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L4. ESTUDIO DE LA AMPLITUD DE LAS OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS Y FORZADAS
Xiomara Meneses Serrano – 2143270 Julieth KaterineGarcía Anteliz – 2143260 Ingrid Xiomara Suárez Mancilla – 2142938
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER UIS LABORATORIO DE FÍSICA III BUCARAMANGA 2016
L4. ESTUDIO DE LA AMPLITUD DE LAS OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS Y FORZADAS
Introducción En el análisis de ésta práctica, se estudiarán el movimiento forzado y los tres tipos de movimientos amortiguados mediante el péndulo de Pohl. Se busca indagar sobre cada una de oscilaciones que previamente hemos estudiado además de los factores externos que pueden modificar cada una de éstas incluso hasta llegar a cambiar el tipo de movimiento.
Objetivos General: Estudiar las diferencias entre los movimientos amortiguado y forzado. Específicos: Encontrar y comprender el cambio de fase entre el excitador y el oscilador, mediante la curva de resonancia. Calcular la amplitud y el periodo del péndulo en oscilaciones amortiguadas y forzadas. Encontrar el valor de la constante de amortiguamiento a partir de medidas experimentales, y con ésta el factor de decremento logarítmico. Comprender la influencia de las fuerzas externas sobre un movimiento armónico.
Análisis de datos
Movimiento amortiguado N=4 𝑖 = 0.33 [𝐴] 𝐴+ 𝐴− Tabla 1.
17 15
14 12
11 10
9 8
7 7
5.5 5
4.5 4
𝑡1 6.64 6.82
A 17 15
𝑡2 6.50 6.68
𝑡3 6.85 6.90
𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚
T
6,66333333 6.8 6,73166667
1,66583333 1.7 1,68291667
Tabla 2.
N=4 𝑖 = 0.66 [𝐴] 𝐴+ 𝐴− Tabla 3.
17 13
10 8
𝑡1 6.89 7.29
A 17 15
6 5
𝑡2 6.99 7.22
4 3
2 2
1.1 1
𝑡3 6.93 7.17
𝑡̅ 6,93666667 7.22666667 7.08166667
T 1.73416667 1.80666667 1.77041667
Tabla 4. Realizar un análisis de la gráfica de amplitud, 𝐴(𝑡) (ordenadas) contra tiempo, 𝑡 (abscisas) para las dos corrientes utilizadas, en el movimiento amortiguado. 𝑖 = 0.33 [𝐴]
AMPLITUD VS TIEMPO 20 15
AMPLITUD [m]
10 5 0 -5
0
5
10
-10 -15 -20
Gráfica 1.
PERIODO [s]
15
20
AMPLITUD VS PERIODO 20
y = 17.146e-0.066x
18
AMPLITUD [m]
16 14 12 10 8 6 4 2
0 0
5
10
15
20
25
PERIODO [s]
Gráfica 2.
𝑖 = 0.66 [𝐴]
AMPLITUD VS TIEMPO 20
AMPLITUD [m]
15 10
5 0 0
5
10
-5 -10 -15
Gráfica 3.
