La Integral

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

3 3.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA 3.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 3.2.1 FORMULAS 3.2.2 PROPIEDADES 3.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 3.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 3.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES (OPCIONAL) 3.3 LA INTEGRAL DEFINIDA. 3.4 AREAS DE REGIONES PLANAS

Objetivos: Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Encuentre algebraicamente integrales • Evalué integrales definidas. • Calcule áreas de regiones planas • Determine espacio recorrido dada la velocidad

57

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

En la antigüedad existían dos problemas a resolver; el de la recta tangente, como ya lo mencionamos en el capítulo anterior, y el otro es del área bajo una curva. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este capítulo. Sin embargo empezaremos hallando antiderivadas (proceso contrario al de la derivación) que luego utilizaremos para los propósitos del cálculo integral.

3.1 INTEGRAL INDEFINIDA

Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en un intervalo I , si Dx F ( x) = f ( x) es decir F´(x) = f ( x) La función

f

ahora será una derivada

3.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos al cálculo de una antiderivada es la siguiente:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C 3.1.2 Teorema

Si F´(x) = G´(x) , ∀x ∈ (a, b ) entonces existe una constante C tal que F ( x) = G ( x) + C , ∀x ∈ (a, b ) Con este teorema justificamos haber ubicado la constante C sumando a la antiderivada en la notación. Para una derivada habrá muchas antiderivadas que difieren en una constante. Lo cual también lo podemos observar como que la solución es una familia de curvas. Bien, ahora dediquémonos a encontrar antiderivadas o integrales indefinidas.

58

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

3.2

La integral

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. 3.2.1 FORMAS (FÓRMULAS) ESTÁNDARES DE INTEGRALES 1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

11.

12. 13. 14. 15.

∫ dx = x + C x ∫ x dx = n + 1 + C ; n ≠ −1 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C a ∫ a dx = ln a + C ∫ sen xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sen x + C ∫ sec xdx = tg x + C ∫ csc xdx = − cot gx + C ∫ sec x tg xdx = sec x + C n +1

n

x

x

x

x

2

2

∫

csc x cot gdx = − csc x + C

∫ tg xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C ∫ cot gxdx = ln sen x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tg x + C ∫ csc xdx = ln csc x − cot gx + C

Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.

59

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Ejemplo 1 Calcular

∫ x dx 2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

∫

x 2 dx =

x 2 +1 x3 +C = +C 2 +1 3

x3 + C , si quisiéramos una solución 3 en particular deberíamos conocer un punto de la curva, por ejemplo suponga que y = 1 cuando x = 1 , reemplazando se puede calcular el valor de C : 13 1= +C 3 2 C= 3 x3 2 Por tanto, la solución particular sería: y = + 3 3 La solución es una familia de curvas de la forma y =

Ejemplo 2 Calcular

∫

1

dx

x

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

∫

1 x

dx =

∫

x

−1

2 dx

=

x

− 12 +1

− 12 +1

+C

Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades. 3.2.2 PROPIEDADES La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

∫ [ f (x) ± g (x)]dx = ∫ f ( x)dx ±∫ g ( x)dx 2. kf ( x)dx = k f ( x)dx; k ∈ R ∫ ∫ 1.

60

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

3.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA Sólo con recursos algebraicos, propiedades y formulas, en ocasiones, se pueden encontrar antiderivadas de manera inmediata. Ejemplo 1 Calcular

∫5

3

x dx

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades 1

∫

∫

5 3 x dx = 5 x

1 3 dx

=5

x3

4

+1

1 +1 3

+C = 5

x3 4 3

+C =

15 4 3 x +C 4

Ejemplo 2 Calcular

2



∫  x + 3 sin x − 4e dx x

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas: 2 x  + 3 sin x − 4e dx = x 

∫

∫ ∫ 3 sin dx − ∫ 4e dx 1 =2 ∫ x dx + 3∫ sin xdx − 4∫ e dx 2 dx + x

x

x

= 2 ln x − 3 cos x − 4e x + C

Ejemplo 3 Calcular

∫

 6 xe x + 4 − x 3   2x 

 dx  

SOLUCIÓN:

