La Recta 2a Parte

“LINEA RECTA” 2a parte ING. SONIA ZAZUETA LOPEZ APLICACIONES DE LA LINEA RECTA: COSTO INGRESO PUNTO DE EQUILIBRIO DEPRECIACION LINEAL OFERTA Y DEMANDA

MODELOS DE COSTO LINEAL En la producción de cualquier bien por una empresa intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo, es decir, no dependen del nivel de producción, ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses sobre préstamos, salarios de administración. Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y la mano de obra son ejemplos de costos variables. El costo total esta dado por: Costo Total = Costos variables + Costos fijos

SZL

Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota el costo variable por unidad , entonces los costos variables totales al producir x unidades de articulos son mx pesos. Si los costos fijos son b pesos, se desprende que el costo total y (en pesos) de producir x unidades esta dado por: Costo Total = Costos variables + Costos fijos y = mx + b

SZL

La ecuación pendiente ordenada al origen de una recta es un ejemplo de modelo de costo lineal Ejemplo 1: el costo de procesar un kilo de grano de café es de 50¢ y los costos fijos por día son de $300. a) Obtener la ecuación de costo lineal y su gráfica b) Determine el costo por procesar 1,000 kilos de grano de café en un día Solución: a) Si y representa el costo en pesos de procesar x kilos de grano de café por día, de acuerdo con la ecuacíon y = mx + b En donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo. En este caso m=50¢ o sea m=$0.50; y b=$300; por lo tanto: y = 0.50x + 300 SZL

Para dibujar la gráfica, encontramos dos puntos en ella,

y 400

si x = 0, el valor de y = 300;

300

si x = 200, el valor de y es yc = 0.5(200) + 300 = 400.

200

100 x −400

De modo que dos puntos que satisfacen la ecuación de costo son (0,300) y (200, 400)

−300

−200

−100

100

200

300

400

−100

−200

−300

−400

SZL

b) Determinar el costo por procesar 1,000 kilos de grano de café; sustituyendo x=1,000 en la ecuación: y = 0.5(1,000) + 300 y = 800 En consecuencia el costo de procesar 1,000 kilos de grano de café al día sera de $800.

SZL

Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 maquinas de escribir al día es de $350, mientras que cuesta $600 producir 20 maquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total yc de producir x maquinas de escribir al día y dibuje la gráfica Solución: Se nos han dado los puntos (10,350) y (20,600) que están sobre la gráfica de un modelo de costo lineal. La pendiente de la línea que une a estos dos puntos es:

m=

600 − 350 250 = = 25 20 − 10 10

SZL

Usando la fórmula de las ecuación punto-pendiente, advertimos que la ecuación requerida de la línea recta con pendiente m=25 y que pasa por el punto (10,350) es:

yc − y1 = m( x − x1 ) yc − 350 = 25( x − 10) yc − 350 = 25 x − 250 yc = 25 x + 100 La gráfica de la ecuación en este caso no es una línea recta continua porque x no puede tomar valores fraccionarios al representar el número de máquinas de escribir producidas. La variable x solo puede tomar valores enteros 0,1,2,3,4,5,...

x yc

0 100

1 125

2 150

3 175

4 200

5 225

6 250 SZL

Graficando estos puntos, obtenemos la gráfica, nótese que la gráfica consta de puntos (discretos) separados mas que de una línea recta contínua Y

800

400

O

X

8

16

24

SZL

INGRESO Una vendedora gana un salario base de $600 al mes mas una comisión del 10% de las ventas que realice; descubre que en promedio le toma 1 hora y media realizar ventas por un valor de $100 ¿cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2,000? Solución.- Suponiendo que trabaja x horas por mes, cada 3/2 horas vende $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir: (2/3)(100) = $200/3 en ventas. Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión promedio por hora es $20/3. Por tanto, en x horas ganará una comisión de (20/3)x pesos.