PERIODO [s]
15
20
AMPLITUD VS PERIODO
y = 18.465e-0.16x
20 18 16
AMPLITUD [m]
14 12 10
8 6 4 2 0 0
2
4
6
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10
12
14
16
18
20
PERIODO [s]
Gráfica 4. Análisis de las gráficas: Se pudo notar experimentalmente, la influencia de la corriente de frenado en el péndulo de Pohl con un movimiento amortiguado, cada vez que ésta aumente su valor, el movimiento oscilatorio tendrá un menor recorrido con respecto a su amplitud y el número de oscilaciones será cada vez menor, fenómeno observado también mediante la ecuación de amplitud, para la primera corriente, el coeficiente de amortiguamiento equivale a 0.066, siendo más pequeño que para la segunda corriente donde es 0.16, es decir, con una corriente de 0.33 [A] la amplitud decae más rápidamente que para 0.66 [A]. Calcular el decaimiento exponencial 𝛾 El movimiento de un sistema oscilante (rotatorio) libremente amortiguado puede describirse por la ecuación 𝜑(𝑡) = 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝜔𝑡; y utilizando la 𝜑(𝑡)
razón constante entre dos amplitudes sucesivas 𝜑(𝑡+𝑇) tenemos que: 𝜑(𝑡) 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝑤𝑡 = 𝜑(𝑡 + 𝑇) 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾(𝑡+𝑇) cos 𝑤(𝑡 + 𝑇)
Ejemplo para 𝑖 = 0.33[𝐴] 17 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝑤𝑡 = 14 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾(𝑡+𝑇) cos 𝑤(𝑡 + 𝑇)
17 𝑒 −𝛾𝑡 = −𝛾(𝑡+𝑇) 14 𝑒
17 = 𝑒 −𝛾(𝑡−𝑡−𝑇) 14
17 = 𝑒 𝛾𝑇 14
17 ln ( ) = 𝛾𝑇 14
19
ln (14) 𝑇
=𝛾
17
ln (14) 1.68291667
=𝛾
0.11536876 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] = 𝛾
𝐴+ 𝛾1 𝛾2 𝛾3 𝛾4 𝛾5 𝛾6 Tabla 5.
𝐴− 0,11536876 𝛾1 0,14330006 𝛾2 0,11923983 𝛾3 0,14933266 𝛾4 0,14330006 𝛾5 0,11923983 𝛾6 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0.13126476[𝑟𝑎𝑑/𝑠]
0,13259335 0,10833665 0,13259335 0,07934522 0,19993399 0,13259335
De la misma forma se realiza para 𝑖 = 0.66 [𝐴] 𝐴+ 𝛾1 𝛾2 𝛾3 𝛾4 𝛾5
𝐴− 0.29971942 𝛾1 0,28853412 𝛾2 0,22902242 𝛾3 0,39151641 𝛾4 0,33768153 𝛾5 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0.29952568 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
0,27423365 0,26547628 0,28853412 0,22902242 0,39151641
Tabla 6.
Linealizar la función de amplitud usando el logaritmo natural de la amplitud A(t) y obtenga la ecuación de la recta utilizando la regresión lineal Ln(A) contra tiempo (y = mx + b) Para linealizar la gráfica de la amplitud en función del tiempo se realizó el siguiente procedimiento con el cual se obtuvieron las ecuaciones lineales del decremento logarítmico.
𝐴(𝑡) = 𝐴𝑜 𝑒 −𝛾𝑡
𝑙𝑛
𝐴(𝑡) = 𝑙𝑛𝑒 −𝛾𝑡 𝐴𝑂
𝑙𝑛𝐴(𝑡) − 𝑙𝑛𝐴𝑜 = −𝛾𝑡
𝑙𝑛𝐴(𝑡) = −𝛾𝑡 + 𝑙𝑛 𝐴𝑂 Para 𝑖 = 0.33 [𝐴] 𝑙𝑛𝐴 = 0.13126476 𝑡 + 2.833213344
Para 𝑖 = 0.66 [𝐴] 𝑙𝑛𝐴 = 0.29952568 𝑡 + 2.833213344
Movimiento sobreamortiguado 𝑖 = 2.0 [𝐴] 𝑡 = 1.835 [𝑠] Movimiento críticamente amortiguado 𝑖 = 1.7 [𝐴] 𝑡 = 2.01 [𝑠]
Discusión de resultados: Con una corriente de frenado mayor, se observó que el sistema no oscila, y el tiempo de frenado es corto en comparación con el movimiento oscilatorio subamortiguado. Se demuestra que con una corriente de 1.7 [A] se tiene un movimiento críticamente amortiguado donde se cumple que 𝑊 2 =ϒ. De la misma forma, con un valor de corriente de 2.0 [A] se generó un movimiento sobre amortiguado, cumpliendo que 𝑊 2 <ϒ
Movimiento forzado
Posición (X) 20 25 30 35 40 50 60 Tabla 7.
