Kelompok 7.docx

DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM Makalah ini diajukan untuk memenuhi tugas mandiri mata kuliah Fisika Kuantum Dosen I

: Dr. Hj. Ade Yeti Nuryantini, M.Si.

Dosen II

: Pina Pitriana, S.Si., M.Si.

Disusun oleh: Nita Septianti

1162070051

Sani Safitri

1162070063

Widiastuti Ledgeriana Mugiri

1162070074

Yogi Falahudin

1162070076

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2019

KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karuniaNya, sehingga makalah ini bisa terselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Rasulullah SAW yang telah membukakan cahaya pengetahuan dan kebaikan kepada seluruh umat manusia di mukabumi. Makalah yang berjudul Dasar-Dasar Fisika Kuantum yang meliputi Persamaan Gelombang, Persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 dan Sifat-Sifat Fungsi Gelombang ini di susun dan diajukan untuk memenuhi salah satu tugas terstruktur mata kuliah Fisika Kuantum. Dalam menyusun makalah ini tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi, namun penulis sadari bahwa kelancaran dalam menyusun makalah ini tidak lain karena kerja sama dari kelompok penulis, sehingga segala sesuatu hambatan bisa teratasi, dan dengan mengucap syukur alhamdulillah penyusunan makalah ini dapat terselesaikan dengan baik. Penulis makalah ini tentu saja menyadari masih terdapat kekurangankekurangan dalam menulis. Oleh karena itu, saran dan masukan untuk makalah ini penulis harapkan sebagai upaya memperbaiki kesalahan dalam penulisan makalah. Mudah-mudahan makalah ini dapat memberikan banyak manfaat bagi semua pihak. Aamiin yaa robbal ‘alamiin.

Bandung, Februari 2019 Penyusun

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR DAFTAR ISI

i

ii

DAFTAR GAMBAR

iii

BAB I PENDAHULUAN 1 A.

Latar Belakang Masalah

1

B.

Rumusan Masalah

2

C.

Tujuan Makalah

2

BAB II PEMBAHASAN 3 A.

Persamaan Gelombang

3

B.

Persamaan 𝑺𝒄𝒉𝒓𝒐𝒅𝒊𝒏𝒈𝒆𝒓

4

1.

Partikel Bebas

2.

Partikel di dalam Potensial

10

3.

Arti Fisis Fungsi Gelombang

11

4.

Persamaan Kontinyuitas

13

5.

Nilai Harap

14

6.

Syarat Untuk Fungsi Gelombang

16

7.

Keadaan Stasioner dan Persamaan Nilai Eigen

17

C.

8

Sifat-Sifat Fungsi Gelombang

BAB III PENUTUP

19

23

A.

Kesimpulan

23

B.

Saran

23

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

vii

CATATAN

viii

vi

ii

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Solusi ................................................................................................. 12 Gambar 2.2 Ilustrasi .............................................................................................. 17

iii

1. BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang. Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejala-gajala fisik konkret yang dialaminya sehari-hari. Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli Fisika dari Austria, Erwin 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron. Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun setelah 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya. Pada tahun 1926 Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh

1

melalui persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang mendasari pembuatan makalah ini, penulis mengabil rumusan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana penurunan persamaan gelombang? 2. Bagaimanakah penurunan persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟? 3. Apa saja sifat-sifat fungsi gelombang? C. Tujuan Makalah Berdasarkan rumusan masalah yang di susun, maka dari itu tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Menganalisis penurunan persamaan gelombang. 2. Menganalisis penurunan persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟. 3. Menentukan apa saja sifat-sifat fungsi gelombang.

2

2. BAB II PEMBAHASAN A. Persamaan Gelombang Tinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregangkan sepanjang 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 − 𝑥 dengan kedua ujungnya di buat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktu adalah 𝜓(𝑥, 𝑡) . Fungsi ini di sebut fungsi gelombang. Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti: 𝜕2 𝛹(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 2

1 𝜕2 𝛹(𝑥,𝑡)

= 𝑣2

(2.1)

𝜕𝑡 2

di mana 𝑣 adalah kecepatan fasa (kecepatan perambatan gelombang). Jika dimisalkan 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝜙(𝑡)

(2.2)

dan disubstitusikan ke persamaan (2.1) akan diperoleh: 𝑣 2 𝑑2 𝜑(𝑥) 𝜑(𝑥)

𝑑𝑥 2

=

1 𝑑2 𝜙(𝑡) 𝜙(𝑡)

𝑑𝑡 2

= −𝜔2

(2.3)

Pemberian konstanta −𝜔2 dapat dilakukan karena telah terjadi pemisahan variabel 𝑥 dan variabel 𝑡. Jadi, dari persamaan (2.3) itu diperoleh dua persamaan. (Siregar, 2018) 𝑑2 𝜙(𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 2

+ 𝜔2 𝜙(𝑡) = 0 +

𝜔2 𝑣2

(2.4)

𝜑(𝑥) = 0

(2.5)

Persamaan (2.4) mempunyai solusi umum: 𝜙 (𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑖𝜔𝑡

(2.6)

dimana 𝜔 = 2𝜋𝑓 , 𝑓 adalah frekuensi; karena 𝑣 adalah kecepatan 𝑣

merambat maka panjang gelombang 𝜆 = 𝑓. Fungsi gelombang (2.2) menjadi 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝜑 𝐴𝑒 −𝑖𝜔𝑡

(2.6a)

Selanjutnya, persamaan (2.5) mempunyai solusi umum: 2𝜋

2𝜋

𝜑(𝑥) = 𝐶 sin ( 𝜆 𝑥) + 𝐷 cos ( 𝜆 𝑥)

3

(2.7)

Untuk menentukan konstanta 𝐶 dan 𝐷 diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas, pada 𝑥 = 0, dan 𝑥 = 𝐿 dengan 𝐿 adalah panjang kawat. Andaikan, untuk 𝑥 = 0, 𝜓(0) = 0 maka 𝐷 = 0, dan persamaan (2.7) menjadi 2𝜋

𝜑𝑛 (𝑥) = 𝐶 sin ( 𝜆 𝑥)

(2.8)

Selanjutnya jika diambil syarat batas di 𝑥 = 𝐿, 𝜑(𝐿) = 𝐶𝑠𝑖𝑛(

2𝜋𝐿 𝜆

) = 0,

2𝜋

maka 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜆 ) = 0, sehingga: 2𝐿 𝜆

