Kuliah Kesebelas Mekban Semester Antara 2019.pdf

Kuliah kesebelas Semester Antara 2019

Analisa Tegangan Bidang (tegangan kombinasi normal dan geser)

2017

89 1126

Analisis tegangan bidang adalah analisis kombinasi tegangan normal dan tegangan geser. Kominasi tegangan akan muncul jika pada satu elemen atau potongan balok terjadi tegangan normal dan tegangan geser secara bersamaan.

2017

89 1126

2017 89 1126

Pada potongan D-D yang jaraknya sangat kecil sekali dengan potongan C-C akan timbul tegangan geser t. Untuk jarak potongan yang sangat kecil sekali, maka tegangan geser pada potongan C-C nilainya hampir sama dengan pada potongan D-D 2017

89 1126

2017

89 1126

Arah tegangan pada satu titik di sebelah atas sumbu balok

Arah tegangan pada satu titik di sebelah bawah sumbu balok 2017

89 1126

Arah tegangan pada satu titik di sebelah atas sumbu balok

2017

89 1126

Arah tegangan pada satu titik di sebelah bawah sumbu balok

2017 89 1126

Pada balok di atas dua tumpuan, tegangan yang terjadi pada sebuah potongan dihasilkan dari kombinasi Momen dan Gaya Geser. Akibat kedua gaya dalam tersebut akan muncul tegangan s dan t. Pada potongan yang sama akan muncul banyak sekali kombinasi tegangan normal dan tegangan geser. Pada satu titik terdiri dari 4 tegangan geser dan dua tegangan normal. Untuk arah dua dimensi, tegangan normal yang bekerja pada satu titik pada umumnya juga berjumlah 4. Karena nilai tegangan normal tidak selalu sama, maka nomenclatur atau cara pemberian nama tegangan pada satu titik lebih mudah menggunakan sumbu-sumbu batang sebagai dasar pemberian nama atau identitas tegangan. 2017

89 1126

Y

Y

P X

Sumbu balok

tyx

P X

Sumbu balok

sy

txy

tyx

sx

sx

txy

txy tyx

sy

sx

sx

txy

sy

Tegangan pada satu titik terdiri dari 4 tegangan geser dan dua tegangan normal. Untuk arah dua dimensi, tegangan normal yang bekerja pada satu titik pada umumnya juga berjumlah 4.

tyx sy

2017

89 1126

Cara Pemberian Nama Tegangan Bidang

Y X

Agar tegangan ada dalam keseimbangan, maka txy = tyx 2017

89 1126

Untuk mencari besarnya tegangan maksimum yang terjadi akibat kombinasi tegangan normal dan tegangan geser dapat dilihat pada potongan q.

2017

89 1126

Besarnya nilai tegangan normal sx1 akibat kombinasi tegangan normal dan tegangan geser pada perputaran sudut sebesar q

σx  σy σx  σy σx1   cos2θ  τxy * sin2 θ 2 2 2017

89 1126

Besarnya nilai tegangan geser tx1y1 akibat kombinasi tegangan normal dan tegangan geser pada perputaran sudut sebesar q

σx - σy τx1y1  ( )sin2 θ  τxy * cos2θ 2 2017

89 1126

Bagaimana mencari tegangan sy1. Arah tegangan normal yang tegak lurus dengan sx1 yaitu sy1 adalah tegangan normal yang berbeda sudut 90o. Nilai tegangan sy1 dapat dihitung dengan memasukkan q = q + 90o kedalam persamaan sx1 dan akan menghasilkan persamaan sy1 sebagai berikut:.

σx  σy σx  σy σy1   cos2θ  τxy * sin2θ 2 2 2017

89 1126

Karena tegangan sx1, sy1 dan tx1y1 nilainya bergantung pada nilai 2q maka dapat dicari nilai q yang memberikan ketiga tegangan tersebut menjadi maksimum/minimum.

Karena nilai tegangan maksimum terjadi pada sudut q yang sama maka pada saat nilai sx1 maksimum akan menghasilkan nilai sy1 minimum

σx1   sx  sy sin 2θ  2 τxy* cos 2θ  0 dθ 2τxy tg 2θ  σx-σy

89 1126

2017

σy1  sx  sy sin 2θ  2 τxy* cos 2θ  0 dθ 2τxy tg 2θ  σx-σy

2τxy tg 2θ  σx-σy σx  σy σx  σy σx1   cos2θ  τxy * sin2 θ 2 2

σx  σy σx  σy σy1   cos2θ  τxy * sin2θ 2 2 2

σ max /min 2017

89 1126

σx  σy  σx  σy  2      txy 2  2 

Untuk mencari tegangan geser maksimum turunkan persamaan tx1y1 terhadap q kemudian disamakan dengan nol

dtx1 y1  σx-σycos 2θ  2τxy* sin 2θ dθ  sx  sy    2   tg 2q   txy

τ max 89 1126

2017

σx - σy 2 2  ( )  τxy 2

Persamaan tegangan maksimum dan minimum dengan menggunakan rumus trigonometri. Pada saat tegangan normal mencapai maksimum/minimum

