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Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
LA LINEA RECTA ●
La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
●
En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
●
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Semirrecta
Haz de rayos.
Se le llama semirrectanota 1 a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.
Semirrecta opuesta La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.5 6 ●
Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.
●
Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.
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Ecuación de la recta en el plano
Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.
En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.
Pendiente y ordenada al origen Dada una recta mediante un punto,
, y una pendiente
:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
donde
es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.
Ejemplo[editar]
La ecuación de la recta que pasa por el punto de
y que tiene una pendiente
:
Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta,
:
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Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos .
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)[editar] Recta que corta el eje ordenado en
y la abscisa en
.
.
Ecuación general de la recta Es la expresión Ax + By + C = 0,10 -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen cuando B sea diferente a cero. Datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano XOY.
Ecuación normal de la recta (primera forma) La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse): Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.11 Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el eje de las ordenadas:
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo alfa α es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.
Ecuación normal de la recta (segunda forma)
Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.
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Rectas que pasan por un punto[editar]
Rectas que pasan por el punto: (2,4).
Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto ecuación
se usa la
donde m toma cualquier valor real.
Recta que pasa por dos puntos Si pasa por dos puntos como:
y
, la ecuación de la recta puede expresarse
Rectas notables
Rectas perpendiculares.
La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general La ecuación de una recta horizontal responde a la ecuación general
(constante). (constante).
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Una recta trigonoidal que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición b = 0, siendo su ecuación:
.
Dos rectas cualesquiera:
serán paralelas si y solo si
. Además, serán coincidentes cuando:
serán perpendiculares si y solo si
, es decir:
Rectas en el plano como espacio vectorial y afín Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta es decir toda la recta mediante la ecuación: donde Dados
puede tomar cualquier valor.
y
, entonces la recta son los puntos y
tales que
.
Mediante un punto y un vector Dado un punto y un vector en el plano, P y la ecuación: donde
, queda totalmente definida una recta mediante
puede tomar cualquier valor.
Ejemplo Dados puntos
y
(llamado vector director), entonces la recta son los
tales que
y
.
Rectas notables La ecuación de una recta vertical poseería un vector director del tipo La ecuación de una recta horizontal poseería un vector director del tipo
. .
Una recta por el origen, es una recta que pasa por el origen de coordenadas con . Dadas dos rectas cualesquiera
serán paralelas si y solo si
serán perpendiculares si y solo si es cero.
. y
son perpendiculares, es decir su producto escalar
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Rectas como producto escalar Toda recta ya sea de forma implícita, explicita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:
es decir, renombrando las constantes:
Si
por tanto el vector
es perpendicular a la recta
y a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.
Ecuación de la recta en el espacio Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables.
Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:
Esta ecuación equivale a la intersección de dos planos en el espacio.
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Recta determinada mediante vectores Recta en el espacio usando un punto,
, y un vector,
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
Circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas
En un sistema decoordenadas cartesianasx-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación . Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al . La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria. De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
:
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resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: , la ecuación de la circunferencia es:
Ecuación vectorial de la circunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: . Donde
es el parámetro de la curva, además cabe
destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre. Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un punto cualquiera de ℝ2 , la ecuación |P C|= r es la ecuación vectorial de la circunferencia de centro C y radio r.9 Ecuación en coordenadas polares
Circunferencia unitaria.
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Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto , la ecuación se transforma en:
y el radio es
Ecuación paramétrica de la circunferencia La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
, donde t recorre todos los valores reales y se llama parámetro.10
Circunferencia en topología En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.11 Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera. Los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como .12La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco- esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado- y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.13 También el caso de una poligonal cerrada.
Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría. Se debe tener presente que en este plano una ecuación de circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.
Otras propiedades
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Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos formados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otra cuerda, . El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto (véase arco capaz).
Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:
LA ELIPSE
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Historia
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas (Egipto).
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.3
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: ●
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
●
El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de una elipse
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Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1 )+d(P,F2)=2a). Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q. Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F , un 2 punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: donde
es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
Excentricidad de una elipse La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con Dado que
o el sistema:
, también vale la relación:
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La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.4 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamadaépsilon. (No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).
