Kisi-kisi-ukdm-aljabar.doc

KISI-KISI UKDM ALJABAR A. PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Sifat-sifat : n 4.  ab   a n .b n

1. a m xa n  a m  n

I.

7.

1 n

a n a

2.

am  amn n a

5. a 0  1

3.

a 

n 6. a 

m n

9.

 a mn

a. b 

ab , a  0, b  0

8. a

m

n

 n am

1 an

10.



a b





a  b  a b

a x = b  x = a log b, b > 0, a > 0, dan a ≠ 1

II. 1.

a

log b 

log b log a

5. a

2. log ab = log a + log b 3. log

a  log a  log b b

6.

an

7.

a

a

log b

b 1

log b  a log b n 

log b 

b

1a . log b n

1 log a

4. log a n = n log a

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Akar persamaan 3 ⁵ˣˉ¹ = 27ˣ⁺³ adalah ... a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

2. (a – b)‾³

a + b ‾² b – a a. a² - b² b.

1 = .... (a+b)‾³ 1 c. 1 a – b a +b

.

d. a + b (a-b)²

3. Jika 1 – (½)ⁿ = 63/64, maka nilai n adalah ... a. 3 b. 4 c. 5

4.

1 + 2‾¹º + 1 a. 5,5

e. 5

1 + .... + 2‾ ⁹ + 1 b. 10

1 + 2⁹ + 1 c. 10,5

d. 6

e. a + b a – b

e. 7

1 = .... 2¹º + 1 d. 20,5

e. 21

5. ªlog (1/b) . log (1/c) . log (1/a) = ....

1

a. 1 – abc

6.

1 + 1+ªlog bc

b. 1 + abc

1 + 1+ b log ac

a. 2/3

c. 1

d. –1

e. 1/abc

c. 3/2

d. 2

e. 3

c. 8

d.12

e. 18

d. 5

e. 15

1 = .... 1+ c log ab

b. 1

7. (³log 36)² - (³log 4)² = .... ³log √12 a. 2 b. 4

8. log 5√5 + log √3 + log 45 = .... log 15 a. 3/5 b. 3/2 c. 5/2

9. Jika log 2 = p, log 3 = q, dan log 5 = r, maka log 1500 = .... a. p + q + r c. 2p + q+ r e. 2p + 3q + r b. p + 2q + 3r d. 2p + q + 3r 10. Diketahui ³log 6 = m dan ⁶log 5 = n, maka ³log 10 = .... a. b.

mn + m + 1 mn + m – 1

c. mn – m + n d. mn + n – 1

e. mn + m + n

11. Jika log 5 = a, log 2,5 = c, dan 5 ˣ = 2,5. Maka x = .... a. ac b. c/a c. a/c d. a + c

e. c – a

3 x 1  y 2 12. Bentuk :  2 dapat dituliskan tanpa eksponen negative menjadi: x  2 y 1

a.

x (3 y  x ) y( y  2 x 2 )

13. a²⁄³ ‾¹ . (a²⁄³ b¹⁄²)² : b¹⁄² = .... b¹⁄² a¹⁄³ a. √ab b. b√a

c.

x(3 y 2  x) y( y  2 x 2 )

c. a√b

e.

d. ab

14. Jika x = 25 dan y = 64, maka nilai x‾³⁄² √y² = y¹⁄³ - x¹⁄² a. –2000 b. –16/125 c. 16/125 d. 100 15. Bila ⁷log 2 = a dan ²log 3 = b, maka ⁶log 98 = .... a. a b. a + 2 c. a + 2 d. a + 1 a+b b + 1 a(b+1) b + 2

x(3 y 2  x) y( y  2 x 2 )

e. a¹³b¹²

e. 2000

e. a + 2b (a + 1)

2

B. PERSAMAAN DAN PERTAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Persamaan (√10) ˣ⁻² = 0,1 mempunyai harga x = ... a. –1 c. 1 b. 0 d. 2

e. 3

2. Jika x¹⁄ ²⁽²ˣ⁻¹⁾ = 27, x rasional , maka (2x‾¹ - 1) = ... a. 3/7 c. 1/5 e. –5/7 b. –3/7 d. –1/5 3. Harga-harga x yang memenuhi persamaan 7 ˣ ̄ ³ˣ⁺ ² = 49ˣ ̄ ³ˣ⁺ ² adalah ... a. 1 atau 2 c. –1 atau –2 e. x ≠ 1 b. –1 atau 2 d. 1 atau –2 4. Diket pers : 400 . 3 ˣ ̄ ˣ⁺⁶ + 4 . 3 ˣ ̄ ˣ ̄ ² - 3 ˣ ̄ ˣ = 25/4 ⁵log √5¹ ̸ ⁴ . Nilai x = ... a. 3 atau –2 b. –3 atau 2

c. 3 atau 4 d. –3 atau –2

e. –3 atau 4

5. Himpunan penyelesaian dari ³log x ⁵ - ³log x = 4 untuk x ≠ 0 adalah ... a. {64 atau 1} c. {9 atau 3} e. {81 atau 9} b. {16 atau 3} d. {81 atau 3} 6. Jika m = 10ˣ maka ¹ºlog mⁿ = ... a. xⁿ

c. nˣ

b. nx

d. 10ⁿˣ

e. n + x

7. Nilai 2ˣ yang memenuhi persamaan 4 ˣ⁺² = ∛16ˣ⁺⁵ adalah ... a. 2 c. 8 e. 32 b. 4 d. 16 8. Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3² ˣ⁺¹ + 8.3²ˣ -3 > 0 adalah a. x < 3 c. x < -1/3 e. x < -3 b. x > 1/3 d. x > -1 3

9. Penyelesaian dari persamaan 3 ˣ⁺² + 9ˣ⁺¹ = 810 adalah ... a. x = 2 c. x = 9 e. x = -9 atau x = 10 b. x = 3 d. x = 9 atau x = -10 10. Penyelesaian persamaan 4 ˣ⁻⁴ˣ⁺¹ = 8ˣ⁺⁴ adalah α dan β. Nilai αβ = ... a. –11 c. –5 e. 5,5 b. –10 d. 5 11. Himpunan penyelesaian (⅓) ˣ⁻³ˣ⁻⁵ < (½)⁻ˣ⁻² adalah ... a. {x|x < -3 atau x >1} c. {x|x < 1 atau x >3} e. {x| -3 < x <1} b. {x|x < -1 atau x > 3} d. {x| -1 < x < 3} 12. Nilai x yang memenuhi ²log² (4x-4) - ²log(4x-4) ⁴ = ²log1/8 adalah ... a. 3 atau ⅓ c. 3 atau 2 e. 3 atau 6 b. 3 atau 3/2 d. 3 atau 5/2 13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ⁹log (x² + 2x) < ½ adalah ... a. –3 < x < 1 d. –3 < x< 1 atau 0 < x < 2 b. –2 < x < 0 e. –3 < x < -2 atau 0 < x < 1 a. –3 <x < 0

14. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ²log(x² - 3x – 4) ≤ ²log(x+1) adalah ... a. {x|4 < x ≤ 5} c. {x|-1< x ≤ 5} e. {x|x ≥ 5} b. {x|4 ≤ x ≤ 5} d. {x|-1 ≤ 5 ≤ 5} 15. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ˣlog 9 < ˣlog x² adalah ... a. {x|x ≥ 3} c. {x|1 < x < 3} e. {x|0 < x ≤ 3} b. {x|0 < x < 3} d. {x|x > 3}

4

C. PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT 1.

Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat : ax²+bx+c = 0, a≠0, x=x1 dikatakan merupakan himpunan penyelesaian atau akar-akar dari ax²+bx+c = 0, jika ax1²+bx1+c = 0. Ada beberapa cara untuk menentukan penyelesaian (akar-akar) persamaan Kuadrat, antara lain : (i) Mengurai Untuk menguraikan persamaan kuadrat yang terasa sulit. Caranya adalah sebagai berikut : ax² + bx + c = 0 1 (a²x² + abx + ac) = 0 a 1 (ax + p) (ax + q) = 0 a Persyaratan yang harus dipenuhi oleh P dan Q adaah p x q = a x c Dan p + q = b (ii) Rumus ABC Bila dalam menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat cukup sulit dengan mengurai, maka cara lain lagi adalah menggunakan rumus ABC. Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax²+bx+c=0, a≠0 adalah : X 1 , 2 = -b ± √b² - 4ac 2a b2 – 4ac = D (diskriminan yang arti nya membedakan jenis akar-akar) 1. D > 0 ⇔ kedua akar nyata (jika D kuadrat sempurna maka kedua akar rasional, jika tidak meka irrasional. 2. D = 0 ⇔ kedua akar sama (nyata dan rasional. 3. D < 0 ⇔ kedua akar tidak nyata (khayal)

5

2.

Jumlah dan hasil kali akar-akar Kita dapat menghitung jumlah dan hasil akar-akar persamaan kuadrat tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya : Bentuk umum : ax² + bx + c = 0, a≠0 Dari rumus x 1 = -b + √D , x 2 = -b + √D 2a 2a Maka dapat ditunjukkan bahwa : dan x 1 + x 2 = -b x 1 .x 2 = c a a

3.

Rumus-rumus yang lain : 1. x 1 ² + x 2 ² = (x 1 + x 2 )² - 2x 2 x 2 2. x 1 ³ + x 2 ³ = (x 1 + x 2 )³ - 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 0) 3. (x 1 – x 2 )² = (x 1 + x 2 )² - 4x 1 x 2 4. 1 + 1 = x 1 + x 2 . x1 x2 x1 . x2 5. x 1 – x 2 = √D a Menyusun persamaan kuadrat Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x 1 dan x 2 adalah : (x-x 1 ) (x-x 2 ) = 0 x² - (x 1 +x 2 ) x+x 1 .x 2 = 0 atau secara umum dapat ditulis : x² - (jumlah akar-akar)x + hasil kali akar-akar = 0 x² - (x 1 +x 2 ) x+x 1 .x 2 = 0

6

4.

Sifat-sifat persamaan kuadrat 1. Syarat mempunyai dua akar positif : 1) D ≥ 0 2) x 1 + x 2 > 0 3) x 1 . x 2 > 0 2. Syarat mempunyai dua akar negatif : 1) D ≥ 0 2) x 1 + x 2 < 0 3) x 1 . x 2 > 0 3. Syarat mempunyai dua akar berlainan 1) D > 0 2) x 1 . x 2 < 0 4. Syarat mempunyai akar berlawanan : x1 + x2 = 0 5. Syarat mempunyai dua akar berkebali Persamaan kan : kuadrat : ax² x+1 bx . x 2+=c 1= 0 dan px² + qx + r = 0 Dikatakan mempunyai 2 buah akar persekutuan jika : a = b = c p q r

6.

Grafik Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax²+bx+c. a,b,c ∈ R dan a≠0. Grafik fungsi f tersebut berupa parabola. Jika f(x) atau y = 0, maka diperoleh bentuk umum persamaan kuadrat ax² +bx+c = 0. Sketsa grafiknya adalah …. Lihat sketsa : 1. 2. 3. 4. 5.

D > 0 D = 0 D < 0 a > 0 a < 0

kurva kurva kurva kurva kurva

memotong sumbu x didua titik menyinggung sumbu x tidak memotong sumbu x terbuka keatas terbuka kebawah

7

Jika nilai suatu fungsi positif untuk setiap x, maka fungsi itu disebut Definit Positif Syarat definit positif adalah : 1. D < 0 2. a > 0

Jika suatu fungsi negatif untuk setiap x, maka fungsi itu disebut Definit Negatif Syarat definit negatif adalah : 1. D < 0 2. a < 0 Dari contoh diatas, kita dapat mengetahui rumus fumgsi. Sekarang kita dapat juga membalik masalah itu yaitu menentukan rumus fungsinya jika diketahui kurva atau data-data seperlunya. Bila dari kurva atau diketahui koordinat puncak maka rumus yang digunakan adalah : y = a (x + b )² + b² - 4ac 2a -4a Bila dari kurva atau data-data tidak diketahui koordinat puncaknya tetapi diketahui titik potong-titik potong dengan sumbu x maka rumus yang digunakan adalah : y = a (x - x 1 ) (x - x 2 )

SOAL-SOAL LATIHAN 1.

√2√2√2 ….. sama dengan ….. a. 1 c. ½ √2 b. √2 d. 2

e. 4

2.

Persamaan : r = x² + 4x + 2 x² + 6x + 3 mempunyai akar real yang sama (akar rangkap), apabila r sama dengan : a. ½ atau 1 ½ c. ½ atau ⅔ e. 2 atau - ⅔ b. – ½ atau 1 ½ d. – ½ atau ⅔

3.

