La Alfombra Maravillosa

La alfombra maravillosa

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La alfombra maravillosa. El Maharaha de Paraguastán (pequeño país cercano al reino de las cumbres del Himalaya, a pocas jornadas de camino de Shangri-la), deseoso de alfombrar los mármoles de su palacio, se dirigió hacia el zoco de una aldea cercana, para buscar un tapiz de su agrado. Fatigado de tanto buscar entre los tenderetes de los vendedores ambulantes y de las mediocres ofertas que recibía, cansado ya de tan infructuosa búsqueda, reparó de pronto en un pequeño taller del que procedía el sonido de un modesto telar de mano. Se asomó a la puerta y, a duras penas, en la penumbra pudo atisbar la más rica y suntuosa alfombra que jamás había visto. Mientras el artesano tejía, su hijo, un mozalbete espigado pero aún lampiño, iba enrollando aquel maravilloso tapiz en un bombo, ya muy abultado, del que solamente sobresalía la parte que, todavía incompleta, quedaba prendida de la urdimbre enganchada al telar. Al acceder a tan humilde dependencia, el Sultán se dirigió al artesano diciendo: Aspecto que ofrecía la alfombra enrollada.

- ¡ Quiero poseer la alfombra que estás tejiendo, y deseo que, bajo mis pies, cubra los mármoles rojos de las montañas que revisten mi palacio, a los que las gélidas cumbres han dotado del mágico poder de permanecer siempre helados ! A lo que el artesano respondió: - Mi Gran Señor, soy un humilde artesano y debo vivir del sustento de mi trabajo; la alfombra será tuya pero deberás pagar por ella 100 monedas de oro por cada paso que mida al estar totalmente extendida. - Desenróllala enseguida y mídela... Voy a pagar el precio que pides pero ni una moneda más. - Poderoso Sultán, dijo el artesano, esto no será posible... Mi taller es muy pequeño y la

Miguel Ferrá Rotger Catedrático de Ciencias Naturales del IES Joan Ramis i Ramis de Mahón (Menorca)

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alfombra excede con mucho de su tamaño; deberás confiar en mí. mide tantos pasos como años te bendicen y esta es la pura verdad.

La alfombra que deseas

- No pagaré ni una moneda por la alfombra sin medirla, respondió airado el Sultán; carga la alfombra, llévala a palacio y allí, una vez extendida, la mediremos. - Sólo tras recibir las monedas de oro de tu bolsa, consentiré en desprenderme del fruto de mi trabajo -replicó con firmeza el mercader-. Confuso y preocupado, pero sobre todo temiendo perder el codiciado tesoro que tenía ante sus ojos propuso el Sultán: - Quizá exista una forma de medir la alfombra sin extenderla... ¡Veamos! Por una parte está enrollada en espiral de manera que el radio va creciendo paulatinamente a medida que nuevas vueltas de la alfombra cubren las que bajo ellas quedan ocultas, pero si todas tuviesen el mismo radio la longitud del tapiz sería el de una vuelta cualquiera por el número total de vueltas. Y cogiendo un trozo de carbón del hogar que calentaba el taller escribió en el reverso de la alfombra, ante la mirada atónita del mercader. Éste estaba más sorprendido de que el Maharaha hubiese osado emborronar su obra que por su razonamiento, que se le antojaba una verdadera estupidez. La alfombra no describía círculos sino espirales. “¡Si lo sabré yo!” – continuó pensando el mercader- Y ahora -prosiguió el mercader-, el Sultán me vendrá con que, puesto que el radio medio de la alfombra es la mitad del radio total de la alfombra enrollada (R), su longitud total (L) deberá valer el producto de la longitud de una vuelta media por el número total de vueltas (igual al radio total dividido por el espesor (h) de cada una de ellas), es decir…

l = 2π r len de

l = 2π r n

R R π R L =2π( )( ) = 2 h h

2 L o

satisfacción por haberse anticipado a los razonamientos del Sultán, así como por disponer ya de su propia opinión acerca de la longitud de la alfombra, continuó en silencio. Mientras, ajeno a las cavilaciones del artesano, el Sultán argumentaba: - Así, el radio va creciendo vuelta tras vuelta, de manera que a cada una se le añade un nuevo espesor, por tanto, si llamamos “h” al espesor de la alfombra y “n” como antes al número de vueltas tendremos que:

r = hn

- Se trata pues -pensó para sus adentros- de combinar ambas ideas... - Imaginemos -continuó diciendo- que dividimos la alfombra en una serie de fragmentos, de longitud muy pequeña… El artesano, sobresaltado por estas palabras, no dejaba de mirar de reojo la daga (que, prendida del cinto, confería al Gran Señor el rango de su dignidad) temiendo que, de un Miguel Ferrá Rotger Catedrático de Ciencias Naturales del IES Joan Ramis i Ramis de Mahón (Menorca)