∫

 6 xe x + 4 − x 3   2x 

 dx =  3e x + 2 − 1 x 2 dx  x 2    1 1 = 3 e x dx + 2 dx − x 2 dx x 2 1 = 3e x + 2 ln x − x 3 + C 6

∫

∫

∫

∫

Ejemplo 4 Calcular

∫

(1 − x )3 dx x3 x

SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:

61

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

∫

∫ ∫ ∫ ∫

(1 − x )3 dx = 3

x x

1 − 3x + 3 x 2 − x 3 4

x

dx

3

 1 3x 3x 2 x3  − + − 4 4 4  43 x 3 x 3 x 3 x

=

La integral

  dx  

5  2 −1  −43 − 3 x 3 + 3 x 3 − x 3  dx x  

=

x

=

x

=

−4

−1 3

−1 3

= −3x

∫

3 dx − 3

x

2

∫

−1 3 dx + 3 5

2

x

3 dx −

∫

5

x

3 dx

8

x 3 x 3 x 3 +3 − +C 2 5 8 3 3 3 9 2 3 9 5 3 3 83 − x + x − x +C 2 5 8

−3

−1 3

Ejercicios Ejercicios Propuestos 3.1 Hallar: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

3.2.4.

∫

( 2 − x ) dx

7.

∫

(3 − x ) dx

8.

∫

( x − 1)

∫

 1  1 −  x x dx   x2  

2

23

∫( ∫

2

x dx

9.

∫

xe x + 2 − x sec x dx x

∫ ( ∫

10.

(x − 3)3 x

dx

)(

x2 +1 x2 − 2

∫

3 2

)dx

x

10

x+2

− 20 x +1 dx 5x

e x +1 + 3sec 2 x − 2 tan x )dx

x 2 senx − 2 x + 3 dx x2

INTERGRACIÓN VARIABLE

POR

SUSTITUCIÓN

O

CAMBIO

DE

Cuando se presentan funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un artificio matemático llamado cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.

62

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable. Ejemplo 1 Calcular

∫

(1 − x )30 dx

SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable t = 1 − x . dt = −1dx Del cambio de variable, tenemos: dx . dx = − dt Ahora sustituyendo resulta:

∫

t 30 (− dt ) = −

Una vez integrado, reemplazando

t

∫

t 30 dt = −

se obtiene:

∫

t 31 +C 31 31

(1 − x )30 dx = − (1 − x ) 31

+C

Ejemplo 2 Calcular

∫

sen x

dx

x

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x .

dt 1 = Del cambio de variable se obtiene: dx 2 x . dx = 2 x dt Sustituyendo resulta:

∫

sen x x

dx =

∫

sen t x

2 x dt = 2

Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos:

∫

∫

sen x

x

sen tdt = 2(− cos t ) + C

dx = −2 cos x + C

Ejemplo 3 Calcular

∫

x x − 1dx

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1 dt =1 Del cambio de variable se obtiene: dx dx = dt Sustituyendo resulta:

∫x

Como no se simplifica la

x x − 1dx =

∫

x t dt

, debemos reemplazarla.

63

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

x

En este caso, despejando

∫

Entonces:

x t dt =

∫

= 52 t

del cambio de variable, resulta: x = t + 1

(t + 1) 5

La integral

t dt =

+ 23 t

2

Una vez integrado, reemplazando

3

t

2

∫

(t

∫ ∫ 3

)

t + t dt =

t

2 dt

+

1

t

2 dt

+C

resulta:

∫

x x − 1dx =

2 5

(x − 1)5 2 + 23 (x − 1) 32 + C

Ejemplo 4 Calcular

∫

 4x   2  dx  x +1 

SOLUCIÓN: Esta integral se la resuelve por el cambio de variable t = x 2 + 1 , dt dt de donde = 2 x , entonces dx = . 2x dx Sustituyendo, resulta:

∫

4x dx = x2 +1

∫

4 x dt =2 t 2x

∫

1 dt = 2 ln t + C = 2 ln x 2 + 1 + C t

Ejercicios Propuestos 3.2 Calcular: 1.

2.

3.

4. 5.

6.

7.