Salah satu akar persamaan x² + px + 24 = 0 adalah 4. Jika persamaan x² + px + q = 0 mempunyai akar yang sama, maka q = ….. a. 36 c. 16 e. 5

8

b. 25

d. 9

4. Akar-akar dari x² - 7x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Maka harga dari x 1 ² + x 2 ² adalah …. a. 55 c. 43 e. 35 b. 46 d. 37

5. Jika α dan β adalah akar-akar dari x² + px + r = 0, maka nilai dari (α-β)² adalah …. a. p² - 4r c. p² - r e. p² + 4r b. p² - 2r d. p² + 2r 6. Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan x² - 6x + m = 0 ialah - x 2 ² = 60, maka nilai m adalah …. a. –16 c. 8 e. 34 b. –6 d. 16

x 1²

7. x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - (p+3) x + (2p+2)=0 Jika p bilangan asli, maka x 1 = 3x 2 apabila p sama dengan : a. 12 c. 6 e. 4 b. 8 d. 5 8. Persamaan kuadrat x² + px + pangkat dua dari akar yang a. –6 b. –4

8 = 0. Bila salah satu akarnya merupakan lain, maka p adalah : c. –2 e. 4 d. 2

9. Diketahui persamaan kuadrat : x² + 3x + 2 = 0 ……………… (1) x² + ax + b = 0 ……………… (2) Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan dua kali jumlah kedua akar persamaan (1), sedangkan hasil kuadrat kedua akar persamaan (1) sama dengan tiga kali hasil kali kedua akar persamaan (2), maka persamaan (2) adalah : a. x² + 6x + 4 = 0 c. 2x² + 3x + 2 = 0 e. 3x² + 18x + 4 = 0 b. 2x² + 3x + 4 = 0 d. 3x² + 18x + 2 = 0 10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 - √3 dan 1 + √ adalah : a. x² - 2x + 2 = 0 c. x² + 2x + 2 = 0 e. x² - x + 3 = 0 b. x² - 2x – 2 = 0 d. x² + 2x – 2 = 0

9

11. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga lebih besar dari akar-akar persamaan 2x² - 7x + 3 = 0 adalah : a. 2x² - 19x + 42 = 0 c. 2x² - 7x + 52 = 0 e. 4x² - 17x + 7 = 0 b. 2x² - 5x + 10 = 0 d. 2x² - 7x + 10 = 0 12. Diketahui bahwa salah satu akar dari x² - 3x + a = 0 ialah 3 kurangnya dari salah satu akar x² - 3x – 2a = 0, jika a bilangan asli, maka a = ….. a. 1 c. 3 e. 5 b. 2 d. 4

13. Akar-akar 8x² - 2ax + a = 0 adalah kebalikan akar-akar 9x² + 2ax – b = 0, maka nilai a dan b berturut-turut adalah : a. 8 dan 9 c. –8 dan 9 e. 8 dan –9 b. 9 dan 8 d. –9 dan 8 14. Grafik y = (m-3) x² + mx + (m+2) menyinggung sumbu x dititik P dan memotong sumbuy dititik Q panjang PQ sama dengan : a. ⅔ √37 c. 3/7 √6 e. 4 √3 b. 4/3 √15 d. 3 √3 15. Puncak dari parabola f(x) = x² - ax + a + 2 terletak pada garis y = x, maka a = …. a. –2 c. 4 e. –2 atau 4 b. –4 d. –2 atau –4 16. Sebuah fungsi kuadrat yang berbentuk (x-a)² + b mempunyai harga ekstrim 5 untuk x = 2, maka nilai adan b berturut-turut adalah : a. –2 dan 5 c. 2 dan 5 e. 5 dan –2 b. –5 dan 2 d. 5 dan 2 17. Bila x1 dan x2 akar-akar persamaan x² + kx + k = 0, maka harga k yang menyebabkan x 1 ² + x 2 ² mencapai harga minimum adalah : a. –1 c. 1 e. 3/2 b. 0 d. ½ 18. Dari fungsi kuadrat y = f(x) diketahui bahwa fungsi y = f(x+a) mencapai nilai maximum untuk x = p. Maka dapat disimpulkan bahwa fungsi y=f(x-a) mencapai nilai maximum untuk x = ….. a. p + 2a c. p + a e. 2p – a b. p – 2a d. p – a

10

19. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai maximum –3 untuk x=2, sedangkan untuk x=-2 fungsi berharga –11, maka fungsi tersebut adalah…… a. – ½ ² + 2x – 3 c. -x² + 2x – 5 e. – ½ x² + 2x – 5 b. ½ x² - 2x – 3 d. x² - x – 1 20. Diketahui x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x² - (a-2)x + 8 = 0. Apabila x 1 ,x 2 dan x 1 .x 2 merupakan suku-suku barisan geometri yang berurutan, maka a = ….. a. 2 c. 6 e. 12 b. 4 d. 8 21. Pada kurva y = -3x² + 6x + 9 terletak P. Garis singgung melalui titik P pada kurva sejajar sumbu x, maka koordinat titik P itu adalah …. a. (0,9) c. (2,9) e. (4,-15) b. (1,12) d. (3,0)

22 .P e rha t ika n g a mb a r! Cmm

D

mmm A mm

m

x+ 2 x

m x-2 B

mmm

Se b id a ng t an a h be rbe n tu k pe rseg ip an ja ng AB CD d en ga n pa n ja n g A B = x m, B C = (x -2 ) m da n A C = (x+2 )m. Jika ha rg a ta na h a da lah Rp 5 00 .0 0 0, 0 0 pe r m 2 , ma ka h a rg a ta na h se lu ru hn ya ad a la h .. . . a. Rp8 0 .0 00 . 00 0 ,0 0 b. Rp6 0 .0 00 . 00 0 ,0 0 c. Rp3 0 .0 00 . 00 0 ,0 0 d. Rp2 4 .0 00 . 00 0 ,0 0 e. Rp2 0 .0 00 . 00 0 ,0 0

D. SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT Sistem persamaan : a 1 x + b 1 y = c 1 a2x + b2y = c2 a. Mempunyai solusi tunggal jika

a1 b1  a 2 b2

11

b. Tidak mempunyai solusi jika

a1 b1 c1   a 2 b2 c 2

c. Mempunyai banyak solusi jika

a1 b1 c1   a 2 b2 c 2

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan : 2x + y = 5 3x – 2y = -3 Nilai x + y sama dengan .... a. 6 b. 4 c. –2 d. –6 e. –8 2. Diberikan persamaan x – 2 + y + 1 = 2 dan x + 3 _ 2y – 1 = 1, 3 6 4 2 maka nilai 1 = .... x + y a. 1/8 b. 1/9 c. 9/76 d. 3/25 e. 11/72

3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan : 5 + 4 = 13 x y 3 _ 2 = 21 adalah {(x o , y o )}. Nilai x o – y o = .... x y a. 8 b. 2 c. 8/15 d. 6/15

e. 2/15

4. Garis ax – y = 3 dan x +2y = b berpotongan di (2 , 1) jika .... a. a = 2 dan b = 4 c. a = 2 dan b = -4 e. a = - ½ dan b = 4 b. a = -2 dan b = 4 d. a = ½ dan b = 4 5. Supaya ketiga garis 2x – y – 1 = 0, 4x – y – 5 = 0, dan ax – y – 7 = 0 melalui satu titik, maka a harus diberi nilai .... a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 6. Jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisih bilangan itu adalah 45. Bilangan terkecil dari bilangan itu adalah .... a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13 7. Jumlah dua bilangan adalah 62. Apabila bilangan yang besar dibagi dengan yang kecil hasil baginya 2 dan sisanya 11. Selisih kedua bilangan tersebut adalah .... a. 17 b. 28 c. 30 d. 45 e. 51 8. Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya 12

ditambah 1 maka hasilnya ½. Jika pembilang ditambah satu dan penyebut dikurangi 2 maka hasilnya menjadi 3/5. Pecahan dimaksud adalah .... a. 2/3 b. 6/21 c. 8/12 d. 2/7 e. ¾ 9.

