Kk Math Keputusan.docx

ISI KANDUNGAN

PERKARA

MUKA SURAT

PENGHARGAAN

2

PENGURUSAN GRAFIK

3

PENYELESAIAN MASALAH

4

RUJUKAN

25

1

PENGHARGAAN Bismillahirahmanirahim, Alhamdulillah segala puji bagi Allah swt kerana dengan nikmat yang dikurniakan, saya dapat menjalankan tugasan-tugasan yang diberikan dengan baik. Berkat dan rahmat daripadaNya membantu saya dan rakan rakan seperjuangan membuat persediaan emosi dan fizikal yang lancar dalam tempoh yang diberikan. Sekalung penghargaan ditujukan khas buat Cik Oon atas segala usaha dan tungkus lumus beliau dalam menghasilkan soalan tugasan algebra kepada kami. Bimbingan yang tidak putus-putus diberikan dari hari pertama kerja kursus ini diedarkan sehinggalah saat saat penyerahan tugasan amatlah membantu dalam penyiapan hasil kerja yang baik. Setinggi-tinggi penghargaan juga diucapkan kepada ibu bapa yang tersayang kerana sentiasa memberikan sokongan kudrat dan bantuan emosi tanpa mengira waktu sekalipun sepanjang proses penyiapan kerja kursus ini. Bantuan ilmu, didikan serta kewangan dalam menyiapkan tugasan ini memang wajar dihargai kerana tanpa ibu bapa siapalah yang akan menyokong dengan sempurna seperti mereka. Ucapan penghargaan juga ditujukan khas buat rakan rakan yang terlibat dalam menjayakan penghasilan kerja kursus Algebra ini. Inspirasi dan kata kata semangat serta perkongsian ilmu yang sungguh bermanfaat membantu memperbaiki cacat cela yang terdapat dalam tugasan tugasan yang dilakukan.

2

PENGURUSAN GRAFIK KONSEP PENGATURCARAAN LINEAR

3

PENYELESAIAN MASALAH 1. SOALAN Seorang petani mempunyai 20 ekar tanah untuk menanam bayam dan sawi. Kos seekar bayam ialah RM30 dan kos seekar sawi adalah RM20. Si petani mempuanyi modal sebanyak RM480. Bayam memerlukan satu pekerja sehari untuk mengerjakan seekar tanah manakala sawi memerlukan 2 pekerja sehari untuk mengerjakan seekar tanah. Jumlah pekerja sehari si petani ialah 36 orang. Keuntungan seekor bayam dan sawi ialah RM100 dan RM120 masing-masing. Selesaikan masalah memaksimumkan keuntungan si petani dengan kaedah pengurusan grafik dan kaedah simpleks.

2. MENGELUARKAN MAKLUMAT Bagi menyelesaikan masalah ini, saya akan menggunakan beberapa perwakilan dan persamaan mengikut kehendak soalan. Oleh itu, berikut merupakan beberapa langkah pengenalpastian pemboleh ubah keputusan, persamaan fungsi objektif dan kekangan yang akan digunakan bagi menyelesaikan masalah ini. 

PEMBOLEH UBAH KEPUTUSAN:

Pembinaan persamaan adalah berpandukan kepada maklumat-maklumat yang diberi. Oleh kerana kesemua masalah ini akan berkaitan dengan dua pemboleh ubah yang tidak bersandar iaitu ekar bayam dan ekar sawi, saya akan menggunakan pemboleh ubah keputusan untuk mewakilkan seekar tanah untuk bayam dan sawi dengan perwakilan 𝑥1 dan 𝑥2. . Andaikan 𝑥1 mewakili seekar bayam 𝑥2 mewakili seekar sawi