= 𝑛; 𝑛 = 1,2, … …

(2.9)

Bilangan 𝑛 disebut nomor modus normal. Akhirnya persamaan (2.8) dapat dituliskan seperti 𝑛𝜋

𝜑𝑛 (𝑥) = 𝐶 sin ( 𝐿 𝑥)

(2.10)

Substitusi persamaan (2.9) dan (2.6) ke persamaan (2.2) menghasilkan: 𝑛𝜋

𝜑𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin ( 𝐿 𝑥) 𝑒 −𝑖𝜔𝑡

(2.11)

Persamaan ini menggambarkan simpangan modus normal getaran kawat. (Siregar, 2018) B. Persamaan 𝑺𝒄𝒉𝒓𝒐̈ 𝒅𝒊𝒏𝒈𝒆𝒓 Pada tahun 1926, Erwin 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 menggunakan sifat gelombang de Broglie suatu partikel dalam persamaan gelombang (2.5). Jika momentum partikel adalah 𝑝 , maka panjang gelombangnya adalah 𝜆 = ℎ/𝑝 . Karena kecepatan 𝑣 = 𝑓𝜆 maka 𝑣=

ħ𝜔

(2.12)

𝑝

Dimana ℏ = ℎ/2𝜋 dan 𝜔 = 2𝜋𝑓. Dengan demikian maka persamaan gelombang (2.5) menjadi 𝑑2 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 2

𝑝2

+ ħ2 𝜑(𝑥) = 0

(2.13)

Tetapi, karena energi kinetik partikel adalah 𝑝2

𝐾 = 2𝑚

(2.14)

maka persamaan gelombang (2.13) menjadi

4

𝑑2 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 2

2𝑚𝐾

+

ħ2

𝜑(𝑥) = 0

(2.15)

Jika energi potensial yang dimiliki partikel adalah 𝑉 , maka energi partikel itu adalah 𝐸 =𝐾+𝑉

(2.16)

Dengan demikian maka persamaan gelombang (2.15) menjadi 𝑑2 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 2

2𝑚

+

ħ2

(𝐸 − 𝑉)𝜑(𝑥) = 0

(2.17)

Inilah yang disebut persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 yang tidak bergantung waktu. Jelaslahbahwa persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 adalah persamaan gelombang untuk satu partikel. (Siregar, 2018) Untuk 3-dimensi persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 adalah: ∇2 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

2𝑚 ħ2

(𝐸 − 𝑉)𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

(2.18)

Dimana ∇2 =

𝜕2 𝜕2 𝜕2 + + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

Dari persamaan (2.17) dan (2.18) jelas bahwa persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 adalah persamaan gelombang bagi partikel. Solusi persamaanitu adalah energi 𝐸 dan fungsi gelombang 𝜑(𝑥). Untuk menyelesaikan persamaan itu diperlukan syarat batas bagi fungsi gelombang 𝜑(𝑥). Syarat batas itu bisa ditentukan jika bentuk energi potensial 𝑉 diketahui sebelumnya. (Siregar, 2018) Persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 (2.17) untuk 1-dimensi dapat dituliskan sebagai berikut: ħ2 𝑑 2

[− 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉 (𝑥)] 𝜑(𝑥) = 𝐸 𝜑(𝑥)

(2.19)

Untuk itu nyatakanlah 2

2

̂ = − ħ 𝑑 2 + 𝑉(𝑥) 𝐻 2𝑚 𝑑𝑥

(2.20)

sehingga persamaan (2.19) menjadi ̂ 𝜑(𝑥) = 𝐸 𝜑(𝑥) 𝐻

(2.21)

̂ disebut 𝐻𝑎𝑚𝑖𝑙𝑡𝑜𝑛𝑖𝑎𝑛 partikel yang merupakan operator energi dari 𝐻 partikel. Untuk kasus 3-dimensi. Hamiltonian itu adalah

5

̂=− 𝐻

ħ2 2 ∇ + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) 2𝑚

Hamiltonian di atas hanya bergantung pada ruang, tidak bergantung waktu. Jadi ia bersifat stasioner. Dalam persamaan (2.21) terlihat bahwa operasi ̂ pada fungsi 𝜑(𝑥) menghasilkan energi 𝐸 tanpa mengubah fungsi operator 𝐻 𝜑(𝑥). Persamaan seperti itu disebut persamaan nilai eigen, di mana 𝐸 adalah ̂ dengan fungsi eigen 𝜑(𝑥). Analogi dengan nilai eigen energi dari operator 𝐻 ℎ2

fisika klasik, 𝐸 = 𝐾 + 𝑉, maka − (2𝑚) 𝜕 2 /𝜕𝑥 2 adalah operator energi kinetik dan 𝑉 adalah operator energi potensial dari partikel. (Siregar, 2018) Berdasarkan persamaan (2.6a), mengingat 𝜔 = 𝐸/ℏ fungsi gelombang partikel bisa dituliskan seperti 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ ̂ dioperasikan pada fungsi lengkap itu maka Jika operator 𝐻 ̂ 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐻 ̂ 𝜑(𝑥)𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ 𝐻 = 𝐸𝜑(𝑥)𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ = 𝑖ħ

𝜕 𝛹 (𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡

Persamaan ini 𝜕

̂ 𝛹 (𝑥, 𝑡) 𝑖ħ 𝜕𝑡 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐻

(2.22)

disebut persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 yang bergantung waktu. Dengan fungsi gelombang 𝜑(𝑥) dapat dinyatakan kerapatan peluang untuk menemukan partikel itu di posisi 𝑥 dalam rentang 𝑑𝑥, yakni |𝜑(𝑥)|2 𝑑𝑥 sehingga berlaku −∞

∫+∞ |𝜑(𝑥)|2 𝑑𝑥 = 1

(2.23)

Persamaan (2.23) itu menyatakan fungsi gelombang partikel yang dinormalisasi. Dalam persamaan itu |𝜑(𝑥)|2 = 𝜑 ∗ (𝑥)𝜑(𝑥) = |𝜑(𝑥)|2 dimana 𝜑 ∗ (𝑥) adalah konjugat dari 𝜑(𝑥). (Siregar, 2018) Contoh 1: Di antara fungsi-fungsi 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑥 , 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 dan 𝐶𝑒 𝑎𝑥 yang manakah 𝑑

𝑑2

fungsi eigen dari operator 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑥 2 , dan tentukan nilai eigen bersangkutan.

