La Cadena

XXI Olimpiada Thales

La cadena: El ingenioso Juan Repen vive en una casa con jardín y tiene un “feroz” perro llamado Ssuag. Juan ha encontrado en el garaje una caja con argollas circulares, y se le ha ocurrido que podría hacer una cadena con la que atar a Ssuag. Sabe que el diámetro del círculo exterior de cada argolla es de 30 cm, y el interior de 26 cm. a. Si Juan quiere que Ssuag proteja su casa pero sin salir del jardín y la distancia entre la caseta del perro y la puerta del jardín es de 6 metros, ¿cuál será el número de eslabones que Juan necesitará para la cadena? b. Juan tiene 651 argollas en la caja. ¿Cuál es la longitud de la cadena más larga que puede formar con ellas?

Solución

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Solución: Las argollas que utiliza Juan tienen las siguientes medidas:

26 cm

30 cm Se deduce de lo anterior que el ancho de la argolla es de 2 cm. ¿Qué ocurre cuando se enlazan varias argollas? ¿Cuánta distancia pueden cubrir?

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Solución: Observemos la distancia que se cubre al enlazar tres argollas:

30 cm. 2+2 = 4 cm. Enunciado

26 cm.

26 cm.

30 cm.

30 cm. 2+2 = 4 cm. Menú

Solución: Observemos la distancia que se cubre al enlazar tres argollas:

30 cm.

26 cm.

26 cm.

30 cm. + 26 · 2 cm. = 82 cm.

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Solución: El procedimiento anterior se puede generalizar. En concreto, si se enlazan n argollas, la distancia que cubre es:

DISTANCIA = 30 cm. + 26 · (n - 1) cm. Ahora bien, como Juan quiere que Ssuag proteja su casa, y la distancia entre la caseta del perro y la puerta del jardín es de 6 metros, es decir, 600 cm.,

600 cm. ¿cuál será el número de eslabones que Juan empleará para que Ssuag proteja la entrada al jardín, pero sin que pueda salir por la puerta?

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Solución: Basta resolver la siguiente ecuación:

30 + 26 · (n - 1) = 600

n = 22,923 Dado que Ssuag no puede salir por la puerta, el número de argollas que debe usar es:

22 argollas.

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Solución: Una vez resuelto esto, el inquieto Juan, que ha contado 651 argollas en la caja, se plantea calcular la longitud de la cadena que podría formar con ellas.

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Solución: Una vez resuelto esto, el inquieto Juan, que ha contado 651 argollas en la caja, se plantea calcular la longitud de la cadena que podría formar con ellas.

Basta aplicar la fórmula de la distancia que hemos obtenido anteriormente para n = 651 argollas:

DISTANCIA = 30 + 26 · (651 - 1) = 6530 cm.

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