∫ ∫

dx

(5x − 2) ex

1 + ex

∫ ∫ ∫

5

12. 2

dx

(ln x )2 x

13.

dx

x dx x +1

14.

15.

x x + 1 dx

∫ ∫

x 2 x + 3 dx x2 + 1 dx x −1

16.

17.

∫ ( ∫ ∫ ∫ ( ∫ ∫

1

)3

dx

x

x −2

1

1+ x  ln   dx 1− x 

1− x2

  ln x + 1 + x 2    1+ x 2

dx

dx

2

π sen  2 x +  4 

6 x − 1) sen 3 x 2 − x − 1 3x 2 − x − 1

dx

sec 3 x + e sen x dx sec x

64

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

8.

9.

∫ ∫ ∫ ∫

1 dx x ln x

18.

ln x dx

19.

x 1 + ln x

10.

11.

4 x ln 1 + x 2 1+ x

dx

2

20.

∫ ∫ ∫

La integral

sen(ln 4 x 2 ) dx x 1 + cos 2 x sen 2 2 x e 2 x − e −2 x e 2 x + e −2x

dx

dx

dx x ln x ln (ln x )

3.2.5 INTEGRACION POR PARTES.(Opcional) Para el producto de funciones, tenemos: d (uv ) = udv + vdu Despejando e integrando término a término, resulta: udv = d (uv ) − vdu

∫

udv =

∫

d (uv ) −

∫

vdu

En definitiva, la fórmula que se emplea en integración por partes es:

∫

udv = uv −

∫

vdu

Ejemplo 1 Calcular

∫

x e x dx

SOLUCIÓN: Haciendo u = x y dv = e x dx . Entonces du = dx y v =

∫

e x dx = e x

Integrando, resulta:

∫

dv8 v u 67 u } } } x x e dx = x e x −

= x e

x

∫

v du } } e x dx

− ex + C

65

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Ejemplo 2 Calcular

∫(

)

2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx

SOLUCIÓN: Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dv = sen x dx . Entonces du = (4 x + 3 )dx y v =

∫

sen xdx = − cos x

Por lo tanto, integrando tenemos: u 44 u 44 dv 4 v4 6 447 86 6 447 86 47 8 47 8 2 2 2 x + 3 x − 5 sen x dx = 2 x + 3 x − 5 (− cos x ) −

∫(

)

(

)

(

)

= − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x +

Ahora, la integral

∫

v4 du 4 6 47 8 647 8 (− cos x )(4 x + 3 )dx

∫(

4 x + 3 ) cos xdx

∫(

4 x + 3) cos xdx , también se la realiza por partes.

Haciendo u = 4 x + 3 y dv = cos x dx . Entonces du = 4 dx y v =

Por tanto:

∫(

4 x + 3) cos xdx = (4 x + 3) sen x −

∫

∫

cos xdx = sen x

sen x (4dx )

= (4 x + 3) sen x + 4 cos x

Finalmente:

∫(

)

(

)

2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + (4 x + 3 )sen x + 4 cos x + C

Ejemplo 3 Calcular

∫

e x cos xdx

SOLUCIÓN: Haciendo u = e x y dv = cos x dx . Entonces du = e x dx y v =

Por tanto:

La integral

∫ ∫

cos xdx = sen x

e x cos xdx = e x sen x −

∫

sen x e x dx

sen xe x dx se la calcula por parte. Hacemos u = e x y dv = sen x dx . Entonces

du = e x dx y v =

Por lo tanto

∫

∫

∫

sen xdx = − cos x .

e x sen xdx = −e x cos x +

∫

e x cos xdx

66

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Finalmente:

∫ ∫

 e x cos xdx = e x sen x − − e x cos x +   e x cos xdx = e x sen x + e x cos x −

∫

∫

 e x cos xdx   

e x cos xdx

Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando 2

∫ ∫

e x cos xdx = e x sen x + e x cos x

e x cos xdx =

e x sen x + e x cos x +C 2

Ejemplo 4 Calcular

∫

x ln xdx

SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar u = ln x y dv = x dx .(¿por qué?) Entonces du =

1 dx y v = x

∫

xdx =

x2 2

Por tanto:

