Kkt

¨ Ubersicht u ¨ ber Resultate der Klassenk¨ orpertheorie Die Klassenk¨orpertheorie besch¨aftigt sich mit abelschen K¨orpererweiterungen von Zahlk¨orpern (globale Klassenk¨orpertheorie) und von p-adischen Zahlk¨orpern (lokale Klassenk¨orpertheorie). Ihre historischen Wurzeln h¨angen eng zusammen mit der Suche nach einer Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes auf n-te Potenzreste, auch wenn das in ihrer modernen Form nicht mehr offensichtlich ist. Entwickelt wurde die Theorie u ¨ber einen Zeitraum von mehreren Jahrzehnten hinweg u.a. von Hilbert (∼ 1898: Definition des Hilbertschen Klassenk¨orpers via Zerlegungsverhalten von Primidealen), Furtw¨angler, Takagi (1920: Untersuchungen u ¨ber die Beziehung zwischen abelschen Erweiterunˆ gen und Quotienten der Idealklassengruppe), Cebotarev (1926: Beweis des nach ihm benannten Dichtigkeitssatzes), Artin (1927: Beweis des Artinschen ˆ Reziprozit¨atsgesetzes nach Analyse des Cebotarevschen Beweises), Chevalley (1936: Ideletheoretische Formulierung der Klassenk¨orpertheorie), Hasse (∼ 1930: rein algebraischer Zugang u ¨ber die Theorie der einfachen Algebren). Die konzeptionelle Aufbereitung der Resultate wurde abgeschlossen durch den cohomologischen Zugang zu den Haupts¨atzen der Klassenk¨orpertheorie (nach 1950 durch Hochschild, Artin und Tate). Der klassische Zugang beginnt mit der globalen Klassenk¨orpertheorie und benutzt analytische Hilfsmittel, n¨amlich die Theorie der ζ-Funktionen und L-Reihen. Bei dem neueren cohomologischen Zugang beginnt man hingegen mit der lokalen Theorie und benutzt diese zur Herleitung der globalen Resultate. 1. Lokale Klassenk¨ orpertheorie Die folgende einfache Beobachtung kann als das urspr¨ ungliche Schl¨ usselph¨anomen der Klassenk¨orpertheorie angesehen werden: sei L|K eine endliche unverzweigte Galoiserweiterung p-adischer Zahlk¨orper mit Bewertungsringen OL |OK und Primidealen P|p; λ|κ sei die Restk¨orpererweiterung. Dann ist kanonisch G(L|K) ' G(λ|κ). Weil G(λ|κ) zyklisch, erzeugt durch die Potenzierung mit q := ]κ, ist, haben wir also auch einen kanonischen Erzeuger FrobL|K von G(L|K). Dieser ist eindeutig festgelegt durch die Forderung FrobL|K (x) ≡ xq mod P ∀ x ² OL . Wir k¨onnen also einen surjektiven Homomorphismus ( , L|K) : K × ³ G(L|K) (das sog. unverzweigte Normrestsymbol ) durch die Vorschrift (z, L|K) := FrobL|K vp (z)

∀ x ² K×

definieren. Das unverzweigte Normrestsymbol verh¨alt sich sehr nat¨ urlich in K¨orpert¨ urmen, so gilt z.B. falls L|M |K unverzweigte endliche Erweiterungen mit L|K, M |K galoissch sind: (x, L|K) |M = (x, M |K) ∀ x ² K × 1