SZL

Agregando su salario base, obtenemos un ingreso mensual de 600 + (20/3)x esto debe ser igual a 2,000, de este modo obtenemos la ecuación 600 + (20/3)x = 2,000. Resolviendo la ecuación obtenemos (20/3)x = 2,000 – 600 (20/3)x = 1,400 20x = 3(1400) 20x = 4,200 x = 4,200/20 x = 210 La vendedora debera trabajar 210 horas por mes en promedio si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado.

SZL

PUNTO DE EQUILIBRIO (INGRESOS Y COSTOS) El Punto de Equilibrio es el nivel en el cual los ingresos son iguales a los costos y gastos, y por ende no existe utilidad. Dicho en otras palabras, el Punto de Equilibrio se determina cuando los Ingresos Totales son iguales a los Costos Totales (incluyendo los Costos Fijos y los Costos Variables). Punto de Equilibrio: Ingresos Totales - Costos Totales (Fijos+variables) = 0 Por lo tanto Ingresos totales = Costos Totales (CF + CV) Conocer el punto de equilibrio resulta sumamente útil, para cuantificar el volumen mínimo que se debe lograr en ventas y producción. Este volumen mínimo de producción o ventas es el que permite alcanzar el valor cero, conociendo entonces este valor base será más sencillo determinar cual será el volumen de producción o de ventas que se deberá alcanzar para obtener un nivel de rentabilidad (utilidad) deseado. SZL

Ejemplo.- Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, rentas etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250,000. El costo variable o costo por unidad de producción del bien es de $ 22.50. El precio de venta del producto es de $ 30.00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio. Solución.- Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22.50x + 250,000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x El punto de equilibrio se puede hallar: Igualando los ingresos a los costos, es decir: I(x) = C(x) 30x = 22.50x + 250,000

SZL

Despejando x: 30x – 22.50x = 250,000.00 7.50x = 250,000 x = 250,000/ 7.50 x = 33,333.33 Unidades Sustiuyendo x en la funcion de ingreso I(x) = 30x I(x)=30(33,333.33) y = $999,999.99 Es decir, la empresa tendrá beneficio 0 y estará en el punto de equilibrio (no gana ni pierde) cuando produce y vende 33,333 unidades a $999,999.99 Así podemos concluir que con menos de 33,333 unidades producidas y vendidas la empresa tendrá déficit (pérdida) y con cualquier cantidad superior tendrá ganancia.

SZL

pesos

n Fu

osto Función c de a n Zo idas d pér

n ó i c

o es r i ng de a n Zo ncias a gan

Punto de equilibrio

cantidad SZL

DEPRECIACION LINEAL Cuando una compañía compra parte de un equipo o maquinaria, reporta el valor de ese equipo como uno de los activos en su hoja de balance. En años subsecuentes, este valor debe disminuir debido al lento desgaste del equipo, o bien, a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor de un activo se denomina depreciación. Un método común de calcular el monto de depreciación es reducir el valor cada año en una cantidad constante, de forma tal que el valor se reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del equipo. Esto se denomina depreciación lineal.

Tasa de Depreciación (anual) =

(Valor inicial - Valor de desecho) Tiempo de vida en años SZL

Ejemplo: Una empresa compra maquinaria por $150,000. Se espera que el tiempo de vida útil de la maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero. Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor depreciado despues de x años. Solución:

Depreciación por año =

(Precio de Adquisición - Valor de desecho) Vida útil en años

$150,000 − 0 = $12,500 al año 12 años Valor despues de x años = (Valor inicial) − (Depreciación por año )(Número de años )

= ($150,000 ) − ($12,500 por año )(x años ) = 150,000 − 12,500 x SZL

OFERTA Y DEMANDA Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier analisis economico. La cantidad x de cualquier artículo que será adquirida por los consumidores depende del precio en que el articulo este disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estan dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de la demanda. La ley mas simple es una relación del tipo: p = mx +b En donde p es el precio por unidad del articulo y m y b son constantes. La grafica de una ley de demanda se llama curva de demanda. Como p esta expresado en términos de x, esto nos permite calcular el nivel de precio en que cierta cantidad x puede venderse.