4



KEKANGAN Untuk mencari bilangan pekerja yang ada, saya mengambil kira bilangan pekerja yang

diperlukan bagi tiap-tiap sayuran. Oleh kerana sayur bayam memerlukan 1 pekerja sehari, maka pekali yang digunakan bagi 𝑥1 ialah 1. Manakala bagi sayur sawi, pekali 𝑥2 ialah 2 kerana pekerja yang diperlukan adalah 2. Jumlah kesemua pekerja ini haruslah kurang ataupun sama dengan 36 untuk membantu mendapatkan keuntungan yang optimum. Oleh itu, ketaksamaan yang dibina adalah jumlah pekerja bagi bayam dan sawi harus tidak melebihi 36 orang seperti yang ditunjukkan di bawah; 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎: 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 36 Maksimum tanah yang digunakan haruslah berpandukan tanah sedia ada, iaitu sebanyak 20 ekar. Oleh kerana tidak dinyatakan sebarang peraturan untuk pembahagian tanah bagi bayam dan sayur, saya menganggap bahawa pembahagian ekar tanah bagi sayuran ini akan menggunakan pekali yang sama iaitu 1. Oleh itu, jumlah ekar sawi dan ekar bayam haruslah tidak melebihi tanah sedia ada iaitu hanya sehingga 20 ekar tanah. Maka, ketaksamaan yang dapat dibina adalah 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎ℎ𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑒𝑘𝑎𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑎ℎ ∶ 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 Mengira keuntungan juga harus melihatkan kepada jumlah kos yang digunakan. Oleh kerana kos seekar bayam menggunakan modal sebanyak RM30, maka pekali untuk 𝑥1 adalah 30. Modal untuk seekar sawi ialah RM20, maka pekali untuk 𝑥2 adalah 20. Jumlah kos kedua-dua sayuran ini hanya akan dihadkan sehingga RM480 disebabkan oleh petani hanya akan menggunakan modal sebanyak RM480. Disebabkan itu, satu ketaksamaan dapat dibina seperti dibawah; 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑘𝑜𝑠 ∶ 30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480 Berdasarkan maklumat tersebut juga, dapat dilihat bahawa setiap sayuran akan memberikan keuntungan yang berbeza. Keuntungan bagi bayam adalah RM100 dan RM120 bagi keuntungan seekar sawi. Maka saya akan gunakan nilai 100𝑥1 dan 120𝑥2 dalam pengiraan mencari keuntungan seperti persamaan di bawah 𝐾𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 = 100𝑥1 + 120𝑥2 

FUNGSI OBJEKTIF 5

Oleh sebab kita ingin memaksimumkan keuntungan, maka persamaan bagi mencari untung akan dijadikan sebagai fungsi objektif, z. Manakala, setiap maklumat yang menjadi faktor kepada pengiraan untung ini akan diambil sebagai kekangan. Maka, akan terhasil satu ketaksamaan fungsi seperti yang ditunjukkan di bawah; 𝑧 = 100𝑥1 + 120𝑥2 Berkekangan dengan 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 36 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480 3. PENYELESAIAN MASALAH a. KAEDAH PENGURUSAN GRAFIK Untuk mendapatkan penyelesaian secara grafik, saya membuat interpretasi pengiraan maksimum keuntungan dengan menggunkan perwakilan grafik berbentuk graf. Oleh sebab persamaan bagi keuntungan sudah dikenal pasti, maka saya akan jadikan persamaan ini sebagai fungsi objektif. 𝑧 = 100𝑥1 + 120𝑥2 Berkekangan dengan 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 36 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480 Kekangan-kekangan ini akan diplotkan pada graf untuk melihat kawasan dan persempadanan antara kesemua kekangan (Foot, H. L., & Kien, C. Y., 2013). Oleh itu, setiap garisan yang dibina akan menggunakan persilangan pada paksi x dan y atas sebab semua nilai adalah positif dalam kes ini.

6

i. 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟔

Tukarkan ketaksamaan kepada bentuk persamaan am ; Ketaksamaan linear

Persamaan linear

𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 36

𝑥1 + 2 = 36

Andaikan 𝑥1 = 0 0 + 2𝑥2 = 36 𝑥2 = 18 Andaikan 𝑥2 = 0 𝑥1 + 2(0) = 36

𝒙𝟏

𝒙𝟐

0

18

36

0

𝑥1 = 36

Apabila diplot pada graf, garisan yang terbentuk adalah seperti graf di bawah. Oleh kerana ketaksamaan ini adalah kurang dan sama dengan, maka garisan tebal digunakan. Kawasan yang berwarna adalah di bawah garisan penuh ini.

7

i.

