Lab03

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3

TEMAT:

SZTYWNOŚĆ ZASTĘPCZA UKŁADU SPRĘŻYN. DGRANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

OPRACOWAŁA:

DR INŻ.

GRAŻYNA SYPNIEWSKA-KAMIŃSKA

1. Cel ćwiczeń • • •

Umiejętność wyznaczania sztywności zastępczej układu sprężyn. Zapoznanie się z typowymi przebiegami czasowymi drgań swobodnych oscylatora harmonicznego i oscylatora tłumionego. Umiejętność wyznaczania parametrów drgań z wykresu przebiegu czasowego.

2. Słowa kluczowe sztywność zastępcza, oscylator harmoniczny, tłumienie wiskotyczne, tłumienie: krytyczne, nadkrytyczne i podkrytyczne, logarytmiczny dekrement tłumienia Uwaga Każdy student otrzymuje indywidualnie przydzielony rysunek. Wartości wszystkie wielkości należy podawać po przeliczeniu na jednostki podstawowe układu SI. 3. Wyznaczanie sztywności zastępczej • • • •

Przeanalizuj uważnie strukturę układu sprężyn przedstawionego na rysunku. Wyprowadź wzór na sztywność zastępczą układu. Przyjmując dane z tabeli 1 oblicz wartość sztywności zastępczej. Napisz równania Lagrange’a II rodzaju i równania ruchu dla układu ze sprężyną o sztywności zastępczej kz.

Tabela 1. Dane do zadania 3 k1[N/m] k2[N/m] k3[N/m] 1000 600 1200

k4[N/m] 900

m [kg] x0[cm] v0 [m/s] 2 1.2 0.24

4. Drgania oscylatora harmonicznego W chwili t = 0 układ wychylono z położenia równowagi odciągając ciężarek o masie m w dół o x0, po czym puszczono go bez prędkości początkowej. • Zapisz warunki początkowe. • Zapisz wzorami równania modelu matematycznego (równania ruchu + warunki początkowe = zagadnienie początkowe). kz • Rozwiąż równania modelu matematycznego za pomocą funkcji DSOLVE2_IV. Pamiętaj o pomnożeniu rozwiązania przez funkcję skoku jednostkowego STEP(t)* DSOLVE2_IV(…... • Wykonaj wykres rozwiązania przedstawiający tak zwany przebieg czasowy drgań x(t) układu. • Wyznacz z wykresu amplitudę, częstość kołową i fazę początkową drgań. m • Porównaj otrzymane wartości z wartościami otrzymanymi ze ścisłych wzorów. • Sprawdź, jak zmieni się postać drgań opisanego układu, gdy wytrącając ciężarek z równowagi nadamy mu prędkość początkową v0. W celu porównania obu przebiegów przedstaw je na jednym rysunku.

5. Tłumienie wiskotyczne Przedstawiony na rysunku układ rozbudowano, wprowadzając tłumik wiskotyczny. W chwili t = 0 układ wychylono z położenia równowagi odciągając ciężarek o masie m w dół o x0 i nadając mu prędkość początkową v0.

1

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3

•

kz c

m

Zapisz wzorami równania modelu matematycznego (równania ruchu + warunki początkowe = zagadnienie początkowe). Kolejno dla każdej z trzech podanych wartości współczynnika tłumienia c • rozwiąż równania modelu matematycznego za pomocą funkcji DSOLVE2_IV. Pamiętaj o pomnożeniu rozwiązania przez funkcję skoku jednostkowego STEP(t)* DSOLVE2_IV(…... • Wykonaj wykres rozwiązania przedstawiający przebieg czasowy drgań układu (na oddzielnych rysunkach). • Oblicz współczynnik tłumienia h oraz bezwymiarowy współczynnik tłumienia γ. • Kiedy odpowiedź układu na warunki początkowe ma charakter oscylacyjny?

6. Logarytmiczny dekrement tłumienia Dla tej wartości współczynnika tłumienia c, przy której odpowiedź układu miała charakter oscylacyjny: – wyznacz logarytmiczny dekrement tłumienia, – sprawdź, czy układ przechodzi przez położenie równowagi w równych odstępach czasu, Zmień warunki początkowe, przyjmując a) x0 = 0 b) v0 = 0 . Ponownie wyznacz logarytmiczny dekrement tłumienia. Sprawdź, czy słuszny jest wzór (24). 7. Wnioski 1. Odpowiedz na pytania postawione w treści zadań. 2. Jakie wielkości charakteryzujące odpowiedzi obu układów na warunki początkowe zależą tylko od właściwości układu, a nie zależą od warunków początkowych? Czy można je wykorzystać do identyfikacji parametrów układu? Materiały pomocnicze 1. Drgania swobodne oscylatora harmonicznego Uzupełnij tabelę równanie ruchu

(1)

warunki początkowe

(2)

kinematyczne równanie ruchu

x(t) =

(3)

okres drgań

T=

(4)

częstość drgań własnych

ω=

(5)

k m

częstotliwość drgań

f =

(6)

amplituda

v  A = x02 +  0  ω 

faza początkowa

tg (ϕ 0 ) =

2

2

(7)

(8)

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3

2. Drgania swobodne oscylatora harmonicznego z tłumieniem wiskotycznym Uzupełnij tabelę (9)

równanie ruchu

(10)

warunki początkowe współczynnik tłumienia h

h= c 2m

bezwymiarowy współczynnik tłumienia tłumienie krytyczne

γ = h , ω h =ω

tłumienie podkrytyczne

h ?ω

(11) k m

(12)

γ =

(13)

γ <

(14)

gdzie ω =

(15)

tłumienie nadkrytyczne przypadek oscylacyjny odpowiedzi układu

h?

(16)

kinematyczne równanie ruchu

x(t ) = Ae −h t sin( ω 2 − h 2 t + ϕ 0 )

(17)

częstość drgań własnych

(18)

„okres” oscylatora tłumionego

ω 2 − h2 2π T =

obwiednia przebiegu czasowego

Ae − h t

(20)

współczynnik A

    x0 tg (ϕ 0 ) = ω 2 − h 2 v0 + h x0 A=

faza początkowa

 v + h x0 x02 +  0  ω 2 − h2

logarytmiczny dekrement tłumienia

δ = ln

związek pomiędzy logarytmicznym dekrementem tłumienia i okresem T

δ =

7. Literatura Z. Osiński, Teoria drgań, rozdz. 3.1 i 3.3.

3

An An +1

(19)

2

(21)

(22) (23) (24)