∫

∫ ∫

 x2  x ln xdx = (ln x )  −  2    =

1 x 2 ln x − 1 2 2

=

1 x 2 ln x − 1  2 2

x2  1   dx  2 x 

xdx

 x2  +C  2  

Ejemplo 5 Calcular

∫

ln xdx

SOLUCIÓN: Entonces, aquí sería también u = ln x y dv = dx . Entonces du =

1 dx y v = x

∫

dx = x

Por tanto:

∫

ln xdx = x ln x −

∫

1  x dx  x 

= x ln x − x + C

67

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Ejercicios Propuestos 3. 3.3 (Opcional) Calcular: 1. 2.

3.

4.

5. 6. 7. 8.

∫ ∫

∫ ∫

x e 3 x dx

9.

x 2 e −2 x dx

10.

(e

11.

)

2

x

+ x dx

x +1 e

x

∫ (x 2 − 3x + 2) e2 ∫ ∫ ∫

12.

dx x

13. dx

14. x ln x dx x ln 2 x dx

15.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

  ln  x + 1 + x 2  dx   cos (ln x ) dx

sen x dx

sen (ln x ) dx

sen x ln (tg x ) dx

∫

x cos x dx sen 2 x 2

x 5 e x dx

e x dx

3.3 LA INTEGRAL DEFINIDA. Suponga ahora que se desea determinar el área bajo una curva

y = f ( x)

en un intervalo

[ a, b ]

68

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Dividiendo la región en " n " rectángulos:

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha denotado como x . El área del primer rectángulo sería A1 = f ( x1 ) ∆x1 , el área del segundo rectángulo sería A2 = f ( x 2 ) ∆x2 ; y así, el área del nésimo rectángulo sería An = f ( x n ) ∆xn . La suma de las áreas de los n rectángulos sería:

( )

( )

( )

( )

f x1 ∆x1 + f x 2 ∆x2 + f x 3 ∆x3 + K + f x n ∆xn Que de manera abreviada tenemos: n

∑ f (x )∆x i

i

i =1

Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:

69

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

 n  A = lím  f x i ∆x i  n →∞  i =1 

∑ ( )

De aquí surge la definición de Integral Definida.

Sea f una función que está definida en el intervalo [a, b] . Al  n f (x i )∆x  se le denomina la integral definida (o integral de lím ∑ i n →∞    i =1 Riemann) de f de " a " a " b " y se denota de la siguiente manera: b

∫ f ( x)dx . a

Nos queda la inquietud de que si calculamos el área por el límite infinito de la suma sería algo engorroso. Pero entonces ¿qué?. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera muy rápida y sencilla.

3.3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f continua en [a, b] y sea f en [a, b ] entonces:

F

cualquier antiderivada de

b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a

Con el teorema fundamental del cálculo es muy sencillo evaluar integrales definidas. Note que aquí encaja el hecho de encontrar antiderivadas que ya lo tratamos de entrada. Ejemplo 3

Calcular

∫

x 2dx

1

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

70

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

3

∫ 1

La integral

3

 x3   33  27 1 26 13 x dx =  +C =  +C − −C = − =  3   3  3 3 3 3  1   2

La constante C siempre se va a suprimir. Ejercicios Ejercicios propuestos 3.4 Calcular las siguientes integrales definidas: 1

1

1.

∫

2

6.

( 2 x + 1) dx

0

0

π

2.

1

4

∫

7.

tan x dx

1

∫

(e

x

8.

+ 3 x )dx

4.

csc2 x dx

9.

0

∫(

x+2

x

2

+ 4x +1

)

2

dx

10.

0

∫

∫

x dx x −1

∫

4x2 + x − 2 dx 2x − 3

4

a

Observe que

4

2 5

1

5.

ln x dx x

e +1

6

∫

∫ 1

0

π

3 x + cos (3 x − 3 )]dx

0 2

0

3.