Excentricidad angular de una elipse La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, paratodos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selectode puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto Pde la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación , también es útil la fórmula
, también es cierto que .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior. Ver más adelante cómo se dibuja la directriz.
Elementos gráficos de la elipse
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
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La descripción corresponde a las imágenes de la derecha. Los diámetros principales o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor. El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la circunferencia los focos coinciden con el centro. Los focos se suelen nombrar con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos, F1 F2, o F' - F" . El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y el diámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denomina c. Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.
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En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse. La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el dela elipse, y como radio a. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la elipse (como se ve en el ejemplo). Las circunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y la principal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria). La recta t en color cian es una tangente por un punto cualquiera. Al punto de tangencia se lo suele nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente salvo en los extremos de los ejes principales. Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto. Diámetros conjugados Se denominan diámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la derecha). Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).
Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existenvarios métodos para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados. Rectas directrices La definición de las rectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen.
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23/noviembre/2015
Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.
Dibujo de la elipse
Modo de dibujar la elipse conocido como "elipse del jardinero", mediante dos puntos fijos y una cuerda
Elipse “del jardinero” El método se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos. Ver en la sección siguiente el modo de determinar los focos a partir de los ejes.
Modo de determinar los focos El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás la medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje mayor en los focos.
Dado el eje mayor con los focos, la medida a aplicada a cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del eje menor. Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero debemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor, luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la mitad del eje mayor.
Método de radios vectores También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los radios vectores y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la medida del eje mayor. Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo. Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Haciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medida. A continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que pertenecen a la elipse.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a mano o mediante plantillas de curvas.
Método de la tarjeta, compás de Arquímedes Se puede dibujar la elipse mediante una regla de medir, un juego deescuadra y cartabón y un lápiz. Dibujamos los ejes principales con sus medidas, y determinamos los focos. Tomamos con la regla graduada, desde el 0, la distancia del centro al extremo del eje mayor, y después desde la marca del extremo del eje mayor, restamos la mitad del eje menor (ver dibujo). Apoyando el 0 de la regla en cualquier punto del eje menor y la diferencia calculada en el eje mayor, marcamos la medida del eje mayor. Para más claridad véase el dibujo.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Esta misma operación se puede hacer con una tarjeta, y de ahí su nombre tradicional, haciendo marcas en el borde con las medidas dadas. Para construirla con reglas y compás marcamos puntos arbitrarios en el eje menor. Tomando con el compás la medida de la mitad de la diferencia entre el eje mayor y el menor, hacemos centro en los puntos y señalamos puntos correspondientes en el eje mayor, a ambos lados. Dibujamos rectas desde los puntos del eje menor a sus correspondientes del eje mayor, prolongándolas. Sobre esas rectas, con el compás y desde cada punto del eje mayor, tomamos la medida de la mitad del eje menor, marcándola sobre la línea, lo que nos da los puntos de la elipse. Existe una máquina sencilla (un elipsógrafo) hecha a base de guías o raíles y barras y llamada compás de Arquímedes, que se basa en este principio.
Construcción por afinidad
Partimos de las rectas de los ejes principales. Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros sean los de la elipse. Para hallar un punto trazamos un radio cualquiera de la circunferencia mayor fuera de los ejes. Desde el extremo del radio trazamos una recta auxiliar, paralela al eje menor, hacia dentro de la circunferencia. Desde el punto donde el radio corta la circunferencia menor trazamos una recta auxiliar paralela al eje mayor, que cruce la línea auxiliar que acabamos de hacer. El punto donde se cortan las dos auxiliares pertenece a la elipse.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Repitiendo la operación se obtienen todos los puntos que sean necesarios; la elipse se completa a mano o con plantillas. Normalmente por comodidad el dibujo se sistematiza; en lugar de los radios dibujamos diámetros completos, los trazos auxiliares verticales y horizontales se hacen de una vez mediante paralelas a los ejes.