2τxy tg 2θ  σx-σy Pada saat tegangan geser mencapai maksimum

 sx  sy    2   tg 2q   txy

σx1 

σx  σy σx  σy  cos2θ  τxy * sin2θ 2 2

σy1 

σx  σy σx  σy  cos2θ  τxy * sin2θ 2 2

σx - σy τx1y1  ( )sin2θ  τxy * cos2θ 2

2017

89 1126

Persamaan tegangan maksimum dan minimum dengan menggunakan rumus akar. 2

σ max /min

σx  σy  σx  σy  2     t xy  2  2  2

σ max

σx  σy  σx  σy       txy 2 2  2  2

σ min

σx  σy  σx  σy       txy 2 2  2 

Dengan menggunakan kedua rumus ini tidak dapat diketahui mana yang maksimum sx1 atau sy1.

2017

89 1126

Persamaan tegangan maksimum dan minimum dengan menggunakan rumus akar. Karena nilai tx1y1 sama dengan nilai ty1x1 maka nilai tmax = tx1y1=ty1x1.

 sx  sy    2   tg 2q   txy

σx - σy τx1y1max  ( )sin2θ  τxy * cos2θ 2

τ max

σx - σy 2  ( )  τxy 2 2

τ max 

s max s min 2

2017

89 1126

Contoh1 Sebuah titik menderita tegangan sx = 11 MPa, sy = 4 MPa dan txy = 2.8 MPa dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah. 1. Tentukan nilai-nilai tegangan pada sudut q = 36o dan gambarkan arah-arah tegangan tersebut.

2017

89 1126

(1)

11  4 11  4 σx1   cos72  2.8 * sin72  11.244 MPa 2 2 11  4 11  4 σy1   cos72  2.8 * sin72  3.756 MPa 2 2

2017

89 1126

11 - 4 τx1y1  ( )sin72  2.8 * cos72  - 2.463 MPa 2

(1)

σx1 

11  4 11  4  cos72  2.8 * sin72  11.244 MPa 2 2

σy1 

11  4 11  4  cos72  2.8 * sin72  3.756 MPa 2 2

τx1y1  (

11 - 4 )sin72  2.8 * cos72  - 2.463 MPa 2

2017

89 1126

Contoh1 Sebuah titik menderita tegangan sx = 11 MPa, sy = 4 MPa dan txy = 2.8 MPa dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah. 1. Tentukan dan gambarkan arah tegangan-tegangan utama (tegangan max dan min pada titik tersebut).

2017

89 1126

Mencari tegangan normal maksimum/minimum

tg 2θ 

2τxy 2 * 2.8   0.8 σx-σy 11  4

2q  38.66  q  19.33 o

σ x1 

11  4 11  4  cos38.66  2.8 * sin38.66  11.982 MPa 2 2

σ y1 

11  4 11  4  cos38.66  2.8 * sin38.66  3.018 MPa 2 2

τx1y1  (

11 - 4 )sin38.66  2.8 * cos38.66  - 0.000015 MPa 2

σ x1  σ max

σ y1  σ min

τx1y1 .0 MPa

2017

89 1126

σ x1  σ max  11.982 MPa

σ y1  σ min  3.018 MPa

τx1y1  0.000015 MPa tg 2θ 

2τxy 2 * 2.8   0.8 σx-σy 11  4

2q  38.66  q  19.33 o

Untuk nilai q positif maka sumbu utama tegangan X1 diputar sebesar q ke arah kuadran 1 . 2017

89 1126

2

σ max/min

11  4  11  4       2.8 2  7.5  4.482 2  2 

σ max  7.5  4.482  11.982 MPa

σmin  7.5  4.482  3.018 MPa Dengan menggunakan rumus (akar) diatas maka tidak bisa digambar arah tegangan-tegangan utama

2017

89 1126

Mencari tegangan geser maksimum  sx  sy  11  4   2  tg 2q      2  1.25 txy 2.8 2q   51.34 o  q   25.67 o

11  4 11  4 σx1   cos(-51.34)  2.8 * sin(-51.34)  7.5 MPa 2 2 11  4 11  4 σy1   cos(-51.34)  2.8 * sin(-51.34)  7.5 MPa 2 2