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎

Tukarkan ketaksamaan kepada bentuk persamaan am ; Ketaksamaan linear

Persamaan linear

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎

Andaikan 𝑥1 = 0 𝟎 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 𝑥2 = 20 Andaikan 𝑥2 = 0

𝒙𝟏

𝒙𝟐

0

20

20

0

𝑥1 + (0) = 20 𝑥1 = 20

Apabila diplot pada graf, garisan yang terbentuk adalah seperti graf di bawah. Oleh kerana ketaksamaan ini adalah kurang dan sama dengan, maka garisan tebal digunakan. Kawasan yang berlorek adalah di bawah garisan tebal ini.

8

i.

30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480

Tukarkan ketaksamaan kepada bentuk persamaan am ; Ketaksamaan linear

Persamaan linear

30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480

30𝑥1 + 20𝑥2 = 480

Andaikan 𝑥1 = 0 30(0) + 20𝑥2 = 480 𝑥2 =

480 20

𝑥2 = 24

𝑥1

𝑥2

0

24

16

0

Andaikan 𝑥2 = 0 30𝑥1 + 20(0) = 480 𝑥1 =

480 30

𝑥1 = 16

Apabila diplot pada graf, garisan yang terbentuk adalah seperti graf di bawah. Oleh kerana ketaksamaan ini adalah kurang dan sama dengan, maka garisan tebal digunakan. Kawasan yang berlorek adalah di bawah garisan tebal ini.

9

i.

Titik optimum

Garisan-garisan yang terbentuk ini akan dicantumkan dalam satu paksi graf yang sama dan akan membentuk graf dengan lorekkan rantau tersaur yang memuaskan semua ketaksamaan yang diberi.

Untuk mencari titik optimum bagi keuntungan yang dicari, rantau haruslah ditentukan dengan cara mencari kawasan berlorek yang memenuhi kehendak ketaksamaan bagi kesemua kekangan. Kawasan ini mestilah kawasan yang bertindan kawasan lorekkannya. Sesuatu rantau tersaur dikatakan memuaskan ketaksamaan linear jika setiap titik dalam rantau tersaur itu merupakan nilai tersaur(Yezerski, A, 1974). Oleh itu, rantau tersaur yang memuaskan ketaksamaan linear yang telah dikenal pasti adalah kawasan yang berwarna biru muda ini.

10

B C D

A E

PENENTUAN NILAI OPTIMUM AX + BY DI BAWAH KEKANGAN TERTENTU Titik optimum dapat ditentukan di antara korrdinat yang menjadi bucu bagi kawasan yang terbentuk ini. Secara mata kasar, dapat kita menganggarkan titik persilangan antara garisangarisan ini. Namun, adalah lebih baik untuk memastikannya dengan menggunakan rumus mencari titik persilangan dengan kaedah persamaan serentak. 

Titik A boleh didapati secara jelas pada origin graf iaitu (0,0).



Titik B adalah y-intersep bagi garisan ketaksamaan 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 36 iaitu (0,18)



Titik C adalah persilangan antara garisan 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 36 dan 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20.

-

1𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 36 1𝑥1 + 1 𝑥2 ≤ 20 0𝑥1 + 1 𝑥2 ≤ 16 𝑥2 ≤ 16

Jika 𝑥2 = 16, maka 𝑥1 + 16 = 20 𝑥1 = 4 Titik C (4,16)

1. Titik D adalah persilangan antara garisan 30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480 dan 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20. (1𝑥1 + 1 𝑥2 ≤ 20)x30

11

30𝑥1 + 30 𝑥2 ≤ 600 30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480 0𝑥1 + 10 𝑥2 ≤ 120 𝑥2 ≤ 12 Apabila 𝑥2 = 12, 𝑥1 + (12) = 20 𝑥1 = 8 D(8,12) 2. Titik E adalah titik persilangan garis dengan paksi x. Hal ini bermakna nilai 𝑥2 = 0 𝟑𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎(𝟎) ≤ 𝟒𝟖𝟎 𝑥1 = 16 E (16,0) TITIK OPTIMUM (𝑥1 , 𝑥2 )

