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Capítulo: CINEMÁTICA Tema: MOVIMIENTO PARABÓLICO SOBRE EL PLANO INCLINADO 1. OBJETIVOS  Determinar el modelo matemático de la trayectoria descrita por una esfera metálica en su movimiento sobre un plano inclinado.  Determinar las velocidades y sus componentes rectangulares en diferentes puntos de su trayectoria. 2. FUNDAMENTO TEÓRICO a) Movimiento Parabólico

También llamado movimiento de proyectiles, se caracteriza porque es un movimiento en el plano compuesto por la combinación de dos tipos de movimientos: en la dirección horizontal con velocidad constante y en la dirección vertical con la aceleración de la gravedad constante (movimiento uniformemente variado). Las relaciones que definen el movimiento son: 𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡 1 𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑣𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝛼 – 𝑔𝑡 La ecuación de la trayectoria es: 𝑔 𝑦 = 𝑡𝑔𝛼 𝑥 – 2𝑣 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑥 2 0

b) Movimiento Parabólico sobre un Plano Inclinado Sobre una superficie inclinada se lanza una esfera. La trayectoria que describe es una parábola como el de la figura.

La aceleración en la dirección “y” es constante e igual a ay= gsenβ

El plano xy está ubicado en el plano inclinado de la mesa: 𝑎𝑦 𝑦 = ( 𝑡𝑔𝛼) 𝑥 – 𝑥2 2 2𝑣0 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 Dividiendo ambos lados entre x 𝑎𝑦 𝑦 = 𝑡𝑔𝛼 – 𝑥 2 𝑥 2𝑣0 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

Si: 𝐴 = 𝑡𝑔𝛼

𝐵 =–

(1) 𝑎𝑦

2𝑣0 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

(2)

Entonces: 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 𝑥 𝑦 Linealizando, realizando el cambio de variable: 𝑧 𝑥 Z =A +Bx Ecuación para la aplicación del método de mínimos cuadrados. Por este método se determina las constantes A y B por lo que de la ecuación (1) el ángulo de lanzamiento es: 𝛼 = tan−1 (𝐴) De la ecuación (2) la velocidad es:

√−

𝑔𝑠𝑒𝑛𝛽 2𝑏𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

; siendo B negativo.

3. SISTEMA DE EXPERIMENTACIÓN TABLA 1 MATERIALES Plano inclinado Esfera Papel carbónico Papel bond Regla métrica Transportador 4. MONTAJE DEL EXPERIMENTO Se realiza según esquema

CARACTERÍSTICAS Mesa Metálica Tamaño pliego Tamaño pliego Metalico (±1mm) Plástico( ± 1°)

Esfera

Papel bond Plano inclinado Papel Carbónico

5. EJECUCIÓN DEL EXPERIMENTO  Se coloca el plano (mesa) en posición inclinada.  Se mide el ángulo β de inclinación del plano respecto a la horizontal  Se fija una hoja de papel sobre el plano inclinado.  Se coloca papel carbónico encima de la hoja de papel fijado anteriormente



Se impulsa la esfera metálica desde la parte inferior izquierda sobre el plano inclinado.  Se levanta el papel carbónico.  Se establece el sistema de referencia sobre el punto de salida.  Se eligen 8 puntos de la trayectoria a espacios iguales sobre el eje x.  Se determina los correspondientes valores de “y” para cada punto. 6. OBTENCIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES TABLA 2 Ángulo β = g= N° x [cm] y [cm] 1 2 3 4 5 6 7 8 7. PROCESAMIENTO DE DATOS a) Determinación del modelo matemático Para la recta: 𝑧 = 𝐴 + 𝐵𝑥 TABLA 3 MAGNITUD Unid. 1 2 3 4 x [m] 𝒚 𝒛= 𝒙

5

6

7

8

TABLA 4 N° 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

x

z

x2

z2

xz

𝑛∑𝑥𝑧 − ∑𝑥∑𝑧 = 𝑛∑𝑥 2 − (∑𝑥)2

𝐵=

𝐴=

∑𝑧−𝐵∑𝑥 𝑛

=

El coeficiente de correlación es: 𝑟=

𝑛∑𝑥𝑧 − ∑𝑥∑𝑧 √[𝑛∑𝑥 2 − (∑𝑥)2 ][𝑛∑𝑧 2 − (∑𝑧)2 ]

=

La ecuación ajustada o estimada es: 𝑧 = 𝐴 + 𝐵𝑥 = Retomando la ecuación primitiva: 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 =

b) Determinación del ángulo de lanzamiento 𝛼 = tan−1 [𝐴] =

c) Determinación de la velocidad inicial

𝑣0 = √−

𝑔 sen 𝛽 2𝐵𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

=

; siendo B negativo

d) Determinación de las componentes de la velocidad TABLA 5 MAGNITUD Unid. 1 2 3 4 [m/s2] 𝑎𝑦 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝛽 [s] 𝑡 = 𝑥 ⁄(𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼) [m/s] 𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼 [m/s] 𝑣𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑎𝑦 𝑡 [m/s] 𝑣

5

= √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 8. CONCLUSIONES

9. CUESTIONARIO En el experimento: b) Determine el vector posición para la altura máxima

c) Determine el vector velocidad para un tiempo de 0,8[s]

10. BIBLIOGRAFÍA

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7

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