Kelompok 3 Limit.docx

LIMIT Disusun untuk memenuhi tugas besar mata kuliah Matematika Dosen Pengampu : Nur Laili, M. Pd

Kelompok 3 Disusun Oleh : 1. Ahmad Hidayattulloh

(18201032)

2. Deka Nanda Fadhilah

(18201038)

3. Erlina Fatmawati

(18201039)

4. Yosa Mayo Apri Liyanto

(18201057)

PROGRAM STUDI D3 TEKNIK TELEKOMUNIKASI FAKULTAS TEKNIK TELEKOMUNIKASI DAN ELEKTRO (FTTE) INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM JL D.I PANJAITAN 128 PURWOKERTO 2018

BAB I MATERI PEMBAHASAN A.

Limit Fungsi I. Pengertian Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut: Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

x2  x  2 x2

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =

0 (tidak dapat 0

ditemukan). Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x

0

1,1

1,5

1,9

1,999 2.000 2,001 2,01

2,5

2,7

f(x)

1

2,1

2,5

2,9

2,999

3,5

3,7

???

3,001 3,01

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =

x2  x  2 : x2

mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : lim

x 2

x2  x  2 3 x2

II. Cara Menentukan Limit Fungsi a. Subtitusi Contoh: Tentukan nilai





lim x 2  8 ! x 3

Penyelesaian : Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)





lim x 2  8  32  8  9  8  1 x 3

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Jika f (a) = c, maka lim f ( x)  a xa

2. Jika f (a) =

c 0

3. Jika f (a) =

0 , maka lim f ( x)  0 xa c

, maka lim f ( x)   xa

b. Pemfaktoran Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikanlah contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai ! Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = . Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai , kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x)

x2  9 ! x 3 x  3

sehingga menjadi: Tentukan nilai lim

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =

32  9 0  . 33 0

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak

x2  9 , kita harus x 3 x  3

terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai lim

mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

x  3x  3  x  3.  x  3   1   x  3  x 3

x  3x  3 x2  9 = lim x 3 x  3 x 3 x  3

Jadi, lim

= lim  x  3 x 3

=3+3=6

c. Merasionalkan Penyebut Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.Perhatikanlah contoh berikut! Contoh:

x 2  3x  2 ! x 2 x2

Tentukan nilai lim Penyelesaian:

x 2  3x  2 x  2 . x 2 x2 x2

x 2  3x  2 x 2 x2

= lim

lim

x

2

 3x  2





x2



 x  1x  2 x  2  = lim = lim

x2

x2

2

x  2

x 2

= lim x  1 x  2 x 2

= 2  1. 2  2 =1.0 =0 d. Merasionalkan Pembilang Perhatikanlah contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai lim

x 1

3x  2  4 x  3 ! x 1

Penyelesaian:

lim

x 1

= lim

x 1

3x  2  4 x  3 x 1

3x  2  4 x  3 . x 1

3x  2  4 x  3 3x  2  4 x  3





  2

2

3x  2  4 x  3 = lim x 1  x  1 3 x  2  4x  3





= lim

x 1

= lim

x 1

x  1

 x 1 3x  2  4 x  3



x  1

 x  1 3x  2  4 x  3



= lim

x 1

= =

1 3x  2  4 x  3 1

3.1  2  4.1  3

1 1 1

=

1 1 =  11 2

III. Sifat Limit Fungsi lim f ( x)  L dan lim g ( x )  G xa

xa

1. lim c = c x a

Contoh : tentukan nilai lim 7, x2

Jawab : diketahui : a = 2, c = 7, Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim c = c, maka : x a

lim 7 = 7. x2

Jadi nilai dari lim 7 adalah 7 x2

2. lim xn = an x a

Contoh : tentukan nilai limx→2 x3 Jawab : diketahui : a = 2, n = 3, Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim xn = an , maka : x a

lim x3 = 23, x2

lim x3 = 8, x2

Jadi nilai dari lim x3 adalah 8 x2

3. lim c f(x) = c lim f(x) x a

x a

Contoh : tentukan nilai lim 4( x + 2 ) x2

Jawab : diketahui : a = 2, c = 4 f(x) = ( x + 2 ) Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim c f(x) = c lim f(x), x a