𝑧 = 100𝑥1 + 120𝑥2

NILAI Z

A(0,0)

𝑧 = 100(0) + 120(0)

0

B(0,18)

𝑧 = 100(0) + 120(18)

2160

C(4,16)

𝑧 = 100(4) + 120(16)

2320

D(8,12)

𝑧 = 100(8) + 120(12)

2240

E (16,0)

𝑧 = 100(16) + 120(0)

1600

Berdasarkan titik optimum ini, dapat dikenalpasti bahawa nilai z terbesar yang diperolehi adalah 2320 iaitu pada C(4,16). Jika diperlihatkan semula pada perwakilan ini, 4 adalah bilangan ekar bayam, dan 16 adalah bilangan ekar sawi. Hal ini bermakna penggunaan 4 ekar bayam dan 12 ekar sawi akan menjadikkan penggunaan maksimum 20 ekar tanah yang disediakan oleh petani. Bagi penyelesaian pengaturcaraan linear ini, kaedah grafik yang dibina adalah menggunakan bantuan aplikasi Microsoft Excel. Hal ini adalah untuk melihat secara visual dan turut dibantu dengan bantuan ICT bagi mendapatkan penjelasan yang kemas dan tersusun.

12

b. KAEDAH SIMPLEKS

Berikut merupakan beberapa peraturan penyelesaian kaedah simpleks menurut F.A. Ficken (2015).; 1. 2 atau lebih pembolehubah keputusan dan kekangan mestilah  KETAKSAMAAN

PBU YANG DITAMBAH PADA KEKANGAN

≤

+ slack (-S)

2. Syarat pengoptimuman simpleks Masalah pemaksimuman Pembolehubah

asas

yang

Masalah peminimuman masuk Pembolehubah asas yang masuk

mempunyai pekali paling negatif pada mempunyai pekali paling positif baris z

pada baris z

Penyelesaian optimum diperoleh jika Penyelesaian optimum diperoleh kesemua pekali pembolehubah bukan jika kesemua pekali pembolehubah asas pada baris z bukan negatif

bukan asas pada baris z bukan positif

Oleh kerana penyelesaian masalah ini adalah ingin mencari keuntungan, maka fungsi objektif yang dibina adalah persamaan mencari keuntungan maksimum, z. Max 𝑧 = 100𝑥1 + 120𝑥2 Berkekangan dengan 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 36 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 30𝑥1 + 20𝑥2 ≤ 480

13

Oleh kerana kekangan satu, dua dan tiga kesemuanya menggunakan simbol ≤ dalam ketaksamaan, maka pia mematuhi peratuan kaedah simpleks satu untuk digunakan. Max 𝑧 = 100𝑥1 + 120𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 Berkekangan dengan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 36 𝑥1 + 𝑥2 + … 𝑆2 = 20 30𝑥1 + 20𝑥2 + ⋯ … 𝑆3 = 480 Menurut Clark, M., & Anfinson, C. (2012). kesemua pemboleh ubah yang dinyatakan ini haruslah diandaikan untuk mempunyai nilai non-negatif disebabkan oleh kita mahu memaksimumkan z. Oleh kerana itu, terbitkan kekangan terakhir bagi pemboleh ubah yang digunakan seperti di bawah; 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑆1 , 𝑆2 𝑑𝑎𝑛 𝑆3 ≥ 0 Daripada kesemua ketaksamaan ini, kita boleh masukkan nilai yang diterbitkan ke dalam jadual permulaan simpleks. Berikut merupakan panduan dan kata kunci bagi elemen di dalam jadual; cj : coefficient objective function (pekali bagi fungsi objektif) bv : basic variable (pemboleh ubah asas) cbj : Coefficient veriable in row (pekali pemboleh ubah baris) zj : Objective function value (nilai fungsi objektif) cj-zj : reduced cost (kos dikurangkan) cj

