Lab01

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1

WPROWADZENIE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZA POMOCĄ PROGRAMU DERIVE

TEMAT:

OPRACOWAŁA:

DR INŻ.

GRAŻYNA SYPNIEWSKA-KAMIŃSKA

1. Cel ćwiczeń • •

Zapoznanie z różnymi możliwościami rozwiązywani liniowych i nieliniowych równań różniczkowych za pomocą programu DERIVE. Nabycie umiejętności wykonywania wykresów funkcji będącej rozwiązaniem równania różniczkowego.

2. Słowa kluczowe równania różniczkowe zwyczajne, równania różniczkowe liniowe, równania różniczkowe nieliniowe, metoda Rungego-Kutty, funkcja Heaviside’a 3. Plan zajęć 3.1. Wprowadzenie • •

Zapoznanie z zasadami bezpieczeństwa obowiązującymi w laboratorium komputerowym. Przedstawienie regulaminu ćwiczeń laboratoryjnych.

3.2. Założenie folderu przewidzianego do przechowywania swoich plików 3.3. Przypomnienie podstawowych wiadomości o programie DERIVE • • • •

Ustawienie opcji: Wyrazy i Rozróżniaj w Menu Opcje/Ustawienie trybów pracy; zakładka Wejście. Możliwość osadzania wykresów w oknie Algebra. Wykresy będą na trwałe zapisane w skoroszycie. Możliwość zapisu zawartości okna Algebra w różnych formatach. Omówienie różnicy między dwuznakiem := w instrukcji przypisania i znakiem = w równaniach.

Przykład Wykonaj wykresy zapisanych niżej wyrażeń y := t 2 x = t2 w = t2 - 2 4. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych 4.1. Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu liniowe •

Omówienie funkcji DSOLVE1 i jej parametrów. p(x, y) + q(x, y)·y' = 0 DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0)

•

Omówienie funkcji LINEAR1 i jej parametrów. y' + p(x)·y = q(x) LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0)

• •

Przykłady zastosowania funkcji LINEAR1 i DSOLE1 do rozwiązywania zagadnień początkowych z liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu. Wykonanie wykresów otrzymanych rozwiązań.

1

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH – INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1

4.2. Równania różniczkowe zwyczajne II rzędu liniowe •

Omówienie funkcji DSOLVE2_IV i jej parametrów. y'' + p(x)·y' + q(x)·y = r(x) DSOLVE2_IV(p, q, r, x, x0, y0, v0)

• •

Przykłady zastosowania funkcji DSOLVE2_IV do rozwiązywania zagadnień początkowych z liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym II rzędu. Wykonanie wykresów otrzymanych rozwiązań.

4.3. Funkcja Heaviside’a •

Zastosowanie funkcji Heaviside’a (funkcji skoku jednostkowego) do przedstawiania rozwiązań zagadnień początkowych na wykresie.

4.4. Równania różniczkowe zwyczajne nieliniowe • •

•

Sprowadzanie równań II i wyższych rzędów do układu równań I rzędu. Omówienie funkcji RK i jej parametrów. RK(ps, z, wp, h, n) ps - wektor prawych stron układu równań różniczkowych, z - wektor zmiennych układu równań różniczkowych. Zmienna niezależna jest zawsze pierwszym elementem wektora, wp - wektor wartości początkowych zmiennych układu równań różniczkowych, h - krok schematu różnicowego, krok czasowy, n - liczba kroków. Omówienie postaci w jakiej zapisane są wyniki generowane przez funkcję RK.

Wyniki zapisywane są w macierzy o wymiarach n×m, przy czym m jest liczbą zmiennych układu równań. • •

Przykłady zastosowania funkcji RK do rozwiązywania zagadnień początkowych z nieliniowym równaniem różniczkowym. Wykonanie wykresów otrzymanych rozwiązań. Zastosowane funkcji EXTRACT_2_COLUMNS oraz operatora COL.

Przykład Jeżeli w wyniku podstawienia A:= RK(ps, z, wp, 0.05, 200) otrzymaliśmy macierz A o wymiarze n×m, to stosując – funkcję EXTRACT_2_COLUMNS(A, 3, 2) – albo operator A COL [3,2] osiągniemy ten sam efekt – wyłączone z macierzy A dwie kolumny 3. oraz 1. zostaną zapisane w nowej macierzy o wymiarze n×2.

2