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momento a otro, llevase a la práctica sus descabellados planes dejando a palacio sin alfombra, pero, sobre todo, a su exhausta bolsa sin las preciadas monedas de oro. Por otro lado, pensando que los oscuros razonamientos del Sultán podían conducir a un resultado mayor del que él mismo acababa de deducir (y plausiblemente un mejor beneficio en la venta) optó por guardar silencio y continuar escuchando... Ajeno a las cavilaciones del mercader, proseguía el Maharajá: - Si dividiésemos la alfombra en fragmentos de longitud muy pequeña, que su radio apenas variase, cada uno de ellos mediría…

tan pequeña

dl = 2π r d n

Siendo “dl” cada una de estas partes minúsculas y “dn” una porción muy pequeña de vuelta, descrita por el diminuto trozo de alfombra medido, por tanto y como el radio se va incrementando a medida que crece la longitud de la alfombra tendremos…

dl = 2π h n d n    

   

Finalmente… todo se reduce pues a ssssssssssssumar la longitud de los trocitos de alfombra para conocer la longitud total. Y al decir esto trazó sobre la alfombra, con mano experta, el signo mágico de la ssssssssssssuma

∫

- Sumemos, pues, todas las vueltas de la alfombra, trocito a trocito...

casi en trance, el reverso de estos

R h

R h

0

0

∫ dl = 2 π h ∫ n dn

Frenéticamente, estado de Sultán acabó de emborronar el la alfombra con signos cabalísticos…

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L = 2π h      

    

R  2 n h

2

  

2

0      

L = 2π h R 2 − 0 2h …rematando sus cálculos con un sonoro ¡¡¡ Eureka !!!

al escribir el siguiente resultado.

2 π L= R h El mercader, muy sorprendido por la coincidencia del valor obtenido por el Sultán y el resultado de sus propias deducciones, pero sin realizar objeción alguna ante el temor a la ira del comprador, se dispuso a medir el espesor de la alfombra y el radio del bombo, completando los cálculos y entregando al Sultán su preciado tesoro, no sin recibir antes las monedas de oro que ávidamente guardó en su bolsa y que garantizaban su sustento y el de su familia durante el crudo invierno que acababa de empezar. Cuando la comitiva, formada por la pesada alfombra cargada al lomo de cuatro elefantes y custodiada por el séquito del Sultán, que encabezaba la marcha, se encontraba ya lejos, a punto de perderse en el último recodo del camino que se dirigía hacia las heladas cumbres del Himalaya, feudo del Señor de Paraguastán, el mozalbete espigado pero aún lampiño se atrevió a intervenir: - Amado padre, estoy admirado de vuestra sagacidad y la forma admirable en que habéis defendido nuestros intereses ante el Sultán, pero… ¿Cómo habéis confiado en la veracidad del método propuesto por el Gran Señor para medir la longitud de nuestra… -es decir, ahora ya- de su alfombra? Hijo mío - respondió el artesano- si no hubiese conocido otra manera de calcular su longitud, que además diese el mismo resultado, no hubiese dudado en desconfiar del mismo. ¿No habrías hecho tú lo mismo? En efecto –contestó el mozalbete-. No he intervenido por respeto a ti y al Sultán, pero yo también conocía la forma de calcular la longitud de la alfombra sin extenderla: Verás… –continuó diciendo-. Consideremos el canto de la misma. Su superficie será la idéntica tanto si la alfombra está enrollada como si no. La superficie del canto en la alfombra extendida posee la forma de un fino rectángulo, de superficie equivalente al área de la superficie una vez enrollada, es decir, del bombo, que a su vez corresponde al área y la forma de un círculo.

