Lab02

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

TEMAT:

ODWZOROWANIE LOGISTYCZNE. RUCH HARMONICZNY. SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH. DUDNIENIA

OPRACOWAŁA:

DR INŻ.

GRAŻYNA SYPNIEWSKA-KAMIŃSKA

1. Cel ćwiczeń • • •

Zapoznanie się z rekurencyjnym równaniem układu dynamicznego z czasem dyskretnym na przykładzie odwzorowania logistycznego. Umiejętność identyfikowania parametrów ruchu na podstawie przebiegu czasowego. Zapoznanie się z efektami nakładania się ruchów harmonicznych o różniących się parametrach.

2. Słowa kluczowe odwzorowanie logistyczne, ruch harmoniczny, ruch okresowy, częstości współmierne i niewspółmierne, dudnienia 3. Odwzorowanie logistyczne Odwzorowanie logistyczne jest przykładem równania opisującego układ dynamiczny z czasem dyskretnym. Opisuje ono wzrost populacji w ograniczonym środowisku. Jest to rekurencyjne równanie rekurencyjne postaci

xn +1 = k xn (1 − xn ) , gdzie

xn +1 – liczebność populacji w pewnym roku, określona jako liczba względna (ułamek) z przedziału 〈0, 1〉, xn – liczebność populacji w roku poprzednim, k – parametr modelu opisujący wielkość urodzaju rzutującego na dostępne zapasy żywności, k = const.

Zadanie Przyjmując podane wartości parametru k oraz stanu początkowego x1 populacji określić perspektywy jej rozwoju. Uwaga Odwzorowanie logistyczne opisuje ewolucję wielu innych układów, między innymi zachowanie rotatora, który jest silnie tłumiony i okresowo uderzany z dużą siłą.

4. Składanie drgań harmonicznych 4.1. Składanie dwóch ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych • • • • •

Dane są kinematyczne równania drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej x1(t) = B sin(ω t), x2(t) = C cos(ω t) . Przyjmując wartości liczbowe amplitud A, B oraz częstości kołowej ω wykonać w jednym oknie graficznym wykresy x1(t), x2(t) oraz drgań złożonych x1(t) + x2(t). Na podstawie wartości odczytanych z wykresu wyznaczyć okres, amplitudę, częstość kołową i fazę początkową drgań. Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny? Wartości jakich wielkości zostały zachowane przy składaniu, a jakie się zmieniły? Porównaj odczytaną z wykresu wartość amplitudy drgań złożonych z wartością obliczoną według wzoru (6).

4.2. Składanie n ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych •

Dane są kinematyczne równania n ruchów harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej xi(t) = Aisin(ω t + ϕ i),

• •

i = 1, 2,…n.

Przyjmując wartości liczbowe częstości kołowej ω, amplitud Ai i faz początkowychϕ i, i =1, 2, ..., n wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t) + ... + xn(t). Odczytać z wykresu wartości okresu i amplitudy. Obliczyć wartości częstości kołowej i fazy początkowej drgań.

1

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

•

Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny? Wartości jakich wielkości zostały zachowane przy składaniu, a jakie się zmieniły?

4.3. Składanie n ruchów harmonicznych o różnych częstościach kołowych •

Dane są kinematyczne równania n ruchów harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej xi(t) = Aisin(ω t + ϕ i),

• • • • • • •

i = 1, 2,…n.

Przyjąć wartości liczbowe amplitud Ai i faz początkowych ϕ i, i =1, 2, ..., n. Dobrać wartości częstości ωi tak, aby spełniały warunek współmierności. Wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t) + ... + xn(t). Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny? Dobrać wartości częstości ωi tak, aby warunek współmierności nie był spełniony. Wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t) + ... + xn(t). Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny?

4.4. Sformułować wnioski na podstawie analizy wykresów 5. Dudnienia • • • • • •

Dane są kinematyczne równania drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej x1 (t ) = A1 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ1 ) , x2 (t ) = A2 ⋅ sin((ω + ε )t + ϕ 2 ) . Przyjąć wartości liczbowe amplitud Ai i faz początkowych ϕ i, i =1, 2. Dobrać wartości parametrów ω i ε tak, aby spełniony był warunek pojawienia się dudnień. Wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t). Zmierzyć okres zmian amplitudy i porównać wartość z pomiaru z wartością otrzymaną ze wzoru (10). Jak należy dobrać parametry drgań składowych, aby dudnienia przebiegały z okresowym wygaszaniem amplitudy?

Materiały pomocnicze 1. Ruch harmoniczny Ruchem harmonicznym nazywamy ruch periodyczny opisany równaniami x(t) =A sin( ω t +ϕ0 )

x(t) =A cos( ω t + ϕ0 )

lub

(1)

Ruch ten opisuje okresowe drgania układu. Układ wykonujący taki ruch nazywamy oscylatorem harmonicznym. Parametrami drgań harmonicznych są: A – amplituda, czyli największe odchylenie wartości chwilowej od wartości średniej, ω – częstość kołowa, zwana także pulsacją [rad/s], ϕ 0 – faza początkowa [rad].