(z, L|M ) = (NM |K (z), L|K) ∀ z ² M × . Diese Eigenschaften folgen sofort aus der Definition; man beachte, daß nach der letzten Eigenschaft, angewendet f¨ ur L = M , gilt: NL|K (L× ) ⊂ ker( , L|K). Dies erkl¨art den Namen ”Normrestsymbol”. Es ist nicht so einfach zu sehen, daß (K × : NL|K (L× )) = [L : K] gilt, also Gleichheit in obiger Inklusion vorliegt. Demnach induziert das unverzweigte Normrestsymbol einen kanonischen Isomorphismus zwischen den Gruppen K × /NL|K (L× ) und G(L|K). Es ist nun ein hochgradig nichttriviales Unterfangen, die Definition des Normrestsymbols von den unverzweigten Erweiterungen auf beliebige abelsche Erweiterungen L|K ”fortzusetzen”. In der ”klassischen Periode” geschah dies auf ziemlich undurchsichtige Weise, als Nebenprodukt der globalen Klassenk¨orpertheorie. Bei der moderneren algebraischen Herangehensweise benutzt man dazu die Galoiscohomologie der lokalen K¨orper, oder auch die Theorie der zentraleinfachen Algebren u ¨ber lokalen K¨orpern. In keinem dieser F¨alle jedoch erh¨alt man noch eine so explizite Beschreibung des Normrestsymbols wie im unverzweigten Fall. (Der expliziteste Zugang, die Lubin-Tate-Theorie, benutzt auf raffinierte Weise die Theorie der formalen Gruppen.) Das Hauptresultat der lokalen Theorie lautet jedenfalls: Lokales Reziprozit¨ atsgesetz: Sei L|K eine endliche abelsche Erweiterung von p-adischen Zahlk¨ orpern. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus ∼ =

( , L|K) : K × /NL|K (L× ) −→ G(L|K). Falls M |K eine Zwischenerweiterung ist, so gilt: (¯ z , L|M ) = (NM |K (z), L|K) ∀ z ² M × , und (beachte, daß M |K galoissch ist) (¯ x, L|K) |M = (¯ x, M |K) ∀ x ² K × . Aus diesem Hauptsatz der lokalen Klassenk¨orpertheorie ergibt sich dann (auf ganz formale Weise) eine inklusionsumkehrende 1-1-Beziehung zwischen den abelschen Erweiterungen eines p-adischen Zahlk¨orpers K, und den Normenuntergruppen solcher Erweiterungen in K × . Man kann nun genau sagen, welche Untergruppen von K × dabei auftreten, und erh¨alt dadurch eine vollst¨andige Klassifikation aller endlichen abelschen Erweiterungen eines p-adischen Zahlk¨orpers: Lokaler Existenzsatz: Zu einer Untergruppe U ⊂ K × existiert genau dann eine endliche abelsche Erweiterung L|K mit U = NL|K (L× ), wenn U abgeschlossen und der Index (K × : U ) < ∞ ist. Der K¨ orper L ist dabei eindeutig bestimmt und es ist nach dem Reziprozit¨ atsgesetz K × /U ∼ = G(L|K). 2

Was besagen nun diese S¨atze f¨ ur die Galoisgruppe Gab K der maximalen abelab schen Erweiterung K |K? Jedenfalls liefern die Normrestsymbole f¨ ur die end¨ lichen abelschen Erweiterungen durch Ubergang zum projektiven Limes einen stetigen Gruppenhomomorphismus ( ; K) : K × −→ Gab K, das sog. universelle lokale Normrestsymbol. Es ist nicht surjektiv (projektive Limites sind nicht rechtsexakt), aber man kann relativ leicht zeigen, daß sein Bild dicht in Gab K liegt, und sein Kern (der Durchschnitt aller abgeschlossenen Untergruppen von endlichem Index in K × ) 0 ist. Es ist nun sehr naheliegend, (1) nach den Bildern der Untergruppen UK , UK von K × zu fragen. Da diese kompakt sind, liefert das universelle Normrestsymbol Isomophismen dieser Gruppen auf abgeschlossene Untergruppen von Gab K . Es zeigt sich, daß dadurch der verzweigte Anteil von K ab |K beschrieben wird: (1)