Perbandingan umur A dan umur B sekarang adalah 5 : 6. Delapan tahun yang lalu, perbandingannya adalah 3 : 4. Perbandingan umur mereka 4 tahun yang akan datang adalah .... a. 3 : 4 b. 4 : 5 c. 5 : 6 d. 6 : 7 e. 7 : 8

10.Disebuah toko, Aprilia membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,-. Julia membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp. 9.500,-. Januar juga membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga .... a. Rp. 950 b. Rp.1.050 c. Rp.1.250 d. Rp.1.300 e. Rp.1.350 11. Lia membeli 2 buah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp. 1.400. Pada tempat yang sama, Mety membeli 3 buah kue A dan 4 buah kue B dengan harga Rp. 1.950. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 buah kue B kemudian ia membayar dengan selembar uang Rp. 1.000, maka uang kembaliannya adalah .... a. Rp. 250 b. Rp. 300 c. Rp. 350 d. Rp. 450 e. Rp. 550

12. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 3 + 4 + 5 = 4 ; x y z 5 _ 6 + 1 = 17 ; dan 6 + 1 – 3 = 21 adalah .... x y z 30 x y z 20 a. {(-3 , 4 , -5/2)} c. {(3 , –5/2 , 4)} e. {(3 , 5/2 , 4)} b. {(-4, 3, 5/2)} d. {(3 , 4 , 5/2)} 13. Jika x, y, dan z persamaan : (x + y)(x + y + (y + z)(x + y + (x + z)(x + y + a. 24

adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi z) z) z) b.

= 120 = 96 = 72 22

maka 3x + 2y – z = .... c. 20 d. 18

e.16

14. Parabola y = ax² + bx + c melalui titik-titik(1,0) , (2,5), dan (3,12). Nilai a, b, dan c berturut-turut adalah .... a. 1,2,3 b. 1,2,-3 c. 1,-2,3 d. –1,2,3 e. 1,-2,-3 15. A dan B dapat mengerjakan suatu pekerjaan dalam waktu 12 hari, A dan C dalam waktu 15 hari, sedangkan B dan C dalam waktu 20 hari. Waktu yang diperlukan A, B, dan C bila mengerjakannya dengan sama-sama adalah .... 13

a. 7 hari

b. 8 hari

c. 9 hari

d. 10 hari

e. 11 hari

16. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : y = x² - 2x + 5 y = 4x adalah .... a. {(5 , -20),(1 , -4)} d. {(-5 , 20),(-1 , 4)} b. {(-5 , -20),(-1 , -4)} e. {(5 , 20),(-1 , 4)} c. {(5 , 20),(1 , 4)} 17. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :x² - xy + y² = 0 dan 2x – y – 1 = 0 adalah .... a. {(0 , 1),(1 , 1)} d. {(2 , 3),(1 , 5)} b. {(93 , 5),(-3 , 7)} e. {(-1 , 3),(2 , -3)} c. {(2 , 3(,(-1 , -3)} 18. Ada dua kubus yang selisih rusuknya 4 cm dan selisih volumenya 784cm³. Salah satu rusuk kubus itu adalah .... a. 14 cm b. 13 cm c. 12 cm d. 11 cm e. 10 cm 19. Luas suatu persegi panjang adalah 56 cm². Jika panjang persegi panjang tersebut ditambah 2 cm dan lebarnya ditambah 3 cm maka hasil perubahan tersebut berupa sebuah bujur sangkar. Keliling persegi panjang tersebut adalah .... a. 20 cm b. 28 cm c.30 cm d. 32 cm e. 60 cm

20. Selisih sisi miring dan sisi terpendek sebuah segitiga siku-siku samadengan dua kali selisih sisi yang lain dengan sisi terpendek. Jika luassegitiga itu 150 cm², maka kelilingnya sama dengan .... a. 30 cm b. 45 cm c. 60 cm d. 90 cm e. 120 cm 21. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km lebih daripada kecepatan mobil pertama. Jika waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih pendek dari waktu perjalanan mobil pertama, maka rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah .... a. 97,5 km/jam c. 87,5 km/jam e. 82,5 km/jam b. 85,0 km/jam d. 86,0 km/jam 22. Pada sebuah sekolah 9% muridnya absen, dengan komposisi

8

1 3

% dari

banyak murid laki-laki dan 10% dari banyak murid perempuan. Jika banyaknya murid laki-laki di kelas tersebut adalah 20 lebih banyak dari murid perempuan, maka jumlah murid laki-laki dan perempuan sekolah tersebut masing-masing adalah.... a. Laki-laki = 40 dan perempuan = 60 b. Laki-laki = 60 dan perempuan = 40

14

c.Laki-laki = 40 dan perempuan = 50 d. Laki-laki = 50 dan perempuan = 60 e.Laki-laki = 60 dan perempuan = 30

E. LOGIKA MATEMATIKA I. 1. Implikasi

: p  q

III. Sifat-sifat

2. Konversi

: q  p

1. Komulatif

3. Inversi

:  p   q

p  q  q  p

4. Kontraposisi :  q   p

p  q  q  p

p  q   q   p q  p   p   q

2. Assosiatif p  (qr)  (pq)  r p  (qr)  (pq)  r

II. 1. Modus ponens p  q p q

2. Modus tollens p  q q p

3. Distributif p  (qr)  (pq)  (pr) p  (qr)  (pq)  (pr)

4. Dalil de Morgan  (pq)   p   q  (pq)   p   q

3. Silogisme p  q q  r p  r

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Jika diberikan sebuah pernyataan majemuk :

15

“ Jika ia minum kopi maka ia tidak minum teh dan jika ia makan kue maka ia minum teh”. Jika: p = ia minum kopi, q = ia minum teh, r = ia makan kue. Manakah pernyataan majemuk yang diberikan dapat dilambangkan sebagai berikut : a. (p ∨ ~q) ∧ (r ∧ q) d. (p → ~q) ∧ (r → q) b. (p ∧ ~q) ∨ (r ∧ q)

e. ~(q → ~p) ∧ ~(q → ~r)

c. (~q → p) ∧ (~q → ~r) 2. Diberikan sebuah pernyataan “ semua orang makan nasi”, andaikan bahwa : P = beberapa orang makan nasi P₂ = beberapa orang tidak makan nasi P₃ = tidak semua orang makan nasi P₄ = beberapa orang makan jagung Dianggap sebagai penyangkalan-penyangkalan pernyataan diatas , Maka yang benar adalah ... c. P₂ dan P₃ e. P dan P₂ a. P₄ saja. b. P₂ dan P₄

d. P dan P₃

3. Diberikan pernyataan jika log 1 = 10, maka log 10 = 1. Nilai kebenaran dari pernyataan ini adalah ... a. salah d. tidak dapat ditentukan b. benar e. tidak salah atau benar c. tidak mempunyai kebenaran

