Kuliah4-teorema-divergensi.pdf

4

TEOREMA DIVERGENSI DAN PERSAMAAN I MAXWELL

Divergensi dari suatu medan vektor A disuatu titik, didefinisikan sebagai

 A.dS

Divergensi A = div A  lim s V  0

V

V=xyz

Artinya: Divergensi vektor kerapatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar dari sebuah permukaan tertutup persatuan volume yang menuju ke nol. Divergensi kerepatan medan D:

 div D  lim V 0

D.dS V

jika volume diferensial koordinat kartesian (dxdydz), volume diferensial dalam koordinat tabung (dddz) atau koordinat bola (r2sin.dd), maka pernyataan disebut yang mengandung turunan parsial terhadap peubah dari sistem yang bersangkutan akan diperoleh rumusan sbb: div D 

D x D y D z   x y z

div D 

1 D 1 D  D z (D  )       z

div D 

1 D 2 1  1 D  ( r D )  (sin  D )  r  r sin   r sin   r 2 r

kartesian

tabung

bola

Divergensi merupakan operasi yang bekerja pada vektor dan hasilnya adalah skalar atau perkalian dua vektor hasilnya adalah skalar. Divergensi adalah menentukan besar fluks yang meninggalkan suatu volume kecil dalam basis persatuan volume. Konsep divergensi dapat digambarkan dengan mengambil contoh pada kuliah sebelumnya D = e-xsin y ax – e-xcos y ay + 2 z az C/m2, maka diperoleh 11

D x D y D z   x y z

div D 

= -e-xsin y + e-xsin y + 2 = 2 C/m3

(jika stuan D adalah C/m2 maka satuan div D adalah C/m3 karena kerapatan volume)

PERSAMAAN I MAXWEEL Operasi divergensi dalam kaitannya dengan kerapatn fluks listrik telah dirumuskan div D  lim V 0 div D 

 D.dS s

V

D x D y D z   x y z

div D = v Dari Hukum Gauss:

 D.dS  Q s

 D.dS s

V



Q V

 D.dS lim

V  0

s

V

Q V  0 V

 lim

Ruas kiri adalah div D dan ruas kanan adalah kerapatan muatan volume div D = v

Contoh Dalam ruang r  b dalam koordinat bola terdapat kuat medan listrik 12

E

r a r , hitung kedua ruas teorema divergensi pada medan tersebut. 3

 E.dS   (

b a r ).(b 2 sin dda r ). 3

2 

b3 0 3 sin dd.





0

4b3  3

 (.E)d = .E =

1  2 r  (r ) 2 r r 3 

2 

b

  



0

0

4b 3



0

 2 r sin drdd 

3

OPERATOR VEKTOR (OPERATOR DEL) Operator del disimbolkan  sebagai operator vektor  =

   ax  ay  az x y z

Misalnya .D = ( =

   a x  a y  a z ).(Dx ax + Dy ay + Dz az) x y z

Dx Dy Dz   x y z

Jadi div D = .D =

D x D x D x   x y z

div D = .D 

1 D 1 D  D z (D  )       z

Kartesian

13

tabung

div D= .D 

1 D 2 1  1 D  ( r D )  (sin  D )  r  r sin   r sin   r 2 r

bola

Dari integral tertutup Hk. Gauss:

 D.dS  Q s

Q   vdv vol

v = div D div D = .D didapatkan

 D.dS  Q    s

v

dv 

vol

 .Ddv vol

Rumusan pertama dan terakhir dinyatakan teorema divergensi

 D.dS   .Ddv s

vol

yang dapat dinyatakan: Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut. Contoh: Diketahui medan listrik dengan kerapatan D = 2 xy ax + x2 ay C/m dan kotak yang dibentuk oleh bidang x = 0 dan 1, y = 0 dan 2, z = 0 dan 3. Hitung dengan teorema divergensi. Penyelesaian:

14

 D.dS s

 (2ya



x

 a y ).(dsa x ) 

x 1

 (4xa



x

 (x a

 x 2a y ).(dsa y )  x

2

 x 2a y ).(dsa z ) 

z 3

z 0

x 1

 2

2

3

0

0

 ydydz  4 dz

0

= 12 C Cara divergensi

 .Ddv

=

vol

.D 

  (2xy )  x 2 x y

= 2y 3

= 0

3

2

1

  0

2 ydxdydz

0

2

=



0

0

y

).(dSa y )

 (2xya

 2yds  0  0  0  0 3

)

y0

 (2xya



x

x 0

y2



 0.(dSa

2 ydydz

3

=  4dz 0

= 12 C

15

x

 x 2a y ).(dsa z )

Contoh: Suatu medan dengan kerapatan D = 30 e-rar – 2 z az dalam koodinat silinder (tabung). Hitunglah kedua ruas

teorema divergensi untuk bagian yang

dilingkupi oleh r = 2, z = 0 dan z = 5. Penyelesaian:

 D.dS   .Ddv s

vol

Perhatikan Dz = 0 untk z = 0, maka D.dS = 0 untuk bagian permukaan z 5

2

 D.dS   30e s

0

2

2

a r .2ddza r 

0

2

   2(5)a 0

z

0

= 60 e-2 (2)(5) – 10 (2)(2) = 129,4 C Untuk ruas kanan teorema divergensi

 .Ddv

Ingat: uv = u’v+uv’

=

vol

.D=

=

5

2 2

0

0

   0

1  30e r (30re r )  (2z)   30e r  2 r r z r

30e r (  30e r  2)rdrddz r

= 129,4 C

16

.rdrda z