6

𝑑 (A sin 𝑎𝑥) = 𝑎 (A cos 𝑎𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 (B cos 𝑏𝑥) = −𝑏 (B cos 𝑏𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 (𝐶𝑒 𝑎𝑥 ) = 𝛼(𝐶𝑒 𝑎𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑

Jadi, 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑥 dan 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 bukan fungsi eigen dari operator 𝑑𝑥 𝑑2 (𝐴 sin 𝑎𝑥) = − 𝑎2 (𝐴 sin 𝑎𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑2 (𝐵 cos 𝑏𝑥) = − 𝑏 2 (𝐵 cos 𝑏𝑥) 2 𝑑𝑥 𝑑2 (𝐶𝑒 𝑎𝑥 ) = 𝑎2 (𝐶𝑒 𝑎𝑥 ) 2 𝑑𝑥 Jelas bahwa 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑥, 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 dan 𝐶𝑒 𝑎𝑥 adalah fungsi-fungsi eigen dari operator

𝑑2 𝑑𝑥 2

masing-masing dengan nilai eigen −𝑎2 , −𝑏 2 dan 𝑎2 .

Tinjaulah kembali persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 yang bergantung waktu. Misalkan 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐹̂ (𝑡) 𝜑 (𝑥) Substitusi ke persamaan (2.22) menghasilkan: 𝑖ħ

𝑑𝐹̂ 𝜑(𝑥) = 𝐹̂ (𝑡)𝜑(𝑥) 𝑑𝑡

Sehingga 𝑖ħ

𝑑𝐹̂ ̂ 𝐹̂ =𝐻 𝑑𝑡

Dan selanjutnya diperoleh 𝐹̂ (𝑡) = 𝑒 −𝑖𝐻̂𝑡/ℏ . Jadi, 𝜓(𝑥, 𝑡) adalah 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ 𝜑(𝑥)

(2.24)

Dengan menguraikan operator eksponensial di atas, ̂2𝑡2 𝐻 ̂ 𝐻𝑡 2 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ 𝜑(𝑥) = (1 − + ħ − ⋯ ) 𝜑(𝑥) ħ 2!

7

𝐸2 𝑡2 𝑖𝐸𝑡 2 = (1 − + ħ − ⋯ ) 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑥)𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ ħ 2! Jadi, bentuk lengkap dari fungsi gelombang 𝜓(𝑥, 𝑡) adalah 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥). 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ħ

(2.25)

Dari persamaan di atas dapat dinyatakan bahwa keadaan suatu partikel dengan energi 𝐸 yang tak bergantung waktu adalah keadaan stasioner, dan fungsi gelombang. 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝑒𝑥𝑡(−

𝑖𝐸𝑡 ℏ

) .di sebut keadaan stasioner.

Fungsi gelombang 𝜓(𝑥, 𝑡) di sebut juga fungsi keadaan. (Siregar, 2018) Postulat Max Planck dan konsep spekulatif de Broglie mengisyaratkan perlunya konsep baru tentang dunia mikroskopik. Di dalam bab ini diuraikan langkah-langkah penting dalam membangun mekanika baru yaitu mekanika gelombang atau mekanika kuantum dan beberapa contoh sistem sederhana serta konsep pokok terkait. (Purwanto) 1. Partikel Bebas Kita berangkat dari konsep klasik yang telah kita kenal dengan baik. Secara klasik, energi partikel atau berada bebas bermassa m, diberikan oleh energi kinetik. (Purwanto) 𝑃2

𝐸 = 2𝑚

(2.26)

dengan 𝑝 adalah momentum partikel. Berikut ini diperlihatkan transisinya ke dalam persamaan kuantum. Ungkapan energi Planck 𝐸𝑛 = 𝑛ℎ𝑣 dan momentum Compton 𝑃 =

ℎ𝑣 𝑐

ℎ

= 𝜆 dapat ditulis sebagai berikut: 𝐸 = ℏ𝜔

𝑃 = ℏ𝑘

(2.27) +∞

sehingga ungkapan paket gelombang 𝑓(𝑥, 𝑡) = ∫

−∞

𝑔(𝑘)𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 𝑑𝑘

dapat di tulis ulang dalam bentuk: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑁∫ 𝜑(𝑃)𝑒 (𝑃𝑥−𝐸𝑡)∕ℎ 𝑑𝑃 dengan 𝑁 adalah konstanta normalisasi.

8

(2.28)

Diferensiasi fungsi (2.28) terhadap waktu memberikan: 𝑑𝜓 𝑖𝐸 = 𝑁∫ 𝜑(𝑃) (− )𝑒 𝑖(𝑃𝑥−𝐸𝑡)∕ℎ 𝑑𝑝 𝜕𝑡 ℏ Jika energi 𝐸 diasosiasikan sebagai energi partikel bebas (2.26), maka: 𝜕𝜓 𝜕𝑡

−𝑖𝑁

=

ℏ

𝑃2

∫ 𝜑 (𝑝) 2𝑚 𝑒 𝑖(𝑃𝑥−𝐸𝑡)∕ℎ 𝑑𝑝

(2.29a)

Tetapi ruas kanan persamaan (2.29a) dapat ditulis sebagai: 𝑃2 𝑖(𝑝𝑥−𝐸𝑡)⁄ ℎ 𝑑𝑝 𝑁∫ 𝜑(𝑃) 𝑒 2𝑚 = 𝑁∫ 𝜑(𝑃) { ℏ2

= − 2𝑚

𝜕2 𝜕𝑥 2

𝑁∫ 𝜑(𝑃)𝑒

−ℎ2 𝜕 2 𝑖(𝑝𝑥−𝐸𝑡)⁄ ℎ } 𝑑𝑝 𝑒 2𝑚 𝜕𝑥 2

𝑖(𝑝𝑥−𝐸𝑡)⁄ ℎ

ℎ2 𝜕2 𝜓

𝑑𝑝 = 2𝑚

𝜕𝑥 2

(2.29b)

Dari dua persamaan di atas diperoleh persamaan diferensial paket gelombang 𝜓 bagi partikel bebas: 𝜕𝜓