4. p → q : jika ABCD suatu bujur sangkar, maka semua sisinya sama panjang : a. konversnya “jika semua sisinya sama panjang maka ABCD suatu bujur sangkar” b. inversnya “jika semua sisinya sama panjang maka ABCD bukan suatu bujur sangkar” c. konversnya adalah jika semua sisinya sama panjang maka ABCD suatu bujur sangkar d. kontra positifnya “jika tidak benar ABCD bujur sangkar, maka tidak benar semua sisinya sama panjang. e. inversnya “jika tidak benar semua sisinya sama panjangmaka ABCD bukan bujur sangkar 5. Negasi dari “Beberapa orang tidak suka susu” adalah ... 16

a. b. c. d. e.

ada orang yang suka susu semua orang tidak suka susu tidak semua orang tidak suka susu beberapa orang suka susu semua orang suka susu 3

6. I

Jika ia sakit maka ia pergi kedokter Kemarin ia tidak pergi kedokter Jadi kemarin ia tidak sakit II Jika suatu bilangan habis dibagi 6 maka bilangan itu habis dibagi 3 18 adalah bilangan habis dibagi 3 Jadi 18 habis dibagi 6 III Jika hari panas, Amir haus Jika tidak haus maka Amir tidak minum es Jadi jika hari panas maka Amir minum es Diantara I, II, III yang argumentasinya syah adalah ... a. I, II, dan III d. I b. I dan II e. III c. II dan III

7. Negasi dari beberapa pelajar berbaju putih adalah ... a. ada pelajar yang berbaju putih b. tidak ada pelajar yang berbaju putih c. semua pelajar berbaju putih d. tidak semua pelajar berbaju tidak putih e. tidak semua pelajar berbaju putih

8. “Jika p adalah ia kaya dan q adalah ia bahagia”. Maka yang salah adalah: a. ~p ∧ ~q = ia tidak kaya dan ia tidak bahagia b. ~p ∨ ~q = ia tidak kaya atau ia tidak bahagia

c. ~(p ∧ q) = ia tidak kaya atau ia tidak bahagia d. ~(p ∧ q) = tidaklah benar ia kaya dan ia bahagia

e. ~(p ∧ q) = tidaklah benar ia kaya atau ia bahagia 9. Kesimpulan dari 3 premis : 1. p → q 2. q → r

17

3. ~r adalah ... a. ~q → ~p b. q → p

c. ~(q → p) d. ~p

e. ~q

10. Invers dari pernyataan : p → (~p ∧q) adalah ... a. ~p → (p∧~q)

c. ~p → (~p∨q)

b. p → (p ∧ ~q)

d. ~p→ (p∨~q)

e. (p∧~q)→ ~p

11. Ditentukan pernyataan-pernyataan : I. (p∨ ~q) ↔ q IV. (p∨ ~q) → p II.

(p∧ ~q) ↔ q

V . (p∧ ~q) → p

III. (p∨ ~q) ↔ p Yang merupakan tantologi adalah pernyataan : a. I c. III b. II d. IV

e. V

12. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut : ~p → q q → r adalah ... .: .... a. p∧ r

c. p∧ ~r

b. ~p∨ r

d. ~p∧ r

e. p ∨ r

13. Ingkaran dari (p ∧ q)⇒ r adalah ... a. (~p ∨ ~q) ∨ r

c. p ∧ q ∧ ~r

b. (~p ∧ ~q) ∨ r

d. ~p ∧ ~q ∧ r

e. (~p ∨ ~q)∨ r

14. Pernyataan (~p ∨ q)∧(p ∨ ~q) ekivalen dengan pernyataan : a. p⇒q

c. ~p ⇒q

b. p ⇒~q

d. ~p ⇒~q

e. p ⇔ q

15. Nilai kebenaran dari p ∧ ~q ekivalen (setara) dengan nilai kebenaran dari : a. p ⇒ q c. q ⇒ ~p e. ~(p ⇒ q) b. ~p ⇒ ~q

d. p ⇒ ~q 18

F.Suku Banyak

Rumus-rumus Pendukung : 1. ax 2  bx  c  0 b c x1  x 2   ; x1 x 2  a a

2. ax 3  bx 2  cx  d  0 x1  x 2  x3  

b a

x1 x 2  x1 x3  x 2 x3  x1 x 2 x3  

c a

d a

3. ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0 x1  x 2  x3  x 4  

b a

x1 x 2  x1 x3  x1 x 4  x 2 x3  x 2 x 4  x3 x 4  x1 x 2 x3  x1 x 2 x 4  x1 x3 x 4  x 2 x3 x 4   x1 x 2 x3 x 4 

c a

d a

e a

2

2

2

2

2

3

3

3

4. x1  x 2  ( x1  x 2 ) 2  2 x1 x 2

x1  x 2  x3  ( x1  x 2  x3 ) 2  2( x1 x 2  x1 x3  x 2 x3 ) x1  x 2  x3  ( x1  x 2  x3 ) 3  3x1 x 2 x3 ( x1  x 2  x3 ) n n n 1 n2 n2 n 1 5. a  b  (a  b)(a  a b  ...  ab  b )

19

a 2 n  b 2 n  (a  b)(a 2 n 1  a 2 n  2 b  ...  ab 2 n  2  b 2 n 1 )

a 2 n 1  b 2 n 1  (a  b)(a 2 n  a 2 n 1b  ...  ab 2 n 1  b 2 n ) 3 3 2 2 ex : a  b  (a  b)(a  ab  b )

a 4  b 4  (a  b)(a 3  a 2 b  ab 2  ab 3 )

SOAL-SOAL LATIHAN 1.

Suatu suku f(x) = x 3 + 4x + 1. Nilai suku banyak di titik x = 2 adalah… a. 16 b. 17 c. 25 d. 27 e. 30

2.

Sisa dari (x 4 + 3x 3 – 5x 2 + 3x – 7) : (x – 3) adalah… a. 119 b. 19 c. -36 d. -43 e. -119

3.

Suku banyak f(x) = x 3 + bx 2 – cx – 4 habis dibagi (x+2) dan habis dibagi (x+1) dalam hal ini b dan c sama dengan…. a. 3 dan 1 c. 1 dan 4 e. 4 dan 3 b. 3 dan 2 d. 4 dan 2

4.