En este método se puede considerar una de las circunferencias como una doble transformación afín de la otra, y los puntos unidos por el mismo radio serían entonces afines. Una de las líneas auxiliares es la recta de afinidad de dos puntos (uno en la circunferencia, otro en la elipse), mientras la otra línea auxiliar da la reducción que correspondeTambién se puede considerar la relación de las dos circunferencias una homología en la que el centro de homología coincide con el centro de una circunferencia, mientras su homóloga pertenece a un plano paralelo y también es concéntrica; estas homologías con rectas límite impropias son homotecias. Por afinidad, a partir de conjugados A partir de dos diámetros conjugados (A-B y C-D) se puede realizar la siguiente construcción, en la que hacemos afines los extremos del diámetro conjugado menor (C y C', la línea de afinidad en azul) con el de una circunferencia auxiliar de diámetro igual al mayor y perpendicular a él (en rojo), mientras el diámetro mayor es el eje de afinidad. Cada punto de la circunferencia es afín a otro de la elipse.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Por afinidad, dentro de un paralelogramo
Una construcción corriente para dibujar una elipse o un arco de elipse en un paralelogramo es hacerlo afín a otro ortogonal en el que podamos trazar un arco de circunferencia o una circunferencia completa. Esto es útil en particular para elipses proyectadas en axonométrica u otraproyección cilíndrica. Como se ve en el dibujo hacemos que dos puntos sean afines, así como dos rectas que se corten en otra que hará de eje de afinidad. El resto consiste en ir trasportando puntos y rectas mediante otras rectas afines conocidas, normalmente los lados de los paralelogramos o sus diagonales (véase el dibujo).En el cubo de la derecha se aprecia el principio que se aplica. Es importante señalar que en axonométrica este "truco" no equivale en general a un abatimiento.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Por haces proyectivos Construcción por haces proyectivos, o del paralelogramo. En la variante tradicional ponemos tantos puntos en el eje menor como en los lados del rectángulo paralelos al eje menor; unimos estos desde los extremos del eje menor (C y D). Luego pasamos rectas desde esos extremos hasta los puntos del eje mayor, hasta cortar la recta correspondiente. Los puntos de cruce pertenecen a la elipse. En la segunda imagen vemos el mismo procedimiento aplicado a dos diámetros conjugados; el rectángulo se hace romboide, pero sigue funcionando la construcción como una proyección afín de la otra.
En otra variante (ver imagen animada) dibujamos puntos a distancias iguales, proporcionales lado a lado, en un rectángulo exterior tangente a la elipse, que tiene los lados paralelos al eje menor de doble tamaño. Vamos uniendo en orden cada punto correspondiente como se ve en la imagen, desde los extremos el eje mayor. Los puntos que se cortan de las rectas correspondientes pertenecen a la elipse.
Construcción de la elipse según el método del paralelogramo
Existen métodos semejantes para trazar la parábola y la hipérbola.
La elipse como hipotrocoide
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz. En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.
Anamorfosis de una circunferencia en una elipse Determinada trasformación del plano (al deformar el plano cartesiano), se denomina anamorfosis. El término anamorfosis proviene del idioma griego y significa trasformar. Al transformar una circunferencia o una elipse mediante una afinidad o una homología el resultado es otra elipse (o una circunferencia como caso especial de elipse).
Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y/o el X se ha dilatado.
Otra modificación del plano contenedor; los ejes no se deforman ortogonalmente, sino que cada punto corresponde a otro según una homología de centro impropio (afinidad).
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Otra modificación del plano (homología)
Otra modificación del plano (libre, sobre un elipsoide)
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en una red de cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos. Este procedimiento era muy utilizado para realizar perspectivas ilusionistas, anamórficas, llamadas trampantojos.
Ecuaciones de la elipse En coordenadas cartesianas
x2 + xy + y 2 = 1
Forma cartesiana centrada en el origen La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje delas ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor. Forma cartesiana centrada fuera del origen Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
En coordenadas polares Forma polar centrada en origen
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1) Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad
), es:
(epc 2) Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad. Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2). Formas polares centradas en un foco
Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:
(501) Para el foco F1:
(502)
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23/noviembre/2015
"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es:
(503) El ángulo
}
de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del
punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
Formas paramétricas La ecuación paramétrica de una elipse con centro en el menor, es:
y siendo
el semieje mayor y
con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre y θ es . La ecuación paramétrica de una elipse con centro en
en la que el parámetro
concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado
es:
sea
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A con centrado en
. El parámetro
23/noviembre/2015
es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está
.