𝑖ℏ 𝜕𝑡 =

−ℏ2 𝜕2 𝑚

(2.30)

2𝑚 𝜕𝑥 2

Perluasan bentuk energi partikel bebas ke dalam ruang tiga dimensi diberikan oleh: 𝑝2

1

𝐸 = 2𝑚 = 2𝑚 (𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2 )

(2.31)

dan persamaan (2.30) dapat diperluas menjadi: 𝜕𝜓 ℏ2 𝜕 2 𝜓 ℏ2 𝜕 2 𝜓 ℏ2 𝜕 2 𝜓 𝑖ℏ =− − − 𝜕𝑡 2𝑚 𝜕𝑥 2 2𝑚 𝜕𝑦 2 2𝑚 𝜕𝑧 2 =−

ℏ2 𝜕 2 𝜕2 𝜕2 ( 2 + 2 + 2) 𝜓 2𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

ℏ2

= − 2𝑚 𝛻 2 𝜓

(2.32)

Dengan 𝜓 ≡ 𝜓 (𝑟, ⃗⃗ 𝑡) = 𝑁∫ 𝜑(𝑃⃗)𝑒 𝑖(𝑃⃗ 𝑟 −𝐸𝑡)⁄ℎ 𝑑 3 𝑃⃗ dan tetapan norrnalisasi baru 𝑁 = (2𝜋ℏ)−3/2. (Purwanto)

9

(2.33)

2. Partikel di dalam Potensial Dengan membandingkan persamaan.(2.26) dan persamaan (2.32) tampak adanya korespondensi antara energi 𝐸,momentum 𝑝 dan operator diferensial 𝐸 → 𝑖ℎ

𝜕 𝜕𝑡

𝑝 → 𝑖ℏ∇

(2.34)

Operator-operator ini bekerja pada fungsi gelombang 𝜓(𝑟, 𝑡) . Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. (Purwanto) Selanjutnya, tinjau partikel yang mengalami gaya 𝐹 yang dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial 𝑉(𝑟, 𝑡) 𝐹 = −∇𝑉(𝑟, 𝑡)

(2.35)

Karena itu, energi total partikel 𝐸 dapat diungkapkan sebagai 𝑝2

𝐸 = 2𝑚 + 𝑉(𝑟, 𝑡)

(2.36)

Berdasarkan korespondensi (2.34) persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial 𝑉(𝑟, 𝑡) diberikan oleh 𝑖ℏ

𝜕𝜓(𝑟 ,𝑡) 𝜕𝑡

ℏ2

= − 2𝑚 ∇2 𝜓(𝑟, 𝑡) + 𝑉(𝑟, 𝑡)𝜓(𝑟, 𝑡)

(2.37)

Persamaan (2.37) ini dikenal sebagai persamaan gelombang 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 untuk partikel di dalam potensial 𝑉(𝑟, 𝑡). Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 satu dimensi behentuk 𝑖ℏ

𝜕𝜓(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡

ℏ2 ∂2 𝜓(𝑥,𝑡)

= − 2𝑚

𝜕𝑥 2

+ 𝑉(𝑥, 𝑡)𝜓(𝑥, 𝑡)

(2.38)

Secara umum, karena energi 𝐸 dapat dinyatakan dalam Hamiltonian 𝐸 = 𝐻(𝑟, 𝑝, 𝑡)

(2.39)

maka persamaan (2.37) dapat dituliskan sebagai 𝜕𝜓

𝑖ℏ 𝜕𝑡 = 𝐻(𝑟, 𝑖ℏ∇, 𝑡)𝜓

(2.40)

Hamiltonian 𝐻 sekarang berperan sebagai operator ℏ2

𝐻 = − 2𝑚 ∇2 + 𝑉(𝑟, 𝑡)

(2.41)

10

yang bekerja pada fungsi gelombang 𝜓(𝑟, 𝑡) (Purwanto) 3. Arti Fisis Fungsi Gelombang Di dalam persoalan sesungguhnya Hamiltonian suatu sistem diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 yang merupakan persamaan diferensial (parsial) (2.39), jelas persoalannya sekarang adalah mencari solusi 𝜓 dari persamaan tersebut. Jadi, fungsi gelombang 𝜓 merupakan kuantitas teoritis fundamental di dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainya fungsi gelombang 𝜓 sudah di peroleh, masih tersisa satu pertanyaan mendasar: “Fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi dari kejadian yang mungkin, tetapi kejadian apa? Atau, apa yang didiskripsikan oleh fungsi gelombang?” Singkatnya, apa arti fisis dari nilai 𝜓(𝑟, 𝑡) di setiap posisi 𝑟 pada saat 𝑡? Jawaban dari pertanyaan di atas diberikan oleh Max Born pada tahun 1926 yang menyatakan bahwa 𝜓(𝑟, 𝑡) itu sendiri tidak mempunyai arti fisis apa-apa, tetapi (Purwanto) 𝜓 ∗ (𝑟, 𝑡)𝜓(𝑟, 𝑡) = |𝜓(𝑟, 𝑡)|2 = 𝑃(𝑟, 𝑡)

(2.42)

Diintepretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik 𝑃(𝑟, 𝑡)𝑑𝑣 = |𝜓(𝑟, 𝑡)|2 𝑑𝑣

(2.43)

Menyatakan kemungkinan untuk mendapatkan partikel yang dideskripsikan oleh 𝜓(𝑟, 𝑡) berada dalam elemen volume 𝑑𝑣 di sekitar posisi 𝑟 pada saat 𝑡. Di dalam kasus satu dimensi 𝑃(𝑥, 𝑡) = |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥

(2.44)

Menyatakan besar kemungkinan partikel yang dideskripsikan oleh 𝜓(𝑥, 𝑡) berada di antara 𝑥 dan 𝑥 + 𝑑𝑥 pada saat 𝑡. Jika partikel (memang) ada di dalam ruang, interpretasi di atas mensyaratkan ∫𝑉 𝑃(𝑟, 𝑡)𝑑𝑣 = 1

(2.45)