Jika suku banyak 2x 3 – x 2 + ax + 7 dan x 3 + 3x 2 – 4x – 1 dibagi dengan (x+1) diperoleh sisa yang sama. Dalam hal ini a sama dengan…… a. 5 b. 10 c. -10 d. 1 e. -1

5.

Jika

2 A B   maka harga A dan B adalah…… x  4 ( x  2) ( x  2) 2

a. A = ½ B = -½

6.

7.

b. A = -1 B = 1

c. A = 2 B = -2

d. A = - ½ B = ½

e. A = -2 B = ½

4 x 3  6 x 2  16 x  18 A B C  2   berlaku setiap harga x, 4 x  16 x 4 x2 x2 maka A, B dan C adalah…….. a. A = 1, B = 2, C = 3 d. A = 2, B = 3, C = 1 b. A = 2, B = 1, C = 3 e. A = 1, B = -3, C = 2 c. A = 1, B = 3, C = 2

Jika

Hasil bagi dan sisa dari (2x 4 – 3x 3 + 5x 2 + x – 7 : (x 2 + x + 3) adalah…

20

a. 2x 2 + 5x – 4 dan 12x – 19 b. 2x 2 – 5x – 4 dan 12x – 19 c. 2x 2 – 5x + 4 dan 12x – 19 8.

9.

d. 2x 2 + x – 2 dan x – 2 e. 2x 2 + x – 2 dan x + 2

Faktor-faktor dari 2x 3 + x 2 – 13x + 6 adalah….. a. (x-2) (2x-1) (x+3) d. (x+2) (2x+1) (x+3) b. (x+2) (2x-1) (x+3) e. (x+2) (2x-1) (x-3) c. (x-2) (x-2) (x+3) Persamaan x 3 + 2x 2 – 15x + k = 0 mempunyai dua akar sama. Nilai k a. -72

b. -36

c. 36

d. 72

e. 76

10.

Persamaan 3x 3 + (p+2)x 2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga persamaan akar itu adalah……… a. 4 b. 3 c. 1 d. -1 2/3 e. -4

11.

Suku banyak p(x) dibagi (2x-1) dan dibagi (3x+2) berturut-turut bersisa 2 dan -3. Suku banyak f(x) dibagi oleh (2x-1) dan (3x+2) berturut-turut bersisa -2 dan 6. Sisa pembagian suku banyak H(x) = p(x).f(x) oleh (2x-1)(3x+2) adalah…… a. 12x + 10 c. 6x + 5 e. 12x – 6 b. 12x – 10 d. 5x – 5

12.

Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x+1) bersisa 8 dan dibagi (x-3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x+1) bersisa -9 dan jika dibagi (x-3) bersisa 15. Jika H(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian H(x) oleh (x 2 -2x-3) adalah………. a. –x+7 c. -6x-21 e. 33x-39 b. 6x-3 d. 11x-13

G. PROGRAM LINIER SOAL-SOAL LATIHAN

21

1.

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x+y≤40, x+2y ≤40 x ≥ 0, y ≥ 0 terletak pada daerah yang berbentuk : a. trapesium c. segitiga e. segilima b. persegi panjang d. segiempat

2.

Suatu jenis roti I membutuhkan 100 gram tepung dan 25 gram mentega, roti jenis II membutuhkan 50 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia tepung 1,5 kg dan mentega 1 kg. Jika x banyak rotiI dan y banyak roti II, supaya kita dapat membuat roti sebanyak mungkin dari 2 jenis roti itu, 2 pertidaksamaan dalam x dan y yang memenuhi syarat tersebut adalah ….. a. 2x+y ≤ 20, x+2y ≤ 60 d. x+2y ≤ 20, 2x+3y ≤ 40 b. 4x+y ≤ 60, x+y ≤ 20 e. 2x+y ≤ 30, x+2y ≤ 40 c. 2x+y ≤ 30, 2x+3y ≤ 60

3.

Untuk dapat diterima disuatu pendidikan, harus lulus test matematika dengan nilai tidak kurang dari 7 dan test biologi dengan nilai tidak kurang dari 5, sedangkan jumlah nilai matematika dan biologi tidak kurang dari 13. Seorang calon dengan jumlah 2 kali nilai matematika dan tiga kali nilai biologi sama dengan 30. a. pasti ditolak b. pasti diterima c. diterima asal nilai matematika lebih dari 9 d. diterima asal nilai biologi tidak kurang dari 5 e. diterima hanya bila nilai biologi 6

4.

Dengan persediaan kain polos 20m dan kain bergaris 19 m seorang penjahit akan membuat pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris, Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maximum jika model I dan model II masing-masing : a. 4 dan 8 c. 6 dan 4 e. 8 dan 6 b. 5 dan 9 d. 7 dan 5

5 . Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur a dan 6 unsur b per minggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur a dan 2 unsur b, setiap sepatu memerlukan 2 unsur a dan 2 unsur b. Bila setiap tas untung 3.000 rupiah dan setiap sepatu untung 2.000 rupiah. Maka banyak tas atau sepatu yang dihasilkan perminggu agar diperoleh untung yang maximal adalah …

a. 3 tas sepatu b. 4 tas

c. 2 sepatu

e. 2 tas dan 1

d. 3 sepatu 22

6.

Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp. 1.000/ kg dan pisang Rp. 400/ kg. Modalnya hanya Rp. 250.000 dan muatan gerobaknya tidak dapat melebihi 400 kg. Jika keuntungan tiap apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus membeli ….. a. 250 kg apel d. 100 kg apel dan 300 kg pisang b. 400 kg pisang e. 150 kg apel dan 250 kg pisang c. 170 kg apel dan 200 kg pisang

7.

Luas daerah parkir 176 cm², luas rata-rata untuk mobil sedan 4m² dan 20m. Daya muat maximum hanya 20 kendaraan, biaya parkir untuk mobil Rp.100/ jam dan untuk bis Rp.200/ jam.Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maximum tempat parkir itu adalah ….. a. Rp.2.000 c. Rp.4.400 e. Rp.3.000 b. Rp.3.400 d. Rp.2.600

8.

Seorang pemilik toko sepatu inginmengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan tiap pasang sepatu laki-laki Rp.1.000 dan tiap pasang sepatu wanita Rp.500. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka keuntungan terbesar diperoleh ……. a. 200.000 c. 275.000 e. 350.000 b. 250.000 d. 300.000

9.