∫ ∫[

2

sen (2 π x )dx

b

f ( x)dx = 0 y

a

∫

a

f ( x)dx = −

a

∫

f ( x)dx ¿PORQUÉ?

b

3.3.3 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.3.3.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Suponga que f y g son integrables en el intervalo [a, b] y sea k ∈ R , entonces: b

b

b

a

a

a

1. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ [ f ( x)]dx ± ∫ [g ( x)]dx

71

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

b

b

a

a

La integral

2. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

3.3.3.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD

Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos a, b y c (no importar su orden), entonces: b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Esta propiedad es útil cuando se trata con funciones que son continuas en intervalos, es decir, funciones que presenta el siguiente comportamiento.

Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo: c

∫ a

b

f ( x)dx +

∫

b

f ( x)dx = F (c) − F (a ) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a) =

c

∫

f ( x)dx

a

PREGUNTA: ¿Verdadero o falso? 3

∫ 1

5

2

x dx =

∫ 1

3

2

∫

x dx + x 2 dx 5

72

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Ejemplo 5

Calcular

∫ 1

;x ≥ 3 2 x − 1 f ( x)dx donde f ( x) =  2 x − 3x + 1 ; x < 3

SOLUCIÓN: Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:

Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos: 5

∫

3

f ( x)dx =

1

5

∫(

)

x 2 − 3 x + 1 dx +

1

∫(

2 x − 1)dx

3 3

5

 x 3 3x 2   2x 2  =  − + x  +  − x  2  3 1  2 3  27   1 3  =  9 − + 3  −  − + 1 + [(25 − 5) − (9 − 3)] 2   3 2   38 = 3

Ejercicios Propuestos 3.5 1.

Calcular 3

1.

∫

2 x 2 , − 2 ≤ x ≤ 1 f (x )dx , si f (x ) =  1 − 2 x, 1 < x ≤ 3

5

5.

−2 3

2.

∫

 x , f (x )dx , si f (x ) =  1 − 2 x, 2

6.

−3 3

3.

∫ ∫

∫

3 x − 1 dx

−2 2

2 x 2 − 3, x ≤ 2 f (x )dx , si f (x ) =  , x >2  x

−5 4

4.

x − 3 dx

−2 4

x ≤1 x >1

∫

7.

∫

2 x − 1 dx

−1

x − 1 dx

0

73

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

3.4 AREAS DE REGIONES PLANAS 3.4.1 ÁREA BAJO UNA CURVA Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será:

dA= hdx= f (x)dx b

Por tanto, el área de la región plana es: A =

∫

f ( x ) dx

a

Ejemplo 1 y = x  Calcular el área de la región limitada por  y = − x + 6 y = 0  SOLUCIÓN: Se dibuja en un mismo plano y = x y y = − x + 6 Se calcula las intersecciones y se identifica la región.

74

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

x = −x + 6

( x)

2

= (− x + 6)2

2

x = x − 12 x + 36 x 2 − 13 x + 36 = 0

(x − 9)(x − 4) = 0 x=9 ∨

x=4

Hay dos regiones bien definidas, por tanto el área está dada por: 4

A=

6

∫ ∫ x dx +

0 3 = 2 (x ) 2 3

(− x + 6)dx

4 6

 x2  + − + 6x    2 0  4 4

2   42  3    6 =  2 (4) 2 − 0 +  − + 6(6 ) −  − + 6(4) 3     2    2   

16 − 18 + 36 + 8 − 24 3 22 A= 3 =

3.4.2 ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será:

dA = hdx = [ f ( x) − g ( x) ] dx 75

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Entonces el área de la región plana esta dada por: b

A=

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida. Ejemplo 1  y = x + 4 Calcular el valor del área de la región limitada por   y = x 2 − 2 SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x 2 − 2 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x + 4 = x2 − 2 x2 − x − 6 = 0

(x − 3)( x + 2) = 0 x=3 ∨

x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:

76

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

3

A=

∫ [(

)]

(

x + 4) − x 2 − 2 dx

−2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 3

A=

∫ [(

3

)]

(

x + 4) − x 2 − 2 dx =

−2

∫[

]

− x 2 + x + 6 dx

−2 3

 x3 x2  = − + + 6x   3  2   −2   33 3 2   (− 2)3 (− 2)2 = − + + 6(3)  −  − + + 6(− 2)  3    2 3 2     9 8 = −9 + + 18 − + 2 − 12 2 3 5 A= 6