Área interior de una elipse El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.5
Perímetro de una elipse El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:
Propiedades notables La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.
La elipse como cónica La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
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la elipse como cónica.
Elipses semejantes Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física6 acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas. Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud. Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis, podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya al principio. No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.
La elipse en mecánica celeste
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Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Artículo principal: Leyes de Kepler
En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a interacción gravitatoria describen una órbita elíptica (o circular 7 ) la una en torno a la otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) está ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con gran precisión porque sus dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias entre ellos. Lacinemática de la órbita se rige por las leyes de Kepler. En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está más cerca de la "estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera que suvelocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de los focos de la elipse.
La elipse en la vida cotidiana La elipse es un lugar geométrico que se puede observar constantemente en la vida cotidiana, como en las obras de arte. Referente al arte se puede observar en las cúpulas y en los portales. En la vida cotidiana se puede observar en los vasos de agua cuando los inclinamos para beber que se forma una elipse. En las estaciones de metro alguna vez te habrás preguntado por qué se oye la conversación de algunas personas que están en el otro andén como si estuviesen al lado tuyo, éso es por el efecto de la elipse y significa que las personas integrantes de esa conversación estáis cerca de los focos de la elipse. Esto ocurre porque las palabras se transmiten por al aire mediante ondas y llegan a algún lugar. Hay una propiedad de la elipse que dice que una línea secante a una elipse rebota en uno de los puntos de corte conte ella y pasa por uno de sus dos focos y eso es lo que pasa en las estaciones de metro ya que tienen forma de elipse.
LA PARABOLA
Propiedades geométricas
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Diferentes elementos de una parábola.
Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul)
Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su generatriz, es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico: Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco. De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la recta directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario. De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.
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Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.
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Construcción de puntos en una parábola.
Lado recto
El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa queFEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal). Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.
Semejanza de todas las parábolas
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Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala. Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes. Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.
Tangentes a la parábola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Uso de las propiedades de las tangentes para construir una parábola mediante dobleces en papel.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece: La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección. Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P. Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU
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de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.
Aplicaciones prácticas Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: lasantenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras deenergía solar. Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
● La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.
● Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.
● Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras deenergía solar.
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● Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.
Ecuaciones de la parábola
Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1,1/4 y 1 /10.
Prueba geométrica de la relación y= ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y = ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,3 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
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Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QVc orresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a By C. Por el teorema de potencia de un punto: . Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así: . Usando nuevamente los paralelismos:
. Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de lo que haciendo
es una constante pues no depende de la posición de V, por
arroja la expresión moderna y = ax2 .
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Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice. La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u, v) tiene la forma (y - v) = a (x - u) 2 , agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente: La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma
.
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos: La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma
.
Ecuación involucrando la distancia focal
Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p) . La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es
.
De forma alterna:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es
.
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.
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Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es
.
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es
,
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda. Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k + p) es , mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:. La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h + p, k) es .
Ecuación general de una parábola Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales. La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
si y solo si
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.
Las cónicas
Tipos
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Perspectiva de las secciones cónicas.
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: ●
β > α : Hipérbola (naranja)
●
β = α : Parábola (azulado)
●
β < α : Elipse (verde)
●
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: ●
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
●
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
●
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
●
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
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Expresión algebraica
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: h² > ab: hipérbola. h² = ab: parábola. h² < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia. Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
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Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.
Características La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos: ●
Centro, O
●
Eje mayor, AA´
●
Eje menor, BB´
●
Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos: ●
Centro, O
●
Vértices, A y A
●
Distancia entre los vértices
●
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es:
A su vez, la de
una hipérbola vertical es: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, de una parábola se destacan los siguientes elementos:
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●
Eje, e
●
Vértice, V
●
Distancia de F a d, p.
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Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:
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LA LINEA RECTA ●
La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
●
En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
●
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Semirrecta
Haz de rayos.