f 0.303 0.406 0.5298 0.655 0.74 0.925 1.1049
i = 0 [A] 0.7 1.25 2.0 1.1 0.5 0.2 0.1
I = 0.33 [A] 0.8 1.4 7.75 0.9 0.4 0.2 0.1
i = 0.66 [A] 0.7 1.25 2.2 0.7 0.3 0.2 0.1
W 1.90380515 2.55097323 3.32883158 4.11548638 4.64955713 5.881194641 6.94229145
N = 10 A 𝑡1 18 17.52 Tabla 8.
𝑡2 17.19
𝑡3 17.60
𝑡̅ 17,5366667
𝑓𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑇𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑤𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 1,75366667 0,5702338 3,582884608
Construir una gráfica de amplitud contra frecuencia y analizar las curvas de resonancia obtenidas
Curvas de resonancia 25
CORRIENTE [A]
20 15
i = 0 [A] 10
i = 0.33 [A] i =0.66 [A]
5 0 0 -5
2
4
6
8
FRECUENCIA [rad/s]
Gráfica 5.
Análisis: Se observa que las curvas de resonancia presentan un máximo global, en donde frecuencia es igual a la frecuencia natural del péndulo, a partir del cual la amplitud empieza a descender, en el momento en que la frecuencia de la fuerza aplicada es igual a la frecuencia natural, el sistema se encontrará en resonancia. Experimentalmente, de la gráfica se observa que la resonancia del sistema es aproximadamente 3,32 en valores de la frecuencia, por lo que se podría decir que es un valor aceptable, puesto que se acerca a la frecuencia natural ya calculada anteriormente 3.58, la diferencia es debida a los errores normales que se presentan en el desarrollo de la práctica y a la sensibilidad de los instrumentos usados.
Determinar el ángulo de desfase entre el oscilador y el agente forzador
𝑊 = 2𝜋𝑓
𝛾2 =
𝑓2 − 𝑤2 −2
tan 𝜙 =
2𝛾𝜔𝑒𝑥 2 ) (20 − 𝜔𝑒𝑥
Ejemplo para X = 20 𝑊 = 2𝜋(0.303) 𝑊 = 1.90380515 [
𝛾2 =
𝑟𝑎𝑑 ] 𝑠
0.3032 − 1.90382 −2
𝛾 = 1.329034432
∅ = tan−1
Ángulo de desfase
Posición 20 25 30 35 40 50 60 Tabla 9.
f 0.303 0.406 0.5298 0.655 0.74 0.925 1.1049
2(1.329)(1.9038) (3.58282 − 1.90382 )
∅ = 0.502303169 [𝑟𝑎𝑑]
W 1.90380515 2.55097323 3.32883158 4.11548638 4.64955713 5.881194641 6.94229145
𝛾 1.329034432 1.780818414 2.323836442 2.872995224 3.245826665 4.057283331 4.846370111
∅ 0,502303169 0,962315822 1,457783316 -1,399116607 -1,287678572 -1,152908025 -1.086986042
Conclusiones Un movimiento oscilatorio libre tiende a mantener la amplitud constante, pero debido a fuerzas externas como la fuerza de rozamiento del aire, hace que ésta disminuya a medida que pasa el tiempo. Al aplicar una corriente al movimiento forzado, pudimos observar que la amplitud disminuye a medida que el tiempo aumenta, ya que el campo magnético generado se corta con el disco, produciendo una corriente que hace que se frene el oscilador. En el movimiento forzado, a una corriente constante, la amplitud y la frecuencia son directamente proporcionales, hasta un punto máximo a partir del cual la amplitud empieza a disminuir, a medida en que la frecuencia seguía aumentando, pasan a ser inversamente proporcionales.