x a

maka : lim 4( x + 2 ) = 4 ( lim ( 2 + 2 )) x2

x2

lim 4( x + 2 ) = 4 ( lim 4) x2

x2

lim 4( x + 2 ) = 16 x2

Jadi nilai lim x→2 4( x + 2 ) adalah 16 4. lim ( f(x) ± g(x)) = lim f(x)± lim g(x) = L ± G x a

x a

x a

Contoh : tentukan nilai lim (x3 + x4) x2

Jawab : diketahui : a = 2, f(x) = x3, g(x) = x4 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim (f(x) + g(x)) = lim x a

f(x) + lim g(x), maka : x a

lim (x3+ x4) = lim x3 + lim x4 x2

x2

x2

lim (x3 + x4) = 23 + 24 x2

lim (x3 + x4) = 8 + 16 x2

lim (x3 + x4) = 24 x2

Jadi nilai lim ( x3 + x4) adalah 24 x2

5. lim (f(x) x g(x)) = lim f(x) x lim g(x) = L x G x a

x a

x a

Contoh : tentukan nilai lim (x3 . x4) !!!!! x2

Jawab : diketahui : a = 2, f(x) = x3, g(x) = x4

x a

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim (f(x) x g(x)) = lim

x a

x a

f(x) x lim g(x), maka : x a

lim ( x3 . x4) = lim x3 . lim x4 x2

x2

x2

lim ( x3 . x4) = 23 . 24 x2

lim ( x3 . x4) = 8 . 16 x2

lim ( x3 . x4) = 128 x2

Jadi nilai dari lim ( x3 . x4) adalah 128 x2

6. lim

x a

lim

f(x) g(x)

=(

f(x)

x a

lim

L

) = G , bila G ≠ 0

g(x)

x a

𝑥4

Contoh : tentukan nilai lim ( 𝑥 3 ) !!!!! x2

Jawab : diketahui : a = 2, f(x) = x4, g(x) = x3 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim

x a

f(x) g(x)

= (

lim

f(x)

lim

g(x)

x a

x a

maka : lim ( x2

𝑥4 𝑥3

)= (

lim

𝑥4

lim

𝑥3

x2 x2

lim ( x2

lim ( x2

lim ( x2

𝑥4 𝑥3 𝑥4 𝑥3 𝑥4 𝑥3

)= )=

),

24 23 16 8

)=2 𝑥4

Jadi nilai dari lim ( 𝑥 3 ) adalah 2 x2

7. lim f(x)n = ( lim f(x))n , n bilangan bulat positif x a

x a

Contoh : tentukan nilai lim ( x4 + 1)2 !!!!! x2

Jawab :

),

diketahui : a = 2, f(x) = x4 + 1, n = 2 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim f(x)n = ( lim f(x))n, x a

x a

Maka : lim ( x4 + 1)2 = ( lim x4 + 1)2 x2

x2

lim ( x4 + 1)2 = (24 + 1)2 x2

lim ( x4 + 1)2 = (16 + 1)2 x2

lim ( x4 + 1)2 = 172 x2

lim ( x4 + 1)2 = 289 x2

Jadi nilai dari lim ( x4 + 1)2 adalah 289 x2

8. lim n√ f(x) = n√ lim f(x) = n√L, bila n genap L harus positif x a

x a

Contoh Tentukan nilai lim √x4 !!!!! x2

Jawab : diketahui : a = 2, f(x) = x4, n = 2 Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim n√ f(x) = n√ lim x a

f(x), maka : lim √x4 = √ lim x4 x2

x2

lim √x4 = √24 x2

lim √x4 = √16 x2

lim √x4 = 4 x2

B.

Limit Kiri Kanan Definisi (Limit Kiri) lim f ( x) x  a

 L    0   0  . x a    x  a  f ( x)  L  

Limit kanan lim f ( x) x  a

 L    0   0  . x a  x  a     f ( x)  L  

x a

 x untuk x  2 Contoh : Diketahui f(x) =   x  1 untuk x  2

Hitung a.

lim f ( x ) dan x  2

b.

lim f ( x ) x  2

Jawab: a.

lim f ( x ) lim 2 2 = x  2 x  2

b.

lim f ( x ) lim x  1 3 = x  2 x  2

Ternyata limit kiri  limit kanan. Di katakan bahwa f(x) tidak mempunyai limit untuk x2.