Satz: Das universelle lokale Normrestsymbol bildet die Untergruppen UK , UK ab von K × isomorph auf die Tr¨ agheitsuntergruppe TK bzw. die Verzweigungsunab ab tergruppe VK von GK ab. Insbesondere ist eine endliche abelsche Erweiterung L|K unverzweigt gdw. UK ⊂ NL|K (L× ), rein verzweigt gdw. hNL|K (L× ); UK i = (1) K × und rein wild verzweigt gdw. hNL|K (L× ); UK i = K × . (Tats¨achlich gilt ein sehr viel genauerer Satz; die Filtrierung von UK durch (n) die Einheitengruppen UK korrespondiert via universellem Normrestsymbol mit ab der Filtrierung von TK durch die h¨oheren Verzweigungsgruppen in der gef¨ urchteten oberen Numerierung). 2. Globale Klassenk¨ orpertheorie Sei L|K endliche abelsche Erweiterung von Zahlk¨orpern, p eine nichtarchimedische, in L unverzweigte Primstelle von K. Dann ist die sind die Bemerkungen am Beginn von Abschnitt 1 auf die Komplettierungen LP |Kp , wobei P eine Primstelle von L u ¨ber p ist, anwendbar. Weiter ist die Zerlegungsgruppe GP (L|K) ∼ = G(LP |Kp ) von der Wahl der Stelle P von L u ¨ber p unabh¨angig, und wir fassen FrobLP |Kp als Element in G(L|K) auf. Als solches ist es eindeutig charakterisiert durch die Bedingnung FrobLP |Kp (x) ≡ xq mod P ∀ x ² OL , wobei q die Ordnung des Restklassenk¨orpers OK /p ist. Allgemeiner liefert die lokale Theorie f¨ ur jede nichtarchimedische Stelle p Homomorphismen ( , LP |Kp ) : Kp× −→ G(L|K) mit Bild GP (L|K). Diese sind von der Auswahl der Stelle P|p unabh¨angig. Ferner definiert man an den archimedischen Stellen f¨ ur den einzigen nichttrivialen Fall LP = C, Kp = R: (x, LP |Kp ) ist die komplexe Konjugation f¨ ur x < 0 und trivial f¨ ur x > 0. 3

Es gelten folgende tiefliegende Ergebnisse, die grundlegend f¨ ur die Entwicklung der globalen Theorie sind: (1) Jedes Element σ ² G(L|K) ist in einer Zerlegungsgruppe GP (L|K) enthalten. (Tats¨achlich ist es sogar Frobeniuselement an unendlich vielen unverzweigten Stellen!!!)1 (2) Ist x ² K × , so gilt Y (x, LP |Kp ) = 1, p

wobei der Index u ¨ber alle archimedischen und nichtarchimedischen Stellen von K l¨auft.2 Analog zur lokalen Klassenk¨orpertheorie besteht das Hauptziel der Untersuchungen nun darin, die Galoisgruppe G(L|K) als Bild eines kanonischen Homomorphismus zu beschreiben, der auf einer Gruppe definiert ist, die sich ”direkt” aus dem Grundk¨orper K ableitet. Nach (1) liegt es nahe, dazu die Gesamtheit der lokalen Normrestsymbole zu verwenden; hingegen zeigt (2) daß die multiplikative Gruppe des K¨orpers selbst eine ganz andere Rolle spielen muß ¨ als in der lokalen Theorie. Diese heuristische Uberlegung f¨ uhrt zwangsl¨aufig auf Q Kp , die Definition der Idelegruppe IK als der maximalen Untergruppe von p

auf der das Produkt der lokalen Normrestsymbole wohldefiniert ist, n¨amlich IK := {(ap ) ²

