La Hiperbola Calameo

Leonard Caridad

Moisés Granella

CI 20.589.680

Acuña Kariana

CI 20.412.303

Eduardo Milano

CI 20.746.453

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La Hipérbola es una sección cónica curva de dos ramas la cual se obtiene al cortar un cono recto.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Apolonio de Perge fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus

áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre del Gran Geómetra.

Representa un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados Focos , es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los Focos ( F y F´). Para obtener una hipérbola en un lugar geométrico es necesario reconocer los siguientes elementos que la conforman: • Los cuales son dos puntos fijos F y F´. • Es la recta que pasa por los focos. • Es el punto de intersección de los ejes. • L o s vé r ti ce s se determinan de dos maneras: L o s pu n to s A y A ' so n l o s p un to s de in te r se cció n d e l a hi p é rb o l a con el ej e fo ca l . •

Es el segmento d e l on g i tu d 2 c.

•

Es el segmento d e l on g i tu d 2a .

•

E s e l seg m e n to de lo n gi tu d 2 b .

• Son las rectas que contienen al eje real o imaginario. •

Son las líneas rectas

Verticales, horizontales u oblicuas que Se acercan a la curva determinando la gráfica de este lugar geométrico. Están determinadas así: • Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos (PF; PF´) Los puntos(x,y) de una Hipérbola con Vértices ( +- a, 0) y Focos ( +- c, 0) existen solo si cumple y satisface la ecuación:

ó Para toda Hipérbola existen dos líneas a las que la curva se acerca cada vez más en sus extremos, a éstas se les denomina ASINTOTAS. Por lo tanto es importante decir, que las Parábolas no tienen asíntotas esta acotación es importante ya que a veces se tiende a confundir las Parábolas con las Hipérbolas.

Como se mencionaba anteriormente a medida que un punto de la hipérbola se va alejando del origen la distancia de ese punto a la recta Decrece, es decir, tiende a Cero. A dicha recta se le denomina ASINTOTA. Las ecuaciones para determinar las Asintotas de la Hipérbola son:

Cada Hipérbola tiene dos Asintotas que se Intersectan en su Centro. Estas Asintotas pasan por los lados de un rectángulo de lados 2a y 2b con centro en el Centro de la Hipérbola. El segmento perpendicular al eje transversal y de longitud 2b, se llama Eje Conjugado. Si el Eje Transversal es horizontal empleamos:

Si el Eje Transversal es vertical:

La Excentricidad como sabemos es la relación o proporción que existe entre la distancia focal de la hipérbola y la distancia entre los vértices de la misma. Prácticamente es la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola. Esta determinada como:

Si la Excentricidad de la Hipérbola es grande, las ramas de la Hipérbola son muy abiertas, casi planas.

Si la Excentricidad de la Hipérbola es cercana a 1, entonces las ramas de la Hipérbola son muy cerradas.

a)

x

Sea y = 0 entonces

x² a²

= 1 donde

x =± a

A partir de este resultado se observa que en el eje focal existen dos puntos, V’(-a,0), V(a,0) que se denominan vértices y equidistan una distancia a del centro.

b)

y

Sea x = 0 entonces

− y² a²

= 1 donde

y = ± bi.

La intersección con el eje y es imaginaria, por ende no hay intersección con el eje real y la hipérbola no corta su otro eje de simetría; y se le conoce como eje conjugado de la hipérbola.

La longitud de la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular a la recta focal se llama .

Teniendo en cuenta la gráfica anterior obtendremos analíticamente que: Para obtener la mitad del lado recto, y = FL Empleando la formula:

x2 y2 c2 y 2 − =1⇒ 2 − 2 =1 a 2 b2 a b Se sustituye por . Despejando :

 c2  y = b  2 − 1 a  2

2

Simplificando Obtenemos:

y=

b 2 c − a2 a

Donde

c2 = a2 + b2 Sabiendo esto, reemplazamos en

b 2 b2 2 2 y= b +a −a ⇒ y = a a

Retomando

y = FL

reemplazamos el valor de :

b2 = FL a

Como el Lado Recto del segmento es FL = FR Por lo tanto LR = 2 FL .

LR = FL + FR

además sabemos

Con todo lo anterior concluimos que el valor del Lado Recto de la Hipérbola esta determinada por:

2b 2 LR = a

Igual que en el caso de las Elipses, las correspondientes Rectas Directrices de la Hipérbola están dadas por:

a2 x=± c

Ó

a2 y=± c

Por lo anterior se concluye que son Simétricas.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede considerar

Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.

Focos en el eje equidistantes al origen. F´( - c , 0) y F ( c, 0).

Conociendo que

PF − PF ´ = 2 a

Esto se entiende como:

( x − c) 2 − y 2 -

( x − c) 2 − y 2 = 2 a

Realizando las operaciones llegamos a:

x2 y2 − =1 y 2 b2

Focos en el eje y equidistantes al origen F´( 0, -c) y F (0, c). Esta dada por:

y2 x2 − =1 a2 b2

Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es

Vertical será

Los focos serán, si el eje real es horizontal (x0 ± c, y0) y (x0, y0 ± c ) si es vertical. De la misma forma los vértices son (x0 ± a, y0) ó (x0, y0 ± a ) Según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente. Para hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se extrae la raíz cuadrada. Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b

Las

. Y su ecuación es:

tienen por ecuación: ,

Es decir, las La

es:

de los cuadrantes.

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar

alrededor del origen de coordenadas. Quedando la

ecuación como:

Si efectuamos

en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto

cuadrante y su ecuación será:

La ecuación

representa una hipérbola equilátera, calcular vértices y

sus focos. Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto A pertenece a la curva, tendremos: