Kuliah 04 - Pengembangan Model Matematik 1.ppt

PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIK SIMULASI RESERVOIR

Jadwal No Tgl

Topik

Sub topik

1

07/2

Pendahuluan

Tujuan & isi kuliah, referensi, evaluasi

2

17/2

Sejarah pemodelan reservoir

Model analog, fisik, analitik, numerik

24/2

Pengembangan model matematik

Sifat fisik batuan & fluida reservoir Persamaan aliran dalam media berpori

03/2

Pengembangan model matematik

Persamaan diffusifitas & aliran fluida dlm media berpori, model 1, 2, 3 fasa, model komposisi Review calculus, pembagian reservoir dlm grid, sistem matrik model reservoir Metoda langsung & iterative

3

4

5

10/3

Penyelesaian model matematik dgn metoda numerik

6

17/3

Metoda penyelesaian persamaan aljabar linear

7

24/3

8

31/3

-”UTS

-”-

PEMBAHASAN ► Persamaan

diffusifitas & aliran fluida dlm media berpori, ► Model aliran fluida 1, 2, & 3 fasa, Model komposisi

HUKUM KEKEKALAN MASSA

(mass in – mass out)c + (sink/source)c = (mass accumulated)c

Kekekalan Massa 1 Fasa 1 Dimensi qm

Flow in

Flow out

x

x 2

x

x 2

x

mi | wi |

x x 2

x x 2

mo |

x x 2

t  wo |

 ms | x  ma

x x 2

t  qm Vb t  Vb mv |t  t mv |t 

Kekekalan Massa 1 Fasa 1 Dimensi     mx | x mx | x  Ax t  qm t  Vb  mv |t t mv |t  x x 2 2    mx | x mx | x  x x  m | mv |t   2 2   Ax x  qm  Vb  v t t    x  t    

    mx Vb  qm  Vb  mv  x t 

q    mx    mv   m x t Vb

qm      u x      x t Vb

Multi Dimensi   mi  m x Ax | x  m y Ay | y  m z Az | z  t x y z 2 2 2     mo  m x Ax | x  m y Ay | y  m z Az | z  t x y z 2 2 2        u x Vb  u y Vb  u z Vb  Vb    Vb qm x y z t

  ulx    uly    ulz                x  Bl  y  Bl  z  Bl  t  Bl Bl = lsc/l qm = ｓｃqｓｃ

   qlsc 

 ul          B    t   B    qlsc l  l   

Persamaan Aliran Multifasa ► Black

Bo 

Oil Model [Vo  Vdg ]RC [Vo ]STC

 f ( po )

[Vw ]RC Bw   f ( pw ) [Vw ]STC Bg 

[Vg ]RC [Vg ]STC

 f ( pg )

Vdg  Rs     f ( po )  Vo  STC

1  o   o   dg   oSTC  Rs  gSTC  Bo 1  wSTC  w  Bw 1  gSTC  g  Bg

Persamaan Aliran Multifasa ► Multifasa

 dalam pori-pori batuan terdapat lebih dari satu fasa

So  S w  S g  1 ► Persamaan

Kekekalan massa

  l   ml   qlm    m t

Persamaan Aliran Multifasa ► OIL

 o   ou o m mo   oS o

qo 

qom

 oSTC

 1   1      u o    So   qo  Bo  t  Bo 

Persamaan Aliran Multifasa ► WATER

 w   wu w m mw   wS w  1   1      u w    S w   qw  Bw  t  Bw 

Persamaan Aliran Multifasa ► GAS

 g   g u g   dg u o m

mg    g S g   dg So 

qom

 g  qmfg  qom Rs   o

   qmfg  qo Rs  gSTC  STC

 Rs     Rs  1 1     uo  u g     So  S g    q fg  Rs qo B  t   B  B B  o g o g     

Persamaan Darcy u

k



ul  

p  Z 

k rl k

l

pl   l Z 

Satu fasa

Multifasa

Persamaan Diffusifitas 

 u x      x t

Untuk slightly compressible fluid

u

k p  x

   exp c f  p  p

1  dV  1 d   c    V  dp T  dp

o

o



Definisi formation volume factor

 Bo 1 2 o o o 2   exp c f  p  p   1  c f  p  p   c f  p  p    o  B 2! Bo B 1  c f p  po





   o 1  cr  p  p o 

   u x     x t k p u  x 1  dV  1 d   c    V  dp T  dp

  k p           x   x  t k  2 p k p      2  x  x x t

k  2 p k  p    p      2  x   x  p p t 2

 2 p c p  2 x k t

Persamaan Diffusifitas 1-D

 2 p c p  2 x k t

2-D

 2 p  2 p c p  2  2 x y k t

radial

1   p  c p   r r  r  k t

Gas Flow pM  ZRT

   u x      qm x t

 pM k    pM     p       qm t  ZRT   ZRT   p1     p  RT 1    p   qm   Z   k t  Z  M k p1     p  RT 1    p   qm   Z   k t  Z  M k 2 pp  p 2

d 2Z   p  2ZRT  2 2  p  2 ln( Z ) (p )  qm   dp k t  Z  M k 2

2

Gas Flow   p  pc p   t  Z  Z t 1 d c  dp

 p  2

2

T

1 1 dp   p Z dZ

c p 2 k

2ZRT   qm t M k

Persamaan Aliran Multifasa   So    qo   o po   oz    t  Bo    S w    qw   w pw   wz    t  Bw     Rs So S g     Rs o po   oz   g p g   g z       q fg  Rs qo  t   Bo Bg  





So  S w  S g  1

Pcow  po  pw Pcog  p g  po

Model Komposisi  ko  o  kg g k  w w   Coj po   oz   C gj p g   g z  Cwj pw   wz       o g w     S o  oCoj  S g  g C gj  S w  wCwj  t





 3 ki  i   3      Cij pi   i z     Si i Cij    i 1 i  t  i 1

Kondisi Awal + Batas ► Kondisi

Awal

 Diperlukan pada persamaan yang berubah terhadap waktu  Suatu harga pada saat t = 0 ► Kondisi

Batas Batas luar Batas dalam

Kondisi Awal + Batas ► Kondisi

Batas

 Dirichlet problem  tekanan di batas p = pe

p = pe

p = pe p = pwf

p = pe

Kondisi Awal + Batas ► Kondisi

Batas

 Neumann problem  gradien tekanan di batas

No flow

No flow

2rw kh p q  r r rw

No flow

p q  r r  rw 2rw kh No flow

Kondisi Awal + Batas ► Gabungan

p = pe

p = pe

p = pe p = pwf No flow No flow

No flow