100

120

0

0

0

cbj

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

Penyelesaian

0

𝑆1

1

2

1

0

0

36

0

𝑆2

1

2

0

1

0

20

0

𝑆3

30

20

0

0

1

480

Jadual permulaan simpleks 14

Selesai memasukkan semua nilai, maka zj dan cj-zj boleh dihitung. cj

100

120

0

0

0

Baris

cb

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

Penyelesaian

1

0

𝑆1

1

2

1

0

0

36

2

0

𝑆2

1

1

0

1

0

20

3

0

𝑆3

30

20

0

0

1

480

zj

0

0

0

0

0

0

cj-zj

100

120

0

0

0

Pengiraan 𝑧𝑗 = ∑(𝑐𝑏𝑖 𝑋 𝑝𝑖) 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥1 ∶ (0x1) + (0x1) + (0X30) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥2 ∶ (0x2) + (0x1) + (0X20) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠1 ∶ (0x1) + (0x0) + (0X0) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠2 ∶ (0x0) + (0x1) + (0X0) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠3 ∶ (0x0) + (0x0) + (0X1) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 ∶ (0x36) + (0x20) + (0X480) = 0 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 = 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥1 = 100 − 0 = 100 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥2 = 120 − 0 = 120 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠1 = 0 − 0 = 0 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠2 = 0 − 0 = 0 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠3 = 0 − 0 = 0

15

Ratio

Keadaan optimaliti: 1. keadaan memaksimumkan : kesemua nilai bagi cj-zj ≤ 0 2. keadaan meminimumkan : kesemua nilai bagi cj-zj ≥ 0 cj-zj

100

120

0

0

0

Oleh kerana kita perlu mencari nilai yang maksimum, maka keadaan yang pertama harus diikut iaitu kesemua nilai bagi cj-zj ≤ 0. Jika dilihat pada cj-zj dalam jadual ini, terdapat dua nilai yang lebih besar daripada 0. Hal ini bermakna, masih terdapat nilai lain yang boleh mendapatkan optimaliti maksimum. Oleh kerana itu, pengiraan simpleks ini akan diteruskan ke lelaran kedua. Langkah untuk masuk ke lelaran kedua adalah dengan mencari lajur kekunci dan baris kekunci pada jadual lelaran 1. Cj

100

120

0

0

0

Baris

cbj

Bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

Penyelesaian

1

0

𝑆1

1

2

1

0

0

36

2

0

𝑆2

1

1

0

1

0

20

3

0

𝑆3

30

20

0

0

1

480

Zj

0

0

0

0

0

0

cj-zj

100

120

0

0

0

Ratio

LAJUR KEKUNCI : 120

adalah

nilai

yang

paling

positif

dalam

cj-zj.

Maka

lajur

bagi

𝑥2 dipilih sebagai lajur kekunci. BARIS KEKUNCI: Ratio dikira dengan mengambil nilai pada penyelesaian bahagi dengan nilai bertentangan pada lajur kekunci. Oleh itu, pengiraan dibuat dengan cara seperti berikut: 𝑅𝑖 ∶

Ratio baris 1 :

36 2

𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛𝑖 𝑎𝑖𝑗𝑝

= 18 16

Ratio baris 2 :

Ratio baris 3 :

20 1

= 20

480 20

= 24

Baris kecunci adalah baris yang mempunyai ratio terkecil. Jika dilihat pada ratio dalam jadual ini, baris 1 akan dijadikan baris kekunci kerana 18 adalah ratio yang lebih kecil daripada 20 dan 24. ELEMEN KEKUNCI : Elemen kekunci adalah elemen yang berada dalam persilangan baris kekunci dan lajur kekunci. Jika dilihat dalam jadual ini, elemen kekunci adalah elemen dalam petak berwarna jingga dengan angka 2. Cj

100

120

0

0

0

Baris

cbj

Bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

Penyelesaian

Ratio

1

0

𝑆1

1

2

1

0

0

36

18

2

0

𝑆2

1

1

0

1

0

20

20

3

0

𝑆3

30

20

0

0

1

480

24

Zj

0

0

0

0

0

0

cj-zj

100

120

0

0

0

Daripada langkah ini, dapat kita keluarkan beberapa maklumat seperti; 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 ∶ 𝑥2 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 ∶ 𝑆1 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 ∶ 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑒𝑟𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑗𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 (𝑠1 ) 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 ∶ 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢 (𝑥2 )

17

Lelaran 2: Pemboleh ubah yang dimasukkan akan menggantikan tempat pemboleh ubah yang dikeluarkan. Oleh itu, pada baris keempat, bv baru yang digunakan adalah 𝑥2 . Nilai-nilai yang dimasukkan akan menggunakan rumus seperti di bawah; 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 (𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 4) = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 (𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 1) ÷ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

Baris

cbj

cj

100

120

0

0

0

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

0 ÷2

0 ÷2

= 0

= 0

1 ÷2 4

𝑥2

120

1 = 2

2 ÷2 = 1

1 ÷2 1 = 2

Penyelesaian

Ratio

18

Untuk memasukkan nilai bagi baris 5 dan 6, saya menggunakan rumus seperti di bawah 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 −

Baris

cbj

cj

100

120

0

0

0

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

0𝑋1 1− 2

0𝑋1 0− 2

=1

=0

1𝑋1 2 1 = 2

1− 5

6

0

0

𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑋 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

𝑆2

𝑆3

30 −

1𝑋20 2

= 20

1𝑋1 2 1 =− 2

2𝑋1 1− 2

0−

=0 20 −

2𝑋20 2

0−

=0

1𝑋20 2

= −10

18

0−

0𝑋20 2

=0

1−

0𝑋20 2

=1

Penyelesaian 20 −

36𝑋1 2

=2

480 −

36𝑋20 2

= 120

Daripada pengiraan itu tadi, maka terbentuklah satu jadual lelaran 2 seperti di bawah; Cj

100

120

0

0

0

Baris

cbj

Bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

4

120

𝑥2

1 2

1

1 2

0

0

5

0

𝑆2

1 2

0

−

1 2

1

0

6

0

𝑆3

20

0

-10

0

1

120

Zj

60

120

60

0

0

2160

cj-zj

40

0

-60

0

0

Selepas itu, nilai zj dan cj-zj dikira dengan rumus yang sama: 𝑧𝑗𝑖 = ∑(𝑐𝑏𝑖 𝑋 𝑝𝑗) 1 2

1 2

𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥1 ∶ (120x ) + (0x ) + (0X20) = 60 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥2 ∶ (120x1) + (0x0) + (0X0) = 120 1 2

1 2

𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠1 ∶ (120x ) + (0x − ) + (0X − 10) = 60 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠2 ∶ (120x0) + (0x1) + (0X0) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠3 ∶ (120x0) + (0x0) + (0X1) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 ∶ (120x18) + (0x2) + (0X120) = 2160 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 = 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥1 = 100 − 60 = 40 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥2 = 120 − 120 = 0 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠1 = 0 − 60 = −60 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠2 = 0 − 0 = 0 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠3 = 0 − 0 = 0 19

Penyelesaian 18 2

Ratio

Mengira nilai optimum: cj-zj

40

0

-60

0

0

Oleh kerana masih terdapat nilai positif di dalam cj-zj, hal ini bermakna, keadaan optimal masih belum dicapai. Oleh kerana itu, kita akan pilih nombor ini dan kolumnya sebagai lajur kekunci dan pemboleh ubah 𝑥1 akan dijadikan pemboleh ubah dibawa masuk. Kaedah simpleks ini akan disambung ke lelaran ketiga. Sebelum itu, baris kekunci harus ditentukan dengan mencari ratio yang terkecil antara ratio yang dikira. Ratio dikira dengan mengambil nilai pada penyelesaian bahagi dengan nilai bertentangan pada lajur kekunci berwarna hijau. Oleh itu, pengiraan dibuat di dalam lajur ratio seperti berikut.

Baris 4 5 6

cj

100

120

0

0

0

cbj

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

120

𝑥2

1 2

1

1 2

0

0

0

𝑠2

1 2

0

−

1

0

0

𝑆3

20

0

0

0

0

zj

60

120

60

0

0

cj-zj

40

0

-60

0

0

1 2

Penyelesaian

Ratio

18

18 1⁄ =36 2

2

2 1⁄ =4 2

120

120 20

=6

2160

Menurut Glenn Hurlbert (2009), baris kecunci adalah baris yang mempunyai ratio terkecil. Jika dilihat pada ratio dalam jadual ini, baris 5 akan dijadikan baris kekunci kerana 4 adalah ratio yang lebih kecil daripada 36 dan 6. ELEMEN KEKUNCI : Elemen kekunci adalah elemen yang berada dalam persilangan baris kekunci dan lajur kekunci. Jika dilihat dalam jadual ini, elemen kekunci adalah elemen dalam petak berwarna hijau dengan 1

angka 2.