Xiomara Meneses Serrano – 2143270 Julieth KaterineGarcía Anteliz – 2143260 Ingrid Xiomara Suárez Mancilla – 2142938
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER UIS LABORATORIO DE FÍSICA III BUCARAMANGA 2016
L4. ESTUDIO DE LA AMPLITUD DE LAS OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS Y FORZADAS
Introducción En el análisis de ésta práctica, se estudiarán el movimiento forzado y los tres tipos de movimientos amortiguados mediante el péndulo de Pohl. Se busca indagar sobre cada una de oscilaciones que previamente hemos estudiado además de los factores externos que pueden modificar cada una de éstas incluso hasta llegar a cambiar el tipo de movimiento.
Objetivos General: Estudiar las diferencias entre los movimientos amortiguado y forzado. Específicos: Encontrar y comprender el cambio de fase entre el excitador y el oscilador, mediante la curva de resonancia. Calcular la amplitud y el periodo del péndulo en oscilaciones amortiguadas y forzadas. Encontrar el valor de la constante de amortiguamiento a partir de medidas experimentales, y con ésta el factor de decremento logarítmico. Comprender la influencia de las fuerzas externas sobre un movimiento armónico.
Análisis de datos
Movimiento amortiguado N=4 𝑖 = 0.33 [𝐴] 𝐴+ 𝐴− Tabla 1.
17 15
14 12
11 10
9 8
7 7
5.5 5
4.5 4
𝑡1 6.64 6.82
A 17 15
𝑡2 6.50 6.68
𝑡3 6.85 6.90
𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚
T
6,66333333 6.8 6,73166667
1,66583333 1.7 1,68291667
Tabla 2.
N=4 𝑖 = 0.66 [𝐴] 𝐴+ 𝐴− Tabla 3.
17 13
10 8
𝑡1 6.89 7.29
A 17 15
6 5
𝑡2 6.99 7.22
4 3
2 2
1.1 1
𝑡3 6.93 7.17
𝑡̅ 6,93666667 7.22666667 7.08166667
T 1.73416667 1.80666667 1.77041667
Tabla 4. Realizar un análisis de la gráfica de amplitud, 𝐴(𝑡) (ordenadas) contra tiempo, 𝑡 (abscisas) para las dos corrientes utilizadas, en el movimiento amortiguado. 𝑖 = 0.33 [𝐴]
AMPLITUD VS TIEMPO 20 15
AMPLITUD [m]
10 5 0 -5
0
5
10
-10 -15 -20
Gráfica 1.
PERIODO [s]
15
20
AMPLITUD VS PERIODO 20
y = 17.146e-0.066x
18
AMPLITUD [m]
16 14 12 10 8 6 4 2
0 0
5
10
15
20
25
PERIODO [s]
Gráfica 2.
𝑖 = 0.66 [𝐴]
AMPLITUD VS TIEMPO 20
AMPLITUD [m]
15 10
5 0 0
5
10
-5 -10 -15
Gráfica 3.