Ejemplo 2  y = x 3 − x 2 − 6 x Calcular el valor del área de la región limitada por   y = 0 SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x3 − x 2 − 6 x = 0

)

(

x x2 − x − 6 = 0 x(x − 3)( x + 2) = 0 x=0 ∨

x=3 ∨

x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería: 0

A=

∫ −2

3

[(x

3

2

)

]

− x − 6 x − (0) dx +

∫

[(0) − ( x

3

]

− x 2 − 6 x dx

0

77

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 0

A=

∫

3

[(x

3

2

]

)

− x − 6 x − (0) dx +

−2 0

=

∫

[(0) − ( x

3

]

− x 2 − 6 x dx

0 3

∫[

]

x 3 − x 2 − 6 x dx +

−2

∫[

]

− x 3 + x 2 + 6 x dx

0 0

3

x  x4 x3 x x  x 2  = − −6 + − + +6  4  4 3 2  3 2   0 −2  4

3

2

  (− 2)4 (− 2)3 (− 2)2 = 0 −  − −6 3 2   4 8 81 = −4 − + 12 − + 9 + 27 3 4 253 A= 12

  3 4 3 3 32  +  − + +6   4 3 2  

   − ( 0)    

Ejercicios propuestos 3.6 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 1.

y = 2 − x 2 , y = x,

2.

y = 4 x − x 2 , y = 0, entre x = 1 y x = 3 .

3.

y = x − 4,

4.

y = x 2 − 4 x + 3, x − y − 1 = 0 .

5.

y = 2 x,

y = 0, x = 8 .

y = 2 x − 4, x = 0 .

2

y = −x 2 + 4x

6.

y=x ,

7.

y = x + 6,

8.

y= x,

9.

y = x3 + 3x 2 , y = 4 x

10.

y = x 3 − 6 x 2 + 8 x,

y = x3 , y = −

2x . 4

y = x2 − 2 y = x 2 − 4x

78

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

3.4.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y (OPCIONAL) Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: dA = hdy = xdy = f ( y ) dy d

Entonces el área de la región plana es: A =

∫

f ( y ) dy

c

Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:

El área del elemento diferencial será: dA = hdy = [ f ( y ) − g ( y )]dy Entonces el área de la región plana esta dada por: d

A=

∫[

f ( y ) − g ( y )]dy

c

79

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Ejemplo 1 y = x  Calcular el área de la región limitada por  y = − x + 6 y = 0  SOLUCIÓN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y =

x y y = −x + 6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Escogiendo el elemento diferencial horizontal:

El área está dada por: 2

A=

∫[

]

(6 − y ) − y 2 dy

0 2

 y 2 y 3  = 6y − −  2 3   0

 2 2 23  =  6(2) − − − (0 )  2 3    8 = 12 − 2 − 3 22 A= 3

Ejemplo 1  y = x − 1 Calcular el área de la región limitada por   x = 3 − y 2 SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso

80

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

y + 1 = 3 − y2 y2 + y − 2 = 0 ( y + 2)( y − 1) = 0 y = −2 ∨ y = 1

Paso 4 y 5: El área de la región sería: 1

A=

∫

[(3 − y )− (y + 1)]dy 2

−2 1

=

∫

[− y

2

]

− y + 2 dy

−2 1

 y3 y 2  = − − + 2y  3  2   −2  13 12   (− 2 )3 (− 2)2  = − − + 2(1) −  − − + 2(− 2 )  3    2 3 2     1 1 8 =− − +2− +2+4 3 2 3 9 A= 2

Ejercicios propuestos 3. 3. 7(Opcional) 7 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 1.

y 2 − 2 x = 0,

y 2 + 4 x − 12 = 0 .