11

Dengan integrasi dilakukan ke seluruh ruang 𝑉. Fungsi gelombang yang memenuhi syarat (2.45) dikatakan sebagai fungsi gelombang temorrnalisasi. (Purwanto) Contoh 2 Fungsi gelombang sutu partikel yang bergerak sepanjang 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 diberikan oleh: 𝜓(𝑥) = 𝐶𝑒 −|𝑥| sin 𝑎 𝑥 a. Tentukan konstanta 𝐶 jika fungsi gelombang temormalisasi b. Jika 𝑎 = 𝜋, hitung kemungkinan untuk mendapatknan partikel berada di sebelah kanan titik 𝑥 = 1. Penyelesaian: a. Secara eksplisit 𝜓(𝑥) diberikan oleh 𝜓(𝑥) = {

𝐶𝑒 𝑥 sin 𝑎 𝑥, 𝐶𝑒 −𝑥 sin 𝑎 𝑥,

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0

Sehingga |𝜓(𝑥)2 | = {

𝐶 2 𝑒 2𝑥 sin2 𝑎 𝑥, 𝐶 2 𝑒 −2𝑥 sin2 𝑎 𝑥,

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0

Tampak bahwa fungsi terakhir adalah fungsi genap, dan rekaan grafiknya diberikan oleh gambar berikut

GAMBAR 2.1 SOLUSI

Karena itu ∞

∞

0

∫ |𝜓|2 𝑑𝑥 = 1 = 𝐶 2 ∫ 𝑒 −2𝑥 sin2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 2 ∫ 𝑒 2𝑥 sin2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 −∞

0

−∞

∞

= 2𝐶 2 ∫ 𝑒 −2𝑥 sin2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 0

12

Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan akan didapatkan ∞ 1 1 = 2𝐶 2 ∫ − {𝑒 (21𝑎−2) + 𝑒 −(21𝑎+2) − 2𝑒 −2𝑥 }𝑑𝑥 4 0 ∞

𝐶 2 𝑒 (21𝑎−2)𝑥 𝑒 −(21𝑎+2)𝑥 =− { + − 𝑒 −2𝑥 }| 2 2𝑖𝑎 − 2 2𝑖𝑎 + 2 0 𝐶2 1 1 = { + + 1} 2 2𝑖𝑎 − 2 2𝑖𝑎 + 2 𝐶2 −4 = { 2 + 1} 2 4𝑎 + 4 Dipatkan konstanta normalisasi 𝐶 𝐶=√

2(1 + 𝑎2 ) 𝑎2

sehingga 2(1 + 𝑎2 ) −|𝑥| √ 𝜓(𝑥) = 𝑒 sin 𝑎𝑥 𝑎2 b. Besar kemungkinan partikel berada di 𝑥 ≥ 1 ∞

𝑃(𝑥 ≥ 𝑡) = ∫ |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 𝑡 ∞

2(1 + 𝑎2 ) = ∫ 𝑒 −2𝑥 sin2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑎2 𝑡

=

𝑒2 {1 + 𝑎2 + sin 2𝑎 − cos 2𝑎} 2𝑎2

Untuk 𝑎 = 𝜋 𝑃(𝑥 ≥ 1) =

1 = 0,068 2𝑒 2

4. Persamaan Kontinyuitas Kembali pada probabilitas (2.44), dan diferensiasi terhadap waktu atas besaran ini memberikan:

13

𝜕𝑝 𝜕 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝜓 ∗ (𝜓 , 𝜓) = {( = ) 𝜓 + 𝜓 ∗ ( )} 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 1 {−(𝐻𝜓)∗ 𝜓 + 𝜓 ∗ (𝐻𝜓)} = 𝑖ℏ =

1 ℏ2 2 {𝜓 ∗ (− 𝛻 𝛹 + 𝑉𝛹) 𝑖ℏ 2𝑚

− (−

𝑛2 2 ∗ 𝛻 𝜓 + 𝑉𝜓 ∗ ) 𝜓} 2𝑚

𝑖ℏ {𝜓 ∗ (𝛻 2 𝜓) − (𝛻 2 𝜓 ∗ )𝜓} 2𝑚 𝑖ℏ = 𝛻. {𝜓 ∗ (𝛻𝜓) − (𝛻𝜓 ∗ )𝜓} 2𝑚 =

Atau 𝜕

|𝜓|2 − 𝛻 ⋅

𝜕𝑡

𝑖ℏ 2𝑚

{𝜓 ∗ (𝛻𝜓) − (𝛻𝜓 ∗ )𝜓} = 0

(2.46)

Persamaan (2.46) ini tidak lain adalah persamaan kontinyuitas: 𝑑𝑃 𝜕𝑡

+𝛻⋅𝑠 =0

(2.47)

dengan 𝑃 adalah rapat probabilitas (2.44) dan fluks atau rapat arus probabilitas 𝑠 𝑖ℏ

𝑠 = − 2𝑚 {𝜓 ∗ 𝛻𝜓 − (𝛻𝜓 ∗ )𝜓}

(2.48)

Untuk kasus satu dimensi, persarnaan kontinyuitas (2.46) menjadi: 𝜕𝑃 (𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡

+

𝜕𝑆 (𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥

=0

(2.49)

dengan rapat arus 𝑆 𝑖ℏ

𝜕𝜓

𝑆 = − 2𝑚 {𝜓 ∗ 𝜕𝑥 −

𝜕𝜓∗ 𝜕𝑥

𝜓}

(2.50)

5. Nilai Harap Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang 𝜓 sudah diperoleh kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, dimana partikel sering berada atau berapa momentum rata-rata partikel? Jawaban atas

14

pertanyaan ini diberikan oleh teorema Ehrenfest. Misalkan kita ingin tahu nilai rata-rata variabel dinamis 𝐴(𝑥, 𝑝) , maka didefinisikan nilai harap (𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) dari besaran 𝐴 sebagai 〈𝐴〉 = ∫ 𝜓 ∗ 𝐴𝑜𝑝 𝜓 𝑑𝑣

(2.51)

⃗ ) yang mempresentasikan variabel Dengan 𝐴𝑜𝑝 adalah operator 𝐴(𝑥, −𝑖ℎ∇ 𝐴 di dalam mekanika kuantum. Secara lebih umum, jika 𝜓 tak ternormalisasi maka persamaan (2.51) menjadi (Purwanto) 〈𝐴〉 =

∫ 𝜓∗ 𝐴𝑜𝑝 𝜓 𝑑𝑣

(2.52)