PERIODO [s]
15
20
AMPLITUD VS PERIODO
y = 18.465e-0.16x
20 18 16
AMPLITUD [m]
14 12 10
8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
PERIODO [s]
Gráfica 4. Análisis de las gráficas: Se pudo notar experimentalmente, la influencia de la corriente de frenado en el péndulo de Pohl con un movimiento amortiguado, cada vez que ésta aumente su valor, el movimiento oscilatorio tendrá un menor recorrido con respecto a su amplitud y el número de oscilaciones será cada vez menor, fenómeno observado también mediante la ecuación de amplitud, para la primera corriente, el coeficiente de amortiguamiento equivale a 0.066, siendo más pequeño que para la segunda corriente donde es 0.16, es decir, con una corriente de 0.33 [A] la amplitud decae más rápidamente que para 0.66 [A]. Calcular el decaimiento exponencial 𝛾 El movimiento de un sistema oscilante (rotatorio) libremente amortiguado puede describirse por la ecuación 𝜑(𝑡) = 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝜔𝑡; y utilizando la 𝜑(𝑡)
razón constante entre dos amplitudes sucesivas 𝜑(𝑡+𝑇) tenemos que: 𝜑(𝑡) 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝑤𝑡 = 𝜑(𝑡 + 𝑇) 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾(𝑡+𝑇) cos 𝑤(𝑡 + 𝑇)
Ejemplo para 𝑖 = 0.33[𝐴] 17 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝑤𝑡 = 14 𝜑𝑜 𝑒 −𝛾(𝑡+𝑇) cos 𝑤(𝑡 + 𝑇)
17 𝑒 −𝛾𝑡 = −𝛾(𝑡+𝑇) 14 𝑒
17 = 𝑒 −𝛾(𝑡−𝑡−𝑇) 14
17 = 𝑒 𝛾𝑇 14
17 ln ( ) = 𝛾𝑇 14
19
ln (14) 𝑇
=𝛾
17
ln (14) 1.68291667
=𝛾
0.11536876 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] = 𝛾
𝐴+ 𝛾1 𝛾2 𝛾3 𝛾4 𝛾5 𝛾6 Tabla 5.
𝐴− 0,11536876 𝛾1 0,14330006 𝛾2 0,11923983 𝛾3 0,14933266 𝛾4 0,14330006 𝛾5 0,11923983 𝛾6 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0.13126476[𝑟𝑎𝑑/𝑠]
0,13259335 0,10833665 0,13259335 0,07934522 0,19993399 0,13259335
De la misma forma se realiza para 𝑖 = 0.66 [𝐴] 𝐴+ 𝛾1 𝛾2 𝛾3 𝛾4 𝛾5
𝐴− 0.29971942 𝛾1 0,28853412 𝛾2 0,22902242 𝛾3 0,39151641 𝛾4 0,33768153 𝛾5 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0.29952568 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
0,27423365 0,26547628 0,28853412 0,22902242 0,39151641
Tabla 6.
Linealizar la función de amplitud usando el logaritmo natural de la amplitud A(t) y obtenga la ecuación de la recta utilizando la regresión lineal Ln(A) contra tiempo (y = mx + b) Para linealizar la gráfica de la amplitud en función del tiempo se realizó el siguiente procedimiento con el cual se obtuvieron las ecuaciones lineales del decremento logarítmico.
𝐴(𝑡) = 𝐴𝑜 𝑒 −𝛾𝑡
𝑙𝑛
𝐴(𝑡) = 𝑙𝑛𝑒 −𝛾𝑡 𝐴𝑂
𝑙𝑛𝐴(𝑡) − 𝑙𝑛𝐴𝑜 = −𝛾𝑡
𝑙𝑛𝐴(𝑡) = −𝛾𝑡 + 𝑙𝑛 𝐴𝑂 Para 𝑖 = 0.33 [𝐴] 𝑙𝑛𝐴 = 0.13126476 𝑡 + 2.833213344
Para 𝑖 = 0.66 [𝐴] 𝑙𝑛𝐴 = 0.29952568 𝑡 + 2.833213344
Movimiento sobreamortiguado 𝑖 = 2.0 [𝐴] 𝑡 = 1.835 [𝑠] Movimiento críticamente amortiguado 𝑖 = 1.7 [𝐴] 𝑡 = 2.01 [𝑠]
Discusión de resultados: Con una corriente de frenado mayor, se observó que el sistema no oscila, y el tiempo de frenado es corto en comparación con el movimiento oscilatorio subamortiguado. Se demuestra que con una corriente de 1.7 [A] se tiene un movimiento críticamente amortiguado donde se cumple que 𝑊 2 =ϒ. De la misma forma, con un valor de corriente de 2.0 [A] se generó un movimiento sobre amortiguado, cumpliendo que 𝑊 2 <ϒ
Movimiento forzado
Posición (X) 20 25 30 35 40 50 60 Tabla 7.