Y

ur fast alle p}. Kp× |ap ² Up f¨

p

In diesem Kontext zeigt nun Bemerkung (2), daß die Produktabbildung ( , L|K) :=

Y

( , LP |Kp ) : IK ³ G(L|K)

p

auch noch auf dem Quotient CK := IK /{(ap ) ² IK |ap = aq ² K × ∀ p, q} wohldefiniert ist (die herausdividierte Untergruppe ist gerade das Bild von K × unter der ”diagonalen” Einbettung nach IK ). Dieser Quotient ist die sog. Idelklassengruppe. Zur pr¨azisen Formulierung des globalen Reziprozit¨atsgesetzes ben¨otigen wir nun noch einige einfache Definitionen und Beobachtungen. Ist L|K eine endliche Galoiserweiterung von Zahlk¨orpern, so operiert G(L|K) in kanonischer Weise ˆ Aussage steht in Beziehung zu dem Cebotarev’schen Dichtigkeitssatz, f¨ ur dessen Beweis analytische Hilfsmittel herangezogen werden m¨ ussen. F¨ ur die Herleitung des globalen Reziprozit¨ atsgesetzes reicht eine abgeschw¨ achte Form dieses Satzes aus, die mit rein algebraischen Methoden beweisbar ist. 2 Diese Aussage ist als direkte Verallgemeinerung des quadratrischen Reziprozit¨ atsgesetzes √ ur eine anzusehen, das man durch eine explizite Analyse des Spezialfalls K = , L = ( p) f¨ ungerade Primzahl p erh¨ alt. 1 Diese

Q

4

Q

auf IK : man definiert f¨ ur a²IL , σ²G(L|K) das Element σa²IL komponentenweise durch (σa)P := σ((a)σ−1 P ). Ferner induzieren f¨ ur P|p die ”diagonalen” Einbettungen Y

Kp× ,→

L× σP

σ²G(L|K)

eine Einbettung IK ,→ IL , und man pr¨ uft leicht, daß IK dadurch mit dem G(L|K) identifiziert wird. Schließlich u ¨berpr¨ uft man, daß die OperaFixmodul IL tion von G(L|K) auf IL eine Operation auf CL = IL /L× bewirkt, und daß die G(L|K) kanonische Abbildung CK → CL ebenfalls injektiv, mit Bild CL ist. Wir k¨onnen daher auch von der Normabbildung NL|K : CL → CK sprechen: wende alle Elemente der Galoisgruppe an, bilde das Produkt; dieses bleibt fest unter der Operation der Galoisgruppe, und kann daher mit einem Element von CK identifiziert werden. Es gilt folgender Satz: Artinsches Reziprozit¨ atsgesetz: Sei L|K eine endliche abelsche Erweiterung von Zahlk¨ orpern. Dann besteht ein kanonischer Isomorphismus ∼ =

( ; L|K) : CK /NL|K CL −→ G(L|K). Dieser ist induziert durch das Produkt aller lokalen Normrestsymbole. Falls M |K eine Zwischenerweiterung ist, so gilt: ((a), L|M ) = (NM |K ((a)), L|K) ∀ (a) ² IM , und (beachte, daß M |K galoissch ist) ((b), L|K) |M = ((b), M |K) ∀ (b) ² IK .

Was die Klassifikation der abelschen Erweiterungen betrifft, so zeigt sich, Q × daß hierf¨ ur die durch die Produkttopologie auf Kp induzierten Topologien p

auf IK bzw. CK ungeeignet sind. Vielmehr setzt man f¨ ur eine beliebige endliche Menge S von Primstellen S IK :=

Y

Kp× ×

p²S

Y

Up ,

p²|S

betrachtet hierauf die Produkttopologie, und topologisiert IK durch die kanonische Identifikation S IK ∼ IK . = lim −→ S

5

(Die daraus entstehende Q Topologie auf IK ist offenbar feiner als die Teilraumtopologie bez¨ uglich p Kp× .) Dies induziert eine Topologie auf CK ; man kann zeigen, daß CK so zu einer lokal kompakten, hausdorffschen topologischen Gruppe wird. Es gilt bez¨ uglich dieser Topologie: Globaler Existenzsatz: Zu einer Untergruppe U ⊂ CK existiert genau dann eine endliche abelsche Erweiterung L|K mit U = NL|K (CL ), wenn U abgeschlossen und der Index (CK : U ) < ∞ ist. Der K¨ orper L ist dabei eindeutig × bestimmt und es ist nach dem Reziprozit¨ atsgesetz CK /U ∼ = G(L|K). Dadurch ist eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen den abgeschlossenen Untergruppen von endlichem Index in CK und den endlichen abelschen Erweiterungen von K gegeben. Ferner liefern die Vertr¨aglichkeitseigenschaften der globalen Reziprozit¨atsabbildung im projektiven Limes (analog zur lokalen Situation) einen kanonischen Homomorphismus ( ; K) : CK −→ Gab K in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung des K¨orpers K, das ¨ sogenannte universelle (globale) Normrestsymbol. Uberraschenderweise ist es im globalen Fall surjektiv, aber nicht injektiv. Wie die lokale Klassenk¨orpertheorie schon vermuten l¨aßt, spiegelt sich das Verzweigungsverhalten einer endlichen abelschen Erweiterung L|K in der Lage ihrer Normengruppe in CK wieder. Die Formulierung des Resultats erfordert die Einf¨ uhrung einiger neuer Begriffe. Ein Erkl¨ arungsmodul ist ein formales Produkt m :=

Y

pnp , wobei np ² N ∪ {0}, np = 0 f¨ ur fast alle p,

p

np ² {0; 1} falls p reell, np = 0 falls p komplex. (n )

F¨ ur p nicht-archimedisch habe nun die Bezeichnung UKpp die u ¨bliche Bedeutung, falls np ≥ 1. Per Konvention sei weiter (0)

UKp = UKp f¨ ur p nichtarchimedisch, (1)

(0)

UKp = R>0 , UKp = R× f¨ ur p reell. F¨ ur jeden Erkl¨arungsmodul m setzen wir nun: (n )

m IK := {(ap ) ² IK | ap ² UKpp falls p nichtarchimedisch oder reell}, m m × CK := IK K /K × ⊂ CK . m Man kann zeigen, daß CK stets eine abgeschlossene Untergruppe von endlichem Index ist. Schließlich sagen wir, eine endliche Galoiserweiterung L|K von Zahlk¨orpern sei an einer archimedischen Stelle p von K verzweigt gdw. p reell ist,

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und komplexe Fortsetzungen P in L besitzt. (Komplexe Stellen gelten immer als unverzweigt.) Es gilt folgendes Resultat: Satz: Sei L|K eine endliche abelsche Erweiterung von Zahlk¨ orpern und S eine beliebige endliche Menge von Primstellen von K. Dann ist L|K unverzweigt außerhalb S gdw. die Normengruppe NL|K (CL ) ⊂ CK eine ”Kongruenzunterm gruppe” CK f¨ ur einen Erkl¨ arungsmodul m, dessen Teiler alle in S liegen, enth¨ alt. Mittels der Klassifikation der abelschen Erweiterungen k¨onnen wir dieses Resultat alternativ so formulieren: f¨ ur einen Erkl¨arungsmodul m sei K m die m eindeutig bestimmte endliche abelsche Erweiterung mit Normengruppe CK . (Dies ist der sogenannte Strahlklassenk¨ orper modulo m.) Dann sind alle Stellen von K, die in K m verzweigt sind, Teiler von m. Ist umgekehrt L|K irgendeine endliche abelsche Erweiterung, die nur u ¨ber einer endlichen Menge S von e Primstellen verzweigt ist, so ist sie in einem Strahlklassenk¨orper K m f¨ ur einen e mit Teilern in S enthalten. Wir erhalten also folgendes Erkl¨arungsmodul m Korollar: Korollar: (i )Jede endliche abelsche Erweiterung L|K ist in einem Strahlklassenk¨ orper K m f¨ ur einen geeigneten Erkl¨ arungsmodul m enthalten. (ii )Sei S eine beliebige (nicht notwendig endliche) Menge von Stellen von K. Dann gilt f¨ ur die maximale außerhalb S unverzweigte abelsche Erweiterung KSab von K: [ K ab = K m ; G(K ab |K) ∼ = lim CK /C m . S