τ max

11 - 4  ( )sin(-51.34)  2.8 * cos(-51.34)  4.482 MPa 2

2017

89 1126

(2) σx1  7.5 MPa σy1  7.5 MPa τ max  4.482 MPa

Untuk nilai q negatif maka sumbu utama tegangan X1 diputar sebesar q ke arah kuadran 4 .

 sx  sy  11  4   2  tg 2q      2  1.25 txy 2.8 2q   51.34 o  q   25.67 o

2017

89 1126

Contoh2 Sebuah titik menderita tegangan sx = 11 MPa, sy = 0 dan txy = 0 MPa dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah. 1. Tentukan dan gambarkan arah tegangan-tegangan utama (tegangan max dan min pada titik tersebut).

sx = 11

sx = 11

2017

89 1126

Mencari tegangan normal maksimum/minimum

σ max

2τxy 2*0 tg 2θ   0 σx-σy 11  0 2q  0  q  0o

11 11   cos 0  0 * sin 0  11 MPa 2 2

σ min 

11 11  cos 0  0 * sin 0  0 MPa 2 2

τx1y1  (

11 )sin0  0 * cos0  0 MPa 2

sx = 11

sx = 11

2017

89 1126

2

σ max/min

11 11 11  11  2     0   2 2 2 2

σ max

11 11    11 MPa 2 2

σ min

11 11    0 MPa 2 2

sx = 11

sx = 11

2017

89 1126

 sx  sy  11  0   2    2   tg 2q    txy 0

Mencari tegangan geser maksimum

2q   90o  q   45o

σx1 

11 11  cos(-90)  0 * sin(-90)  5.5 MPa 2 2

σy1 

11 11  cos(-90)  0 * sin(-90)  5.5 MPa 2 2

5. Y1 5

Y

= 1

=

5

1 1x ty

5.

sy

1

tx

sx

1y 1

=

5. 5

11 τ max  ( )sin(-90)  0 * cos(-90)  5.5 MPa 2

= 5.

X

5

1 1x ty = 5 5.

45o

5. 5

=

= 1y 1 tx

X1 5 5.

1

=

sy

1

5. 5

sx

2017

89 1126

σx1  5.5 MPa

σy1  5.5 MPa 5. Y1 5

Y

= 1

=

5

1 1x ty

5.

sy

1

tx

sx

1y 1

=

5. 5

τ max  5.5 MPa

= 5.

X

5

1 1x ty = 5 5.

45o

5. 5

=

= 1y 1 tx

X1 5 5.

1

=

sy

1

5. 5

sx

2017

89 1126

Contoh3 Sebuah titik menderita tegangan txy = 2.8 Mpa, sx = 0 dan sy = 0 dengan arah seperti terlihat pada gambar di bawah. 1. Tentukan dan gambarkan arah tegangan-tegangan utama (tegangan max dan min pada titik tersebut).

txy = 2.8

txy = 2.8

tyx = 2.8

tyx = 2.8

2017

89 1126

Mencari tegangan normal maksimum/minimum

tg 2θ 

2τxy 2 * 2.8   σx-σy 0  0

2q  90  q  45o

0 0  cos 0  2.8 * sin 90  2.8 MPa 2 2 Y

2. 8

Y1

1 sy

0 τx1y1  ( )sin90  0 * cos90  0 MPa 2

X1

σ min 

=

= 8 2.

sx

σ max

0 0   cos 0  2.8 * sin 90  2.8 MPa 2 2

45o

8 2.

Y1

=

=

2017

89 1126

sx

1 sy

2. 8

X

σmax  2.8 MPa σmin   2.8 MPa

τx1y1  0 MPa

2. 8

Y1

1 sy

X1

Y

8 2.

sx

=

=

45o

8 2.

Y1

=

=

2017

89 1126

sx

1 sy

2. 8

X

2

σ max/min

0 0      2.82   2.8 2  2

σmax  2.8 MPa σmin   2.8 MPa

2. 8

Y1

1 sy

X1

Y

8 2.

sx

=

=

45o

8 2.

Y1

=

=

sx

1 sy

2. 8

X

2017

89 1126

Mencari tegangan geser maksimum gambar salah

00   2   tg 2q   0 2 .8 2q  0 o  q  0 o

σx1 

0 0  cos(0)  2.8 * sin(0)  0 MPa 2 2

σy1 

0 0  cos(0)  2.8 * sin(0)  0 MPa 2 2

tyx = 2.8 txy = 2.8

txy = 2.8

0 τ max  ( )sin(0)  2.8 * cos(0)  2.8 MPa 2

tyx = 2.8 2017

89 1126

σx1  0 MPa

σy1  0 MPa τ max  2.8 MPa

txy = 2.8

txy = 2.8

tyx = 2.8

tyx = 2.8 2017

89 1126