La Gara In Discesa

LA GARA IN DISCESA Introduzione Si considerano diverse casi con scatole cilindriche. Le si fanno rotolare lungo un piano inclinato e si vede che esse si possono comportare in maniera differente nel loro moto. In particolare si vede che: 1. due scatole aventi le stesse dimensioni e masse, ma queste ultime distribuite in maniera differente (diverso momento di inerzia), raggiungono il fondo del piano con velocità diverse (l’una arriva prima dell’altra); 2. una scatola, riempita per oltre i ¾ del suo volume con del semolino, a meno che non ci sia una pendenza elevata della superficie del piano, e a meno che non riceva una grossa spinta dall’esterno, dopo avere rotolato per qualche istante, tende a fermarsi.

Strumenti 1. un tavolo con due piedi rialzati da una pedana, che funge da piano inclinato; 2. tre scatole metalliche cilindriche, due delle quali identiche; 3. sedici monete da un euro;

h

4. nastro adesivo.

Montaggio Per i quattro casi in questione, si sistemano i materiali come segue: 1. disporre in maniera uniforme attorno al centro della prima scatola, sul fondo, otto monete, fissandole con il nastro adesivo. Posiziona al centro dell’altra scatola le altra otto moneta, sistemate secondo un’unica pila. In tal modo, le scatole hanno sempre la stessa massa; 2. considera una sola scatola e la si riempie per oltre i ¾ del volume con del semolino.

Descrizione fenomeno Chiudi le scatole e posizionale in cima ad un piano inclinato, lasciandole rotolare lungo esso. Ovviamente si distinguono i seguenti quattro casi: 1. la scatola con massa più concentrata al centro arriva prima dell’altra; 2

2. la scatola con massa maggiore arriva per prima 3. la scatola, dopo avere rotolato per qualche istante, tende a fermarsi.

Spiegazione fisica del fenomeno: Posizionata ognuna delle due scatole sul piano inclinato ad una certa quota h (a partire dal centro di massa) dal livello di riferimento, considerando m la massa della scatola, ognuna di esse ha un’energia potenziale gravitazionale, rispetto a tale quota di riferimento, pari a:

U = mgh Il centro di massa della scatola coincide per motivi di simmetria con il centro della scatole cilindrica. Il moto inizia perché esiste un momento meccanico M = r ∧ Fg = Iα

(I = mr2 momento d’inerzia, α accelerazione angolare) Tale momento provoca una rotazione della scatola. Supponendo che il centro di istantanea rotazione della scatola abbia velocità nulla, si ha un moto di puro rotolamento, in cui la velocità del centro di massa è legata alla velocità angolare istantanea secondo la relazione v = ωr

(1)

Ragionando in termini energetici la variazione di energia potenziale viene convertita in energia cinetica traslazionale e in energia cinetica rotazionale; dalla conservazione dell’energia, e considerando la relazione (1), si ha: 3

1 2 1 2 1 2 mg (h1 − h2 ) = K trasl + K rot = mvcm + Iω = ω (I + mr 2 ) 2 2 2

(2)

Analisi casi Primo caso: scatole di egual massa ma differente momento di inerzia Dalla relazione (2), ci si rende subito conto che, essendo la massa delle due scatole identica, l’energia potenziale disponibile in partenza è la medesima. Accade però che per le due scatole si ha una differente trasformazione del potenziale in energia cinetica, suddivisa in una parte traslazionale ed una rotazionale. Quest’ultima componente, dipendendo strettamente dal momento di inerzia, è maggiore per la scatola che ha massa maggiore. Di conseguenza per essa la velocità traslazionale è inferiore e dunque in fondo al piano inclinato arriva per prima la scatola con la massa concentrata Secondo caso: scatola riempita per ¾ con del semolino In questo caso, il contenuto della scatola, non essendo essa riempita totalmente, fa si che il semolino abbia un moto relativo rispetto alla scatola e quindi, tenda a fermarla (il moto relativo dei grani di semolino tende a disperdere energia).

A cura di: Concetta Impastato, Eliana Adele Spoto, Giorgio Bellavia, Paolo Fallucca, Antonio Mario Fosco, Pietro Luppina. SISSIS 4

Fisica Meccanica

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