Teorema Fungsi f (x) di katakan mempunyai limit L untuk x  a bila dan hanya bila limit kiri = limit kanan, atau

lim f ( x) xa

L

lim f ( x) xa





lim f ( x) x  a

L

Contoh: C-1 :

Diketahui f(x) =

x3 ( x  2)( x  1)

Tentukanlah: a. lim f(x)

b, lim f(x)

x - 2 

c. lim f(x)

x - 2 

d. lim f(x)

x 1

Penyelesaian : a. lim

x3 = -  ( x  2)( x  1)

x - 2  b. lim

x3 = + ( x  2)( x  1)

x - 2 

x3 ( x  2)( x  1)

c. lim

= +

x 1 d. lim

x3 ( x  2)( x  1)

= - 

x 1 1

Hitung limit 5 x bila a. x 0  dan b. x 0 

C-2 :

Jawab : 1

a. lim 5 x = +  , sebab untuk x 0  maka

1  x

x 0  1

b. lim 5 x = 0, sebab untuk x 0  maka

1  - x

x 0  C-3 : Selidiki (ada atau tidak) lim

x2 untuk x  1 x 1

Jawab : a. Limit kiri :

lim x2 = - x  1 x  1

x1

b.Limit kanan :

lim x2 = + x  1 x  1

x2 Karena limit kiri  limit kanan, maka lim untuk x 1 tidak x 1 ada  x 2 untuk x  2 C-4 : Diketahui f(x) =   x  2 untuk x  2

Selidiki limit f(x) untuk x  2 Jawab : a. Limit kiri :

lim x2

b. Limit kanan :



f(x) =

lim x2



lim x2

f(x) =



x 2 = 22 = 4

lim x  2

(x – 2) = 2-2 = 0

Karena limit kiri  limit kanan, maka lim f(x) untuk x2 tidak ada

C.

LIMIT TAK HINGGA Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar atau mengecil tanpa batas. Konsep pertama: Perhatikan masalah hitung limit berikut: lim x0

1 x2

. Untuk nilai-nilai x

yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai f ( x) 

1 x2

diberikan pada

table berikut ini

1

x

1

x

x2

x2

1

1

−1

1

0,5

4

−0,5

4

0,01

10.000

−0,01

10.000

0,0001

100.000.000

−0,0001

100.000.000

0,000005

−0,000005

40.000.000.000

40.000.000.000

Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai f ( x) 

1 x2

menjadi semakin besar. Bahkan nilai f ( x) 

1 x2

akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi f ( x) 

1 x2

dapat dilihat pada

Gambar 3.4.1.

f ( x) 

1 x2

Grafik limit Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

lim f ( x)  

x 0

Secara sama mudah diperlihatkan:

lim

1

x 0

x2

 

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

Definisi: (i) lim 𝑓(𝑥) = ∞, jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c. 𝑥→𝑐

maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.

(ii) lim 𝑓(𝑥) = -∞, jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c. 𝑥→𝑐

maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.

Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:

lim f ( x)   (atau −∞) jika untuk setiap bilangan real M  0 terdapat

x c

bilangan real   0 sehingga untuk setiap

x  Df

dengan sifat

0  x  c   berlaku f ( x)  M (atau f ( x)   M )

Contoh : 1  x 1 x  1

(a). lim

(b). lim

1

x 0 x 3  x 2

1  1      . x 0 x 2  x  1 

 lim

Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk x  c , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai f (x) apabila nilai x cukup besar. Sebagai contoh, Tabel 3.4.2 di bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai xpada f ( x) 

1 apabila nilai x cukup besar. Ternyata semakin besar x

nilai x (arah positif), nilai f (x) semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan: 1 0 x  x lim

(a) x

(b) f ( x) 

1 x

x

f ( x) 

1 x

10

0,1

−1

−1

1.000.000

0,000001

−1.000.000

−0,000001

5.000.000

0,0000002

−5.000.000

−0,0000002

100.000.000

0,00000001

−100.000.000

−0,00000001

Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat f (x) mendekati nol, yaitu:

lim

x  

1 x

0

Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut. Definisi : (i) lim 𝑓(𝑥) = L, jika f(x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar 𝑥→∞

(arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka f(x) mendekati L. (ii) lim 𝑓(𝑥) = L, jika f(x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar 𝑥→−∞

(arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka f(x) mendekati L. Secara matematis, dapat ditulis sebagai:

f ( x)  L jika untuk setiap bilangan real   0 terdapat bilangan

(i) lim

x 

M  0 sehingga untuk setiap x  M berlaku f ( x)  L   (ii) lim

x  

f ( x)  L jika untuk setiap bilangan real   0 terdapat bilangan

M  0 sehingga untuk setiap x  M berlaku f ( x)  L   . Mudah ditunjukkan bahwa: 1 0 x  x lim

D. 1.

dan

1 0 x  x lim

Limit Kontinuitas Tiga syarat untuk fungsi kontinuitas Fungsi f(x) dikatakan kontinui pada titik atau angka x = x00, apabila 3 syarat dipenuhi : 1. F(x) pada x = x0, atau f(x0), diperoleh (defined). 2. Limx→xof(x) = angka diperoleh 3. Limx→ xo f(x) = f(xo)

 Fungsi dinyatakan kontinui pada suatu interval, apabila kontinuitas disetiap titik pada suatu interval. 1. F(x) = x2+1 kontinuitas pada x = 2 karena limx→0 f(x) = f(xo=2) = 5→ tiga syarat diatas dipenuhi. 2.

Tidakkontinuitaspada x = 3 karena f (x=3) =

 Jadi, fungsi dinyatakan kontinui, apabila fungsi kontinuitas pada setiap titik diatas domain fungsinya : 1. Maka f(x) = x2 + 1 (serta semua fungsi polinominal pada x, juga demikian untuk fungsirasional sepanjang fungsi pada penyebut tidak nol) adalah fungsi kontinuitas. 2. Hanya diatas an open interval a< x
Contoh fungsi kontinuitas dan fungsi diskontinuitas : jika x → 2, maka f(x) → 4

1. Sehingga

Jadi f(x) kontinuitas selain pada x = 2 Tapi f(x) =

untuk semua x, maka jadi kontinuias pada

semua titik termasuk x = 2 1

F(x) = 𝑥−2dicontinuitaskanpada x = 2 karenaf(2) dan Tidak diperoleh bahkan berupa discontinuitas

2.

F(x) =

𝑥^−4 𝑥−2

diskontinuitas pada x = 2 karena terdapat lubang (a)

sehingga f(2) tidak diperoleh yaitu 0/0, walaupun Diskontinuitas dimaksud dapat dihilangkan dengan mendefinisi fungsi menjadi : Catatan grafik atau kurva dan pada fungsi rasional itu terdapat lubang (a). Catatan: Fungsi kontinuitas dan layak mempunyai derivative.

= x + 2 sama, kecuali

BAB II CONTOH SOAL & JAWABAN A. Limit Fungsi 1. Tentukan nilai lim x 4  10 ! x 2

Jawab :





lim x 4  10 = (24 – 10) = (16 – 10) = 6 x 2

2. Tentukan nilai lim

x4

x 2  x  20 ! x4

Jawab :

x 2  x  20 ( x  5)( x  4) lim = lim x  4 x4 x4 x4 = lim  x  5 x4

=4+5=9 3. Tentukan nilai lim

x4

x 2  2x  8 3  x2  7

!

Jawab :

lim

x4

x 2  2x  8 3  x2  7

x 2  2x  8 3  x 2  7 = lim . x4 3  x2  7 3  x2  7 = lim

x 4









x

2

 3x  2 3  x 2  7  x 2  16

x

2

 3x  2 3  x 2  7  ( x 2  16)

x 4

= lim



2

x 4

= lim



x

 3x  2 3  x 2  7 9  x2  7

= lim

x  4)( x  23 

= lim

x  23 

x 4

x 4

=

x2  7  ( x  4)( x  4) x2  7  ( x  4)

4  23 

42  7  (4  4)











=

6 3  16  7  (8)