S

p|m

−→ p|m

K

⇒p²S

⇒p²S

Dabei sind die Strukturabbildungen des Limes durch die kanonischen Projektioe m m e nen CK /CK ³ CK /CK f¨ ur m|m gegeben. Wir betrachten als letztes den Spezialfall S = ∅, m = 1. Der zugeh¨orige Strahlklassenk¨orper heißt Hilbertscher Klassenk¨ orper, und ist die maximale abelsche Erweiterung K hilb von K, die an allen Stellen unverzweigt ist. Wir sehen insbesondere, daß diese Erweiterung endlich ist. Tats¨achlich gilt: Satz: Sei ClK die Idealklassengruppe von K. F¨ ur die maximale abelsche unverzweigte Erweiterung K hilb von K gibt es dann kanonische Isomorphismen 1 ∼ G(K hilb |K) ∼ = CK /CK = ClK .

Dabei korrespondiert die Idealklasse [p] eines Primideals p von K mit dem Frobeniuselement an der Stelle p in der Zerlegungsgruppe Gp (K hilb |K) ⊂ G(K hilb |K). Beweisskizze: Es ist nach Definition: 1 ∼ 1 CK /CK K ×. = IK /IK

Weiterhin haben wir die kanonische Surjektion Q IK ³ ClK ; (ap ) 7→ [ pvp (ap ) ]. 1 ¨ Eine leichte Uberlegung zeigt, daß diese gerade den Kern IK K × hat.

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Literaturhinweise: [1] Artin, E., Tate, J. Class Field Theory. Benjamin, New York Amsterdam 1967 (Der Klassiker u ¨ber den cohomologischen Zugang zur Klassenk¨orpertheorie. Eine immer noch sehr wertvolle Referenz, aber eher nicht als Einf¨ uhrung geeignet.) [2] Cassels, J.W.S., Fr¨ohlich, A. (Hrsg.) Algbraic Number Theory. Thompson, Washington D.C. 1967 (Groartige Artikel von Serre und Tate, die eine hervorragende, recht knappe Einf¨ uhrung in die Galoiscohomologie und Klassenk¨orpertheorie enthalten.) [3] Neukirch, J. Klassenk¨ orpertheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (Eine besonders u ¨bersichtliche, ausf¨ uhrliche und gut lesbare Einf¨ uhrung in Galoiscohomologie und Klassenk¨orpertheorie.) [4] Serre, J.-P. Corps locaux. Hermann, Paris 1968 (Besch¨aftigt sich ausf¨ uhrlich und tiefsch¨ urfend mit der Arithmetik lokaler K¨orper, inklusive lokaler Klassenk¨orpertheorie.) [5] Lang, S. Algebraic Number Theory. Addison-Wesley 1970 (Enth¨alt moderne Darstellung des klassischen, analytischen Zugangs zur Klassenk¨orpertheorie.) [6] Neukirch, J. Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin Heidelberg 1992 (Enth¨alt einen alternativen Zugang zur Klassenk¨orpertheorie, in der der cohomologischen Formalismus auf die explizit zug¨anglichen niedrigdimensionalen Cohomologiegruppen ”heruntergekocht” ist.) [7] Lorenz, F. Einf¨ uhrung in die Algebra. 2Bde. Spektrum Akad. Verl. 1997 (Der zweite Band enth¨alt eine Darstellung der lokalen Klassenk¨orpertheorie mittels der Brauergruppe eines lokalen K¨orpers.) [8] Neukirch, J., Schmidt, A., Wingberg, K. Cohomology of Nunber Fields. Springer, Berlin Heidelberg 2000 (Geht ausf¨ uhlich auf die weiterf¨ uhrende cohomologische Theorie der lokalen und globalen K¨orper ein.)

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