La7sabilaveronica[08021181621016].docx

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II METODE EULER : KASUS GERAK BENDA JATUH

NAMA NIM HARI / TANGGAL ASISTEN

: SABILA VERONICA : 08021181621016 : KAMIS, 18 OKTOBER 2018 : 1. Febriyanto 2. Ghina Salsabila 3. Utin Faula

LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2018

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II VI.

Nomor Percobaan

: VII (Tujuh)

VII. Nama Percobaan

: Metode Euler : Kasus Gerak Benda Jatuh

VIII. Tujuan Percobaan

:

1.

Dapat menerapkan metode Euler dalam penyelesaian numerik gerak benda

2.

jatuh. Dapat membuat program sederhana menggunakan Matlab(Tm) khususnya dalam kasus gerak benda jatuh.

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II IX.

Dasar Teori

Kecepatan dan Percepatan Dapat modul ini diharapkan mahasiswa membaca kembali materi kuliah mekanika yang berhubungan dengan : 

Perpindahan, kecepatan dan percepatan



Gerak dengan kecepatan konstan



Gerak jatuh bebas

Tinjau, benda bermassa m yang jatuh bebas dari suatu ketinggian di udara (hambatan udara diabaikan). Dari hukum kedua Newton tentang gerak diperoleh :

∑F

= ma = mg

(4.1).

Kecepatan jatuh benda pada waktu t dapat diperoleh dari persamaan berikut :

∫ a dt

v (t) =

= a(t)t + c

(4.2).

dengan c adalah konstanta hasil integrasi yang dalam hal ini dapat dimaknai sebagai kecepatan awal, sehingga persamaan (2) di atas menjadi : v(t) = gt + v0

(4.3).

dengan a = g persoalan yang lebih rumit muncul bila hambatan udara diperhitungkan. Gaya yang disebabkan oleh adanya hambatan udara dapat dituliskan sebagai berikut : 1 2

Fa =

ρ A v2

c

(4.4).

Dengan c : koefisien drag ρ : rapat massa udara v : kecepatan benda A : Luas penampang benda Percepatan benda jatuh ( berbentuk bola ) dapat diperoleh dengan menggunakan hukum ke dua Newton, sebagai berikut : ma = mg -

1 2

c

ρ A v2

(4.5). a=g-

1 2

c

ρ (4.6).

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

π r2 2 v m

; A = π r2

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II Untuk memperoleh solusi eksak dari persamaan (4.6) sangat sulit, kecuali jika hambatan udara diabaikan akan diperoleh solusi seperti persamaan (4.3). terhadap kesulitan seperti ini, kita gunakan komputer ( solusi numerik ) untuk membantu dalam menentukan penyelesaian ( Monado dkk., 2018 ). Suatu persamaan diferensial (dy/dt) dinyatakan dalam fungsi f(t,y), dimana y(t) adalah persamaan asalnya dy =f ( t , y ) , a ≤t ≤b , y ( a ) =α dt

(4.7).

Nilai t dibatasi dari a hingga ke b. Sementara, syarat awal telah diketahui yaitu pada saat t = a maka y bernilai α. Akan tetapi kita sama sekali tidak tahu bentuk formulasi persamaan asalnya y(t). Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam interval [a,b]. Jarak antar point dirumuskan sebagai berikut: h=

b−a N

(4.8).

Dengan N adalah bilangan integer positif. Nilai h ini juga dikenal dengan nama step size. Selanjutnya nilai t diantara a dan b ditentukan berdasarkan: t 1 =a+ih ,i=0,1, 2, …. , N

(4.9).

Metode Euler Metode numeric yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain : metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Metode Euler digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial secara numeric ketika nilai fungsi pada keadaan awal diketahui ( Maiyena, 2011 ). Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Dalam deret Taylor, fungsi y(t) tersebut dirumuskan sebagai berikut: 2

' (t i )

y (t )= y ( t i ) + ( t i +1−t i ) y +

( ti +1−t i )

i+1

2

y ( {ε} rsub {i}

(4.10).