=

63 9 9 66  36 = = =  8 8 8 2





4. Tentukan nilai lim 25 ! x 5

Jawab : lim 25 = 25 x 5

Jadi nilai dari lim 25 adalah 25 x 5

5. Tentukan nilai dari lim x 3 ! x5

Jawab : lim x 3 = 53 x5

lim x 3 = 125 x5

Jadi nilai dari lim x 3 adalah 125 x5

6. Tentukan nilai dari lim (2 x 2  4 x) ! x4

Jawab : Diketahui a = 4, f(x) = 2x2, g(x) = 4x lim f ( x)  g ( x) = lim f ( x)  lim g ( x) xa

xa

xa

lim (2 x 2  4 x) = lim 2 x 2  lim 4 x x4

x 4

x 4

lim (2 x 2  4 x) = 2(4)2 + 4(4) x4

lim (2 x 2  4 x) = 2(16) + 4(4) x4

lim (2 x 2  4 x) = 32 + 16 x4

lim (2 x 2  4 x) = 48 x4

Jadi nilai dari lim (2 x 2  4 x) adalah 48 x4

7. Tentukan nilai dari lim 3 x 4 ! x3

Jawab :

lim

x4 =

lim x 4

lim

x4 =

34

lim

x4 =

81

lim

x4 = 9

x3

x3

x3

x3

x3

x 4 adalah 9

Jadi nilai dari lim

x3

8. Tentukan nilai lim

x 4

x 2  2x  8 ! 2x

Jawab : Diketahui a = 4, f(x) = x2 – 2x + 8, g(x) = 2x lim

x a

f ( x) f ( x) lim = xa g ( x) lim g ( x) xa

x 2  2x  8 x 2  2 x  8 lim x 4 lim = x 4 x  2x lim 2 x x 4

x 2  2 x  8 4 2  2(4)  8 lim = x 4 2(4) x  2x x 2  2 x  8 16  8  8 lim = x 4 8 x  2x x 2  2 x  8 16 lim = =2 x 4 8 x  2x Jadi nilai dari lim

x 4

x 2  2x  8 adalah 2 x  2x

9. Tentukan nilai lim ( x4 + 2)2 ! x4

Jawab : Diketahui a = 4, f(x) = (x4 + 2), n = 2 lim f(x)n = (lim f ( x)) n x a

x a

lim ( x4 + 2)2 = ( lim x2 + 2)2 x4

x4

lim ( x4 + 2)2= (42 + 2)2 x4

lim ( x4 + 2)2= (16 + 2)2 x4

lim ( x4 + 2)2= (18)2 x4

lim ( x4 + 2)2= 324 x4

Jadi nilai dari lim ( x4 + 2)2 adalah 324 x4

B. Limit Kanan Kiri 1. Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika ada berikan alasannya. (a). limx→2x2−3x+2 lim

x 2

x 2  3x  2 x2

(b). limx→0100 |x| Jawab: (a). Akan diperoleh seperti berikut : limx→2x2−3x+2=limx→2(x−2)(x−1)=limx→2 (x−1) x−2

x−2

(b). Karena, |x|={x;x≥0 } {−x;x<0 }

maka: limx→0+100=limx→0+ 100

= +∞

|x|x limx→0−100=limx→0−100=+∞ |x|

x

sehingga, limx→0100 =+∞ |x|

Nomor 2 Diberikan fungsi f dengan f(x) ={x2; x≤a } {2x+3;x>a} Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab: Diperoleh: 

f(a)=a2f(a)=a2



limx→a+f(x)=limx→a+(2x+3)=2a+3



limx→a−f(x)=limx→a−(x2)=a2

Agar f kontinu di x = a maka haruslah a2=2a+3⇔a2−2a−3=0⇔(a−3)(a+1)=0⇔a=3;a=−1a2=2a+3⇔a2−2a−3=0⇔(a−3)(a +1)=0⇔a=3;a=−1 Nomor 3 Diketahui fungsi f sebagai berikut: f(x)=x+1;x<2 4;x=x2−1;x>2 Periksa kekontinuan f di: (a) x = 2 (b) x = 3 Jawab: (a) Di x = 2 diperoleh: f(2) = 4 limx→2−f(x)=limx→2−(x+1)=3 limx→2−f(x)=limx→2−(x+1)=3 limx→2+f(x)=limx→2+(x2−1)=3limx→2+f(x)=limx→2+(x2−1)=3