∫ 𝜓∗ 𝜓 𝑑𝑣

Sebagai contoh, nilai rata-rata posisi 𝑟 〈𝑟〉 = ∫ 𝜓 ∗ 𝑟𝜓 𝑑𝑣

(2.53)

Sedang dari analogi klasik untuk nilai rata-rata momentum 𝑝 〈𝑝〉 = 𝑚

𝑑 𝑑𝑡

〈𝑟〉 = 𝑚 {∫

𝜕𝜓∗ 𝜕𝑡

𝑟𝜓 𝑑𝑣 + ∫ 𝜓 ∗ 𝑟

𝜕𝜓 𝜕𝑡

𝑑𝑣}

(2.54)

Untuk menghitung secara rinci, lakukan evaluasi perkomponen misalkan komponen – 𝑥 𝑑 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝜓 〈𝑝𝑥 〉 = 𝑚 〈𝑥〉 = 𝑚 {∫ 𝑥𝜓 𝑑𝑣 + ∫ 𝜓 ∗ 𝑥 𝑑𝑣} 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 1 −ħ2 2 ħ2 2 = 𝑚 ( ) {− ( ∇ 𝜓) 𝑥𝜓 𝑑𝑣 + ∫ 𝜓 ∗ 𝑥 (− ∇ 𝜓) 𝑑𝑣} 𝑖ħ 2𝑚 2𝑚 =

𝑖ħ 2

{∫ 𝜓 ∗ 𝑥∇2 𝜓 𝑑𝑣 − ∫(∇2 𝜓∗ )𝑥𝜓 𝑑𝑣}

(2.55b)

Suku kedua ruas kanan dapat diuraikan menjadi ⃗ 𝜓 ∗ )∇ ⃗ (𝑥𝜓)𝑑𝑣 ∫(∇2 𝜓∗ )𝑥𝜓 𝑑𝑣 = ∫ ∇ ∙ {(∇𝜓 ∗ )𝑥𝜓}𝑑𝑣 − ∫(∇ = ∮{(∇𝜓∗ )𝑥𝜓} ∙ 𝑛̂𝑑𝑎 − {∫ ∇ ∙ [𝜓 ∗ ⃗∇(𝑥𝜓)]𝑑𝑣 − ∫ 𝜓 ∗ ∇2 (𝑥𝜓)𝑑𝑣} = 0 − 0 + ∫ 𝜓 ∗ ∇ ∙ ∇(𝑥𝜓)𝑑𝑣 = ∫ 𝜓 ∗ ∇ ∙ {(∇x)𝜓 + 𝑥(∇𝜓)}𝑑𝑣

15

= ∫ 𝜓 ∗ {|(∇2 𝑥)𝜓 + (∇𝑥) ∙ (∇𝜓)|} + [(∇𝑥) ∙ 𝑥(∇2 𝜓)]𝑑𝑣 = ∫ 𝜓 ∗ {0 + 2∇𝑥 ∙ ∇𝜓 + 𝑥(∇2 𝜓)}𝑑𝑣 𝜕𝜓

= 2 ∫ 𝜓 ∗ 𝜕𝑥 𝑑𝑣 + ∫ 𝜓 ∗ 𝑥(∇2 𝜓)𝑑𝑣

(2.55c)

Substitusi kembali ke dalam persamaan (2.55b), memberikan 〈𝑝𝑥 〉 = −𝑖ħ ∫ 𝜓 ∗

𝜕𝜓 𝜕𝑥

𝜕

𝑑𝑣 = ∫ 𝜓 ∗ (−𝑖ħ 𝜕𝑥) 𝜓 𝑑𝑣

(2.55d)

Sehingga 〈𝑝〉 = ∫ 𝜓 ∗ (𝑖ħ∇𝜓) 𝑑𝑣

(2.56)

6. Syarat Untuk Fungsi Gelombang Interpretasi probabilitas untuk fungsi gelombang mensyaratkan bahwa fungsi Ψ harus merupakan fungsi yang kuadratnya dapat diintegralkan dan bernilai hingga ( 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑎𝑔𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ). (Purwanto) ∫ |𝛹|2 𝑑𝑣 < ∞

(2.57)

Karena integral dilakukan terhadap seluruh ruang, syarat rumus di atas berakibat. Ψ (𝑟, 𝑡) → 0 untuk 𝑟 < ∞

(2.58)

Selain itu juga harus t erpenuhi Ψ (𝑟, 𝑡) berhingga, agar |𝛹|2 𝑑𝑣 berharga anatara 0 dan 1. Ψ dan turunan pertamanya

𝜕Ψ 𝜕Ψ 𝜕Ψ 𝜕𝑥

,

𝜕𝑦

,

𝜕𝑧

kontinyu disetiap 𝑟 . Syarat

kontinyuitas turunan pertama dari Ψ data dipahami sebagai berikut. Perhatikan persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑜̈ 𝑟𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 satu dimensi (Purwanto) 𝑖ħ

𝜕Ψ 𝜕𝑡

ħ2 𝜕2 Ψ

= − 2𝑚 𝜕𝑥 2 + 𝑉Ψ

(2.59)

Jika Ψ fungsi kontinu dari x untuk semua waktu t maka

𝜕Ψ 𝜕𝑡

. Juga

fungsi kontinyu dari 𝑥. karena itu, ruas kanan persamaan di atas juga harus kontinyu diskontinuitas dari satu suku ruas kanan ini dilenyapkan oleh

16

perilaku berlawanan dari suku lainnya. Sebagai contoh, jika otensial 𝑉 (dan tentu 𝑉Ψ) mempunyai diskontinyuitas berhingga di titik 𝑥 = 𝑎, maka

𝜕2 Ψ 𝜕𝑥 2

juga mempunyai diskontinyuitas berhingga di titik 𝑥 = 𝑎. Hal ini berarti harus kontinu tetapi kemiringannya (slope) yakni

𝜕2 Ψ 𝜕𝑥 2

𝜕Ψ 𝜕𝑥

di sebelah kiri tidak

sama dengan kemiringannya di sebelah kanan. Sebagai ilustrasi diberikan oleh gambar berikut: (Purwanto)