SZL

Es un hecho conocido de que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda por dicho artículo disminuye porque menos consumidores podran adquirirlo, mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementara En otras palabras, la pendiente m de la relación de demanda debe ser negativa, de modo que la gráfica ecuación tiene una inclinación que baja hacia la derecha. Puesto que el precio p por unidad y la cantidad x demandada no son numeros negativos , la gráfica sólo debe dibujarse en el primer cuadrante. p

O

xo

x SZL

La cantidad de un artículo determinado que sus proveedores estan dispuestos a ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo . Una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta, cuya grafica se conoce como curva de la oferta. En general, los proveedores inundaran el mercado con una gran cantidad de artículos, si pueden ponerle un precio mas alto y con una cantidad más reducida de artículos si el precio obtenido es más bajo.

p

p1 x O

En otras palabras, la oferta aumenta al subir el precio. En la gráfica, el precio p1 correponde aun precio bajo del cual los proveedores no ofreceran el artículo

SZL

Ejemplo (demanda). Un estudio de mercado arrojo el resultado que los consumidores de cierto artículo demandarian 100 unidades si su precio fuera de $60 y demandarian 200 unidades si se le fijara un precio de $50. Solución: tenemos dos puntos, primero obtenemos la pendiente:

A(100,60) B(200,50) 50 − 60 p2 − p1 − 10 m= = = = q2 − q1 200 − 100 100

1 m=− 10

SZL

Ahora utilizando la formula punto pendiente sustituimos los datos del punto A

p − p1 = m(q − q1 ) 1 (q − 100) 10 100   1 p = − q +  + 60 10   10 1 p = − q + 10 + 60 10 1 p = − q + 70 Esta es la ecuación de la oferta 10 p − 60 = −

SZL

y

p

160

140

120

100

p=− 80

1 q + 70 10

60

40

20

qx −40

−20

20

−20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

SZL

Ejemplo (oferta). El mismo estudio concluyo que los comerciantes ofrecerian 90 artículos a un precio de $50, pero si ofrecieran 150 articulos lo harían a un precio de $70 Solución, hacemos el mismo procedimiento que en la demanda

C (90,50) D(150,70) p2 − p1 70 − 50 20 2 m= = = = q2 − q1 150 − 90 60 6

1 m= 3

SZL

Ahora utilizando la formula punto pendiente sustituimos los datos del punto C

p − p1 = m(q − q1 ) 1 p − 50 = (q − 90 ) 3 90  1 p =  q −  + 50 3 3 1 p = q − 30 + 50 3 1 p = q + 20 Esta es la ecuación de la oferta 3

SZL

y

p 160

140

120

1 p = q + 20 3

100

80

60

40

20

qx −40

−20

20

−20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

SZL

py

PUNTO DE EQUILIBRIO 1 60

1 40

1 20

Si unimos las graficas de la oferta y la demanda, nos ayudara a comprender y hallar el punto de equilibrio: Cantidad demandada = Cantidad Ofrecida a un precio (precio de equilibrio)

1 00

80

60

40

20

q

x −40

−2 0

20

−20

40

60

80

10 0

1 20

140

16 0

1 80

200

22 0

2 40

260

28 0

3 00

320

34 0

SZL

Solución. Igualamos las funciones de demanda y de oferta

1 1 − q + 70 = q + 20 10 3 Despejamos q y encontraremos la cantidad de equilibrio

1 1 − q + 70 = q + 20 10 3 1 1 − q − q = 20 − 70 10 3 1 1 q + q = −20 + 70 10 3 13 q = 50 30 (30)(50) q= 13 q = 115.38 SZL

La cantidad de equilibrio seria 115 (numero entero por tratarse de unidades) y para hallar el precio de equilibrio lo sustituimos en la funcion de oferta o de demanda:

1 p = q + 20 3 1 p = (115.38) + 20 3 p = 38.46 + 20 p = 58.46 El precio donde concuerdan tanto comerciantes como consumidores es de $58.46, y es llamado precio de equilibrio

SZL