Dengan memasukkan h = (ti+1 − ti), maka: y (t )= y ( t i ) + h y ' ( t i )+ i+1

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

2

h y ( {ε} rsub {i} 2

(4.11).

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II 2

h y (t )= y ( t i ) + hf ( t i , y ( t i ) ) + y ( {ε} rsub {i} 2 i+1

(4.12). Metode Euler dibangun dengan pendekatan bahwa suku terakhir dari persamaan (4.12), yang memuat turunan kedua, dapat diabaikan. Disamping itu, pada umumnya. notasi penulisan bagi y(ti) diganti dengan wi. Sehingga metode Euler diformulasikan: w i+1=wi +hf (t i , wi) Dimana I = 0, 1, 2, …, N-1 ( Suparno, 2010 ).

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

(4.13).

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II X.

Algoritma

Program Utama Step 1 : Mulai Step 2 : Inisialisasi format long, r=0, s=15, h=0.01, g=9.8, a0=g, v0=0, to=0.0, N=

s−r , v, R=0.0075, c=0.046, m=0.0039, rho=1.2, fjb1 terhadap v0, t, k, a, h

pi. Step 3 : Perulang i dari 1 sampai N dengan beda selisih 1 Step 4 : Proses t ( i )=r +i∗h , dan perulangan selesai Step 5 : Proses v ( 1 )=v 0+ h∗fjb 1( v 0) Step 6 : Melakuakn perulangan i dari 2 sampai dengan N Step 7 : Proses k =i−1 v ( i )=v ( k )+ h∗fjb 1(v ( k )) , dan perulangan selesai Step 8 : Cetak hasil perhitungan v Cetak grafik hubungan kecepatan terhadap t (v,t) Cetak judul grafik (‘Grafik Hubungan Kcepatan Terhadap Waktu Gerak Jatuh Bebas’) Cetak label (‘waktu’) pada sumbu x Cetak label (‘kecepatan’) pada sumbu y Step 9 : Selesai Subprogram Step 1 :Mulai Step 2 : Inisialisasi a, fungsi fjb1 terhadap v, g=9.8, c=0.046, R=0.0075, m=0.0039, rho=1.2, pi. Step 3 : Proses pemanggilan fungsi fjb1 dengan parameter masukan (v) dan parameter keluaran [a] Proses a=g−

( 0.5 × c ×rho × pi × R2 × v 2)

Step 4 : Selesai.

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

m

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

VI.

FLOWCHART

Program Utama Mulai

Inisialisasiformat long, r=0, s=15, h=0.01, g=9.8, a0=g, v0=0, to=0.0,

N=

s−r , v, h

R=0.0075, c=0.046, m=0.0039, rho=1.2, fjb1 terhadap v0, t, k, a.

Proses t ( i )=r +i∗h

i dari 1 sampai N dengan selisih 1

Proses v ( 1 )=v 0+ h∗fjb 1( v 0)

i dari 2 sampai N

Proses k =i−1 Proses v ( i )=v ( k )+ h∗fjb 1(v ( k ))

Cetak hasil perhitungan v Cetak grafik hubungan kecepatan terhadap t (v,t) Cetak judul grafik (‘Grafik Hubungan Kcepatan Terhadap Waktu Gerak Jatuh Bebas’) Cetak label (‘waktu’) pada sumbu x Cetak label (‘kecepatan’) pada sumbu y

Selesai Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

Subprogram Mulai Inisialisasi a, fungsi fjb1 terhadap v, g=9.8, c=0.046, R=0.0075, m=0.0039, rho=1.2, pi

Proses pemanggilan fungsi fjb1 dengan parameter masukan (v) dan parameter keluaran [a] Proses a=g−