GAMBAR 2.2 ILUSTRASI

7. Keadaan Stasioner dan Persamaan Nilai Eigen Tinjau partikel yang bergerak di dalam ruangan dengan potensial ⃗ ) untuk sistem seperti ini, Ψ(𝒓 ⃗ , 𝒕) dapat tidak bergantung waktu 𝑽 = 𝑽 (𝒓 diuraikan menjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya bergantung waktu. (Purwanto) Ψ(𝑟, 𝑡) = 𝜑(𝑟)𝑓 (𝑡)

(2.60)

Catatan: 𝜑(𝑟) di sini tidak terkait dengan 𝜑(𝑘) pada persamaan (2.28) dan hanya sama notasi belaka. (Purwanto) Selanjutnya, subtitusi uraian ke dalam persamaan kemudian di bagi 𝜑(𝑟)𝑓 (𝑡) maka didapatkan

17

𝑖ħ 𝑑𝑓 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

ħ2 ∇2 𝜑

= − 2𝑚

𝜑

+ 𝑉(𝑟)

(2.61)

Karena ruas kiri persamaan (2.61) hanya bergantung waktu sedangkan ruas kanan hanya bergantung variable ruang (𝑟), maka keduanya akan selalu sama jika dan hanya jika keduanya sama dengan konstanta, misalkan 𝐸 dengan demikian persamaan (2.61) akan terpisah menjadi dua persamaan: 𝑖ħ 𝑑𝑓 𝑓 𝑑𝑡

=𝐸

(2.62) Dan

−

ħ2 ∇2 𝜑 2𝑚 𝜑

+ 𝑉(𝑟) = 𝐸

(2.63) Atau

𝑑𝑓 𝑑𝑡

𝐸

= −𝑖 ħ 𝑓

(2.64a) Dan

ħ2

{− 2𝑚 ∇2 + 𝑉(𝑟)} 𝜑(𝑟) = 𝐸 𝜑(𝑟)

(2.64b)

Persamaan (2.64a) adalah pesamaan diferensial orde satu dengan solusi akan sebanding dengan 𝑒𝑥𝑝(−

𝑖𝐸𝑡 ħ

) . karena itu uraian (2.60) menjadi

𝑖𝐸𝑡

Ψ(𝑟, 𝑡) = 𝜑(𝑟)𝑒 − ħ

(2.65)

Persamaan (2.37) secara implisit menyatakan bahwa 𝐸 harus riel, karena bila mempunyai harga imajiner ∈, Ψ akan lenyap untuk semua 𝑟 jika𝑡 → ∞ atau ∞ sesuai tanda (−) atau (+) dari ∈. hal ini tidak memenuhi syarat keberadaan partikel di dalam ruang (2.45) selanjutnya persamaan (2.65) memberikan rapat probabilitas (Purwanto) |Ψ(𝑟, 𝑡)|𝟐 = |Ψ(𝑟)|𝟐

(2.66)

Yang tidak bergantug waktu. Karena itu Ψ(𝑟, 𝑡) pada persamaan (2.65) menggambarkan keadaan stasioner (stationary state) karena tidak ada karakter atau sifat partikel yang berubah terhadap waktu. Sedangkan

18

persamaan (2.64b) di sebut persamaan 𝑠𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 tak bergantung waktu. (Purwanto) Mengingat bentuk persamaan (2.41) dengan 𝑉 = 𝑉(𝑟) persamaan (2.64b) dapat ditulis menjadi 𝐻𝜑(𝑟) = 𝐸𝜑(𝑟)

(2.67)

Persamaan (2.67) ini di sebut persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen dengan 𝜑(𝑟) sebagai fungsi eigen dan 𝐻 adalah operator diferensial dari energi. 𝐸 adalah nilai eigen dari operator 𝐻, dan di sebut sebagai energi eigen dan ditafsirkan sebagai energi partikel. (Purwanto) C. Sifat-Sifat Fungsi Gelombang Dalam persmaan (2.8); 𝜓(𝑥) adalah fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu. Dengan fungsi gelombang itu, peluang menemukan partikel di 𝑥 dalam interval dx adalah 𝜓 ∗ (𝑥) 𝜓(𝑥)𝑑𝑥, dan total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah ∞

∞

∫−∞ 𝜓 ∗ (𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞|𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 = 1

(2.68)

Dimana |𝜓(𝑥)|2 disebut rapat peluang. Dalam persamaan ini, 𝜓 ∗ (𝑥) adalah konjugasi dari 𝜓(𝑥). Fungsi 𝜓(𝑥) yang memenuhi persamaan (2.68) disebut fungsi yang dinormalisasi. (Siregar, 2018) Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik agar sifat yang diungkapkan oleh Persamaan (2.68) dapat terpenuhi. Sifat-sifat tersebut adalah: 1.

Tidak sama dengan nol, dan merupakan 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒𝑑, artinya 𝜓(𝑥) memiliki hanya satu harga saja untuk suatu harga 𝑥.

2.

Fungsi dan turunannya kontinu di semua harga 𝑥, dan

3.

Funsgi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk 𝑥 menuju ±∞; dalam keadaan terikat 𝜓 ∗ (𝑥) 𝜓(𝑥) = 0 di 𝑥 menuju ±∞ (Siregar, 2018)

19

Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka fungsi 𝜓(𝑥) disebut sebagai fungsi yang berkelakuan baik. Perhatikan fungsi gelombang dalam persamaan (2.10) (Siregar, 2018) 𝑛𝜋

𝜓𝑛 (𝑥) = 𝐶𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 𝑥)

(2.69)

Normalisasinya harus memenuhi: ∞

𝐿

𝑛𝜋

∫−∞|𝜓𝑛 (𝑥)|2 𝑑𝑥 = 𝐶 2 ∫0 𝑠𝑖𝑛2 ( 𝐿 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 Dengan menggunakan 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝐿

1−𝑐𝑜𝑠2𝜃 2

(2.70)

, maka hasil integral di atas

2

adalah 𝐶 2 (2) = 1 sehingga 𝐶 = √𝐿 . Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah (Siregar, 2018) 2

𝑛𝜋

𝜓𝑛 (𝑥) = √𝐿 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 𝑥)

(2.71)