Se le llama semirrectanota 1 a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.
Semirrecta opuesta La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.5 6 ●
Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.
●
Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.
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Ecuación de la recta en el plano
Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.
En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.
Pendiente y ordenada al origen Dada una recta mediante un punto,
, y una pendiente
:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
donde
es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.
Ejemplo[editar]
La ecuación de la recta que pasa por el punto de
y que tiene una pendiente
:
Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta,
:
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Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos .
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)[editar] Recta que corta el eje ordenado en
y la abscisa en
.
.
Ecuación general de la recta Es la expresión Ax + By + C = 0,10 -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen cuando B sea diferente a cero. Datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano XOY.
Ecuación normal de la recta (primera forma) La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse): Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.11 Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el eje de las ordenadas:
Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo alfa α es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.
Ecuación normal de la recta (segunda forma)
Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.
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Rectas que pasan por un punto[editar]
Rectas que pasan por el punto: (2,4).
Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto ecuación
se usa la
donde m toma cualquier valor real.
Recta que pasa por dos puntos Si pasa por dos puntos como:
y
, la ecuación de la recta puede expresarse
Rectas notables
Rectas perpendiculares.
La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general La ecuación de una recta horizontal responde a la ecuación general
(constante). (constante).
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Una recta trigonoidal que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición b = 0, siendo su ecuación:
.
Dos rectas cualesquiera:
serán paralelas si y solo si
. Además, serán coincidentes cuando:
serán perpendiculares si y solo si
, es decir:
Rectas en el plano como espacio vectorial y afín Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta es decir toda la recta mediante la ecuación: donde Dados
puede tomar cualquier valor.
y
, entonces la recta son los puntos y
tales que
.
Mediante un punto y un vector Dado un punto y un vector en el plano, P y la ecuación: donde
, queda totalmente definida una recta mediante
puede tomar cualquier valor.
Ejemplo Dados puntos
y
(llamado vector director), entonces la recta son los
tales que
y
.
Rectas notables La ecuación de una recta vertical poseería un vector director del tipo La ecuación de una recta horizontal poseería un vector director del tipo
. .
Una recta por el origen, es una recta que pasa por el origen de coordenadas con . Dadas dos rectas cualesquiera
serán paralelas si y solo si
serán perpendiculares si y solo si es cero.
. y
son perpendiculares, es decir su producto escalar
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Rectas como producto escalar Toda recta ya sea de forma implícita, explicita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:
es decir, renombrando las constantes:
Si
por tanto el vector
es perpendicular a la recta
y a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.
Ecuación de la recta en el espacio Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables.
Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:
Esta ecuación equivale a la intersección de dos planos en el espacio.
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Recta determinada mediante vectores Recta en el espacio usando un punto,
, y un vector,
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
Circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas
En un sistema decoordenadas cartesianasx-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación . Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al . La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria. De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
:
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resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: , la ecuación de la circunferencia es:
Ecuación vectorial de la circunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: . Donde
es el parámetro de la curva, además cabe
destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre. Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un punto cualquiera de ℝ2 , la ecuación |P C|= r es la ecuación vectorial de la circunferencia de centro C y radio r.9 Ecuación en coordenadas polares
Circunferencia unitaria.
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Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto , la ecuación se transforma en:
y el radio es
Ecuación paramétrica de la circunferencia La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
, donde t recorre todos los valores reales y se llama parámetro.10
Circunferencia en topología En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.11 Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera. Los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como .12La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco- esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado- y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.13 También el caso de una poligonal cerrada.
Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría. Se debe tener presente que en este plano una ecuación de circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.
Otras propiedades
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Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos formados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otra cuerda, . El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto (véase arco capaz).
Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:
LA ELIPSE
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Historia
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas (Egipto).
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.3
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: ●
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
●
El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de una elipse
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Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1 )+d(P,F2)=2a). Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q. Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F , un 2 punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: donde
es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
Excentricidad de una elipse La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con Dado que
o el sistema:
, también vale la relación:
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La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.4 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamadaépsilon. (No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).
