La Recta 1a Parte

“LINEA RECTA” 1a parte ING. SONIA ZAZUETA LOPEZ

Objetivo: Utilizar la línea recta en sus diferentes formas para calcular el punto de equilibrio de la empresa y del mercado a través de ecuaciones lineales de ingreso, costo, utilidad, oferta y demanda mediante la solución de un caso práctico.

SZL

DEFINICION Y CARACTERÍSTICAS: ECUACIÓN GENERAL DE LA LINEA RECTA

“Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m resulta siempre constante

y2 − y1 m= x1 ≠ x2 x2 − x1 Dos puntos solo pueden ser unidos por una sola recta y la relación matemática que satisface la unión de estos se llama “ecuación de la recta”

SZL

ECUACION GENERAL DE LA LINEA RECTA

Toda ecuacion general de primer grado, con una o dos variables, graficamente es una línea recta. Asimismo toda linea recta puede ser representada por una ecuación de primer grado. La ecuacion general de primer grado con dos variables es de la forma Ax + By + C = 0

SZL

Si A = 0, C = 0 y B ≠ 0, la ecuación es de la forma By = 0, equivale a y = 0 que representa al eje x

y 4

Ejemplo:

3 2

La recta 3y = 0, 1 x

entonces x = 0, -4

representa al eje x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

SZL

Si B=0, C=0 y A≠0, la ecuación es de la forma Ax=0, equivale a x=0 que representa al eje y

y 4 3

Ejemplo:

2

La recta 9x = 0,

1 x

entonces y = 0,

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

representa al eje y

-2 -3 -4 -5

SZL

Si A=0 y B y C≠0, la ecuación es de la forma By + C = 0, esto es y = -C/B que representa una recta paralela al eje x a la distancia -C/B

y

Ejemplo:

4

La recta 3y + 6 = 0,

3 2

entonces x = 0, despejando “y”: 3y = -6

1 x -4

-3

-2

-1

1

y = -6/3

-1

y = -2

-2

La recta es paralela al eje “x” a la distancia -2

2

3

4

5

-3 -4 -5

SZL

Si B=0 y A y C≠0, la ecuación es de la forma Ax + C = 0, esto es x = -C/A que representa una recta paralela al eje y a la distancia -C/A

y 4

Ejemplo:

3

La recta 2x – 8 = 0,

2

entonces y = 0, despejando “x”

1 x

2x = 8 -4

-3

-2

-1

1

x = 8/2

-1

x=4

-2

La recta es paralela al eje “y” a la distancia 4

2

3

4

5

-3 -4 -5

SZL

Si C=0 y A y B≠0, la ecuación es de la forma Ax + By = 0, esto es y = -Ax/B que representa una recta que pasa por el origen y tiene de pendiente -A/B

y 4

Ejemplo:

3

La recta 2x + 3y = 0,

2

despejando “y”:

1 x

3y = –2x -4

y = –2x/3 La recta pasa por origen y tiene pendiente –2/3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

SZL

Si A, B y C ≠ 0, la ecuación es de la forma Ax + By + C = 0, esto es y = -Ax/B – C/B que representa una recta de pendiente -A/B y ordenada en origen -C/B Ejemplo: La recta 2x – 5y – 10 = 0 Despejando “y” para obtener la ecuación de la forma:

y 4

Ax C y=− − B B − 5 y = −2 x + 10 − 2 x  10  y= +  −5  −5 2x y= −2 5

3 2 1 x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

La recta tiene pendiente 2/5 y ordenada en el origen –2

-5

SZL

5

ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje x. Se mide a partir del eje x en el sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj y los valores son de 0º a 180º Y L2 L1 (0,y)

β

α (x,0)

X

La inclinación de la recta L1 se representa por el ángulo β; asimismo, la inclinación de la recta L2, es el angulo α. SZL

PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta se define como el valor tangente de la inclinación. Así, si la inclinación es cero, la pendiente es cero, si forma un ángulo agudo (menos de 90º) la pendiente es positiva y si forma un ángulo obtuso (mas de 90º y menos de 180º) la pendiente es negativa; además, una recta perpendicular al eje X no tiene pendiente, pues su inclinación es 90º y un ángulo de 90º no tiene tangente

Y y2

y1

L1

B (x2,y2)

A (x1,y1)

α C

x1

x2

X SZL

PENDIENTE DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Sean A(x1,y1) y B(x2,y2) dos puntos de la recta L1, si desde A trazamos una linea recta paralela al eje X e igualmente desde B una paralela al eje Y se forma el triángulo ABC. La inclinación de la recta AB es el ángulo α y este es igual al ángulo CAB. Y y2

y1

L1

B (x2,y2)

A (x1,y1)

α C

x1

x2

X

Entonces por la definición de pendiente, se tiene que la pendiente de:

cateto opuesto BC y2 − y1 AB = tan α = = = cateto adyacente CA x2 − x1

SZL

La pendiente de una recta, tambien llamada coeficiente angular de la recta, se suele representar por la letra m. Así se tiene que:

y 2 − y1 m= x2 − x1 Significa que la pendiente de la recta que pasa por dos puntos es igual a la diferencia de ordenadas dividida entre la diferencia de abscisas, tomadas en el mismo orden. Si las ordenadas de ambos puntos son iguales, la recta es paralela al eje X y su pendiente es cero, ya que en la fórmula y2 – y1 = 0 y por lo tanto m = 0. Si las abscisas de ambos puntos son iguales, la recta es perpendicular al eje X y no tiene pendiente, ya que en la fórmula x2 – x1 = 0, entonces m no esta definida ya que la división entre cero no lo esta, entonces se dice que la pendiente es infinita SZL

