ϕ0 i nadano mu jednocześnie prędkość v0 . Zaniedbując wszelkie opory dostajemy równanie ruchu w postaci

O

ml

ϕ l

d 2ϕ + m g sin ϕ = 0 , dt 2

(1)

z warunkami początkowymi

ϕ& (0) =

ϕ(0) = ϕ0 m

v0 , l

(2)

g jest przyspieszeniem ziemskim. W przypadku tak zwanych małych drgań wahadła równanie (1) można w prosty sposób zlinearyzować, rozwijając funkcję sin w szereg wokół położenia równowagi

ϕ=0 i pomijając wszystkie wyrazy rozwinięcia poza liniowym sin(ϕ) ≈ ϕ

.

(3)

Otrzymamy wówczas równanie liniowe d 2ϕ g + ϕ =0 . dt 2 l

• a) b)

(4)

Porównaj rozwiązanie równania nieliniowego drgań wahadła z rozwiązaniem równania zlinearyzowanego dla warunków początkowych ϕ0 = 0.1 rad v0 = 0 m/s ϕ0 = 1 rad v0 = 0 m/s l = 0.7 m.

•

Rozwiąż zagadnienie początkowe małych drgań wahadła z liniowym równaniem różniczkowym (4) dla obu zestawów warunków początkowych. • Przedstaw rozwiązania na wykresie w dwóch oknach graficznych. • Po sprowadzeniu równania różniczkowego (1) do układu równań pierwszego rzędu dϕ =β dt (5) dβ g = − sin(ϕ ) dt l znajdź numeryczne rozwiązanie obu zagadnień początkowych z nieliniowym równaniem różniczkowym. (patrz opis do laboratorium nr 1). • Wykonać wykresy przebiegów czasowych ϕ(t) w odpowiednich oknach. Uwaga Przy rysowaniu wskazane jest wybranie z menu Opcje/Ekran/Punkty opcji Łączenie punktów = Nie. Dzięki temu wyniki numeryczne otrzymamy w postaci punktów na tle ciągłego rozwiązania równania zlinearyzowanego. • Sformułuj wnioski.

2

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 6

5. Interakcja częstościowo-amplitudowa • • • • •

Wykonaj obliczenia numeryczne metodą Rungego-Kutty dla sześciu zestawów warunków początkowych. Należy przyjąć v0 = 0, a wartość ϕ0 wybrać dowolne z przedziału [0.1 rad, 3 rad]. Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków początkowych zamieść na jednym wykresie. Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak. Zmierz okres drgań dla każdego przebiegu czasowego. Wyniki przedstaw w programie DERIVE w postaci wykresu: na osi odciętych wychylenie początkowe wahadła, na osi rzędnych zmierzony okres drgań. Sformułuj wnioski.

6. Materiały pomocnicze 6.1. Drgania układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym w układzie z tłumieniem Równanie ruchu

m &x& + c x& + k x = Fo sin( p t )

Warunki początkowe

x(0) = x0

Częstość drgań własnych

Współczynnik tłumienia

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia

x& (0) = v(0) = x0

(7) (8)

k m

ω=

h=

(6)

(9)

c 2m

(10)

γ = h ω

Amplituda siły wymuszającej odniesiona do F jednostki masy układu q0 = 0 m

(11)

Amplituda drgań wymuszonych

(12)

q0

Aw =

2

 p  p ω 2 1 −    + 4 ⋅ γ 2 ⋅    ω   ω     2

λst

Aw =

(1 − z 2 )2 + 4 ⋅ γ 2 ⋅ z 2

2

(13)

Stosunek częstości siły wymuszającej do p częstości drgań własnych układu z=

ω

Ugięcie statyczne pod działaniem stałej siły F0

λst = Współczynnik zwielokrotnienia amplitudy

α = α =

q0

ω2

Aw

λst 1

(1 − )

2 z2

3

+ 4 ⋅γ 2 ⋅ z2

(14)