Klasowka Planimetria

Praca klasowa nr 6 – zakres rozszerzony Planimetria Zadanie 1 W trójkącie ABC dane są: AB = 8, BC = 10 oraz ∠ABC = 60 o. a) b) c) d)

Oblicz długość boku AC . Sprawdź, czy dany trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny. Oblicz długość okręgu opisanego na trójkącie ABC . Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC .

Zadanie 2 Dany jest okrąg O o środku w punkcie S (− 2, 3) i promieniu r = 5. a) Sprawdź, czy punkt A(− 1, 5) należy do okręgu O. b) Napisz równanie okręgu, którego środkiem jest punkt P(4, 0) , stycznego zewnętrznie do okręgu O.

Zadanie 3 Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe 72 3 . Oblicz długości podstaw tego trapezu, wiedząc, że jego ramię jest nachylone do podstawy pod kątem 60 o.

Zadanie 4 Obrazem odcinka AB o końcach A(− 2, 5) i B(1, 4) w pewnej jednokładności jest odcinek CD o końcach C (− 4, − 2 ) i D(2, − 4) . Oblicz współrzędne środka i skalę tej jednokładności.

Zadanie 5 Udowodnij, że suma długości promieni koła wpisanego i koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa średniej arytmetycznej długości przyprostokątnych.

Model odpowiedzi i schemat oceniania pracy klasowej nr 6 – zakres rozszerzony Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 21 + 3 Numer zadania

Etapy rozwiązania zadania a) Zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia długości boku AC: AC = 2 21

1.

2.

Liczba punktów 1

b) Uzasadnienie, że trójkąt jest ostrokątny c) Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC: R = 2 7

2

c) Obliczenie długości okręgu opisanego na trójkącie ABC: 4 7π

1

d) Obliczenie pola trójkąta ABC: P = 20 3 d) Obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC i zapisanie go w postaci r = 3 3 − 7 a) Sprawdzenie, że punkt A należy do okręgu O b) Obliczenie promienia okręgu stycznego zewnętrznie o środku w punkcie P: r=2 5

1

2

b) Zapisanie równania okręgu: ( x − 4 ) + y 2 = 20 Sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami:

1

2 1 1

1

1

3. Zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie warunku a + b = 2c Wyznaczenie wysokości h w zależności od c: h =

a−b c = 2 2 Obliczenie długości ramienia trapezu: c = 12 Obliczenie długości podstaw trapezu: a = 18, b = 6 Obliczenie długości odcinków AB i CD oraz podanie skali jednokładności: AB = 10 , CD = 2 10 , k = −2 lub k = 2 Uwaga: Jeżeli uczeń rozpatrzy tylko jeden przypadek, to przyznajemy 1 punkt.  2  Wyznaczenie środka jednokładności: S (0, 12) lub S  − , 2   3  Uwaga: Jeżeli uczeń rozpatrzy tylko jeden przypadek, to przyznajemy 1 punkt.

Zauważenie, że

4.

c 3 2

1

1 1 1 1 2

2

Sporządzenie rysunku i zapisanie tezy twierdzenia: R + r =

a+b 2

1 5.

c Zauważenie związków: R = , c = a + b − 2r 2 Uzasadnienie tezy

1 1

Przykładowa ocena pracy klasowej Liczba x uzyskanych x<6 7 ≤ x < 11 punktów Ocena 1 2 Maksymalna liczba punktów: 21 + 2 Autorzy: Agnieszka Kamińska Dorota Ponczek

11 ≤ x < 15

15 ≤ x < 19

19 ≤ x ≤ 21

x > 21

3

4

5

6