Ejemplo: Hallar la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos A (-2, -1) y B (4, 0) Solución. Considerando a B como punto final dela recta y A como punto inicial: x1 = -2 y1 = -1 x2 = 4 y2 = 0 Sustityendo los valores en la formula:

0 − (− 1) 0 + 1 1 m= = = 4 − (− 2) 4 + 2 6

y2 − y1 m= x2 − x1

La pendiente de la recta es 1/6

El problema de hallar el ángulo de inclinación, conocida la pendiente, se reduce a obtener el ángulo que corresponde a una tangente dada. En este caso, si la pendiente AB es 1/6, la inclinación es el ángulo cuya tangente es 1/6, por lo tanto la inclinación de AB = tan-1 1/6 = 9.46º SZL

y 4

3

2

1 x −4

−3

−2

−1

1 −1

−2

2

3

4

5

α

1 m = ; α = 9.46º 6

−3

−4

−5

SZL

ECUACION PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTA Consideremos una recta que pasa por un punto en particular, el origen, y tiene una pendiente “m”. La ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m, se puede obtener considerando la figura, en donde si A(x1,y1), B(x2,y2) y C(x3,y3) son puntos de la recta AB, los triangulos AOA’, BOB’ y COC’ son semejantes; entonces se tiene que: Y C B A

X O

A’

B’

C’ SZL

AA' BB' CC ' y1 y2 y3 = = = tan α = m, luego entonces = = =m OA' OB' OC ' x1 x2 x3 Es decir: para cualquier punto P(x,y) de la recta AB se verifica que: y

m=

x

Así, la ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m es y=mx Y C B A

X O

A’

B’

C’

SZL

Ahora bien para obtener la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, se considera A(x1,y1) es un punto de la recta y m1 su pendiente. Si P(x,y) es un punto cualquiera de la recta, por definición de pendiente se tendra la ecuación:

y − y1 m1 = ; por lo tanto y − y1 = m1 ( x − x1 ) x − x1 que es la ecuación buscada A esta ecuación se le suele llamar forma ordinaria de la ecuación de la recta o ecuación punto-pendiente

SZL

Ejercicios de ejemplo: a) Obtener la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente 2 b) Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,4) y tiene pendiente 3/4

SZL

a) Obtener la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente 2 Solución: y

Dado que la ecuación pasa por el origen la ecuación es y=mx con m=2, entonces y=2x es la ecuación deseada

4

3

2

1 x

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

SZL

a) Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3,4) y tiene pendiente ¾ Solución: Empleando la ecuación punto-pendiente y

y − y1 = m1 ( x − x1 )

6

3 (x − (− 3)) ; 4 4( y − 4) = 3( x + 3) ;

5

y−4=

4

A(-3, 4)

4 y − 16 = 3x + 9; 3

3x − 4 y + 25 = 0 es la ecuación buscada

2

1

x −9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

SZL

ECUACION PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN Se llama ordenada al origen de una recta al valor de la ordenada en el punto de intersección de la recta con el eje “y”. Se representa por la letra b. Para obtener la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b: Y

L2 B

L1 A

B’

A’

b

X O

SZL

Considerando que la recta L1 cuya ecuación es y=mx + b que pasa por el origen y es paralela la L2 y si la pendiente de L1 es m tambien lo es de L2. Analizando la relación que hay entre las coordenadas de los puntos A y A’, B y B’ sobre ambas rectas se tiene que: Las abscisas son las mismas para las dos parejas de puntos, es decir, la abscisa de A es la misma que la de A’, la abscisa de B es la misma que la de B’.

Y

L2 B

L1 A

B’

A’

b

Las ordenadas de los puntos A y B de la recta L2 son iguales a las de O los puntos correspondientes A’ y B’ de la recta L1 aumentadas siempre en la misma cantidad b, que es la ordenada en el origen de la recta L2

X

SZL

La ordenada de A = ordenada de A’ + b La ordenada de B = ordenada de B’ + b De manera general, para un punto cualquiera P(x,y) de la recta L2 se tendra que: Ordenada de tambien forma P = ordenada de P’ + b Luego entonces, la ordenada al origen de la recta L1, cuya ecuación es y=mx, tiene valor cero, asimismo, la ordenada al origen de la recta L2 tiene el valor b, por lo que se concluye que la ecuación es y=mx + b, llamada tangencial o abreviada de la ecuación de la recta

Y

L2 B

L1 A

B’

A’

b

X O SZL

Ejemplos: Escribir las ecuaciones de las siguientes rectas: a) La ecuación de una recta de pendiente 1 y ordenada al origen 2 b) La ecuación de una recta que pasa por el punto (0,-2) y forma un angulo de 45º y

Solución

4 3

a) la ecuación de la recta de pendiente 1 y ordenada al origen 2 es:

2 1 x

y=mx + b es decir

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3

y=x+2

−4 −5

SZL

Solución b) Si la recta forma un angulo de 45º, entonces para obtener la pendiente m, tan 45º = 1 y dado el punto (0,-2) entonces su ordenada al origen es –2, por lo que la ecuación buscada es: y=x-2 y 4 3 2 1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4 −5

SZL

Proximamente: Aplicaciones de la recta en Negocios

SZL