20

Daripada langkah ini, dapat kita keluarkan beberapa maklumat seperti; 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 ∶ 𝑥1 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 ∶ 𝑆2 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 ∶ 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑒𝑟𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔 (𝑠2 ) 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 ∶ 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑏𝑖𝑟𝑢 (𝑥1 ) Lelaran 3: Saya akan mulakan dengan mengisi nilai bagi baris kelapan kerana pemboleh ubah 𝑆2 yang pada asalnya di baris itu akan dikeluarkan manakala pemboleh ubah 𝑥1 akan dimasukkan. Nilainilai yang dimasukkan akan menggunakan rumus seperti di bawah; 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 (𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 8) = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 (𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 5) ÷ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

Baris

cbj

cj

100

120

0

0

0

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

(−1/2)

1/2 8

𝑥1

100

Penyelesaian

÷ 1/2 = 1

0 ÷ 1/2

÷ 1/2

1 ÷ 1/2

0 ÷ 1/2

=0

1 = 2

= 2

= 0

2 ÷ 1/2 = 4

Untuk memasukkan nilai bagi baris 7 dan 9, saya menggunakan rumus seperti di bawah 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 −

Baris

cbj

𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑋 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

cj

100

120

0

0

0

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

1/2 7

120

𝑥2

8

0

𝑠2

1/2

1

1/2 𝑋 1/2 1/2 𝑋 0 − − 1/2 1/2

21

0

1 1 1/2 𝑋 1 𝑋(− 2) 2 − − 1/2 1/2

Penyelesaian

0 1/2 𝑋 0 − 1/2

18 −

1/2 𝑋 2 1/2

20 9

0

𝑆3

0

0

20 𝑋 0 20 𝑋 1/2 − − 1/2 1/2

0

0

20 𝑋(−1/2) 20 𝑋 1 − − 1/2 1/2

20 𝑋 0 − 1/2

120 −

20 𝑋 2 1/2

Berdasarkan pengiraan itu tadi, maka akan terhasilah satu jadual lelaran 3 yang lengkap seperti ini. Dengan itu, keadaan optimal boleh dicari dengan mencari nilai zj dan cj-zj. cj

100

120

0

0

0

Baris

cbj

bv

𝑥1

𝑥2

𝑆1

𝑆2

𝑆3

Penyelesaian

7

120

𝑥2

0

1

1

-1

0

16

8

100

𝑥1

1

0

-1

2

0

4

9

0

𝑆3

0

0

20

-40

0

40

zj

100

120

20

80

0

2320

cj-zj

0

0

-20

-80

0

Nilai zj dihitung seperti berikut: 𝑧𝑗𝑖 = ∑(𝑐𝑏𝑖 𝑋 𝑝𝑗) 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥1 ∶ (120x0) + (100x1) + (0X0) = 100 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥2 ∶ (120x1) + (100x0) + (0X0) = 120 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠1 ∶ (120x1) + (100x − 1) + (0X20) = 20 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠2 ∶ (120x − 1) + (100x2) + (0X − 40) = 80 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠3 ∶ (120x0) + (100x0) + (0X0) = 0 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 ∶ (120x16) + (100x4) + (0X40) = 2320

Oleh itu, nilai cj-zj boleh dihitung. 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 = 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥1 = 100 − 100 = 0 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑥2 = 120 − 120 = 0 22

Ratio

𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠1 = 0 − 20 = −20 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠2 = 0 − 80 = −80 𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑙𝑎𝑗𝑢𝑟 𝑠3 = 0 − 0 = 0 cj-zj