Karena hasil limit di atas tidak sama dengan hasil dari f(2) maka ftak kontinudi x = 2 (b) Di x = 3 diperoleh:

f(3)=x2−1=32−1=8f(3)=x2−1=32−1=8 limx→3f(x)=limx→3(x2−1)=8limx→3f(x)=limx→3(x2−1)=8 Karena hasil yang diperoleh dari perhitungan limit di atas sama dengan hasil dari f(3) maka f kontinu di x = 3 Diketahui fungsi-fungsi f dan g yang memenuhi sebagai berikut: limx→1(2−f(x))=1limx→1(2−f(x))=1 limx→1(f+g)(x)=20limx→1(f+g)(x)=20 Nomer 4 Tentukan: limx→1g(x)limx→1g(x) Jawab: Dengan menggunakan hukum-hukum limit, akan diperoleh sebagai berikut. limx→1(2−f(x))=1limx→1(2−f(x))=1 ⇔limx→12−limx→1f(x)=1⇔2−limx→1f(x)=1⇔limx→1f(x)=1⇔limx→12−limx→1f(x)=1 ⇔2−limx→1f(x)=1⇔limx→1f(x)=1 sehingga, limx→1(f+g)(x)=20⇔limx→1(f(x)+g(x))=20limx→1(f+g)(x)=20⇔limx→1(f(x)+g( x))=20 limx→1f(x)+limx→1g(x)=20⇔1+limx→1g(x)=20⇔limx→1g(x)=19limx→1f(x)+limx→1 g(x)=20⇔1+limx→1g(x)=20⇔limx→1g(x)=1 Nomor 5 Jika ada, tentukan limitnya; jika tidak ada, berikan alasannya. (a) limx→3x2+6x−27x2−6limx→3x2+6x−27x2−6 (b) limx→1f(x)limx→1f(x) dengan f(x)={−1;0≤x<10;1<x<2f(x)={−1;0≤x<10;1<x<2

Jawab: (a) Akan diperoleh seperti berikut. limx→3x2+6x−27x2−6=limx→3(x−3)(x+9)(x−3)(x+3)=limx→3(x+9)(x+3)=3+93+3= 2limx→3x2+6x−27x2−6=limx→3(x−3)(x+9)(x−3)(x+3)=limx→3(x+9)(x+3)=3+93+3 =2 (b) Akan diperoleh: f(x)={−1;0≤x<10;1<x<2f(x)={−1;0≤x<10;1<x<2

akan dicari limit kiri dan limit kanan. Limit kiri: limx→1−f(x)=limx→1−(−1)=−1limx→1−f(x)=limx→1−(−1)=−1 Limit kanan: limx→1+f(x)=limx→1+0=0limx→1+f(x)=limx→1+0=0 Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka limx→1f(x)limx→1f(x)tidak ada. Nomor 6 Tanpa menggunakan aturan l'Hopital, maka hitunglah. (a) limx→0(1x−x2)limx→0(1x−xx2) (b) limx→1x2−1√ x −1limx→1x2−1x−1 Jawab: (a) Akan diperoleh seperti di bawah ini. limx→0(1x−x2)=limx→0(1x−1x)=limx→00=0limx→0(1x−xx2)=limx→0(1x−1x)=li →00=0 (b) Akan diperoleh. limx→1x2−1√ x −1=limx→1(x−1)(x+1)√ x −1.√ x +1√ x +1limx→1x2−1x−1=lim x→1(x−1)(x+1)x−1.x+1x+1 =limx→1(x−1)(x+1)(√ x +1)(x−1)=limx→1(x+1)(√ x +1)=4=limx→1(x−1)(x+1) (x+1)(x−1)=limx→1(x+1)(x+1)=4

C. Limit Tak Hingga 1. Tentukan lim

x 

1 x3  9

Penyelesaian:

lim

x 

1 3

x 9

= lim

𝑥→∞

1 𝑥3 𝑥3 9 + 𝑥3 𝑥3

=

1 lim 𝑥→∞𝑥3

0

9

lim 1+ lim 3 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥

= 1+0 = 0

2.Hitung lim

x2  2x  3

x  2 x 2  4 x  7

.