f 0.303 0.406 0.5298 0.655 0.74 0.925 1.1049
i = 0 [A] 0.7 1.25 2.0 1.1 0.5 0.2 0.1
I = 0.33 [A] 0.8 1.4 7.75 0.9 0.4 0.2 0.1
i = 0.66 [A] 0.7 1.25 2.2 0.7 0.3 0.2 0.1
W 1.90380515 2.55097323 3.32883158 4.11548638 4.64955713 5.881194641 6.94229145
N = 10 A 𝑡1 18 17.52 Tabla 8.
𝑡2 17.19
𝑡3 17.60
𝑡̅ 17,5366667
𝑓𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑇𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑤𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 1,75366667 0,5702338 3,582884608
Construir una gráfica de amplitud contra frecuencia y analizar las curvas de resonancia obtenidas
Curvas de resonancia 25
CORRIENTE [A]
20 15
i = 0 [A] 10
i = 0.33 [A] i =0.66 [A]
5 0 0 -5
2
4
6
8
FRECUENCIA [rad/s]
Gráfica 5.
Análisis: Se observa que las curvas de resonancia presentan un máximo global, en donde frecuencia es igual a la frecuencia natural del péndulo, a partir del cual la amplitud empieza a descender, en el momento en que la frecuencia de la fuerza aplicada es igual a la frecuencia natural, el sistema se encontrará en resonancia. Experimentalmente, de la gráfica se observa que la resonancia del sistema es aproximadamente 3,32 en valores de la frecuencia, por lo que se podría decir que es un valor aceptable, puesto que se acerca a la frecuencia natural ya calculada anteriormente 3.58, la diferencia es debida a los errores normales que se presentan en el desarrollo de la práctica y a la sensibilidad de los instrumentos usados.
Determinar el ángulo de desfase entre el oscilador y el agente forzador
𝑊 = 2𝜋𝑓
𝛾2 =
𝑓2 − 𝑤2 −2
tan 𝜙 =
2𝛾𝜔𝑒𝑥 2 ) (20 − 𝜔𝑒𝑥
Ejemplo para X = 20 𝑊 = 2𝜋(0.303) 𝑊 = 1.90380515 [
𝛾2 =
𝑟𝑎𝑑 ] 𝑠
0.3032 − 1.90382 −2
𝛾 = 1.329034432
∅ = tan−1
Ángulo de desfase
Posición 20 25 30 35 40 50 60 Tabla 9.
f 0.303 0.406 0.5298 0.655 0.74 0.925 1.1049
2(1.329)(1.9038) (3.58282 − 1.90382 )
∅ = 0.502303169 [𝑟𝑎𝑑]
W 1.90380515 2.55097323 3.32883158 4.11548638 4.64955713 5.881194641 6.94229145
𝛾 1.329034432 1.780818414 2.323836442 2.872995224 3.245826665 4.057283331 4.846370111
∅ 0,502303169 0,962315822 1,457783316 -1,399116607 -1,287678572 -1,152908025 -1.086986042
Conclusiones Un movimiento oscilatorio libre tiende a mantener la amplitud constante, pero debido a fuerzas externas como la fuerza de rozamiento del aire, hace que ésta disminuya a medida que pasa el tiempo. Al aplicar una corriente al movimiento forzado, pudimos observar que la amplitud disminuye a medida que el tiempo aumenta, ya que el campo magnético generado se corta con el disco, produciendo una corriente que hace que se frene el oscilador. En el movimiento forzado, a una corriente constante, la amplitud y la frecuencia son directamente proporcionales, hasta un punto máximo a partir del cual la amplitud empieza a disminuir, a medida en que la frecuencia seguía aumentando, pasan a ser inversamente proporcionales.