( 0.5 × c ×rho × pi × R2 × v 2) m Selesai

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

VII. Listing Program Utama % metode Euler : benda jatuh % penentuan interval waktu h dan parameter lainnya Clear all Clc format long r=0; % batas awal interval s=15; % batas akhir interval h=0.01; % interval waktu iterasi N=(s-r)/h; % nilai step-size g=9.8; % percepatan mula-mula a0=g; % percepatan mula-mula v0=0; % kecepatan awal t0=0.0; waktu awal % perubahan t sesuai step-size h adalah For i=1:1:N t(i)= r+(i*h); end % solusinya : v(1)= v0+h*fjb1(v0); %------------------------For i=2:N k=i-1; v(i)= v(k)+h*fjb1((v(k)); end % menampilkan hasil v plot ( t,v ); xlabel (‘waktu’); Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II ylabel (‘kecepatan’) Subprogram % fungsi untuk persamaan benda jatuh Function a=fjb1 (v) g=9.8; c=0.046; R=0.0075; m=0.0039; rho=1.2; A= g – (0.5*c*rho*pi*R.^2*v.^2)/m;

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

VIII. Tugas Pendahuluan 1. Jelaskan makna fisis dari posisi, kecepatan, dan percepatan ! 2. Tuliskan perumusan umum metode numerik Euler, berikan penjelasan secara singkat! Jawab : 1. Dapat diartikan sebagai berikut : •

Posisi atau kedudukan adalah suatu kondisi vektor yang merepresentasikan keberadaan satu titik terhadap titik lainnya yang bisa dijabarkan dengan koordinat kartesius, dengan titik (0,0) adalah titik yang selain dua titik tersebut namun masih berkolerasi atau salah satu dari dua titik tersebut.

•

Kecepatan adalah besaran vektor yang menunjukkan seberapa cepat benda berpindah. Kecepatan juga bisa berarti kelajuan yang mempunyai arah.

•

2.

Percepatan adalah perubahan kecepatan dalam satuan waktu tertentu.

Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Dalam deret Taylor, fungsi y(t) tersebut dirumuskan sebagai berikut: ' ti

y (t )= y ( t i ) + ( t i +1−t i ) y ( ) +

( ti +1−t i )

i+1

2

2

y ( {ε} rsub {i}

(6.1).

Dengan memasukkan h = (ti+1 − ti), maka: y (t )= y ( t i ) + h y ' ( t i )+ i+1

h2 y ( {ε} rsub {i} 2

(6.2).

Karena y(t) memenuhi persamaan diferensial (6.1), dimana y′(ti) tak lain adalah fungsi turunan f(ti, y(ti)), maka: 2

y (t )= y ( t i ) + hf ( t i , y ( t i ) ) + i+1

h y ( {ε} rsub {i} 2

(6.3).

Metode Euler dibangun dengan pendekatan bahwa suku terakhir dari persamaan (6.3), yang memuat turunan kedua, dapat diabaikan. Disamping itu, pada umumnya, notasi penulisan bagi y(ti) diganti dengan wi. Sehingga metode Euler diformulasikan sebagai berikut: w i+1=wi +hf (t i , wi) Dimana i = 0, 1, 2, …, N-1 Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

(6.4).

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

IX.

Data Hasil Pengamatan

Gambar 9.1. Kurva Kecepatan Terhadap Tegangan

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

X.

Analisa Pada listing program terdapat program utama dan subprogram. Untuk subrogram