Penyelesaian:

  x x(x  2)  3   lim 2 x2  4 x  7   x lim x2  2 x  3  lim

x

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan x 2 maka: lim

x2  2 x  3

x  2 x 2  4 x  7

x2  2x  3 x2 x  2 x 2  4 x  7  x 2

 lim

 2 3  2 3 lim 1   2   2 x x  1 0  0 1 x   x x  lim    . 4 7 2  0  0 2   4 7 x  2  2 lim  2   2  x x x x  x   1

3.Tentukan lim

x3  7 x  6

x   x5  2 x3  7 x  10

.

Penyelesaian:

x3  7 x  6 lim

x 

x3  7 x  6 x5  2 x3  7 x  10

x5 x  x5  2 x3  7 x  10

 lim

x5 7 6   1 lim     2 4 x    x x x5   0  0  0  0  2 7 10  1  0  0  0  lim 1     x    x 2 x 4 x5 

4.Hitung lim

x 6  2 x3  7 x  6

x  x5  2 x3  7 x  10

Penyelesaian:

.

x 6  2 x3  7 x  6 x 6  2 x3  7 x  6

lim

x5  2 x3  7 x  10

x 

x5 x  x5  2 x3  7 x  10

 lim

x5 2 7 6   lim  x     2 4 x    x x x5      0  0  0    1 0  0  0 2 7 10   lim 1     x    x 2 x 4 x5 

5. Hitung lim √𝑥 + 1 − √𝑥 − 2 𝑥→∞

Penyelesaian: √𝑥+1+√𝑥−2

lim √𝑥 + 1 − √𝑥 − 2 = lim √𝑥 + 1 − √𝑥 − 2.

𝑥→∞

= lim

𝑥→∞

𝑥+1−(𝑥+2) √𝑥+1+√𝑥−2

−1

= lim

√𝑥+1+√𝑥−2

𝑥→∞

−1 lim 𝑥→∞ √𝑥

=

√𝑥+1+√𝑥−2

𝑥→∞

1 2 lim √1+ + lim √1+ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞

=

0

=

√1+0+ √1+0

= lim

𝑥→∞

−1 √𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥

√ + +

0 2

6. Hitung lim ( √9𝑥 2 + 3𝑥 − √9𝑥 2 + 5𝑥 𝑥→∞

Penyelesaian: lim ( √9𝑥 2 + 3𝑥 − √9𝑥 2 + 5𝑥 ).

𝑥→∞

= lim

𝑥→∞

= lim

𝑥→∞

=

9𝑥 2 +3𝑥−(9𝑥 2 +5𝑥) √9𝑥 2 +3𝑥+√9𝑥 2 +5𝑥 8𝑥 𝑥 2 9𝑥2 5𝑥 √9𝑥2 +3𝑥 +√ 2 + 2 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥

8

8

√9+0+√9+0

𝑥 2 −4

Jawab. F(2) = 3

𝑥→∞

= lim

𝑥→∞

8

4

= 3+3 = 6 =3

D. Limit Kekontinuitas

1. F(x) = { 𝑥−2 3

= lim

x≠ 2, x=2

√9𝑥 2 +3𝑥+√9𝑥 2 +5𝑥 √9𝑥 2 +3𝑥+√9𝑥 2 +5𝑥 8𝑥 √9𝑥 2 +3𝑥+√9𝑥 2 +5𝑥 8 3 5 √9+ +√9+ 𝑥 𝑥

𝑥 2 𝑥 𝑥

√ +

lim

𝑥 2 −4

(𝑥−2)(𝑥+2)

=

𝑥→2 𝑥−2

(𝑥−2)

= x+2 =4

F(x)≠ 𝑓(2) karena limit tidak sama dengan nilai fungsi maka tidak kontinyu. 𝑥 + 1 ,𝑥 < 2 2. F(x) = { 2 𝑥 − 1 ,𝑥 ≥ 2 Jawab. F(2) = 22-1 = 4 – 1 = 3 lim 𝑓(𝑥)= lim+ 𝑓(𝑥) = x2 – 1= 22 – 1 = 3