Excentricidad angular de una elipse La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, paratodos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selectode puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
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La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto Pde la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación , también es útil la fórmula
, también es cierto que .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior. Ver más adelante cómo se dibuja la directriz.
Elementos gráficos de la elipse
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La descripción corresponde a las imágenes de la derecha. Los diámetros principales o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor. El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la circunferencia los focos coinciden con el centro. Los focos se suelen nombrar con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos, F1 F2, o F' - F" . El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y el diámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denomina c. Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.
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En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse. La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el dela elipse, y como radio a. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la elipse (como se ve en el ejemplo). Las circunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y la principal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria). La recta t en color cian es una tangente por un punto cualquiera. Al punto de tangencia se lo suele nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente salvo en los extremos de los ejes principales. Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto. Diámetros conjugados Se denominan diámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la derecha). Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).
Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existenvarios métodos para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados. Rectas directrices La definición de las rectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen.
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Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.
Dibujo de la elipse
Modo de dibujar la elipse conocido como "elipse del jardinero", mediante dos puntos fijos y una cuerda
Elipse “del jardinero” El método se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.
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Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos. Ver en la sección siguiente el modo de determinar los focos a partir de los ejes.
Modo de determinar los focos El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás la medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje mayor en los focos.
Dado el eje mayor con los focos, la medida a aplicada a cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del eje menor. Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero debemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor, luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la mitad del eje mayor.
Método de radios vectores También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los radios vectores y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la medida del eje mayor. Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo. Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Haciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medida. A continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que pertenecen a la elipse.
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Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a mano o mediante plantillas de curvas.
Método de la tarjeta, compás de Arquímedes Se puede dibujar la elipse mediante una regla de medir, un juego deescuadra y cartabón y un lápiz. Dibujamos los ejes principales con sus medidas, y determinamos los focos. Tomamos con la regla graduada, desde el 0, la distancia del centro al extremo del eje mayor, y después desde la marca del extremo del eje mayor, restamos la mitad del eje menor (ver dibujo). Apoyando el 0 de la regla en cualquier punto del eje menor y la diferencia calculada en el eje mayor, marcamos la medida del eje mayor. Para más claridad véase el dibujo.
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Esta misma operación se puede hacer con una tarjeta, y de ahí su nombre tradicional, haciendo marcas en el borde con las medidas dadas. Para construirla con reglas y compás marcamos puntos arbitrarios en el eje menor. Tomando con el compás la medida de la mitad de la diferencia entre el eje mayor y el menor, hacemos centro en los puntos y señalamos puntos correspondientes en el eje mayor, a ambos lados. Dibujamos rectas desde los puntos del eje menor a sus correspondientes del eje mayor, prolongándolas. Sobre esas rectas, con el compás y desde cada punto del eje mayor, tomamos la medida de la mitad del eje menor, marcándola sobre la línea, lo que nos da los puntos de la elipse. Existe una máquina sencilla (un elipsógrafo) hecha a base de guías o raíles y barras y llamada compás de Arquímedes, que se basa en este principio.
Construcción por afinidad
Partimos de las rectas de los ejes principales. Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros sean los de la elipse. Para hallar un punto trazamos un radio cualquiera de la circunferencia mayor fuera de los ejes. Desde el extremo del radio trazamos una recta auxiliar, paralela al eje menor, hacia dentro de la circunferencia. Desde el punto donde el radio corta la circunferencia menor trazamos una recta auxiliar paralela al eje mayor, que cruce la línea auxiliar que acabamos de hacer. El punto donde se cortan las dos auxiliares pertenece a la elipse.
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Repitiendo la operación se obtienen todos los puntos que sean necesarios; la elipse se completa a mano o con plantillas. Normalmente por comodidad el dibujo se sistematiza; en lugar de los radios dibujamos diámetros completos, los trazos auxiliares verticales y horizontales se hacen de una vez mediante paralelas a los ejes.