2.

y 2 = x + 2, y = x − 4

81

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

3.4.4 APLICACIONES. Ejemplo 1 Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por v ( t ) = 101 t 2 + t + 1 m seg a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 5 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad. SOLUCIÓN: a) La velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, entonces para encontrar el espacio habrá que integrar la derivada. 5

5

s = ∫ v ( t )dt = ∫ ( 0

0

5

1 t3 t2 125 25 t + t + 1)dt = + +t = + + 5 = 41.67 m. 10 3 2 30 2 0

1 2 10

b) El espacio recorrido es el área bajo la curva de la velocidad

v (t ) v ( t ) = 101 t 2 + t + 1

0

5

t

Ejemplo 2 Suponga que una máquina genera ingresos a razón de R´(t ) = 100 − 2t 2 dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 25 + t 2 dólares al año. c) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? d) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente SOLUCIÓN: Graficando ambas curvas para interpretar las ganancias netas, tenemos:

82

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

a) Igualando las ecuaciones, tenemos:

100 − 2t 2 = 25 + t 2 3t 2 = 75 t =5 Por tanto los ingresos son superiores a los costos, período de rentabilidad, durante los primeros 5 años. b) Las ganancias Netas están dada por : 5

Ganancias Netas = ∫ [ R´(t ) − C´(t ) ]dt 0 5

= ∫ (100 − 2t 2 ) − ( 25 + t 2 ) dt 0 5

= ∫  −3t 2 + 75dt 0

= ( −t 3 + 75t )

5 0

= $250

Ejercicios Propuestos 3.8 1.

Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por

v ( t ) = t 2 + 25 m

seg

a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 4 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad. 2.

Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por

v (t ) = t3 + 5 m

seg

a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 3 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad.

83

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

Suponga que una máquina genera ingresos a razón de R´(t ) = 75 − t 2 dólares al año y que los

3.

costos se acumulan a razón de C´(t ) = 10 +

t2 dólares al año. 64

a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de R´(t ) = 105 dólares al año y

4.

que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 5 + t 2 dólares al año. a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de R´(t ) = 1050 dólares al año

5.

y que los costos se acumulan a razón de C´(t ) = 50 + 10t dólares al año. a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.

Misceláneos 1. Encuentre las antiderivadas de: 1. 2. 3. 4.

∫( ) ∫ ∫( ) ∫ ( ∫ ∫ ∫ ∫( ) ∫( ) ∫ ( ) ∫ ∫ xe x

x +1 2

dx

x−5 dx x−4

x + 8 ln x dx

Cos 2e

−x

13.

∫

14.

∫

15.

)

+ 10 e

−x

dx

16.

3

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

x +x

4 4

x + 2x 2 + 8

x 3 2 x 2 + 10 dx x csc 2 x dx

dx

17. 18. 19.

2

2 x + x dx

20.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

 sen x  + cos( 2 x − 1) dx   cos x 

(

3

x ln 5 x − xe 4 x

2

+1

) dx

3x 2 + x + 1 dx x+5

5x + e x

dx

5 x 2 + 2e x 2 x23 x +1dx

cos(ln x ) dx x x +1 x 2 + 2x x +1 ex

ln( x 2 + 2 x)dx

dx

x − 1 ln x dx

sen x dx 1 + 5 cos x ln x + 1 x +1

dx

 x+3 ln dx  x+5

84

Cap. 3

Moisés Villena Muñoz

La integral

2. Encuentre el área entre las curvas:

1 x

,

y = x2 , x =

1 2

,

1.

y=

2.

y = 4x − x2 + 8

3.

y = x − 3 , y = x 2 + 4 , x = −1 , x = 2

4.

y = x2 − 9 , y =

5.

y = x3 − 4 x 2 + 4 x , y = x

6.

x + 2 y = 2 , y − x = 1 , 2x + y = 7

7.

y = x 3 − 6x 2 , y = − x 2

8.

y=

9.

y = x 2 − 4 x + 4,

8 x

,

y= x

,

y = x2 − 2x

9 x2 − 3x + 2 2

,

,

x = −2 , x = 4

y =0 , x =8 y = 10 − x 2 ,

10. y = −3 x + 6 , y = 4 x − x 3. Suponga que cuando tiene

x=2

x = 2,

x=4

2

x años una máquina industrial genera ingresos a razón de R´( x) = 200 − 4 x 2 2

dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C´( x) = 92 + 8 x dólares por año. a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) ¿Cuánta ganancia neta generará durante ese período? c) Interprete geométricamente las Ganancias Netas.

85