Keterkaitan Antar Himpunan: Oleh: Sudarto Tim Dosen Ak Jepara

Keterkaitan Antar Himpunan

Oleh: SUDARTO Tim Dosen AK Jepara

6. Keterkaitan Antar Himpunan • Keterkaitan antar himpunan menjelaskan tentang hubungan antara himpunan satu dengan himpunan yang lain. • Antara dua himpunan bisa sama, atau ekivalen, atau saling lepas.

A. Himpunan yang sama • Himpunan X dan Y disebut sama jika setiap elemen X merupakan elemen Y dan setiap elemen Y merupakan elemen X • • Dengan kata lain X = Y, jika dan hanya jika X himpunan bagian dari Y dan Y himpunan bagian dari X • Atau dengan notasi sebagai berikut: • X = Y ↔ X  Y dan Y  X

• Contoh: • 1. X = { a, i, u, e, o }, Y = { x | x  huruf vokal }, maka X = Y • 2. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, ▫

•

B = { x | x  P, x ≤ 5 },

maka A = B

B. Himpunan yang ekivalen • Himpunan X dan Y disebut ekivalen jika jumlah elemen (kardinalitas) himpunan X sama dengan himpunan Y • Notasinya adalah sebagai berikut: • X  Y ↔ |X| = |Y|

• Contoh: • 1. X = { a, i, u, e, o }, • Y = { x | x  P, x ≤ 5 }, • maka X  Y karena |X| = |Y| = 5

• 2. A = { 2, 4, 6, 8 }, • B={x|x bilangan prima lebih kecil dari 10 }, • maka A  B karena |A| = |B| = 4

C. Himpunan yang saling lepas (disjoint) • Himpunan X dan Y disebut saling lepas jika elemen dari himpunan X tidak merupakan elemen himpunan Y dan sebaliknya.

• Notasinya adalah adalah sebagai berikut : • X // Y ↔ X  Y = 

• Diagram Venn himpunan saling lepas: U X

Y

• Contoh : • 1. X = { a, i, u, e, o }, • Y = { x | x  P, x ≤ 5 }, • maka X // Y • 2. A = { 4, 6, 8 }, • B ={x|x bilangan prima lebih kecil dari 10 }, maka A // B.

7. Hukum-hukum pada Himpunan • 1. Hukum Asosiatif.

▫ ►X  (Y  Z) = (X  Y)  Z ▫ ►X  (Y  Z) = (X  Y)  Z

• 2. Hukum Komutatif ▫ ►X  Y = Y  X ▫ ►X  Y = Y  X

• 3. Hukum Distributif

▫ ►X  (Y  Z) = (X  Y)  (X  Z) ▫ ►X  (Y  Z) = (X  Y)  (X  Z)

• 4. Hukum Identitas • ►X   = X • ►X  U = X • 5. Hukum Komplemen • ► = X  X= U • ►= X  X =  • 6. Hukum Idempoten • ►X  U = X ▫ X   =

• 7. Hukum Penyerapan • ►X  (X  Y) = X • ►X  (X  Y) = X • 8. Hukum Involusi • ► X =X • 9. Hukum 0/1 • ► = U • =U =  • 10. Hukum De Morgan untuk himpunan • ► X Y  X Y

• ►

X Y  X Y

8. Prinsip Inklusi - Eksklusi • X  Y| = |X| + |Y| ̶ | X  Y | • |X  Y| = |X| + |Y| ̶ 2| X  Y |

• Contoh 1: • Pertanyaan: • Berapa banyak bilangan bulat mulai dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 4 atau 5. • Jawaban: • X = himpunan bilangan bulat mulai dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 4 • Y = himpunan bilangan bulat mulai dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 5

• U = { x | x  Z, 1 ≤ x ≤ 1000 } • X  Y = himpunan bilangan bulat mulai dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 4 dan 5. • |X| = 1000/4 = 250 • |Y| = 1000/5 = 200 • |X  Y| = 1000/20 = 50 • Jumlah bilangan bulat yang habis dibagi 4 atau 5 = |X  Y| • |X  Y| = |X| + |Y| ̶ | X  Y | • = 250 + 200 ̶ 50 = 400 • Jadi ada 400 bilangan mulai dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 4 atau 5

• Contoh 2: • Pertanyaan: • ► Berapa banyak bilangan bulat mulai dari 100 sampai 1000 yang habis dibagi 5 atau 7 tapi tidak keduanya. • Jawaban: • X = himpunan bilangan bulat mulai dari 100 sampai 1000 yang habis dibagi 5. • = himpunan bilangan bulat mulai dari 96 sampai 1000 yang habis dibagi 5. • Y = himpunan bilangan bulat mulai dari 100 sampai 1000 yang habis dibagi 7.

• X  Y = himpunan bilangan bulat mulai dari 100 sampai 1000 yang habis dibagi 5 dan 7.

▫ = himpunan bilangan bulat mulai dari 100 sampai 1000 yang habis dibagi 35.

U = { x | x  Z, 100 ≤ x ≤ 1000 } |X| = 905/5 = 181 |Y| = 901/7 = 128 |X  Y| = 901/35 = 25 Jumlah bil. bulat yang habis dibagi 5 atau 7 tapi tidak keduanya = |X  Y | • |X  Y | = |X| + |Y| ̶ 2| X  Y | • = 181 + 128 ̶ 2 x 25 = 259 • Jadi ada 259 bilangan mulai dari 100 sampai 1000 yang habis dibagi 5 atau 7 tetapi tidak keduanya. • • • • •

TUGAS INDIVIDU (Latihan) 1.

Buatlah dua himpunan X dan Y , dimana kedua himpunan dinyatakan: ▫ ▫ ▫

a. Sama b. Ekivalen c. Saling Lepas

2.

Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 900 yang habis dibagi 2 atau 3

3.

Berapa banyak bilangan bulat dari 100 sampai 900 yang habis dibagi 3 atau 5 tapi tidak keduanya

Pengerjaan & Pengumpulan tugas • Tugas ditulis tangan dan dikumpulkan paling lambat sebelum UTS untuk Nilai tengah semester dan sebelum UAS untuk Nilai akhir semester