En este método se puede considerar una de las circunferencias como una doble transformación afín de la otra, y los puntos unidos por el mismo radio serían entonces afines. Una de las líneas auxiliares es la recta de afinidad de dos puntos (uno en la circunferencia, otro en la elipse), mientras la otra línea auxiliar da la reducción que correspondeTambién se puede considerar la relación de las dos circunferencias una homología en la que el centro de homología coincide con el centro de una circunferencia, mientras su homóloga pertenece a un plano paralelo y también es concéntrica; estas homologías con rectas límite impropias son homotecias. Por afinidad, a partir de conjugados A partir de dos diámetros conjugados (A-B y C-D) se puede realizar la siguiente construcción, en la que hacemos afines los extremos del diámetro conjugado menor (C y C', la línea de afinidad en azul) con el de una circunferencia auxiliar de diámetro igual al mayor y perpendicular a él (en rojo), mientras el diámetro mayor es el eje de afinidad. Cada punto de la circunferencia es afín a otro de la elipse.
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Por afinidad, dentro de un paralelogramo
Una construcción corriente para dibujar una elipse o un arco de elipse en un paralelogramo es hacerlo afín a otro ortogonal en el que podamos trazar un arco de circunferencia o una circunferencia completa. Esto es útil en particular para elipses proyectadas en axonométrica u otraproyección cilíndrica. Como se ve en el dibujo hacemos que dos puntos sean afines, así como dos rectas que se corten en otra que hará de eje de afinidad. El resto consiste en ir trasportando puntos y rectas mediante otras rectas afines conocidas, normalmente los lados de los paralelogramos o sus diagonales (véase el dibujo).En el cubo de la derecha se aprecia el principio que se aplica. Es importante señalar que en axonométrica este "truco" no equivale en general a un abatimiento.
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Por haces proyectivos Construcción por haces proyectivos, o del paralelogramo. En la variante tradicional ponemos tantos puntos en el eje menor como en los lados del rectángulo paralelos al eje menor; unimos estos desde los extremos del eje menor (C y D). Luego pasamos rectas desde esos extremos hasta los puntos del eje mayor, hasta cortar la recta correspondiente. Los puntos de cruce pertenecen a la elipse. En la segunda imagen vemos el mismo procedimiento aplicado a dos diámetros conjugados; el rectángulo se hace romboide, pero sigue funcionando la construcción como una proyección afín de la otra.
En otra variante (ver imagen animada) dibujamos puntos a distancias iguales, proporcionales lado a lado, en un rectángulo exterior tangente a la elipse, que tiene los lados paralelos al eje menor de doble tamaño. Vamos uniendo en orden cada punto correspondiente como se ve en la imagen, desde los extremos el eje mayor. Los puntos que se cortan de las rectas correspondientes pertenecen a la elipse.
Construcción de la elipse según el método del paralelogramo
Existen métodos semejantes para trazar la parábola y la hipérbola.
La elipse como hipotrocoide
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La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz. En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.
Anamorfosis de una circunferencia en una elipse Determinada trasformación del plano (al deformar el plano cartesiano), se denomina anamorfosis. El término anamorfosis proviene del idioma griego y significa trasformar. Al transformar una circunferencia o una elipse mediante una afinidad o una homología el resultado es otra elipse (o una circunferencia como caso especial de elipse).
Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y/o el X se ha dilatado.
Otra modificación del plano contenedor; los ejes no se deforman ortogonalmente, sino que cada punto corresponde a otro según una homología de centro impropio (afinidad).
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Otra modificación del plano (homología)
Otra modificación del plano (libre, sobre un elipsoide)
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en una red de cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos. Este procedimiento era muy utilizado para realizar perspectivas ilusionistas, anamórficas, llamadas trampantojos.
Ecuaciones de la elipse En coordenadas cartesianas
x2 + xy + y 2 = 1
Forma cartesiana centrada en el origen La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje delas ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor. Forma cartesiana centrada fuera del origen Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
En coordenadas polares Forma polar centrada en origen
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En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1) Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad
), es:
(epc 2) Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad. Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2). Formas polares centradas en un foco
Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:
(501) Para el foco F1:
(502)
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"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es:
(503) El ángulo
}
de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del
punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
Formas paramétricas La ecuación paramétrica de una elipse con centro en el menor, es:
y siendo
el semieje mayor y
con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre y θ es . La ecuación paramétrica de una elipse con centro en
en la que el parámetro
concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado
es:
sea
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A con centrado en
. El parámetro
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es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está
.