Seorang pedagang kaki lima menyediakan uang Rp. 165.000,00 untuk membeli kemeja dengan harga @ Rp.2.000,00 dan celana @ Rp.5.000,00. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan Rp.300 untuk setiap potong celana. Jika barang-barang yang ia beli dengan cara tersebut terjual habis, berapa keuntungan sebesar-besarnya yang ia peroleh …… a. Rp.25.000,00 c. Rp.27.500,00 e. Rp. 29.500,00 b. Rp.26.500,00 d. Rp.28.500,00

H. NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET, DAN 23

INDUKSI MATEMATIKA Ringkasan Materi : I.

Barisan dan deret matematika 1.

Bentuk umum barisan aritmatika a, a  b, a  2b, a  3b,..., a  (n  1)b

2.

Bentuk umum barisan aritmatika a  (a  b)  (a  2b)  (a  3b)  ...  (a  (n  1)b)

3.

Rumus-rumus a. U n  a  (n  1)b b. S n  Sn 

n (a  U n ) 2 n (2a  ( n  1)b) 2

c. b  U n  U n 1 d. U n  S n  S n 1 e. Untuk n ganjil, U t  II.

a Un 2

Barisan dan deret geometri 1.

Bentuk umum barisan geometri a, ar , ar 2 ,..., ar n 1

2.

Bentuk umum deret geometri a  ar  ar 2  ...  ar n 1

24

3.

Rumus-rumus n 1 a. U n  ar

b. S n  a, c. r 

r n 1 1 rn  a, r 1 1 r

Un U n 1

d. U n  S n  S n 1 e. U t  a.U n 4. Deret geometri tak hingga  1  r  1, S 

III.

a ,1  S  1 1 r

Notasi sigma Sifat-sifat : n

1.

 a  na i 1 n

2.

a i 1

i

 a1  a 2  ...  a n

n

n

i 1

i 1

3.  a.i  a  i n

4.

 i  1  2  3  ...  n i 1 n

n

n

i 1

i 1

i 1

5.  {P (i )  Q(i )}   P (i )   Q(i ) n

6.  P (i )  i 1

n

 P(i )  i 1

n

 P(i)

i  ( n  m 1)

25

IV.

Induksi Matematika Membuat dugaan umum dari hasil sejumlah observasi khusus. 1.

Harus dibuktikan bahwa P(i) benar untuk n=1.

2.

Jika P(k) benar untuk n=k, maka harus dibuktikan pula bahwa P(k+1) juga benar untuk n = k+1.

SOAL-SOAL LATIHAN 1.

Diketahui 3 suku yang berurutan dari suatu barisan aritmetika adalah x + 2, 2x + 3, 5x – 6, maka x =……………. a. -1

b. 0

c. 1

d.

5 4

e. 5

2.

Dalam sebuah deret hitung, suku kedua adalah 5, jumlah suku keempat dan keenam adalah 28. Hitunglah suku yang kesembilan: a. 28 b. 26 c. 21 d. 19 e. 17

3.

Jumlah semua bilangan-bilangan bulat diantara 100 dan 300 yang habis dibagi oleh 5 adalah: a. 8200 b. 8000 c. 7800 d. 7600 e. 7400

4.

Dari sebuah deret aritmetika diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Maka jumlah 10 suku yang pertama sama dengan: a. 98 b. 115 c. 140 d. 150 e. 165

5.

Dari suatu deret hitung diketahui jumlah 4 suku pertama sama dengan 17 dan jumlah 8 suku pertama sama dengan 58. Maka suku pertama dari deret tersebut adalah: a. 1 b. 1 ½ c. 2 d. 3 e. 4

6.

Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 ialah: a. 1683 b. 1368 c. 733 d. 315 e. 133

7.

Lima bilangan merupakan deret hitung yang jumlahnya sama dengan 100. Bilangan yang keempat besarnya dua kali bilangan pertama. Maka bilangan yang kedua adalah: a. 13 b. 14 c. 15 d. 16 e. 18 26

8.

Jumlah n suku pertama suatu barisan diberikan oleh rumus Sn = n + 2n. Suku keempat dari barisan tersebut adalah: a. 33 b. 39 c. 49 d. 63 e. 72 3

9.

Dalam sebuah deret Un = 2an + b + 4 dan Sn = 3bn 2 + an, maka nilai a dan b berturut-turut adalah: a. 12 dan 4 c. 12 dan -4 e. -4 dan -12 b. -12 dan 4 d. -12 dan -4

10.

Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a - 4 dan a x . Jika suku kedelapan ialah a 5 2 , maka x sama dengan: a. -32 b. -16 c. 12 d. 8 e. 4

11.

Suatu jenis bakteri satu detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, setelah berapa detik banyak bakteri menjadi 320? a. 7 detik b. 8 detik c. 9 detik d. 10 detik e. 11 detik

12.

Tiga buah bilangan merupakan deret geometri yang jumlahnya 26. Jika suku tengah ditambah 4, maka terjadi deret aritmetika, suku tengah dari deret geometri itu adalah: a. 2 b. 4 c. 6 d. 10 e. 18

13.

Selisih suku tengah antara barisan aritmetika dengan suku awal 1 dan suku akhir 25 dengan barisan geometri dengan suku-suku positif yang suku awalnya 1 dan suku akhirnya 25 adalah: a. 5 b. sekitar 7,1 c. 8 d. 13 e. 18

14.

Pada deret geometri r = 2 log (x-2). Deret ini akan merupakan deret konvergen bila harga x: a. 1 < x < 4 c. ½ < x < 2 e. -2 < x < 4 b. 2 ½ < x< 4 d. -1 < x <2

15.

Seorang berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatan menjadi setengah kecepatan sebelumnya. Berapa jarak terjauh yang dapat dicapai orang tersebut? a. 6 km c. 10 km e. tak berhingga b. 8 km d. 12 km 27

16.

Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketinggian yang sama dengan duapertiga dari tinggi yang dicapainya sebelum terakhir. Panjang lintasan bola itu sampai ia berhenti ialah:

a. 2 m b. 3 m 17.