0

0

-20

-80

0

Melihatkan kepada nilai ini, didapati bahawa ia mengikut kepada peraturan untuk mendapatkan maksimum z, nilai cj-zj ≤ 0. Kesemua nilai yang ditunjukkan menepati ciri-ciri ini. Maka, dapat dikeluarkan nilai-nilai bagi pemboleh ubah yang berada dalam bv baris dengan nilai penyelesaiannya seperti berikut: 𝑧 = 2320 𝑥1 = 4 𝑥2 = 16 𝑆3 = 40 Saya mengambil kira semula fungi objektif keuntungan tadi untuk membuktikan semula bahawa pengiraan ini tepat. 𝑧 = 100𝑥1 + 120𝑥2 2320 = 100 (4) + 120 (16) 2320 = 400 + 1920 2320 = 2320

23

4. SEMAK DAN BANDING PENGIRAAN Menurut B. L. Moiseiwitsch (2013), pengaturcaraan linear adalah salah satu cara terbaik untuk

menyelesaikan masalah

pengoptimuman.

Oleh

sebab

itu,

masalah

berkaitan

pengoptimuman rutin harian dapat diselesaikan dengan kaedah ini. Berdasarkan pengiraan keuntungan bagi kaedah grafik dan kaedah simpleks, saya dapati nilai akhir yang diperolehi adalah sama. Mengikut kaedah grafik, titik maksimum yang diperolehi adalah C(4,16) yang mana apabila keuntungan dikira, nilainya adalah RM2320. Hal ini juga diperolehi dalam kaedah penyelesaian simpleks, yang mana selepas lelaran 3, nilai bagi pemboleh ubah didapati sebagai 𝑥1 = 4, 𝑥2 = 16, 𝑆3 = 40 dan seterusnya akan mendapat nilai maksimum 𝑧 = 2320. Jika diperlihatkan semula pada perwakilan ini, 𝑥1 = 4 adalah bilangan ekar bayam, dan 𝑥2 = 16adalah bilangan ekar sawi. Hal ini bermakna penggunaan 4 ekar bayam dan 12 ekar sawi akan menjadikkan penggunaan maksimum 20 ekar tanah yang disediakan oleh petani. Dan apabila kuntungan seekar demi seekar dikira, maka akan terhasilah keuntungan RM2320 untuk petani ini. Ini bermakna, kedua-dua kaedah penyelesaian ini dapat digunakan untuk mencari nilai yang tepat tanpa sebarang masalah bagi kes petani ini. Berdasarkan dua kaedah ini, saya lebih cenderung untuk melihat penyelesaian grafik kerana ia adalah lebih jelas dari segi pengiraan dan ia divisualilasikan dengan lebih baik daripada kaedah simpleks. Kaedah simpleks agak rumit kerana nilai harus dihitung secara satu per satu mengikut baris dan lajur yang ditetapkan (Richard Darst, 1990). Hal ini telah menjadikan proses pengiraannya lebih rumit berbanding pengurusan grafik disebabkan oleh saya terpaksa mengira semula untuk memastikan tiada kesalahan dalam proses pengiraan. Namun begitu, kedua-dua kaedah penyelesaian adalah sama dan memberikan manfaat kepada saya untuk menyelesaikan masalah rutin harian ini.

24

5. RUJUKAN

B. L. Moiseiwitsch (2013). How to Solve Applied Mathematics Problems. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Clark, M., & Anfinson, C. (2012). Intermediate Algebra. In M. Clark, & C. Anfinson, Intermediate Algebra (pp. 345 - 361). USA: Macmillan Company. F.A. Ficken (2015). The Simplex Method of Linear Programming: Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications Foot, H. L., & Kien, C. Y. (2013). Esensi Matematik Tambahan SPM. In H. L. Foot, & C. Y. Kien, Esensi Matematik Tambahan SPM (pp. 347 - 351). Kuala Lumpur: Pearson Malaysia Sdn. Bhd. Glenn Hurlbert (2009) . Linear Optimization: The Simplex Workbook : Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Science & Business Media, Richard Darst (1990) . Introduction to Linear Programming: Applications and Extensions. Volume 141 of Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. CRC Press. S. Cooke, (2015). How can linear programming be used in the real world?. Socratic. Retrieved from

:https://socratic.org/questions/how-can-linear-programming-be-used-in-the-real-

world Yezerski, A (1974). A survey of extensible programming languages. Annual Review in Automatic Programming. Elsevier Science Ltd

25