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Estas suposiciones –concluyó el joven- serán correctas si el espesor de la alfombra es relativamente pequeño frente a los demás valores, como sucede en nuestro caso, por tanto:

L h = π R2 De donde se deduce que la longitud de la alfombra coincide con el valor propuesto por el Sultán:

2 π L= R h

Sólo la certeza de que el Maharaha medía la alfombra correctamente ha sellado mis labios hasta ahora, dejando que mi padre cerrase el trato con dignidad ante tan ilustre comprador. Anochecía y ya caían abundantes copos de nieve cuando ambos cerraron el modesto taller. Se encaminaron, con la bolsa repleta de monedas, hacia su morada a los pies de las heladas cumbres del Himalaya. Al día siguiente, en su telar, empezarían a urdir una nueva alfombra. <<<<< >>>>> Llevamos ya tres días de marcha, y todavía falta lo peor –dijo uno de los mahout, fatigado de conducir al elefante sobre el que montaba, pero, sobre todo, de vigilar constantemente la pesada alfombra para que se mantuviese en su sitio a pesar de los vaivenes que, debidos a lo abrupto del sendero, hacían los sufridos paquidermos-. Así es –respondió otro- aún falta escalar el puerto de Dong Dala desde el que se accede a las llanuras, en esta época heladas, donde se levanta el palacio de Nuestro Señor, -y añadió con reverencia- Sultán de Paraguastán , Morador de las Altas Cumbres, Gran… Aspecto que ofrecía la alfombra hendida por el alfanje.

Toda la caravana –le interrumpió el tercero sin darle tiempo a proseguir la letanía- aún comenta la astucia de nuestro Maharajá, ¿cómo pudo medir la longitud de esta alfombra sin extenderla? De poca cosa os sorprendéis –afirmó el último mahout- yo mismo podría medirla y no soy sultán, ni amo, ni gran nada… Mirad y aprended: Imaginemos (¡Qué nuestro Sultán no llegue a conocer nunca mis intenciones¡) que hendimos la alfombra (plegada) en sentido radial, con un alfanje muy afilado. Es decir, cortando desde la superficie del bombo hasta justo el centro. Cada uno de los trozos, convenientemente desplegados, podría apilarse sobre los demás,

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de forma que, como las porciones exteriores son evidentemente mayores que las interiores, obtendríamos un montón de sección decreciente desde la base (correspondiente a la vuelta mas externa) hasta la cúspide que coincidiría con el centro del bombo. Por otra parte, la longitud de cada trozo (que supondremos circular en la alfombra enrollada) tendría una longitud dada por la siguiente expresión:

l = 2π r

Es decir, la relación entre la longitud del trozo de alfombra y el radio que tenia, antes de ser cortado en el bombo, son proporcionales. Dicho de otro modo, nuestro montón de pedazos de alfombra podrá disponerse de manera que su sección sea triangular. Supongamos que todos las partes de alfombra, contadas con el alfanje, fuesen iguales y con un radio “R” igual al radio total del bombo. En este caso, la pila tendría sección rectangular y así la longitud total de la alfombra seria la suma de la longitud de todos estos trozos ficticios que acabamos de imaginar. En efecto y puesto que el número de trozos equivale a la proporción entre el radio total “R” y el espesor de cada trozo “h”, resulta que:

R 2 π R L =2πR( ) = h h

2

¡Pero este es justamente el doble del valor buscado!

r

R/h

L=2π R

l=2π r

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Claro está, el rectángulo que se forma con los trozos ficticios es justamente el doble del triángulo formado por los trozos reales que nosotros obtendríamos al cortar la alfombra con el alfanje. En conclusión, la longitud de esta alfombra maravillosa es precisamente el producto de π por el radio total al cuadrado y dividido por el espesor, siempre que este sea pequeño en relación con las restantes medidas.

2 π L= R h

<<<<< >>>>> Llegada, por fin, la caravana a Palacio, la alfombra fue descargada con sumo cuidado y extendida a los pies del Sultán. Este, la pisó, solemnemente, reconfortándose en su calidez mientras se felicitaba de su acierto al haber dotado al palacio de un tapiz tan suntuoso como su rango merecía y a sus pies de un mullido lecho donde posarse. Pomposamente, empezó a pasear sobre ella jactándose -para sus adentros- de ser más sagaz que sus súbditos (aún resonaban en sus oídos las alabanzas de los aduladores que, en la caravana, relataban su astucia para salir tan airoso del lance con el artesano). Al llegar al final de la misma contó los pasos dados y asintió: Al fin y al cabo lo que más deseaba era ser justo con su pueblo, -pensando en el artesano y su hijo que días antes habían confiado en él-. Solo este noble pensamiento le impulsaba a seguir cuidando de sus súbditos. Por cierto, ¿Cuánto medía aquella maravillosa alfombra que tantos quebraderos de cabeza dio al artesano y mercader, a su hijo, el mozalbete espigado pero aun lampiño, a los mahout, inseparables de sus elefantes y sobre todo a nuestro buen Maharaha? Fin

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