18.

c. 5 m d. ~

Untuk x > 0, deret 2 log x + 4 log x + mempunyai jumlah: a. 2 log x 4 c. 2 log x 1 / 2 b. 2 log x 2 d. 2 log x 3

e. semua salah

16

log x + … e. tak berhingga

Seorang pegawai mendapat gaji permulaan Rp. 10.000,-. Jika pada tiap tahun ia mendapat kenaikan gaji Rp. 1.000,-, maka dalam waktu 10 tahun jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut adalah: a. Rp. 1.680.000,c. Rp. 1.720.000,e. Rp. 1.760.000,b. Rp. 1.740.000,d. Rp. 1.700.000,-

19. Seorang berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatan menjadi setengah kecepatan sebelumnya. Berapa jarak terjauh yang dapat dicapai orang tersebut? a. 6 km c. 10 km e. tak berhingga b. 8 km d. 12 km 20. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketinggian yang sama dengan duapertiga dari tinggi yang dicapainya sebelum terakhir. Panjang lintasan bola itu sampai ia berhenti ialah: a. 2 m c. 5 m e. semua salah b. 3 m d. ~ 21. Seorang pegawai mendapat gaji permulaan Rp. 10.000,-. JikA pada tiap tahun ia mendapat kenaikan gaji Rp.1.000,- maka dalam waktu 10 Tahun jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut adalah: a. Rp. 1.680.000,c. Rp. 1.720.000,e. Rp. 1.760.000,b. Rp. 1.740.000,d. Rp. 1.700.000,22.1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (2n-1) 2 = …

28

1 n(n  1)(2n  1) 6 2 n  b.  (n  1) 2 

a.

c. d.

n ( n  1) 2 1 ( 4n 3  n) 2

e.

n (2n  2) 2

n

2 23.  (2i  1)  .... i 1

n

n

i 1

i 1

n

2 a. 4 i - 4 i  n n

 (4i

2

2 c. 4 (i  i  1)

e.

i 1

 4i  1)

i 1

n

2 b. 4 i  4i  1 i 1

n

n

i 1

i 1

2 d. 4 i - 4 i  4n

24.Buktikan dengan menggunakan induksi matematika hasil penjumlahan berikut. n n n n2 3 ( i  5 )  ( n  11 ) i  (n  1) 2 a.  d.  2 4 i 1 i 1 n n n 2 2 i n 1 b.  (2i  1)  ( 4n  1) e.  2  2  2 2 i 1 i 1 n

c.

 i.2

i 1

 (n  1)2 n  1

i 1

I. MATRIKS Ringkasan Materi : 1. A + B = B + A 2. A.B ≠ B.A 1

3. A =  3  1

4. A =  3 

2 1  , transpos A =  4 2 2  A , invers A = 4 

3  4   1 3  1     2 4  2

3  4 

SOAL-SOAL LATIHAN

29

p

q

 p

6

p  q

 4

1.

 Jika 3 r s     1 2s    r  s 3       Maka harga p, q, r dan s adalah: a. p = 2, q = 3, r = 4, s = 1 b. p = 2, q = 4, r = -1, s = 3 c. p = 2, q = -4, r = 1, s = -3 d. p = 2, q = -4, r = -4, s = 3 e. p = 2, q = 4, r = 1, s = 3

2.

Diketahui matriks A    3  2 , B   0 3k  1danC   3 5  . Nilai       -1 -1 k yang memenuhi A + B = C (C invers matriks C) adalah…… a. -1 b. -2 c. 2 d. 1 e. 3

3.

Jika untuk matriks A   0 d  dan B   0 s  berlaku AB = BA,     maka: a. (a+d)b = (p+s)q d. (a-d)q = (p-s)b b. (a+d)q = (p+s)b e. (a-d)q = (s-q)b c. (a-d)b = (p-s)q

4.

 6

a

 x

3

 



Jika  y    1

2 

1

b

5 

p

 2  a  a 2   dan     1  b  b 5

2

3

q

3  p   x   maka   sama  2  q   y

dengan : a.  6 

5

1  p     1 q 

6

 6  p 

9

 1  p 

 1

 5  p    3  q 

d. 13  12  q    

b.  5  2  q    

e.   4 

  4 13  p    1  q 

c.  7  5.

 1

1

0

0  0   1 0  16 1   0  1 0 b. 2 0 1   

a.  0 

6.

0

1

Jika A    1 1 dan B   1 0  maka (A + B) (A _ B) – (A – B) (A     + B) sama dengan: 1

0  1 

 1

0  1 

c. 4 0 

d. 8 0 

e.

Untuk O suatu konstanta, tentukanlah nilai x dan y sehingga :

 sin    cos 

cos  x   sin        sin   y   cos  

a. x = 1, y = 0

d. x = sin , y = cos 

30

e. x = cos , y = sin 

b. x = 0, y = 1 c. x = 1, y = 1 7.

8.

6

3  Matriks  2 3 

a. 6 9.

10.

2

Matriks A   6 5  , I = matriks identitas. Jika matriks A – k I   singular, maka k = … a. 2 atau 5 c. 2 atau 9 e. 5 atau 6 b. 2 atau 6 d. 3 atau 6 4 x 2

1  5  merupakan matriks singular jika x = … 2 

b. 4

c. 2

d. -4  2x

5 

e. -6 5

4 

Diketahui determinan dari matriks  9 x  3  dan 13 3 x  sama,     maka x = … a. 1 atau ½ c. 2 atau ½ e. 7 atau 1 b. 2 atau 1 d. 3 ½ atau 1 3

Invers matriks A =  8 

2  adalah: 5 

 5

2    3 

c.   8 

 5

 2  3 

d.  8 

a.  8 

b.   8 

 5 5

 2   3  2  3 

 5

2 

e.   8  3   

J. VEKTOR SOAL –SOAL LATIHAN 1.

2.

Diberikan titik A (4, 4, 2) , B (1, 1, 8) dan C membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 2 Panjang AC adalah……………… a. d. 6 2 6 66 b. e. 34 c. 2   1     Diketahui a   1 , dan b   1  . Jika u  3a  5b maka proyeksi skalar  1   1 

vector

u

a. 9 3

pada

b

adalah …….. d.

3 3

31

b. 3 3 c. 3.

3 9

e.

3 3

Diketahui ∆ PQR dengan P(2,4,5), Q(2,0,1) dan R(6,2,3). Titik S dan T berturut-turut titik tengah PQ dan QR. Maka panjang ST adalah …. 7 a. 2 c. 5 e. b. 3 d. 6

 1  x      4. Sudut antara vektor u   1  dan vektor adalah v   3  adalah , maka 3  3       2 nilai x =…. a. 46 b. 10 46 c. 5

d. 5 e. 2

5. Agar kedua vector a = (x , 4 , 7 ) dan b = (6 , y , 14 ) segaris

haruslah nilai x – y = ….. a. -5 d. 4 b. -2 e. 6 c. 3

6. Agar kedua vector a = (x , 4 , 7 ) dan b = (6 , y , 14 ) segaris haruslah nilai x – y = ….. a. -5 b. -2 c. 3 d. 4 e.6 7. Jika ….

= 2,

a

a

2

c d

= 3 dan

a  b

=

19

,

maka

a  b

=

19

1 2

b

b

2

19 7

7

1 4

e

7

  8. Diketahui vektor a = (2, -2, 2) dan vektor b = (-1, 2, -2). Vektor  c yang mempunyai panjang 1, tegak lurus pada vektor a dan tegak  lurus pada vektor b adalah....

a.

0,

2 2

,

2 2



32

b. c. d. e.

0,  0, 0,   ,

2 2

2 2

2 2

,

2 2

,

2 2

2 2

,

2 2

,0





 2 2



33