harus di-save dengan nama file fjb1. Namun dapat juga diubah dengan nama apa saja. Karena pada kasus ini membahas mengenai gerak benda jatuh bebas, maka nama filenya fjb1. Adapun parameter masukannya yakni fjb1 (v) dan parameter keluarannya a. Pada program utama fjbl digunakan untuk memanggil fungsi dari subprogram. Pada listing program utama ditambahkan title untuk membuat judul grafik hubungan kecepatan terhadap waktu kasus gerak benda jatuh. Pada grafik yang dihasilkan semakin besar waktunya maka akan semakin besar kecepatannya. Makna fisis dari grafik gerak benda jatuh bebas yakni tanpa kecepatan awal sehingga jatuhnya semakin cepat. Pada saat membuat grafik semakin banyak cuplikan yang dilakukan maka garis pada grafiknya akan semakin rapat. Pada kasus percobaan ini membahas mengenai gerak benda jatuh. Salah satu penyelesaiannya menggunakan metode euler dengan bantuan matlab. Di mana metode euler ini menggunakan batas interval waktu dari 1 sampai 15. Kelebihan dari metode ini penyelesaiannya sangat sederhana. Sedangkan kekurangannya menghasilkan error yang cukup besar. Pada listing program interval waktu iterasinya (h) 0,01 dan batas akhir intervalnya (s) 15 dengan batas awal interval (r) 0. Sehingga nilai step size-nya banyak mencapai 1500 karena batas intervalnya 0,01 dan banyaknya step size maka itulah banyaknya hasil perhitungan yang diperoleh. Hasil tersebut diperoleh dari perumusan step size (N) sama dengan batas akhir interval dikurang dengan batas awal interval dibagi interval waktu iterasi. Agar hasil perhitungannya singkat maka pada listing program, v diplot menjadi v(100:100:1500) maka dengan ini step size-nya dimulai dari 100, sehingga hasilnya hanya muncul dari 1 sampai 15 sehingga hasil yang diperoleh lebih efisien. Nilai interval waktu iterasi mempengaruhi nilai step size, semakin kecil interval waktu iterasi maka semakin banyak step size-nya.

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

XI. TUGAS AKHIR 1. 2.

Jelaskan pengertian ‘truncation error’ dan ‘round-off error’? Mengapa diperlukan pemilihan interval waktu iterasi yang bersesuaian dengan

3.

kasus yang akan diselesaikan? Apakah dalam perccobaan yang anda lakukan diperoleh kecepatan yang konstan? Mengapa demikian, jelaskan?

Jawab 1.

Truncation error adalah kesalahan yang timbul karena pemotongan suku pada suatu deret/rumus aproksimasi, misalnya suatu rumus rumit diubah dengan rumus yang lebih sederhana. Sedangkan Round-off error adalah kesalahan yang timbul

2.

akibat adanya pembulatan angka. Hal ini diperlukan karena pemilihan interval waktu iterasi yang tepat akan menghasilkan nilai hampiran mendekati absolut. Misal pemilihan waktu interval 0.01 akan menghasilkan nilai perhitungan yang lebih efektif atau mendekati nilai absolut dibandingkan waktu interval 0.07, karena cuplikan tiap step semakin

3.

rapat. Sehingga, error tiap perhitungan akan semakin kecil pula. Tidak. Karena pada saat dilakukan perhitungan kecepatan dipengaruhi nilai t (waktu). Dimana t (waktu) akan berubah sesuai dengan jumlah perulangan pada perhitungan. Dengan t (waktu) besar apabila i juga besar, sehingga nilai v akan semakin besar pula hingga batas iterasi yang telah ditentukan.

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

XII. KESIMPULAN 1.

Metode euler menggunakan batas interval waktu dari 1 sampai 15.

2.

Pada grafik yang dihasilkan semakin besar waktunya maka akan semakin besar kecepatannya.

3.

Semakin kecil interval waktu iterasi maka semakin banyak step size-nya.

4.

Semakin banyak cuplikan yang dilakukan maka garis pada grafiknya akan semakin rapat.

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI II

DAFTAR PUSTAKA Monado, F., Koriyanti, E., dan Ariani, M., 2018. Modul Praktikum Fisika Komputasi II. Indralaya : Universitas Sriwijaya. Suparno, S., 2010. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab. Depok : Universitas Indonesia. Maiyena, S., 2011. Penggunaan Metode Euler Pada Persamaan Diferensial Orde Dua Pada Rangkaian Listrik Seri LC. Jurnal Sainstek, 2(3) : 176.

Fakultas MIPA – Jurusan Fisika Universitas Sriwijaya