A x0

T

Rys. 1. Wykres drgań harmonicznych

2

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Podstawowy okres funkcji x(t) nazywamy okresem drgań harmonicznych. Jednostką okresu jest sekunda [s]. Okres drgań i częstość kołowa powiązane są zależnością: (2)

T = 2π

ω

Częstotliwością f okresowo powtarzającego się zjawiska nazywamy liczbę cyklów przypadających na jednostkę czasu. Jednostką częstotliwości jest herc [Hz]. Częstotliwość i okres drgań łączy zależność f = 1. T

(3)

ω = 2π f ,

(4)

W ruchu harmonicznym obowiązuje wzór

który otrzymamy podstawiając (2) do (3). Odczytując wartość współrzędnej x0 z wykresu x(t) można wyznaczyć wartość fazy początkowej ruchu x0 = x(0) sin (ϕ 0 ) =

x0 A

x0 = A sin (ϕ 0 )

 x0    A

ϕ 0 = arcsin

(5)

2. Składanie ruchów harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej 2.1. Składanie dwóch ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = B sin(ω t ) + C cos (ω t ) =  B C = B 2 + C 2  sin(ω t ) + cos(ω t ) 2 2 2 B +C B + C2 

  = 

= A(sin(ω t ) cos ϕ 0 + cos(ω t ) sin ϕ 0 ) = A sin(ω t + ϕ 0 )

gdzie (6)

A = B2 + C 2 cos ϕ 0 =

B , sin ϕ 0 = B + C2 2

tgϕ 0 =

C B + C2 2

sin ϕ 0 =C cos ϕ 0 B

(7)

2.2. Składanie n ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych xi (t ) = Ai sin(ω t + ϕ i ) , n

x(t ) =

∑ i =1

n

xi (t ) =

∑

i = 1, 2, ..., n

n

Ai sin(ω t + ϕ i ) =

i =1

∑ A (sin(ω t ) cos ϕ i

i =1

3

i

+ cos(ω t ) sin ϕ i ) =

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

n

=

n

∑ A sin(ω t) cos ϕ + ∑ A cos(ω t ) sin ϕ i

i

i =1

i

n

i

= sin(ω t )

i =1

∑ A cos ϕ i

n

i

+ cos(ω t )

i =1

∑ A sin ϕ i

i

=

i =1

= C sin(ω t ) + D cos (ω t ) = A sin(ω t + ϕ 0 )

gdzie n

C=

∑

(8)

n

Ai cos ϕ i ,

D=

i =1

∑ A sin ϕ i

i

,

A = C 2 + D2

i =1

cos ϕ 0 =

C , sin ϕ 0 = C + D2

D C + D2

2

2

n

sin ϕ 0 tgϕ 0 = = D = cos ϕ 0 C

∑ A sin ϕ i

i

i =1 n

∑

(9) Ai cos ϕ i

i =1

2.3. Dudnienia

Dudnieniem nazywamy drgania charakteryzujące się okresowymi zmiany amplitudy. Dudnienia można otrzymać w wyniku nałożenia się na siebie dwóch lub więcej drgań harmonicznych o zbliżonych wartościach częstości. Na przykład x1 (t ) = A1 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ ) oraz x2 (t ) = A2 ⋅ sin((ω + ε )t ) ,

ε << ω.

x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = A1 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ ) + A2 ⋅ sin((ω + ε )t ) = = A1 (sin(ω ⋅ t ) cos ϕ + cos(ω ⋅ t ) sin ϕ ) + A2 (sin(ω t ) cos(ε t ) + cos(ω t ) sin(ε t )) = = sin(ω ⋅ t )( A1 cos ϕ + A2 cos(ε t )) + cos(ω ⋅ t )( A1 sin ϕ + A2 sin(ε t )) = = B(t ) sin(ω ⋅ t ) + C (t ) cos(ω ⋅ t ) = A(t ) sin(ω ⋅ t + ϕ (t ))

przy czym B(t ) = A1 cos ϕ + A2 cos(ε t ) , C (t ) = A1 sin ϕ + A2 sin(ε t ) ,

A(t ) = ( B(t )) 2 + (C (t )) 2 = ( A1 ) 2 + ( A2 ) 2 + 2 A1 A2 (cos ϕ cos(ε t ) + sin ϕ sin(ε t )) = = ( A1 ) 2 + ( A2 ) 2 + 2 A1 A2 (cos(ε t − ϕ )) sin ϕ (t ) =

C (t ) B(t ) , cos ϕ (t ) = A(t ) A(t )

A sin ϕ + A2 sin(ε t ) sin ϕ (t ) C (t ) = = 1 cos ϕ (t ) B(t ) A1 cos ϕ + A2 cos(ε t ) Zarówno faza początkowa jak i amplituda dudnień są funkcjami okresowymi, przy czym okres podstawowy TA funkcji A(t) zależy od parametru ε tgϕ (t ) =

T A = 2π .

ε

7. Literatura Z. Osiński, Teoria drgań, rozdz. 1.1 – 1.2

4

(10)