Berdasarkan integral di atas, maka untuk daerah 𝑥 ≤ 0 dan 𝑥 ≥ 𝐿, 𝜓𝑛 (𝑥) = 0. Suatu fungsi gelombang yang donormalisasi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari beberapa fungsi yang masing-masing dinormalisasi juga. Jika 𝜓 (𝑥) adalah

kombinasi

linier

dari

sekumpulan

fungsi-fungsi

{𝜓𝑛 (𝑥)}, maka penulisannya secara umum adalah seperti: 𝜓(𝑥) = ∑𝑛 𝐶𝑛 𝜓𝑛 (𝑥)

(2.72)

Di mana 𝐶𝑛 adalah koefisien bagi fungsi 𝜓𝑛 (𝑥) yang biasanya rill atau kompleks. Koefisien itu memenuhi integral 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑙𝑎𝑝 seperti: (Siregar, 2018) ∞

∗ (𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 𝐶𝑚 = ∫−∞ 𝜓𝑚

(2.73)

Jika fungsi-fungsi {𝜓𝑛 (𝑥)} selain ternormalisasi juga ortogonal satu sama lain maka berlaku : ∞

∫−∞ 𝜓 ∗𝑚 (𝑥)𝜓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝛿𝑚𝑛

(2.74)

Dan ∑𝑛 𝐶 ∗𝑛 𝐶𝑛 = 1

(2.75)

Harga 𝛿𝑚𝑛 = 1 Jika 𝑚 = 𝑛, dan 𝛿𝑚𝑛 = 0 jika 𝑚 ≠ 𝑛. Fungsi-fungsi yang memenuhi persamaan (2.74) disebut ortonormal, yakni orthogonal satu

20

sama lain dan masing-masing ternomalisasi. Dalam persamaan (2.3.2) {𝜓𝑛 } disebut fungsi basis bagi pembentukan fungsi 𝜓. (Siregar, 2018) Contoh 3 𝑥; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2 Misalkan fungsi 𝜓(𝑥)={ 𝐿 − 𝑥; 𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 2

𝑛𝜋

Jika 𝜓(𝑥) = ∑𝑛 𝑎𝑛 𝜓𝑛 (𝑥); 𝜓𝑛 (𝑥) = √𝐿 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 𝑥) tentukanlah harga-harga koefisien 𝐶𝑛 . Fungsi 𝜓(0) = 0, dan 𝜓(𝐿) = 0; harga-harga ini sama dengan 𝜓𝑛 (0) = 𝜓𝑛 (𝐿) = 0; jadi 𝜓(𝑥) dan 𝜓𝑛 (𝑥) memiliki syarat batas yang sama sehingga 𝜓(𝑥) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi-fungsi 𝜓𝑛 (𝑥). Berdasarkan persamaan (2.27) dan Apendiks 2 (Siregar, 2018) 𝐿

𝐶𝑛 = ∫ 𝜓𝑛 (𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 0 𝐿 2

𝐿

2 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 = √ ∫ 𝑥 sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 + √ ∫ ( 𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2

0

=

(2𝐿)3/2 𝑛𝜋 𝑠𝑖𝑛 ( ) 2 2 𝑛 𝜋 2

Integral-integral di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan Apendiks 1. Maka fungsi 𝜓(𝑥) sebagai kombinasi linier dari fungsi-fungsi 𝜓𝑛 (𝑥) adalah ∴ 𝜓(𝑥) =

(2𝐿)3/2 𝑛2

∑𝑛

1 𝑛2

𝑛𝜋

𝑠𝑖𝑛 ( 2 )

(2.76)

Jika {𝜓𝑛 (𝑥)} fungsi-fungsi non-orthogonal, maka secara umum ∞

∫ 𝜓 ∗𝑘 (𝑥)𝜓𝑙 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑆𝑘𝑙 ; −∞

∑𝑘𝑙 𝐶𝑘 𝐶𝑙 𝑆𝑘𝑙 = 1

(2.77)

Persamaan (2.77) ini disebut integral overlap antara fungsi 𝜓𝑘 dan fungsi 𝜓𝑙 . Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam keterangan seperti |𝜓𝑛 ⟩ dan konjugasinya dalam bra, ⟨𝜓𝑛 |. Integral overlap dituliskan seperti: (Siregar, 2018)

21

∞

∫−∞ 𝜓 ∗𝑘 (𝑥)𝜓𝑙 (𝑥)𝑑𝑥 ≡ ⟨𝜓𝑘 |𝜓𝑙 ⟩

22

(2.78)

3. BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan Berdasarkan pemaparan di atas, dapat disimpulkan bahwa: 1. Setelah melakukan penurunan pada gelombang maka persamaan 2𝜋

gelombang dapat ditulis 𝜑𝑛 (𝑥) = 𝐶 sin ( 𝜆 𝑥) 2. Setelah melakukan penurunan pada persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟𝑜̈ 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 , maka persamaannya dapat ditulis Persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 yang tidak bergantung waktu. 𝑑 2 𝜑(𝑥) 2𝑚 + 2 (𝐸 − 𝑉)𝜑(𝑥) = 0 𝑑𝑥 2 ħ Persamaan 𝑆𝑐ℎ𝑟ö𝑑𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 yang bergantung waktu. 𝑖ħ

𝜕 𝜕𝑡

̂ 𝛹 (𝑥, 𝑡) 𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐻

(2.22)

3. Sifat-sifat fungsi dari gelombang yaitu tidak sama dengan nol, dan merupakan 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒𝑑, artinya 𝜓(𝑥) memiliki hanya satu harga saja untuk suatu harga 𝑥, fungsi dan turunannya kontinu di semua harga 𝑥, dan fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas ( 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 ) untuk 𝑥 menuju ±∞ ; dalam keadaan terikat 𝜓 ∗ (𝑥) 𝜓(𝑥) = 0 di 𝑥 menuju ±∞. B. Saran Penulis makalah ini tentu saja menyadari masih terdapat kekurangankekurangan dalam menulis. Oleh karena itu, saran dan masukan untuk makalah ini kami harapkan sebagai upaya memperbaiki kesalahan dalam penulisan makalah kami. Mudah-mudahan makalah ini dapat memberikan banyak manfaat bagi semua pihak. Aamiin yaa robbal ‘alamiin.

23

DAFTAR PUSTAKA

Purwanto, A. (n.d.). Fisika Kuantum. Yogyakarta: Penerbit Gava Media. Siregar, R. E. (2018). Fisika Kuantum. Jatinangor: Fakultas MIPA Universitas Padjajaran.

vi

LAMPIRAN

vii

CATATAN

viii