Área interior de una elipse El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.5
Perímetro de una elipse El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:
Propiedades notables La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.
La elipse como cónica La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
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23/noviembre/2015
la elipse como cónica.
Elipses semejantes Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física6 acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas. Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud. Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis, podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya al principio. No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.
La elipse en mecánica celeste
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23/noviembre/2015
Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Artículo principal: Leyes de Kepler
En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a interacción gravitatoria describen una órbita elíptica (o circular 7 ) la una en torno a la otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) está ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con gran precisión porque sus dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias entre ellos. Lacinemática de la órbita se rige por las leyes de Kepler. En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está más cerca de la "estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera que suvelocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de los focos de la elipse.
La elipse en la vida cotidiana La elipse es un lugar geométrico que se puede observar constantemente en la vida cotidiana, como en las obras de arte. Referente al arte se puede observar en las cúpulas y en los portales. En la vida cotidiana se puede observar en los vasos de agua cuando los inclinamos para beber que se forma una elipse. En las estaciones de metro alguna vez te habrás preguntado por qué se oye la conversación de algunas personas que están en el otro andén como si estuviesen al lado tuyo, éso es por el efecto de la elipse y significa que las personas integrantes de esa conversación estáis cerca de los focos de la elipse. Esto ocurre porque las palabras se transmiten por al aire mediante ondas y llegan a algún lugar. Hay una propiedad de la elipse que dice que una línea secante a una elipse rebota en uno de los puntos de corte conte ella y pasa por uno de sus dos focos y eso es lo que pasa en las estaciones de metro ya que tienen forma de elipse.
LA PARABOLA
Propiedades geométricas
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Diferentes elementos de una parábola.
Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul)
Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su generatriz, es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico: Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco. De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la recta directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario. De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.
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Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.
23/noviembre/2015
Construcción de puntos en una parábola.
Lado recto
El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa queFEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal). Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.
Semejanza de todas las parábolas
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala. Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes. Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.
Tangentes a la parábola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Uso de las propiedades de las tangentes para construir una parábola mediante dobleces en papel.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece: La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección. Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P. Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU
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23/noviembre/2015
de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.
Aplicaciones prácticas Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: lasantenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras deenergía solar. Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
● La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.
● Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.
● Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras deenergía solar.
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23/noviembre/2015
● Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.
Ecuaciones de la parábola
Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1,1/4 y 1 /10.
Prueba geométrica de la relación y= ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y = ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,3 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A
23/noviembre/2015
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QVc orresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a By C. Por el teorema de potencia de un punto: . Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así: . Usando nuevamente los paralelismos:
. Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de lo que haciendo
es una constante pues no depende de la posición de V, por
arroja la expresión moderna y = ax2 .
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Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice. La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u, v) tiene la forma (y - v) = a (x - u) 2 , agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente: La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma
.
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos: La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma
.
Ecuación involucrando la distancia focal
Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p) . La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es
.
De forma alterna:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es
.
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.
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Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es
.
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es
,
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda. Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k + p) es , mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:. La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h + p, k) es .
Ecuación general de una parábola Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales. La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
si y solo si
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.
Las cónicas
Tipos
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Perspectiva de las secciones cónicas.
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: ●
β > α : Hipérbola (naranja)
●
β = α : Parábola (azulado)
●
β < α : Elipse (verde)
●
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: ●
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
●
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
●
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
●
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
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Expresión algebraica
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: h² > ab: hipérbola. h² = ab: parábola. h² < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia. Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Sánchez Cruz Ricardo Javier 314-A Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
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Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.
Características La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos: ●
Centro, O
●
Eje mayor, AA´
●
Eje menor, BB´
●
Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos: ●
Centro, O
●
Vértices, A y A
●
Distancia entre los vértices
●
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es:
A su vez, la de
una hipérbola vertical es: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, de una parábola se destacan los siguientes elementos:
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●
Eje, e
●
Vértice, V
●
Distancia de F a d, p.
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Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:
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