𝑥→𝑥

𝑥→2

= lim− 𝑓(𝑥) = x = 1 = 2 + 1 = 3 𝑥→2

lim 𝑓(𝑥) = 3

𝑥→𝑥

−2 ; −4 ≤ 𝑥 ≤ −1 3. F(x) = {𝑥 − 1 ; −1 < 𝑥 ≤ 0 Periksa kekontinuan fungsi f di : 𝑥2 𝑥 > 0 a. X= 0 b. X = -1 Jawab. a.

lim 𝑓(𝑥) = lim− (-1) = -1

𝑥→0−

𝑥→0

lim 𝑓 (𝑥) = lim2 = 0

𝑥→0+

𝑥→0

Karena -1 ≠ 0 maka limit lim f(x) tidak ada, akibatnya f tidak kontinu 𝑥→0

di x= 0 b. lim− 𝑓(𝑥) = lim− (-2) = -2 𝑥→1

𝑥→1

lim f (x) = lim+ (x-1)= -2

𝑥→1+

𝑥→1

Sehingga f(-1) = -2 Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

4. Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi tentang suatu fungsi, ada fungsi f yang kontinu di selang [−1 , 3 ] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit sebagai berikut : lim f(x) = 1, lim+ f(x) = 2, lim+ f(x) = 2

𝑥→1−

𝑥→1

𝑥→1

a. Tentukan f(-1) beserta alasannya b. Tentukan lim− f(x) beserta alasannya 𝑥→3

Jawab. a. F(-1) = 2 karena f kontinu (kanan) di x = -1 sehinnga lim+ f(x) = 2 = 𝑥→1

f(-1) b.

lim f(x) = 2 karena f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga lim− f(x) = 2 =

𝑥→3−

𝑥→3

f(3) 𝑥 + 1 ;𝑥 < 3 5. F(x) = { 2 ; 𝑥 = 3 7 − 𝑥 ;𝑥 > 3 Apakah f kontinu di x = 3? Jawab. lim f(x) = lim− (x + 1) =4

𝑥→3−

𝑥→3

lim f(x) = lim+ (7 – x) = 4

𝑥→3+

𝑥→3

Jadi lim ada. 𝑥→3

F (3) = f(3) = 2 lim f(x) ≠ f(3)

𝑥→3

Jadi f tidak kontinu atau diskontinu di x = 3

DAFTAR PUSTAKA [1] Nuryanto,

"Limit

Dan

Kontinuitas,"

2018.

[Online].

Available:

http://nuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55319/LIMIT+DAN+K ONTINUITAS.pdf. [Accessed 29, Sabtu Desember 2018]. [2] sheetmatch, "contoh soal dan jawaban limit," 09 2016. [Online]. Available:

https://www.sheetmath.com/2016/09/contoh-soal-dan-jawaban-limit.html. [Accessed 29, Sabtu Desember 2018]. [3] C.

Jepsen,

"academia,"

12

Agustus

2016.

[Online].

Available:

https://www.academia.edu/29750680/MAKALAH_LIMIT_FUNGSI_doc. [Accessed 24 November 2018]. [4] p. s. matematika, "partnermatematika," 15 Januari 2018. [Online]. Available:

https://www.partnermatematika.com/2018/01/limit-fungsi-sifat-sifat-dancontoh.html. [Accessed 24 November 2018]. [5] jagomatematika, "jagomatematika," 9 Oktober 2017. [Online]. Available:

https://jagomatematika.info/rangkuman-sifat-sifat-limit-fungsi-aljabar.html. [Accessed 24 November 2018]. [6] M.

Pahlevi,

"Academia,"

18

Januari

2015.

[Online].

https://www.academia.edu/10217333/Limit_tak_hingga.

Available:

[Accessed

29

Desember 2018]. [7] E. Pujiyanto, "Kalkulus 1," 12 Februari 2015. [Online]. Available:

www.eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1. [Accessed 29 Desember 2018]. [8] R. T. Lazwadi, "belajar kalkulus," kalkulus.com, 18 maret 2018. [Online].

Available:

https://www.pdfcoke.com/doc/304794947/LIMIT-KANAN-DAN-

KIRI. [Accessed 29 desember 2018].